Численное моделирование движения планет Солнечной системы

Численное моделирование движения планет Солнечной системы

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

.1 Уравнения движения планет

.2 Движение по окружности

.3 Эллиптические орбиты

.4 Астрономические единицы

2 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОРБИТЫ. ВОЗМУЩЕНИЯ

.1 Радиальные возмущения

.2 Тангенциальные возмущения

.3 Влияние «солнечного ветра

.4 Возмущения в пространстве скоростей

ВЫВОДЫ

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

ВВЕДЕНИЕ

Движение планет имеет особое значение, поскольку в прошлом оно сыграло важную роль в формировании механистического взгляда на Вселенную. Немногие теории оказали столь же огромное влияние на западную цивилизацию, как ньютоновы законы движения и всемирного тяготения, связывающие в единое целое движение звезд и земных объектов.

Большую часть наших знаний о движении планет объединили в себе законы Кеплера, которые можно сформулировать следующим образом:

. Всякая планета движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце.

. Скорость планеты возрастает по мере удаления от Солнца таким образом, что прямая, соединяющая Солнце и планету, в равные промежутки времени заметает одинаковую площадь.

. Для всех планет, вращающихся вокруг Солнца, отношение Т² /а³ одинаково (Т - период обращения планеты вокруг Солнца, а - большая полуось эллипса).

Кеплер вывел свои законы на основании тщательного анализа данных наблюдений, которые на протяжении многих лет собирал Тихо Браге.

Первый и третий законы Кеплера касаются формы орбиты, а не зависимости скорости и координаты планеты от времени. Поскольку эти временные зависимости невозможно получить в элементарных функциях, мы вынуждены рассматривать численное решение уравнений движения планет и их спутников по орбите. Кроме того, мы обсудим влияние возмущений на характер орбиты и рассмотрим некоторые задачи, которые бросают вызов нашей интуиции в правильном понимании законов движения Ньютона.

1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

.1 Уравнения движения планет

Движение Солнца и Земли является примером задачи двух тел. Эту задачу можно свести к задаче одного тела двумя методами. В основе самого простого метода лежит тот факт, что масса Солнца во много раз больше массы Земли. Следовательно, с хорошей точностью можно считать Солнце неподвижным и связать с ним начало системы координат. Если вы знакомы с понятием приведенной массы, то знаете, что существует и более общий метод. А именно, движение двух тел с массами т и М, полная потенциальная энергия которых зависит только от расстояния между ними, можно свести к эквивалентной задаче о движении одного тела приведенной массы µ, определяемой формулой

                                                                                          (1.1)

Поскольку масса Земли т = 5.99*10²⁴ кг, а масса Солнца М = 1.99*10³⁰кг, то понятно, что для большинства практических целей приведенная масса Солнца и Земли равна массе Земли. Поэтому ниже мы рассмотрим только задачу об одной материальной точке массой т, движущейся вокруг неподвижного силового центра, который мы примем за начало системы координат.

Закон всемирного тяготения Ньютона утверждает, что частица массой М притягивает другую частицу массой т с силой

,                                                                                   (1.2)

где вектор r направлен от тела с массой М к телу с массой m, a G - постоянная тяготения, которая равна G = 6.67*10^-11 м³/кгс^-2 .

Отрицательный знак в формуле (1.2) означает, что гравитационная сила является силой притяжения, т.е. стремится уменьшить расстояние r между телами.

Закон (1.2) относится только к телам пренебрежимо малых пространственных размеров. Ньютон не публиковал свой закон всемирного тяготения 20 лет, хотя он изобрел интегральное исчисление и показал, что закон (1.2) применим также к любой однородной сфере или массовой сферической оболочке, если расстояние r измерять от центра каждой массы.

У силы тяготения имеются два свойства общего характера: ее величина зависит только от расстояния между телами, а направление совпадает с линией их соединяющей. Такие силы называются центральными. Из предположения о центральности силы следует, что орбита Земли лежит в плоскости (х-у), а угловой момент L сохраняется и направлен по третьей оси (z). Запишем L_z в виде

,                                                                   (1.3)

где использовано определение векторного произведения L = [r·p], а p = mv. Кроме того движение ограничивается условием сохранения полной энергии E, равной

                                                                                               (1.4)

Рисунок 1.1 - Тело массой m движется под действием центральной силы F

Если связать систему отсчета с телом массой М, то уравнение движения примет вид

                                                                                                  (1.5)

В результате уравнения движения в декартовых координатах принимают вид

,                                                                                                        (1.6)

,                                                                                                        (1.7)

где r²=x²+y².

.2 Движение по окружности

Поскольку большинство орбит мало отличается от круговых, полезно получить условия движения тел по круговой орбите. Величина ускорения а связана с радиусом круговой орбиты r и скоростью тела v соотношением

 .                                                                                                       (1.8)

Ускорение всегда направлено к центру и обусловлено гравитационной силой. Следовательно, имеем

                                                                                                            (1.9)

или

.                                                                                                        (1.10)

Выражение (1.10), связывающее радиус и скорость, и есть общее условие любой круговой орбиты.

