Расчет статически определимых балок на прочность и жесткость

Расчет статически определимых балок на прочность и жесткость

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Иркутский государственный технический университет

Кафедра строительства и городского хозяйства

Курсовой проект

на тему:

Расчет статически определимых балок на прочность и жесткость

Иркутск, 2010 г.

Требуется:

. Для деревянной балки Б-1 подобрать сечение круглого и прямоугольного профиля из брусьев ходовых размеров. Сравнив расход материала, выбрать рациональное сечение.

. Проверить прочность по нормальным напряжениям балки Б-2 из сталефибробетона, сечение принимаем из таблицы 9 учебника «Курсовые и расчетно-проектировочные работы» под редакцией В.В. Семенова.

. Для балки Б-3 подобрать по величине необходимого момента сопротивления соответствующий номер стальной двутавровой балки из таблиц сортамента прокатных или сварных балок.

. Проверить прочность, подобранной в пункте 3 двутавровой балки в опасных точках:

·        в точке, где действует ;

·        в точке, где действует ;

5. Исследовать напряженное состояние стальной балки в пяти точках по высоте в сечении, где одновременно сочетание величины M и Q наиболее неблагоприятное (в верхней и нижних точках сечения, на границе между полкой и стенкой вверху и внизу, также на нейтральной оси):

·  вычислить в каждой из указанных точек нормальные и касательные напряжения и построить их эпюры s и t по высоте сечения балки.

·        определить величину и направление главных нормальных и максимальных касательных напряжений и построить их эпюры по высоте сечения балки.

·        произвести проверку прочности по 3 и 4 теориям прочности.

Если условие прочности в какой-либо точке не будет удовлетворено, следует изменить размеры сечения.

Для схемы №1 подобрать сечение деревянной балки круглого и прямоугольного профиля из брусьев ходовых размеров. Сравнив расход материала, выбрать рациональное сечение.

Проверить прочность по нормальным напряжениям балки из сталефибробетона для схемы №2, сечение принять по рис. 1 по указанию преподавателя.

Для схемы №3 подобрать по величине необходимого момента сопротивления соответствующий номер стальной двутавровой балки из таблиц сортамента прокатных или сварных балок.

Проверить прочность, подобранной в пункте 4 двутавровой балки; в опасных точках; в точке, где действует ; в точке, где действует ;

Исследовать напряженное состояние в пяти точках по высоте в сечении, где одновременно сочетание величины M и Q наиболее неблагоприятное (в верхней и нижних точках сечения, на границе между полкой и стенкой вверху и внизу, также на нейтральной оси).

Вычислить в каждой из указанных точек нормальные и касательные напряжения и построить их эпюры s и t по высоте сечения балки.

Определить главные и максимальные касательные напряжения и построить их эпюры по высоте сечения балки.

Произвести проверку прочности по 3 и 4 теориям прочности.

Если условие прочности в какой-либо точке не будет удовлетворено, следует изменить размеры сечения.

Все эпюры напряжений строить в одном масштабе.

. Для стальной балки определить прогибы по середине пролёта и на концах пролёта, углы поворота на опорах: методом начальных параметров, методом Мора, способом Верещагина.

. Изобразить изогнутую ось балки.

. Проверить жесткость балки, приняв предельный прогиб .

Балка Б-1

1. Расчетные значения нагрузки при :

M_n = 4кНм М = M_n * γ_f = 4*1,2 = 4,8кНм

F_n = 12кН F = F_n* γ_f = 12*1,2 = 14,4кН

q_n = 6кН/м q = q_n* γ_f = 6*1,2 = 7,2кН/м

l = 2м

2. Построение эпюр М и Q

Рис. 1. Эпюры внутренних усилий в деревянной балке от расчетных нагрузок

Использую 2 форму аналитических условий равновесия:

∑F_xy = 0

∑m_A= 0

∑m_B = 0

1.

∑m_B = - q*2*3 - F*4 + M + V_B * 6 = 0

v_B = 7,2*2*3+14,4*4 - 4,8 = 16 кН

2. ∑m_B = 0

∑m_A = - V_A * 6 + q*2*3+F*2+M = 0_A = 7,2*2*3+14,4*2+4,8 = 12,8 кН

Проверка найденных реакций:

∑Y= 0; V_A - q*2 - F+ V_B = 0

∑Y=12,8 - 7,2*2 - 14,4 + 16 = 0; 0 = 0, => реакции найдены, верно.

