Использование табличного процессора MS Excel для реализации численных методов в инженерных и экономических расчетах

Министерство образования РФ

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Факультет Экономики, Менеджмента и Инноваций

Кафедра: "Менеджмент"

Курсовая работа на тему:

Использование табличного процессора MS Excel для реализации численных методов в инженерных и экономических расчетах

Выполнил: студент группы 10-МЕНк

Селина Анастасия Сергеевна

Проверил: Зубов Николай Викторович

Нижний Новгород 2011 год

Содержание

Введение

Лабораторная работа № 1. "Задача максимизации прибыли предприятия"

Лабораторная работа № 2. "Модель Леонтьева"

Лабораторная работа № 3. "Предельный анализ и оптимизация прибыли, издержек и объема производства"

Заключение

Используемая литература

Введение

При решении многочисленных инженерных и экономических задач обычно реальное явление заменяется математической моделью. Модель является упрощенным представлением реальности и обычно содержит некоторое количество уравнений. Главной задачей моделирования является максимальное приближение к реальности при достаточной простоте модели. В ряде случаев удается найти аналитическое решение задачи. Однако в большинстве своем приходится использовать численные методы. Эти методы предполагают, применение ЭВМ и сводятся к некоторым действиям над числами. При этом в большинстве случаев решение является приближенным.

Существуют различные подходы к реализации численных методов. Традиционный подход предполагает построение алгоритма метода с последующим программированием на языке высокого уровня. В последнее время широко используются специализированные программные продукты - математические пакеты типа MathCad, которые существенно упрощают процесс составления алгоритма и обладают встроенными библиотеками и графическими возможностями. В данной работе описан еще один подход, позволяющий в ряде случаев существенно ускорить процесс решения задачи. Он основан на использовании табличного процессора Excel, широко распространенного среди пользователей. Вместе с тем, применение данного программного продукта для реализации численных методов до сих пор не нашло соответствующего отражения в литературе.

Методическая разработка содержит краткое описание некоторых численных методов, примеры инженерных и экономических задач и технологию их решения с использованием пакета Excel. Предполагается наличие у студентов основных навыков работы с электронными таблицами типа Excel.

Лабораторная работа № 1. "Задача максимизации прибыли предприятия"

Одной из распространенных экономических задач является задача максимизации прибыли предприятия. Известно, что балансовая прибыль есть разница между выручкой и затратами на производство продукции P=N-Z. В общем случае выручка от реализации продукции может быть представлена полиномом 2-й степени от количества продукции N=a₀Q+a₁Q². Нелинейность может быть связана с тем, что в условиях монополии цена единицы продукции k может уменьшаться с ростом количества выпущенной продукции Q: k=a₀+a₁Q (a₀>0, a₁<0). В свою очередь, функция затрат может быть представлена полиномом 3-й степени Z=b₀+b₁Q+b₂Q² +b₃Q³. Кубическая нелинейность может объясняться тем, что при производстве малой партии товаров издержки быстро растут, затем с ростом Q темп роста издержек уменьшается, но по достижении некоторого критического значения Q начинает работать "закон убывающей отдачи", в соответствии с которым издержки вновь начинают расти ускоренными темпами. Прибыль максимальна, когда dP/dQ = 0. С помощью пакета Excel решим данную задачу, полагая заданными коэффициенты: b₀ = 0, b₁=1, b₂= 7, b₃ = - 0,15, a₀= 15, a₁= 3, a₂=-0,1, a₃=0,01.

Последовательность действий при реализации в пакете Excel

. Оформить заголовок в строке 1 "Максимизация прибыли".

. В ячейки A3, ВЗ, СЗ, D3 и ЕЗ записать заголовки рядов - соответственно Q, N, Z, P, и dP/dQ.

. В ячейки F3, F4, F5, F6, F9, F10 записать названия коэффициентов - соответственно b₀, b₁, b₂, b₃, a₀, a₁.

. В ячейки G3, G4, G5, G6, G9, G10, G11 записать значения коэффициентов - соответственно 15; 3; - 0,1; 0,01; 0; 7; - 0,15.

. В ячейку Н9 ввести текст "Издержки Z= a0+a1*Q+a2*Q^2+a3*Q^3"

. В ячейку Н10 ввести текст "Выручка N=b0+b1*Q+b2*Q^2"

. В ячейку Н11 ввести текст "Прибыль P=N-Z"

. В ячейки А4 и А5 ввести первые два значения аргумента - 0 и 1.

. Выделить ячейки А4-А5 и протащить ряд данных до конечного значения

(21), убедившись в правильном выстраивании арифметической прогрессии.10. В ячейку В4 ввести формулу "=$G$9+$G$10*A4+$G$11*A4^2".

