Формирование понятий обратных тригонометрических функций у учащихся на уроках алгебры
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
«Формирование понятий
обратных тригонометрических функций у учащихся на уроках алгебры»
Славянск-на-Кубани 2011
Введение
В отличие от высших учебных заведений обучение математике в
средней школе должно иметь своей главной целью не передачу некоторой суммы
знаний учащемуся, а развитие способностей к получению математических знаний.
Главное для школьного образования - научить учиться и развить интеллект
учащегося. В первую очередь это касается профильных школ - эти школы
ориентированы на высшие учебные заведения, где затем выпускник получит ту самую
сумму математических знаний.
Главное место в школьных курсах математики должны занимать
темы, которые наиболее эффективны для развития математических способностей
учащихся. Эти разделы элементарной математики не сильно зависят от состояния
математической науки в данный момент. Именно одной из таких тем и является тема
«Обратные тригонометрические функции».
Изучение темы «Обратные тригонометрические функции» входит в
программу как основной компонент, и на итоговом тестировании в задания групп B и C входят примеры на эту
тему. Однако в том, что изучение обратных тригонометрических функций
представляет для учащихся большие трудности, сомневаться не приходится.
Учащиеся не справляются с решением даже элементарных заданий, не говоря уже о
примерах повышенной сложности, нередко производят над ними необдуманные
действия, совершая глупые ошибки, выполняют решение формально, «по стандарту».
Учитель должен быть хорошим стратегом и вовремя создавать для интеллекта детей
посильные трудности. В этом и заключается трудность: уметь не ликвидировать все
преграды на пути ребят к вершине знания, а планомерно создавать их, что
позволит детям не только осознано владеть школьной программой, но и продвинуться
на пути формирования своей личности.
Кроме того, перед учителями школ стоит теперь новая задача -
подготовить учеников к успешному прохождению централизованного тестирования. А
это задача отнюдь не простая, учитывая соответствие уровня сложности заданий
(особенно групп B и C) и количества часов, отводимых по программе на изучение темы.
Значение темы «Обратные тригонометрические функции» достаточно велико - она
составляет необходимую основу для решения тригонометрических уравнений и
неравенств, изучаемых позднее. Кроме того, обратные тригонометрические функции
помогают в упрочении навыков работы с обратными функциями, закреплении понятия
взаимно однозначных отображений.
Надо отметить, что исследования в области обратных
тригонометрических функций продолжались и продолжаются, они стали более
актуальными в связи с применением в исследованиях электронных вычислительных
средств. Отсюда вытекают и требования различных вузов, которые они предъявляют
выпускникам школ по теме «Обратные тригонометрические функции». Ведь при
выполнении экзаменационной работы ученик демонстрирует не только знание
математики, но и способности к научно-исследовательской деятельности. Таким
образом, изучение обратных тригонометрических функций является важным
материалом в разделе элементарной математики.
Следовательно, создание и исследование методики изучения
обратных тригонометрических функций в классах с углубленным изучением
математики более чем актуальна.
В связи с этим объектом исследования является
учебно-воспитательный процесс в школах и классах с углубленным изучением
математики.
Предмет же исследования - методика изучения темы
«Обратные тригонометрические функции», формирующая развитие у учащихся
способностей к получению математических знаний на современном этапе развития
профильной школы, в соответствии с главной целью обучения математике.
Целью работы является формирование понятий обратных
тригонометрических функций, а также разработка методики обучения данной темы в
школах и классах с углубленным изучением математики.
Для успешной реализации поставленной цели и подтверждения
гипотезы необходимо решить следующие задачи:
обобщить и систематизировать материал по теме «Обратные
тригонометрические функции»;
разработать уроки по данной теме и методические рекомендации,
которые будут способствовать наиболее качественному проведению уроков по теме
«Обратные тригонометрические функции»;
создать обучающе-контролирующую программу по исследуемой
теме;
провести апробацию результатов выполненной работы.
Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов
исследования:
анализ методической, математической и
психолого-педагогической литературы, а также периодических изданий, школьных
программ, учебников и пособий;
рассмотрение работ по истории математики;
изучение опыта работы учителей физико-математической школы
при СГПИ.
Практическая значимость данной работы
определяется тем, что в ней разработаны и проверены учебные материалы для
преподавания темы «Обратные тригонометрические функции». Подобраны системы
задач для указанной темы, в том числе: устных, опорных, стандартных,
нестандартных и исследовательских. Разработаны методические рекомендации для
учителей по организации обучения по представленному материалу. Но и ученики
могут воспользоваться данной работой при самостоятельном изучении обратных
тригонометрических функций, в этом им поможет разработанная
обучающе-контролирующая программа. Выпускная квалификационная работа может
использоваться студентами педагогических вузов при изучении таких дисциплин как
«Элементарная математика и практикум по решению математических задач», «Теория
и методика обучения математике», а также при подготовке к педагогической
практике.