участок

≤ Z₁ ≤ Z

M(z₁) = V_A Z₁

M(z₁=0) = 0;

M(z₁=z) = 12,8*2= 25,6 кНм

Q(z₁) = V_A = 12,8кН

участок

≤ Z₂ ≤ 2

M(z₂) = V_A*(2+ z₂) - q* z₂²

M(z₂=0) =12,8*2= 25,6кНм

M(z₂=2) =12,8*4 - 7,2*2² = 36,8кНм

Q(z₂)= V_A - q*z₂

Q(z₂=0)= 12,8кН(z₂=2)= 12,8 - 7,2*2 = - 1,6кН₂₀ = V_A = 12,8 = 1,78 м

q 7,2

Экстремум М (Z₂₀)= 12,8*3,78 - 7,2*1,78² = 36,98 кНм

3 участок

M(z₃) = M+ V_A*Z₃

M(z₃=0) = M= 4,8кНм(z₃=2) = 4,8+16*2= 36,8 кНм(z₃)= V_В = - 16 кН

По полученным данным строю эпюры М и Q.

Определяю требуемый момент сопротивления как:

W_x^тр > M_max = 36,98*10³ = 2845см³

R13

а) подбираю круглое сечение

круг

W_x= πd³

диаметр

d > ³√ 32w_x^тр = √32*2845 = 31см

π 3,14

площадь

А = πd² = π*31² = 755см²

По сортаменту пиломатериалов берём см

б) подбираю прямоугольное сечение

прямоугольник

W_x = bh²

W_x = 25*25² = 2604см³ < W_x^тр = 2845см³

на b= 25см, h= 25см - наибольшее сечение.

По сортаменту пиломатериалов принимаю брус

h = 22см, b= 10см.

W_x = 10 * 44² = 3227см³

W_x = 3227см³ > W_x^тр = 2845см³

А^▫ = b*h = 10*44= 440см²

А^▫ < А

Балка Б-2

Проверить прочность и жесткость по нормальным напряжениям балки из сталефибробетона, сечение принять по учебнику «Курсовые и расчетно-проектировочные работы» под редакцией В.В. Семенова таблица 9.

1.       Расчетные значения нагрузки при :

M_n = 50кНм М = M_n * γ_f = 50*1,2 = 60кНм

F_n = 7кН F = F_n* γ_f = 7*1,2 = 8,4кН

q_n = 18кН/м q = q_n* γ_f = 18*1,2 = 21,6кН/м

l = 2,8м

n = 5

Рис.3. Эпюры внутренних усилий в сталефибробетонной балке от расчетных нагрузок

1 участок

≤ Z₁ ≤ 2,8

M(z₁) = F Z₁

M(z₁=0) = 0;

M(z₁=2,8) = 8,4*2,8= 23,52кНм

Q(z₁) = - F = - 8,4кН

участок

≤ Z₂ ≤ 2,8

M(z₂) = q z₂² - М + F*( Z₂ + 2,8)

M(z₂=0) = -60+8,4*2,8= - 36,48кНм

M(z₂=2,8) =21,6*2,8² - 60+8,4*5,6= 71,71кНм

Q(z₂)= -F - qz₂

Q(z₂=0)= - 8,4кН

Q(z₂=2,8)= -8,4 - 21,6*2,8= - 68,88кН

По полученным данным строю эпюры М и Q.

2. Проверка прочности по нормальным напряжениям. Проверку выполняю по неравенствам

Ϭ_{t max} = M_max * y_t ≤ R_t ;

Ϭ_{c max} = M_max * y_c ≤ R_c ;  J_xJ_x

Площади

А₁ = 40*60= 2400 см²

А₂ = Ѕ *7,5*60 = 225см²

Рис.4. Нормальные напряжения в поперечном сечении сталефибробетонной балки

Ординату центра тяжести определяю относительно оси х₁, то есть

y_c = ∑SX₁ = A₁Y₁+2A₂q₂ = 2400*0+2*225*(-20) = - 3,16см

∑AA₁+2 A₂2400+2*225

Момент инерции

J_x1= 40*60³ = 720000см⁴

J_x2= 7,5*60³ = 45000см⁴

Момент инерции относительно нейтральной оси

J_x= ∑( J_xi + А_iа_i²)= (720000+3,16²*2400) + 2(45000+16,84²*225) =

см⁴

Наибольшие напряжения:

в растянутой зоне балки

J_x 961611*10^-8

в сжатой зоне

Ϭ_{c max} = M_max * y_c = 71,71*10^-3 * 0,3316= 2,47МПа< R_с= 22,5МПа

J_x 961611*10^-8

Строю эпюру Ϭ по значениям Ϭ_{t max} и Ϭ_{c max} (рис. 4).

