Гравитационный поезд
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ОБРАЗОВАНИЯ
«БРЕСТСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А.С. Пушкина»
КУРСОВАЯ
РАБОТА
по
теоретической физике
Гравитационный
поезд
Выполнил студент
физического факультета группы ФМ-41
Петрусевич Николай Николаевич
Брест,
2011
Содержание
гравитационный поезд тоннель
Введение
Глава
1. Фундаментальные понятия гравитационного поезда
§
1.1 Зависимость ускорения свободного падения от высоты
§
1.2 Понятие прямого тоннеля
§
1.3 Три типа тоннелей
Глава
2. Задачи о гравитационном поезде
§
2.1 Задача о пределе видимости в тоннеле
§
2.2 Задача о нахождении времени путешествия по тоннелю
§
2.3 Задача о максимальной скорости поезда в тоннеле
§
2.4 Расчеты для Луны и Марса
§
2.5 Технические трудности и достижения гравитационного поезда
Заключение
Список
литературы
ВВЕДЕНИЕ
Гравитационный поезд - теоретическое средство
транспортировки, разработанное таким образом, чтобы перемещаться между двумя
пунктами на поверхности сферического объекта посредством прямого туннеля,
который проходит непосредственно от одного пункта до другого через этот самый
объект.
В большом теле, таком как планета, этот поезд
можно было бы приводить в движение, используя только силу тяжести. В начале, во
время первой половины поездки (от пункта отправления до середины), сила тяжести
будет двигать его к месту назначения. Во время второй половины поездки
ускорение свободного падения было бы в противоположном направлении относительно
траектории, однако (игнорируя силу трения) скорости, приобретенной прежде (в
первой половине путешествия) будет достаточно, чтобы поезд достиг своего места
назначения со скоростью равной нулю. Время в пути всех гравитационных поездов
на выбранной планете будет одинаковым независимо от пункта назначения и места
отбытия. Для Земли это время равнялось бы 2530.30 секундам (почти 42.2 минуты),
в том случае если земля являлась бы идеальной сферой [1].
Время поездки зависит только от плотности
планеты и гравитационной постоянной. Максимальная скорость достигается в
середине путешествия. Для поезда, который идет непосредственно через центр
Земли, эта максимальная скорость составляет приблизительно 7 900 метров в
секунду. Основные цели курсовой работы:
) разобраться с выводом уравнения колебательного
движения поезда по тоннелю;
) вывести формулу для максимальной скорости (в
т. ч. если тоннель проходит точно через центр Земли);
) численными расчетами убедиться, что время
путешествия по тоннелю (в отсутствие трения качения и сопротивления воздуха)
равно 42 мин 12 сек независимо от того, проходит тоннель через центр Земли или
нет;
) ответить на вопрос: на других небесных телах
(например, Луне или Марсе) это время точно такое же или нет?
) какие реальные технические трудности препятствуют
созданию гравитационного поезда на сегодняшний день даже на Земле? Какие
реальные технические достижения могут быть задействованы для попытки
преодоления этих трудностей.
Глава 1. Основные
понятия, связанные с гравитационным поездом
§ 1.1 Зависимость ускорения свободного падения
от высоты
Свободным падением называют падение тел в
безвоздушном пространстве (вакууме) из состояния покоя (т. е. без начальной
скорости) под действием притяжения Земли.
Падение тел является свободным лишь в том
случае, когда на падающее тело действует только сила тяжести. Падение тел в
воздухе можно приближенно считать свободным лишь при условии, что сопротивление
воздуха мало и им можно пренебречь.
Свободное падение тел впервые исследовал
Галилей, который установил, что свободно падающие тела движутся равноускоренно
с одинаковым для всех тел ускорением. Это наглядно видно из следующего опыта.
Поместим в длинную стеклянную трубку (один конец которой запаян, а в другом
находится кран для изолирования объема трубки после откачки воздуха) три разных
по массе предмета, например дробинку, пробку и птичье перышко. Если быстро
перевернуть трубку, то на ее дно сначала упадет дробинка, потом пробка, а затем
перышко. Происходит это потому, что в трубке есть воздух, создающий разное сопротивление
движению этих тел. Если воздух из трубки откачать, то все три тела падают
одновременно. Следовательно, в вакууме все тела независимо от их масс падают с
одинаковым ускорением.