Можно также найти зависимость периода Т от радиуса круговой орбиты. Используя соотношение

                                                                                                                   (1.11)

вместе с формулой (1.10), получим

.                                                                                                            (1.12)

Формула (1.12) представляет собой частный случай третьего закона Кеплера, поскольку радиус r соответствует большой полуоси эллипса.

1.3 Эллиптические орбиты

Поскольку известно, что наиболее общим видом орбиты является эллипс, подводя итог нашему обсуждению, опишем свойства эллиптической орбиты. Простое геометрическое определение параметров эллипса приведено на рис. 1.2. Оба фокуса эллипса, F₁ и F₂, обладают тем свойством, что для любой точки Р лежащей на этой кривой, сумма расстояний от фокусов F₁P + F₂Р постоянна.

Рисунок 1.2 - Определение эллипса с помощью большой и малой полуосей а и b

В общем случае у эллипса имеются две неравные взаимно перпендикулярные оси. Более длинная ось называется большой осью; половина этой оси - большая полуось а. Короткая ось называется малой осью эллипса; малая полуось b в два раза короче. В астрономии принято описывать эллиптическую орбиту величиной а и эксцентриситетом е, который равен отношению расстояния между фокусами к длине большей оси. Поскольку F₁Р + F₂Р = 2а, то легко показать (рассмотрев точку Р с координатами х = 0, у = b), что

                                                                                    (1.13)

причем 0 < е < 1. В частном случае b = а эллипс превращается в окружность и e = 0. Величина эксцентриситета для орбиты Земли равна 0.0167.

.4 Астрономические единицы

Поскольку работать на компьютере с очень малыми или очень большими числами (например, G и М) по меньшей мере неудобно, желательно выбрать такую систему единиц, в которой величина произведения GM была бы порядка единицы.

Рассмотрим движение спутника по орбите вокруг Земли. В этой задаче удобно измерять расстояние в единицах радиуса Земли R = 6.37*10⁶ м. Время измеряется в часах. В таких земных единицах (з.е.) численное значение постоянной тяготения равно

                                                                        (1.14)

Поскольку сила, действующая на спутник, пропорциональна Gm (т - масса Земли), то необходимо вычислить численное значение произведения Gm в земных единицах. Получим

2 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОРБИТЫ. ВОЗМУЩЕНИЯ

.1 Радиальные возмущения

Предположим, что спутник, движущийся по круговой орбите вокруг Земли, испытывает легкий «удар» или импульс силы в радиальном направлении (рис. 2.1, а).

Рисунок 2.1 - Импульс силы приложен в радиальном (вертикальном) направлении (а). Импульс силы приложен в тангенциальном (горизонтальном) направлении (б)

Величина «удара» была выбрана для круговой орбиты с радиусом, равным 1, и шагом по времени 0.01. Следовательно, если мы хотим сообщить радиальный импульс силы, мы должны прикладывать его в тот момент, когда спутник находится в положении, показанном на рис. 2.1,а (текст программы см. в прил. А)

Рисунок 2.2 - Результат численного моделирования радиального возмущения (центральная орбита - круговая до возмущения, правая - возмущение направлено против оси y, левая - возмущение направлено по оси y)

Как видно из рис. 2.2 орбита спутника после возмущения становится устойчивой эллиптической. Изменение орбиты зависит прямо пропорционально силе удара и его длительности. Полная энергия системы и угловой момент не меняются.

.2 Тангенциальное возмущение

Предположим, что спутник, движущийся по круговой орбите вокруг Земли, испытывает легкий «удар» или импульс силы в касательном направлении (рис. 2.1,б). Величина «удара» была выбрана для круговой орбиты с радиусом, равным 1, и шагом по времени 0.01. Следовательно, если мы хотим сообщить тангенциальный импульс силы, мы должны прикладывать его в тот момент, когда спутник находится в положении, показанном на рис. 2.1,б (текст программы см. в прил. А)

Рисунок 2.3 - Результат численного моделирования тангенциального возмущения (центральная орбита - круговая до возмущения, внутренняя - возмущение направлено против оси х, внешняя - возмущение направлено по оси х)

Как видно из рис. 2.3 орбита спутника после возмущения становится устойчивой эллиптической. Изменение орбиты зависит прямо пропорционально силе удара и его длительности. Полная энергия системы и угловой момент не меняются.

Орбиты в случае силы, обратно пропорциональной кубу расстояния, под действием радиальных или тангенциальных возмущений неустойчивы - спутник либо падает на планету, либо покидает ее. (см. рис. 2.4-5).

.3 Влияние «солнечного ветра»

Предположим, что на спутник помимо силы притяжения Земли действует в горизонтальном направлении слабая постоянная сила величиной W обусловленная «солнечным ветром» (рис. 2.6).