Вывод: условие прочности по нормальным напряжениям обеспечена.

Балка Б-3

1. Расчетные значения нагрузки при :

M_n = 40кНм М = M_n * γ_f = 40*1,2 = 48кНм

F_n = 42кН F = F_n* γ_f = 42*1,2 = 50,4кН

q_n = 28кН/м q = q_n* γ_f = 28*1,2 = 33,6кН/м

l = 1,8м

. Составляю уравнения равновесия для заданной балки от расчетных нагрузок. Отбрасываю связи, заменяю реакциями v_А, v_B

Использую 2 форму аналитических условий равновесия:

балка деревянный сталефибробетон стальной

∑F_xy = 0

∑m_A= 0

∑m_B = 0

1.

∑m_B = q*3,6*1,8 + M + V_B *5,4 - F*7,2= 0

v_B = -33,6*3,6*1,8-48+50,4*7,2= 17,99кН

5,4

2. ∑m_B = 0

∑m_А = V_A*5,4 - q*3,6*3,6+ M - F*1,8= 0

V_A= 33,6*3,6*3,6 - 48+ 50,4*1,8= 88,55кН

5,4

Проверка найденных реакций:

∑Y= 0; ∑Y= - V_A + q*3,6 - F+ V_B = 0

∑Y= -88,55+33,6*3,6+17,99 - 50,4 = 0; 0 = 0, => реакции найдены, верно.

3. Построение эпюр М и Q

1 участок

≤ Z₁ ≤ 3,6

M(z₁) = qZ₁²- V_A Z₁

M(z₁=0) = 0;

M(z₁=3,6) = 33,6*3,6²/2 - 88,55*3,6= -101,1 кНм

Q(z₁) = qZ₁ - V_A

Q(z₁=0)= - 88,55кН

Q(z₁=3,6) = 33,6*3,6 - 88,55= 32,41кН

Z₁⁰ = V_A = 88,55 = 2,64 м

Рис. 5. Эпюры внутренних усилий в стальной балке от расчетных нагрузок

В сечении, где поперечная сила меняет знак, изгибающий момент имеет экстремальное значение. Нахожу его на втором участке:

Экстремум

М (Z₁⁰)= 33,6*2,64² - 88,55*2,64= - 117,1кНм

участок

≤ Z₂ ≤ 1,8

M(z₂) = -FZ₂

M(z₂=0) =0

M(z₂=1,8) = - 50,4*1,8= - 90,72кНм

Q(z₂)= F= 50,4кН

участок

≤ Z₃ ≤ 1,8

M(z₃) = V_ВZ₃ - F(Z₃+1,8)

M(z₃=0) = - 90,72кНм

M(z₃=1,8) = 17,99*1,8 - 50,4*3,6= - 149,1кНм

Q(z₃)= F - V_B= 50,4 - 17,99= 32,41кН

Определяю требуемый момент сопротивления как:

W_x = M_max = 149,1*10³ = 621см³

R240

По ГОСТу 8239 - 72 выбираю двутавр №36, для которого:

W_x = 743см³; J_x= 13380см⁴; S_x= 423см³; b= 14,5см; d= 0,75см; t= 1,23см

Определяю фактическое нормальное напряжение:

Ϭ_max^факт = M_max = 149,1*10³ = 200,7МПа

W_x 743

Проверяю прочность балки по касательным напряжениям. Проверку провожу в сечении, где

Q_max = 88,55кН,

по выражению

τ_max = Q_maxS_x

J_x*d

τ_max = Q_maxS_x = 88,55*10^-3*423*10^-6 = 37,3МПа < R_s = 130МПа

Строю эпюры τ и Ϭ для этого сечения

Рис. 6. Эпюры напряжений в «опасном» сечении

y₁ = h/2 = 18см

y₂ = h/2 - t = 18 - 1,23 = 16,77см;

y₃ = 0;