Более строго убедиться в том, что свободное
падение тел есть движение равноускоренное, и одновременно измерить ускорение
свободного падения можно на опыте с использованием метода стробоскопического
освещения. Он состоит в том, что движущееся в темноте тело через очень
маленькие, равные между собой промежутки времени фотографируют с помощью
лампы-вспышки при постоянно открытом затворе фотоаппарата. В результате этого
на фотопленке в моменты вспышек (т. е. через равные промежутки времени)
получаются изображения последовательных положений движущегося тела. Зная
масштаб изображения и промежуток времени между вспышками света, можно, измерив,
расстояние между изображениями тела на пленке, установить, что пути, проходимые
телом с момента начала движения, пропорциональны квадрату времени движения. Это
значит, что свободное падение тела является равноускоренным движением. Из этих
же измерений можно вычислить и ускорение свободного падения, которое обозначают
буквой g.
Экспериментально установлено, что ускорение
свободного падения не зависит от массы падающего тела, но зависит от географической
широты q местности и высоты h подъема над земной поверхностью. При этом
зависимость g от q двоякая.
Во-первых, Земля - не шар, а
эллипсоид вращения, т. е. радиус Земли на полюсе меньше радиуса Земли на
экваторе. Поэтому сила тяжести и вызываемое ею ускорение свободного падения на
полюсе больше, чем на экваторе (g=9,832 м/с
на полюсе и g = 9,780 м/с на
экваторе).
Во-вторых, Земля вращается вокруг
своей оси и это влияет на ускорение свободного падения, приводя к его
зависимости от географической широты местности.
Зависимость ускорения свободного
падения от радиуса Земли и высоты тела над Землей непосредственно вытекает из
формулы закона всемирного тяготения . Независимость этого ускорения от массы
падающего тела следует из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения.
Установлено, что на географической
широте 45°, у поверхности Земли ускорение свободного падения равно 9,80665 м/ с (округленно
9,81 м/ с). Для
расчетов, не требующих большой точности, значение ускорения свободного падения
во всех точках поверхности Земли принято считать одинаковым и равным 9,8 м/с.
Формулы, описывающие свободное
падение.
Поскольку свободное падение
представляет собой равноускоренное движение без начальной скорости, к нему
применима формула
= gt; (1.1.1)= g t/2; (1.1.2)
v=2gh;
(1.1.3)
где v - мгновенная скорость тела; t
- время падения; h - высота, с которой падает тело [3].
§ 1.2 Понятие прямого тоннеля
Фундаментальное понятие, связанное с поездом
гравитации является прямой тоннель. Если бы поезд в одном конце тоннеля
затормозил, сила гравитации заставляла бы поезд ускоряться. Более крутые
наклоны привели бы к большему значению скорости, с самым высоким ускорением,
встречающимся в прямых тоннелях, которые пересекают центр Земли. Поезд
продолжил бы ускоряться до достижения лежащей на полпути точки, в которой значение
инерции будет меньше гравитации, а затем бы, начал бы замедлять движение.
Рассмотрите гипотетическую станцию поезда
гравитации в Нью-Йорка, которая соединяется со станцией в Гавайях. Транспортное
средство, перед тем как ускорять к максимальной скорости приблизительно 17 670
миль в час нужно замедлить, и поезд поедет по прямой линии 7 920 миль. Спустя
сорок две минуты после их отъезда, поезд и его пассажиры остановились с другой
стороны планеты.
Самое большое техническое препятствие в
реализации этой идеи заключается в создании массивных туннелей. Мантия Земли и
ядро имеют большое давлением и высокую температуру. К сожалению никакие в
настоящее время известные материалы не могут даже противостоять окружающей
среде, уже не говоря об изолировании тоннеля от высокой температуры. Из-за этих
чрезвычайных температур, в поезде невозможно находится людям. Но технология
была бы чрезвычайно полезной для быстрой, беспилотной грузовой поставки между
континентами.
Рассмотрим прямой туннель из Нью-Йорка до
Гавайев
Из рисунка видно, что туннель понижается от
Нью-Йорка до середины, а затем до Гавайев. Конечно 'внизу' тоннель ближе к
центру Земли, и имеет подобное значение, потому что сила гравитации направлена
прямо к центру.
Теперь проложим железную дорогу в туннеле. Как
только тормоза поезда по железной дороги в Гавайях выпущены, поезд будет
катиться вниз под силой гравитации. Именно эта сила ускоряет поезд, в середине
тоннеля он достигнет максимальной скорости, а затем будет двигаться замедленно,
так как повышается инерция. Если мы пренебрежем потерей энергии для трения, то
Закон Сохранения Энергии будет подразумевать, что поезд достигнет Нью-Йорка
только тогда, когда его скорость станет равной нулю.
Для целого путешествия не потрачено ни капли
топлива. Все меры должны быть приняты, конечно, чтобы уменьшить трение в
максимально возможной степени. Для этого, например, нужно откачать воздух от
туннеля. Чтобы давать компенсацию за остающееся трение между рельсом и
колесами, можно использовать очень маленький двигатель.