1. Основные теоретические положения
1.1 Общетеоретические основы темы «Обратные
тригонометрические функции»
Вспомним общее определение функции. Предположим, что E(f)=Y и соотношение, осуществляемое функцией f, является взаимно однозначным, то есть каждому 
соответствует единственный
. В этом случае обратное соотношение между
Y и X также является функцией с областью определения Y и множеством значений X. Эта функция называется обратной к функции f и обозначается f
-1. Отметим, что D(f)=E(f -1)=X; E(f)=D(f -1)=Y.
x1
y1
x2
y2
x3
y3
Рис. 1
Итак, функция имеет обратную, если она осуществляет взаимно
однозначное соответствие между D(f) и E(f)
[5].
Функция, ставящая в соответствие каждому ученику класса его
год рождения, вряд ли имеет обратную, так как в классе, как правило, всегда
есть ученики, родившиеся в одном и том же году. Обратная функция существует,
если все ученики имеют различные года рождения. Это может быть, например, в том
случае, когда в классе всего 3 ученика, один из которых родился в 85, 86, 87
гг. Для городских школ это невозможно.
Вернемся к числовым функциям. Функция y=x3 осуществляет взаимно однозначное соответствие между областью
определения D(f)=R и множеством значений E(f)=R. Поэтому существует обратная функция f -1 с
областью определения D(f -1)=R и множеством
значений E(f -1)=R. Для явной записи обратной функции решим уравнение
. Получим 
. В этой записи аргумент обратной функции обозначен через y, значение функции - через x. Мы привыкли к другой записи, поэтому переобозначим х и y, получим явную запись обратной функции в виде 
. Графики исходной функции y=f(x) и обратной функции y=f-1(x) симметричны
относительно прямой y=x -
биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов [5].
Функция y=x2 не имеет обратной функции на всей области определения D(f)=R, так как не существует взаимно однозначного соответствия
между D(f) и E(f)=
. Но если ограничить область определения
этой функции множеством D(f)= , то в этом случае соответствие между D(f) и E(f)= = будет взаимно однозначным, и существует
обратная функция f -1 c областью
определения D(f -1)= и множеством значений E(f -1)= . Для записи обратной функции решим
уравнение y=x2 при условии х≥0. Получим 
(арифметическое значение корня), то есть
обратная функция задается формулой
[5].
Соотношение x=sin y
позволяет с помощью таблиц найти как x по
данной величине y, так и y по данной величине x (не
превышающей единицы по абсолютной величине). Таким образом, можно считать не
только синус функцией угла, но и угол функцией синуса. Этот факт находит
внешнее выражение в записи y=
(arcsin читается «арксинус»). Например, вместо1/2=sin 30° можно написать 30°=arcsin (1/2). Обычно при второй записи угол
выражается в радианной, а не в градусной мере, так что пишут π/6=
arcsin (1/2).
Хотя эта запись представляет лишь «пересказ» записи 1/2=sin
π/6, но учащимся она на
первых порах доставляет затруднения. Между тем учащийся не видит трудности,
когда наряду с соотношением 23 =8 пишет 2=
. Это происходит потому, что извлечение
корня совершается по одним правилам, а возведение в степень по другим, и
учащийся привыкает видеть здесь 2 разных действия. Нахождение же синуса по углу
и угла по синусу совершаются по одним и тем же таблицам, в которых к тому же
выделено название «синус», а «арксинус» не упоминается. Поэтому никакого
особого действия, результатом которого был бы арксинус, учащийся не
усматривает; и вообще в пределах элементарной математики, введение этого
понятия по существу не оправдывается. В высшей же математике арксинус часто
появляется как необходимый результат некоторого действия (интегрирования), и
именно здесь возникло понятие арксинуса и его обозначение.
Функции arcsin
x, arccos x и т.д.
обратны функциям sin x, cos x и т.д. (подобно тому как функция 
обратна функции 
, поэтому они называются обратными тригонометрическими функциями
(иначе круговыми). Все обратные тригонометрические функции многозначны, т.е.
для каждой из них справедливо следующее: одному значению x соответствует множество (бесчисленное) значений функции
(так как бесчисленно множество углов, например α, 180° - α, 360°+ α имеют один и тот же синус).
Главным значением arcsin
x называется то его значение, которое
заключено между - π/2 (-90°) и
π/2 (+ 90°).
Так, главное значение arcsin
есть
, главное значение arcsin
есть 
. Главным значением arccos
x называется то его значение, которое
заключено между 0 и π (+180°). Так,
главное значение arccos есть, главное значение arccos есть 
.