Ϭ₍₁₎ = 149,1*10^-3 * 0,18 = 200,58МПа

*10^-8

Ϭ₍₁₎ = 149,1*10^-3 * 0,1677 = 200,58МПа

13380*10^-8

Ϭ₍₃₎ = 0

В этих же точках определяю касательные напряжения по формуле Журавского:

τ₍₁₎ = 0, так как S_x= 0;

для полки двутавра

τ₍₂₎¹ = Q*S_xп = 32,41*10^-3*310,06*10^-6 = 0,52МПа

J_x*b 13380*10^-8*14,5*10^-2

где статический момент полки

S_xп = A_n*y_c = b*t ( h - t) = 14,5*1,23*(18 - 1,23/2) = 310,06см³

2 2

для стенки двутавра

τ₍₂₎ = Q*S_xп = 32,41*10^-3*310,06*10^-6 = 10,01МПа

J_x*d 13380*10^-8*7,5*10^-3

на нейтральной оси

τ₍₂₎ = Q*S_xп = 32,41*10^-3*423*10^-6 = 13,66МПа

J_x*d 13380*10^-8*7,5*10^-3

Ϭ_red³ = √ Ϭ²+ 4τ² ≤ R,

Ϭ_red⁴ = √ Ϭ²+ 3τ² ≤ R,

Ϭ_red³ = √ 186,87² + 4*10,01² = 187,9МПа < R= 240МПа

Ϭ_red⁴ = √ 186,87² + 3*10,01² = 187,7МПа < R= 240МПа

Ϭ_1,3 = Ϭ + 1 √ Ϭ² + 4τ²

2 2

τ_max^min = + 1 * √ Ϭ² + 4τ²

Перемещения осуществляю методом начальных параметров.

Рис. 7. Определение перемещения балки в сечении D

Жесткость сечения

EJ_x =2,06*10⁸*13380*10^-8 = 27562,8кНм²

Уравнения прогибов и углов поворота

6 24224* (Z - 5,4)³

(2) EJ_xϴ = EJ_xϴ₀ - V_Az² + q* z³ - М*(Z - 3,6) - q*( Z - 3,6)³ + V_B*

2 66* (Z - 5,4)²

Начальные параметры

(3) опора А (Z=0) y_A=0

(4) опора B (Z=5,4) y_В=0

Из (1) при условии (3) следует

EJ_xy_A = EJ_x*y₀ = 0

Из (1) при условии (4) следует

EJ_xy_A = EJ_x ϴ₀*5,4 - 88,55*5,4³+ 33,6*5,4⁴ - 48*1,8² - 33,6*1,8⁴ = 0

6 24 2 24

EJ_x ϴ₀ = 227,0кНм²

После подстановки в предыдущие уравнения координаты сечения «D» (Z=2,7м) получаю:

Прогибы из (1)

Сечения «D» (Z=2,7м) - середина пролета

EJ_xy_D = 227,0*2,7 - 88,55* 2,7³+ 33,6*2,7⁴ = 396,88кНм³

y_D = 396,88 = 0,0144м = 1,44см (вверх)

27562,8

сечение Е (конец консоли) Z = 7,2м

EJ_xy_Е = 227,0*7,2 - 88,55* 7,2³+ 33,6*7,2⁴ - 48*3,6² - 33,6*3,6⁴ +

624224

+17,99*1,83² = -640,3кНм³

y_E = -640,3 = -0,0232см = -2,32см

27562,8

Углы поворота из (2)

Сечение А (Z=0)

EJ_x ϴ_A = 227,0кНм²

ϴ_A = 227,0 = 0,00824 рад (против часовой стрелки)

,8

Сечение В (Z=5,4)

EJ_x ϴ_B = 227,0 - 88,55* 5,4² +33,6*5,4³ - 48* 1,8 - 33,6*1,8³ = -301,3кНм²

26 6

ϴ_B = -301,3 = -0,0109 рад (по часовой стрелке)

,8

Рис. 8. Изогнутая ось стальной балки

Согласно условию задачи предельный прогиб равен:

f_u = 1 * l ;

Допускаемые прогибы

Середина пролета

f_u = 5,4 = 0,027м = 2,7см

200

Конец консоли

f_u = 3,6 = 0,018м = 1,8см

200

y_Е = 2,32см > f_u = 1,8см

Вывод: жесткость на конце консоли не обеспечена.