Рисунок 2.4 - Результат численного моделирования тангенциального возмущения в случае силы, обратно пропорциональной кубу расстояния (центральная орбита - круговая до возмущения, внутренняя - возмущение направлено против оси х, внешняя - возмущение направлено по оси х)

Рисунок 2.4 - Результат численного моделирования радиального возмущения в случае силы, обратно пропорциональной кубу расстояния (центральная орбита - круговая до возмущения, внутренняя - возмущение направлено против оси у, внешняя - возмущение направлено по оси у)

Рисунок 2.6 - Как изменится орбита под действием «солнечного ветра»?

Уравнения движения можно записать в следующем виде

,                                                                                              (2.1)

.                                                                                                        (2.2)

Выберем начальные условия так, чтобы для W = 0 орбита была круговой. Затем положим величину W равной приблизительно 3% от ускорения, обусловленного гравитационным полем, и численно про моделируем орбиту.

Рисунок 2.7 - Результат численного моделирования орбиты спутника под действием «солнечного ветра»

Как видно из рис. 2.7 орбита спутника с течением времени становится сильно вытянутой эллиптической, если продолжить моделирование, то мы увидим, что в итоге спутник упадет на планету.

.4 Возмущения в пространстве скоростей

Одна из качественных формулировок второго закона Ньютона звучит так:

Силы действуют на траектории частиц, изменяя скорость, а не координату.

Если не учитывать это обстоятельство, то можно столкнуться с физическими ситуациями, которые явно противоречат здравому смыслу.

Поскольку сила действует непосредственно на изменение скорости, имеет смысл рассматривать скорость и координату в одном базисе.

Рисунок 2.8 - Результат численного моделирования радиального возмущения в пространстве скоростей (центральная орбита - круговая до возмущения, нижняя - возмущение направлено против оси y, верхняя - возмущение направлено по оси y)

движение планета орбита спутник моделирование

Рисунок 2.9 - Результат численного моделирования тангенциального возмущения в пространстве скоростей (центральная орбита - круговая до возмущения, правая - возмущение направлено по оси х, левая - возмущение направлено против оси х)

Итак, орбита спутника в пространстве скоростей при радиальном возмущении (рис. 2.8) не изменяет своей формы и размера (остается круговой), а лишь смещается ее центр на величину возмущения. Соответственно этому, учитывая, что орбита спутника вытягивается в направлении перпендикулярном удару, можно подтвердить данные на рис. 2.2: при смещении орбиты в пространстве скоростей вверх, орбита в нормальном пространстве вытягивается влево, и наоборот (вниз - вправо).

Аналогичная ситуация и для тангенциального возмущения. Орбита в пространстве скоростей тоже остается круговой, но изменяется ее радиус и положение центра. Соответственно этому, учитывая, что орбита спутника вытягивается в направлении перпендикулярном удару, можно подтвердить данные на рис. 2.3: при смещении орбиты в пространстве скоростей вправо и уменьшении ее радиуса, орбита в нормальном пространстве вытягивается вниз и ее радиус увеличивается, и наоборот (влево - вниз, увеличивается - уменьшается). (программу см. в прил. Б)

Рисунок 2.10 - Результат численного моделирования орбиты спутника в пространстве скоростей под действием «солнечного ветра»

На рис. 2.10 орбиты спутника под действием «солнечного ветра» в пространстве скоростей смещается, постепенно вытягиваясь, вправо-вверх, что соответствует вытягиванию орбиты в нормальном пространстве вниз-вправо - спутник приобретает бесконечно большую скорость по направлению «ветра». Энергия и угловой момент не сохраняются, их зависимость от времени носит колебательный характер. (см. рис. 2.11)

Рисунок 2.11 - Зависимость полной энергии спутника от времени под действием «солнечного ветра»

ВЫВОДЫ

Большую часть наших знаний о движении планет объединили в себе законы Кеплера, которые можно сформулировать следующим образом:

. Всякая планета движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце.

. Скорость планеты возрастает по мере удаления от Солнца таким образом, что прямая, соединяющая Солнце и планету, в равные промежутки времени заметает одинаковую площадь.

. Для всех планет, вращающихся вокруг Солнца, отношение Т² /а³ одинаково (Т - период обращения планеты вокруг Солнца, а - большая полуось эллипса).

Первый и третий законы Кеплера касаются формы орбиты, а не зависимости скорости и координаты планеты от времени. Поскольку эти временные зависимости невозможно получить в элементарных функциях, мы вынуждены рассматривать численное решение уравнений движения планет и их спутников по орбите. Кроме того, мы выяснили влияние возмущений на характер орбиты: орбита вытягивается в направлении перпендикулярном удару - Силы действуют на траектории частиц, изменяя скорость, а не координату.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: часть 1 - Москва: Мир, 1990. - 350с.

. Сивухин Д.В. Общий курс физики: механика - Москва: Физматлит, 2006. - 560с.

3. Дьяконов В. Maple 7. Учебный курс - СПб.: Питер, 2002. - 672с.