Главные
значения arctg x и arcsec x (как и arccos x) cодержатся между 0 и π. Главные значения arctg x и arcsec x (так же как и arcsin x) находятся между -π/2 и π/2.
Главные значения: arctg (-1) = -π/4,
arсctg 
=
π/6, arcsec
(-2)= 2π/3.
Если через Arcsin
x, Arccos x и т.д.
обозначим любое из значений соответствующих обратных тригонометрических
функций, а для главных значений сохранить обозначения arcsin x, arccos x и т.д.,
то связь между значениями обратной тригонометрической функции и ее главным значением
представится следующими формулами:
Arcsin x =
kπ+(-1)k
arcsin x,x=2kπ
arccos x,x=
kπ+ arctg x,x= kπ+arcctg x,
где k - любое целое число (положительное,
отрицательное или нуль) [5].
1.2 Функция, обратная косинусу
Областью значений функции y=cos x (см. рис. 2) является отрезок
. На отрезке 
функция непрерывна и монотонно убывает.
Рис. 2
Значит, на отрезке определена функция, обратная функции y=cos x. Эту обратную функцию называют арккосинусом и обозначают y=arccos
x [2].
Определение
Aрккосинусом числа а, если |а|
1, называют угол, косинус которого принадлежит отрезку ; его обозначают arccos а.
Таким образом, arccos а есть
угол, удовлетворяющий следующим двум условиям: сos (arccos a)=a, |а|1; 0≤ arccos
a ≤π.
Например, arccos
, так как cos 
и
; arccos
, так как cos
и 
.
Функция y = arccos x (рис.
3) определена на отрезке, областью ее значений является отрезок. На отрезке функция y=arccos x непрерывна и монотонно убывает от π до 0 (поскольку y=cos х - непрерывная и монотонно убывающая
функция на отрезке ); на концах отрезка она достигает своих
экстремальных значений: arccos(-1)= π, arccos 1= 0. Отметим, что arccos 0 = 
. График функции y = arccos x (см.
рис. 3) симметричен графику функции y = cos x
относительно прямой y=x [4].
Рис. 3
Покажем, что имеет место равенство arccos(-x) = π-arccos x.
В самом деле, по определению 0 ≤ arcсos х ≤ π. Умножая на (-1) все части последнего двойного неравенства,
получаем - π ≤ arcсos х ≤ 0. Прибавляя π ко всем частям последнего неравенства, находим, что 0≤ π-arccos х ≤ π.
Таким образом, значения углов arccos(-х) и π - arccos х
принадлежат одному и тому же отрезку. Поскольку на отрезке косинус монотонно убывает, то на нем не может быть двух различных
углов, имеющих равные косинусы. Найдем косинусы углов arccos(-х) и π-arccos х. По
определению cos (arccos x) = - x, по формулам приведения и по определению имеем: cos (π - - arccos х) = - cos (arccos х)= - х. Итак, косинусы углов равны,
значит, равны и сами углы.
1.3 Функция, обратная синусу
Рассмотрим функцию y=sin х (рис. 6), которая на отрезке [-π/2;π/2] возрастающая, непрерывная и принимает
значения из отрезка [-1; 1]. Значит, на отрезке [-
π/2; π/2]
определена функция, обратная функции y=sin x.
Рис. 6
Эту
обратную функцию называют арксинусом и обозначают y=arcsin x. Введем определение
арксинуса числа а [4].
Арксинусом числа а, если 
называют угол (или дугу), синус которого равен числу а и который
принадлежит отрезку [-π/2; π/2]; его обозначают arcsin а.
Таким образом, arcsin а есть
угол, удовлетворяющий следующим условиям: sin (arcsin a)=a, |a| ≤1; -π/2 ≤ arcsin а ≤
π/2. Например,
, так как sin 
и [- π/2; π/2]; arcsin 
, так как sin
=
и 
[- π/2;
π/2].
Функция y=arcsin х (рис. 7) определена на отрезке [- 1;
1], областью ее значений является отрезок [-π/2;π/2]. На отрезке [- 1; 1] функция y=arcsin
x непрерывна и монотонно возрастает от -π/2
до π/2
(это следует из того, что
функция y=sin x на отрезке [-π/2; π/2] непрерывна и монотонно возрастает).
Наибольшее значение она принимает при x =1: arcsin 1 = π/2, а наименьшее - при х = -1: arcsin
(-1) = -π/2. При х = 0
функция равна нулю: arcsin 0 = 0 [4].
Покажем,
что функция y
= arcsin x является нечетной, т.е. arcsin (-х) = - arcsin х при любом х 
[- 1; 1].