Таким образом, топливная эффективность должна
быть намного выше, чем для авиалиний, или даже для судов [4].
§ 1.3 Три типа тоннелей
1 тип прямой
Рис №1
На рис№1 схематически показан прямой тоннель,
проходящий через планету. Видимость в этом тоннеле будет сколь угодно далека.
При попадании дождевой воды в этот тоннель, она будет скапливаться в центре
тоннеля за счет гравитации. Это приводит к большому недостатку такого типа тоннеля.
тип круговой
Рис №2.
Сущность этого тоннеля (рис№2) в том, что в
каждой точке отвесная линия перпендикулярна полотну дороги в нем. Видимость в
этом тоннеле будет несколько километров. При попадании дождевой воды в этот
тоннель, она будет равномерно распределяться по всей поверхности тоннеля, что
впрочем, не очень хорошо для гравитационного поезда.
Рис №3.
На рис №3 схематически показан выпуклый тоннель.
Видимость в этом тоннеле будет минимальна. В такой тоннель дождевая вода
практически не будет попадать.
Глава 2. Задачи о
гравитационном поезде
§ 2.1 Задача о пределе видимости в тоннеле
Задача состоит из двух частей:
) Первая часть заключается в нахождении
максимального расстоянии видимости l
поверхности Земли человека управляющего поездом. (l=BO=CO)
) Вторая часть задачи состоит о нахождении
максимального расстояния L
видимости двух человек управляющими поездами, которые едут навстречу друг
другу. Именно то расстояние, при котором один человек увидит голову другого. (L
=BC)
Высота человека над поверхностью земли h=3
м. Радиус Земли R=6371000 м.
Решение первой части:
Рассматриваем треугольник ABO.
BO перпендикулярен
AO, т. к. BO -
касательная.
Значит треугольник ABO
- прямоугольный.
Расстояние l
найдем по теореме Пифагора:
l =
; (2.1.1)
l =
; (2.1.2)
Т.к. 
- мало, то им можно пренебречь.
l =
; (2.1.3)
l ==
=6183 м;
(2.1.4)
l =6183 м.
(2.1.5)
Вывод: человек управляющего поездом,
находясь при этом на высоте h=3 м, может максимально видеть
поверхность Земли на расстоянии l =6183 м.
Решение второй части:
Т.к. высота нахождения двух этих
людей одинакова, то расстоянии видимости другого будет равная расстоянию
первому человеку.
Значит расстоянии видимости L двух
человек будет равняться двум расстояниям видимости одного человека l:
L=2 l; (2.1.6)
Т.к l =; (2.1.7)
То L=2*=2*=12366 м;
(2.1.8)
L=12366 м.
(2.1.9)
Вывод: вследствие кривизны земной
поверхности, два человека управляющими поездами, которые едут навстречу друг
другу, могут увидеть друг друга на максимальном расстоянии L=12366 м.
§ 2.2 Задача о нахождении времени путешествия
поезда по тоннелю
Покажем, что при прочих равных условиях (в
отсутствие трения качения и сопротивления воздуха) время путешествия равное 42
мин 12 сек независимо от того, проходит тоннель через центр Земли или нет. И
насколько глубоко от поверхности земли находится центр тоннеля.
Пусть x(t) быть координатой по туннелю с
происхождением, помещенным в середине, r расстояние от поезда до центра Земли.
Тогда
= ±r cos α;
(2.2.1)
где α является
углом между направлением к середине туннеля, и вертикальным направлением.
Сила гравитации, действующая на поезд равна
F = − γ mM(r) r
; (2.2.2)
где m - масса
поезда,
= γ
; (2.2.3)
= γ
; (2.2.4)
= ρ dV = ρdSdr; (2.2.5)
= ρ dV= ρdSdr; (2.2.6)=
; (2.2.7)=
; (2.2.8)
Подставим последнее в dF и dF:
dF = γ 
= γ 
; (2.2.9)
dF= γ 
= γ ; (2.2.10)
Какие любые две противоположные
точки мы не взяли на произвольной внутреннем слое, по отношению к поезду, их
результат гравитационного воздействия на поезд равен нулю.