. Скопировать формулу на остальные элементы ряда, используя прием протаскивания. В интервале В4: В25 получен ряд результатов вычисления выручки N (Q).

. В ячейку С4 ввести формулу " =$G$3+$G$4*A4+$G$5*A4^2+$G$6*A4^3".

. Скопировать формулу на остальные элементы ряда, используя прием протаскивания. В интервале С4: С25 получен ряд результатов вычисления издержек Z (Q).

. В ячейку D4 ввести формулу "=B4-C4".

. Скопировать формулу на остальные элементы ряда, используя прием протаскивания. В интервале D4: D25 получен ряд результатов вычисления прибыли P (Q).

16. В ячейку Е4 ввести формулу "= ($G$10-$G$4) +2* ($G$11-$G$5) *A4-3*$G$6* A4^2".

17. Скопировать формулу на остальные элементы ряда, используя прием протаскивания. В интервале Е4: Е25 получен ряд результатов вычисления dP/dQ для различных значений Q.

. Построить на одной диаграмме графики зависимостей N (Q), Z (Q) и P (Q), используя соответствующие ряды данных.

. Построить на отдельной диаграмме зависимость dP/dQ от Q. Точка пересечения графика с осью абсцисс дает значение Q, соответствующее максимальной прибыли (шаговый метод).

Вывод:

С помощью пакета Microsoft Excel можно решить задачу максимизации прибыли. Прибыль максимальна, когда производная (dP/dQ) равна 0. При этом точка пересечения графика с осью абсцисс (в данном случае это ось Q) дает значение оптимального выпуска продукции, который соответствует максимальной прибыли. В итоге я получила оптимальный выпуск продукции, равный 13 шт, при котором максимальная прибыль равна 4 ден. ед.

excel инженерная экономическая задача

Лабораторная работа № 2. "Модель Леонтьева"

Основой многих линейных моделей производства является схема межотраслевого баланса. Идея метода впервые в явном виде была сформулирована в работах советских экономистов в 20-х годах и получила затем развитие в трудах В.В. Леонтьева по изучению структуры американской экономики. Предположим, что производственный сектор народного хозяйства разбит на п отраслей. Причем каждая отрасль выпускает продукт только одного типа, а разные отрасли выпускают разные продукты. Кроме того, в процессе производства своего вида продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей. В качестве примера рассмотрим упрощенную модель межотраслевого баланса, предполагая, что экономика страны состоит из 3-х отраслей (промышленности, сельского хозяйства и транспорта).

Введем следующие обозначения у_i - конечный спрос на продукцию i-й отрасли, х_i - выпуск продукции i-й отрасли. c_ij - доля продукции отрасли i, потребленной в процессе производства продукции отрасли j. В этом случае в соответствии с моделью Леонтьева имеем следующую систему линейных уравнений:

Задача состоит в нахождении неизвестных x₁, x₂, x₃. Остальные величины считаются заданными. Заметим, что все коэффициенты c_ij изменяются в пределах от 0 до 0,3. Это обеспечивает сходимость при использовании итерационных методов.

Последовательность действий при реализации модели в пакете Excel с использованием метода простой итерации (рис.8).

. Ввести в ячейку H1 текст заголовка "Модель Леонтьева" (выравнивание по центру).

. Ввести в ячейку H2 текст "Данные" (выравнивание по центру).

. В области F4: J7 ввести исходные данные как показано на рисунке.

. Обозначить в области А9: А12 номер итерации k и названия переменных х1, х2, x3.

. В области В9: В12 задать начальные значения переменных (нули).

. В ячейку С9 ввести 1, выделить ячейки В9 и С9 и, используя прием протаскивания, заполнить ряд до столбца О.

. Ввести в ячейку С10 формулу "= ($J$5+$H$5*B11+$I$5*B12) / (1-$G$5) Получим значение переменной х1 на первой итерации.

. Ввести в ячейку С11 формулу "= ($J$6+$G$6*B10+$I$6*B12) / (1-$H$6)". Получим значение переменной х2 на первой итерации.

. Ввести в ячейку С12 формулу "= ($J$7+$G$7*B10+$H$7*B11) / (1-$I$7) Получим значение переменной х3 на первой итерации.

. Выделить диапазон С10: С12 и скопировать его до столбца О, используя прием протаскивания

. В области A14: O33 построить диаграмму, показывающую процесс приближения значений переменных х1, х2, х3 к решению системы. Диаграмма строится в режиме "Точечная", где по оси абсцисс откладывается номер итерации.

Вывод:

Задачу межотраслевого баланса можно решить с помощью пакета Excel. Решив данную задачу при помощи Модели Леонтьева, были найдены значения х1. х2, х3 (x₁≈616; x₂≈934; x₃≈746) - выпуска продукции 3-х отраслей (промышленности, сельского хозяйства и транспорта). По графику, можно определить какая из отраслей обладает наибольшим выпуском продукции.