Т. о., при учете воздействия земли
на поезд, нужно учитывать ту часть земли которая находится ниже поезда
М(r)- масса части Земли ниже поезда,
γ
-
гравитационная постоянная и она равна γ=6,67*10
Н м
/ кг. Теперь мы
имеем
М(r) = (4π/3)ρr
; (2.2.11)
где ρ
- является
плотностью Земли и она равна ρ = 5520 кг/м
. Заменим
этим выражение для М(r), мы получаем
= −
πργmr; (2.2.12)
Мы только нуждаемся в компоненте
этой силы, действующей по туннелю; остальные дается компенсацию реакцией
рельса. Компонент по туннелю
cos α; (2.2.13)
где α - означает то
же самое как в (2.2.1).
Таким образом, уравнение движения
(Второй Закон Ньютона) и (2.2.1) дает
mx
= F cos α =−πργmr cos α = −πργmx; (2.2.14)
где мы выбрали минус признак от
очевидных физических рассмотрений.
Таким образом, наш поезд ведет себя
как линейный осциллятор
x= - ω
x ; (2.2.15)
ω =πργ; (2.2.16)
Нахождение периода
T = 2π/ ω; (2.2.17)
В данной задаче вопрос состоит о
нахождении времени прохождения поезда по тоннелю, значит, это время t будет
равно:
t = T/2 = π/ ω; (2.2.18)
Таким образом
t = 42 мин 12
сек. (2.2.19)
Вывод: численными расчетами
убедились, что время путешествия по тоннелю (в отсутствие трения качения и
сопротивления воздуха) равное 42 мин 12 сек независимо от того, проходит
тоннель через центр Земли или нет [4,6].
§ 2.3 Задача о нахождении
максимальной скорости поезда в тоннеле
Суть задачи: вывести формулу для
максимальной скорости прохождения поезда в тоннеле (в т. ч. если тоннель
проходит точно через центр Земли) и найти ее численное значение.
Способ: через уравнение движения
Запишем уравнение движения поезда в
тоннели
x= - ωx ; (2.3.1)
Т. к. ω
=
, для
максимальной скорости ׀ sin ωt ׀ = 1,
по теореме Пифагора A=
,
то v
=
; (2.3.4)
v=
; (2.3.5)
g = πργR; (2.3.6)
v =
; (2.3.7)
Максимальная скорость поезда будет в
середине тоннеля, когда r = r,
v= 
7900 метров в секунду.
(2.3.8)
Теперь найдем максимальное ускорение
поезда в тоннеле
v
(t) = a(t) = -
A
ω cos
ωt; (2.3.9)
Т.к.
ω = πργ,
A=,׀ cos ωt ׀ = 1, g = πργR,
то a (t) = πργ; (2.3.10)
a (t) = 
; (2.3.11)
учитывая, что r = r, получим
a (t) = 
= R = g; (2.3.12)
Таким образом, максимальное
ускорение, которое приобретет поезд, будет равное g.
Способ: через З.С.Э.
F(r) = -
(2.3.13)
из (2.3.13) нужно найти 
= 
; (2.3.14)
Зная F(r) = −πργmr, получим
E
(r) = −πργm
+ c, где c=const; (2.3.15)
E(r) = πργm- c; (2.3.16)
E(R) = -γ 
(2.3.17)
Т.к. M
=
, (2.3.18)
То E(R) = −πργmR; (2.3.19)
В (2.3.16) вместо r поставим R:
E(R) = πργm
- c; (2.3.20)
Теперь приравняем (2.3.19) с
(2.3.20) получим
−πργmR= πργm- c; (2.3.21)
c = πργm(+ R); (2.3.23)
c = πργm
R; (2.3.24)
c = gR; (2.3.25)
E(r=R) = E(r= r) = 
; (2.3.26)
E(r=R) = πργm - gR = πργm 
- gR + ; (2.3.27)
- 
= ; (2.3.28)
; (2.3.29)
= (
-
); (2.3.30)
=
; (2.3.31)
Т.к. и в первом способе максимальная
скорость поезда будет в середине тоннеля, когда r = r, значит v= 7900 метров в секунду. (2.3.32)
Значит, поезд, проходящий через тоннель, может
приобрести максимальную скорость равную 7900 метров в секунду [4].
2.4 Расчеты для Луны и Марса
В задаче о нахождении 42 мин 12 сек. численными
расчетами убедились, что время путешествия по тоннелю (в отсутствие трения
качения и сопротивления воздуха) равно 42 мин 12 сек независимо от того,
проходит тоннель через центр Земли или нет. С помощью этих численных значений
можно найти время путешествия по тоннелю и на других планетах.
Вычислим это время на Марсе.
Известно, что гравитационная постоянная на Марсе γ=6,72*10 Н м/ кг, и средняя
плотность ρ
= 3933,5
кг/м.