Лабораторная работа № 3. "Предельный анализ и оптимизация прибыли, издержек и объема производства"

Вернемся к задаче максимизации прибыли предприятия. Математическое решение данной задачи сводится к максимизации функции прибыли:

P = kQ - Z

Функция имеет экстремум, когда ее производная равна нулю:

Аналогично проводится анализ зависимости между издержками и количеством выпускаемой продукции, который позволяет определить для функции издержек линейную форму связи вида Z = b₀ + b₁Q. Неизвестные b₀ и b₁ также находятся на основе решения системы нормальных уравнений вида:

Оптимальные параметры определяются из соотношений:

Q_opt = (b₁ - a₀) / (2a₁); Z_opt = b₀ + b₁Q_opt; k_opt = a₀ + a₁Q_opt;_opt = k_optQ_opt.; P_opt = N_opt. - Z_opt = (a₀+a₁Q_opt) Q_{opt - (}b₀+b₁Q_opt)

Обычно предельный анализ проводится с использованием метода наименьших квадратов путем решения систем линейных уравнений для нахождения функций спроса и издержек. Табличный процессор Excel позволяет существенно уменьшить объем вычислений путем использования встроенных функций линейной регрессии.

Найденные функции спроса k (Q) и издержек Z (Q) позволяют определить функцию прибыли P (Q). Максимальное значение этой функции может быть найдено средствами пакета анализа "что-если" Excel. Команда Он позволяет находить значение параметра-переменной, при котором зависящее от него значение функции в целевой ячейке достигает максимума или любого другого заданного значения (рис.13).

Последовательность действий:

.        Введем исходные данные (табл.1).

2.      Применим функцию ЛИНЕЙН для вычисления коэффициентов a₁, a₀ функции спроса k (Q):

·        выделить интервал A17: B17;

·        напечатать формулу =ЛИНЕЙН (B9: G9; B8: G8);

·        нажать <Ctrl+Shift+Enter>.

Результат в ячейке A17 - значение коэффициента a₁, в ячейке B17 - значение коэффициента a₀.

.        Аналогично находим коэффициенты b₁, b₀ функции издержек Z (Q):

·        выделить интервал D17: E17;

·        напечатать формулу =ЛИНЕЙН (B10: G10; B8: G8);

·        нажать <Ctrl+Shift+Enter>.

Результат в ячейке D17 - значение коэффициента b₁, в ячейке E17 - значение коэффициента b₀.

.        Найденные функции спроса k (Q) и издержек Z (Q) позволяют определить функцию прибыли P (Q). Максимальное значение этой функции (оптимальная прибыль P_opt при некотором значении Q (Q_opt) может быть найдено средствами оптимального решения анализа "что-если" пакета Excel.

Вывод:

Исходя из данных таблицы 2 и графика зависимости прибыли от объема производства, видно, что максимальная прибыль (P=631,80) достигается при объеме производимой продукции равной 59.

Заключение

Основной целью данной работы является использование численных методов. Данные методы предполагают, использование пакета Microsoft Excel и сводятся к некоторым действиям над числами, при этом множество решений являются приближенными.

В процессе создания данной работы я приобрела новые знания в сфере решения экономических задач при помощи пакета Microsoft Excel численных методов. С первым, с чем я столкнулась в курсовой работе это задача максимизации прибыли предприятия. Прибыль максимальна, когда производная (dP/dQ) равна 0. При этом точка пересечения графика с осью абсцисс (в данном случае это ось Q) дает значение оптимального выпуска продукции, который соответствует максимальной прибыли. В процессе работы я использовала модель Леонтьева. Задача заключалась в рассмотрении упрощенной модели межотраслевого баланса, предполагая, что в экономике только 3 отрасли. Для этого нужно было найти выпуск продукции в каждой отрасли. Так же в течение работы я находила предельный анализ оптимизацию прибыли, издержек и объема производства. В данном примере я анализировала зависимости между ценой продукции и его количеством в первом случае, а во втором зависимость между издержками и количеством выпускаемой продукции.

Используемая литература

1.      Методическая разработка по курсу "Информатика" для студентов всех форм обучения "Использование табличного процессора Excel для реализации численных методов в инженерных и экономических расчетах". Составители: В.Ф. Билюба, В.Н. Ершов, С.Н. Митяков, О.И. Митякова, С.П. Никитенкова, Н.Я. Николаев. 2000год

2.      "Основные технологии работы с табличным процессом Excel". Составители: Н.В. Зубов, И.В. Лапшин, С.Н. Митяков, С.П. Никитенкова, А.Н. Демин.