Подставив γ
ρ
в
уже известные формулы
ω =πργ; (2.4.1)
t = T/2
= π/ ω; (2.4.2)
получим время путешествия по тоннелю на Марсе
t = 49мин 45 сек
Так же можем узнать время
путешествия по тоннелю на Луне. Значения γ=6,67*10Н*м/кг, ρ = 3340 кг/м подставим в
(2.4.1), затем в (2.4.2) получим:
t = 54мин 8
сек.
.5 Технические трудности и
достижения гравитационного поезда
Маглев может быть задействован для попытки
преодоления этих трудностей.
Магнитоплан или Маглев (от англ. magnetic
levitation) - это поезд на магнитном подвесе, движимый и управляемый магнитными
силами. Такой состав, в отличие от традиционных поездов, в процессе движения не
касается поверхности рельса. Так как между поездом и поверхностью движения
существует зазор, трение исключается, и единственной тормозящей силой является
сила аэродинамического сопротивления. Относится к монорельсовому транспорту.
Скорость, достижимая маглевом, сравнима со
скоростью самолёта и позволяет составить конкуренцию воздушным сообщениям на
малых (для авиации) расстояниях (до 1000 км). Хотя сама идея такого транспорта
не нова, экономические и технические ограничения не позволили ей развернуться в
полной мере: для публичного использования технология воплощалась всего
несколько раз. В настоящее время, маглев не может использовать существующую
транспортную инфраструктуру, хотя есть проекты с расположением элементов
магнитной дороги между рельсов обычной железной дороги или под полотном
автотрассы.
Технические трудности, препятствующие созданию
гравитационного поезда на Земле.
1. Нужно построить рельсы, по которым бы
двигался гравитационный поезд;
2. Существует трение между поездом и
поверхностью рельс и воздуха, которое мешает движению;
. Требуется сложная путевая
инфраструктура;
. Вес магнитов, потребление
электроэнергии [2].
Заключение
Таким образом, гравитационный поезд -
теоретическое средство транспортировки, которое предполагает возможность
действительно дешевого путешествия или движения на огромных скоростях.
Одна интересная особенность гравитационного
поезда состоит в том, что его время транзита всегда было бы очень близко к
сорока двум минутам, независимо от расстояния, по которому путешествуют.
Фактически, если бы Земля была идеальной сферой, то время поездки всегда
равнялось бы точно сорока двумя минутами и двенадцати секундам. В этом численными
расчетами я убедился, что время путешествия по тоннелю (в отсутствие трения
качения и сопротивления воздуха) равно 42 мин 12 сек независимо от того,
проходит тоннель через центр Земли или нет.
Фундаментальное понятие, связанное с поездом
гравитации является прямой тоннель.
Существует 3 основных типа тоннелей: прямой,
круговой, выпуклый
В данной курсовой мною была рассмотрена и решена
задача о пределе видимости, который равен 12 км.
Хотя гравитационный поезд может показаться
нереальным, или в лучшем случае нелепо непрактичным, но его нужно изучать,
чтобы рассмотреть возможность чрезвычайно скоростного транспорта поперек
планеты с небольшими расходами энергии в поездку. Конечно создание и укрепление
таких тоннелей - является в не досягаемости наших технологий, но будущее полно
неожиданностей. Современная технология недостаточна для решения, хотя бы
главной проблемы, с которой очень трудно справиться, - это проблема уменьшения
большого трения. Проблема трения качения могла бы быть решена с помощью
маглева. Однако, если весь воздух не будет выкачан из туннеля, возникает
проблема сопротивления воздуха. Решение ее требует дополнительных решений и
мощностей.
Более приемлемое местоположение для
гравитационного поезда было бы на планетах, типа Луны, в меньшей степени там
присутствует тектоника плит и магма. Планета с плотностью, отличной от Земли
будет также иметь различную стандартную длину поезд.
гравитационный поезд тоннель
1
Гравитационный поезд. Материал из Википедии - свободной энциклопедии. http://ru.wikipedia.org/wiki/Гравитационный_поезд
Маглев
http://ru.wikipedia.org.
Свободное
падение тел. Ускорение свободного падения http://www.edu.yar.ru/russian/projects/socnav/prep/phis001/kin/kin5.html
4 Mathematics: To Everywhere in 42
Minutes. hhhhttp://www.time.com/time/magazine/article/0,9171,842469,00.html
<../AppData/Local/Temp/Rar$DI00.339/h
http:/www.time.com/time/magazine/article/0,9171,842469,00.html>
The Gravity Express. <http://www.damninteresting.com/the-gravity-express>
The Amazing 42-Minute Gravity Sled. <http://www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A2960633>
The Physicist¢s
Pipe Dream. <http://www.docstoc.com/docs/566538/Gravity-Train-Project>