Действительно,
по определению, если |x| ≤1, имеем: - π/2
≤ arcsin x ≤ ≤ π/2. Таким образом, углы arcsin (-х) и - arcsin х принадлежат одному и
тому же отрезку [- π/2; π/2].
Найдем синусы этих углов: sin (arcsin(-х)) = - х (по
определению); поскольку функция y=sin x нечетная, то sin (-arcsin х)= - sin (arcsin x)= - х. Итак, синусы углов, принадлежащих одному
и тому же промежутку [-π/2; π/2], равны, значит, равны и
сами углы, т.е. arcsin (-х)= - arcsin х. Значит, функция y=arcsin x - нечетная. График
функции y=arcsin x симметричен относительно
начала координат.
Покажем, что arcsin (sin x) = х для любого х [-π/2; π/2].
Действительно,
по определению -π/2 ≤ arcsin (sin x) ≤ π/2, а по условию -π/2 ≤
x ≤ π/2. Значит, углы х и arcsin (sin x) принадлежат одному и
тому же промежутку монотонности функции y=sin x. Если синусы таких углов
равны, то равны и сами углы. Найдем синусы этих углов: для угла х имеем sin x, для угла arcsin (sin x) имеем sin (arcsin(sin x)) = sin x. Получили, что синусы
углов равны, следовательно, и углы равны, т.е. arcsin (sin x) = х. [5].
Рис. 7
Рис. 8
График функции arcsin (sin|x|) получается обычными преобразованиями, связанными с
модулем, из графика y=arcsin (sin x) (изображен штриховой линией на рис. 8). Искомый график y=arcsin (sin |x-p/4|) получается из него
сдвигом на p/4 вправо вдоль оси абсцисс (изображен сплошной линией на рис. 8)
Функция y=tg x на
промежутке 
принимает все числовые значения: E (tg x)=
. На этом промежутке она непрерывна и
монотонно возрастает. Значит, на промежуткеопределена функция, обратная функции y = tg x. Эту обратную функцию называют арктангенсом и обозначают y = arctg x [4].
Арктангенсом числа а называют угол из промежутка , тангенс которого равен а. Таким образом,
arctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: tg (arctg a) = a и 0 ≤ arctg
a ≤ π.
Итак, любому числу х всегда соответствует единственное значение
функции y = arctg x (рис.
9) [4].
Очевидно, что D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Функция y = arctg x
является возрастающей, поскольку функция y = tg x возрастает на промежутке. Нетрудно доказать, что arctg(-x) = - arctgx, т.е. что
арктангенс - нечетная функция.
Рис. 9
График функции y = arctg x
симметричен графику функции y = tg x 
относительно прямой y = x, график y = arctg
x проходит через начало координат (ибо arctg 0 = 0) и симметричен относительно начала
координат (как график нечетной функции).
Можно доказать, что arctg (tg x) = x, если x
.
1.5 Функция, обратная котангенсу
Функция y = ctg x на
промежутке 
принимает все числовые значения из
промежутка. Область ее значений совпадает с
множеством всех действительных чисел. В промежутке функция y = ctg x непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на этом промежутке
определена функция, обратная функции y = ctg x.
Функцию, обратную котангенсу, называют арккотангенсом и обозначают y = arcctg
x [4].
Арккотангенсом числа а называют угол, принадлежащий промежутку, котангенс которого равен а.
Таким образом, аrcctg a есть угол,
удовлетворяющий следующим условиям: ctg (arcctg a)=a и 0 ≤ arcctg a ≤ π.
Из определения обратной функции и определения арктангенса следует,
что D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Арккотангенс является убывающей
функцией, поскольку функция y = ctg x убывает
в промежутке.
График функции y = arcctg x не
пересекает ось Ох, так как y > 0 
R. При х = 0 y = arcctg 0 =
[4].
График функции y = arcctg x
изображен на рисунке 11.
Рис. 11
Отметим, что для всех действительных значений х верно тождество: arcctg(-x) = π-arcctg x.
2. Методические основы изучения обратных
тригонометрических функций
2.1 Процесс обучения
Обучение - это, прежде всего, процесс
целенаправленной, организованной, планомерной познавательной деятельности
учащихся под руководством педагогов.
Основная цель современной школы - создать такую систему
образования, которая бы обеспечивала образовательные потребности личности в
соответствии с её склонностями, интересами и возможностями, создавала бы
условия для самореализации, готовила бы к творческому интеллектуальному труду.
Знания в области математики являются необходимой составной
частью интеллектуального баланса каждого образованного человека.
Универсальный элемент мышления - логика. Искусство определять
и умение работать с определениями; умение отличать известное от неизвестного,
доказанное от недоказанного, искусство анализировать, классифицировать, ставить
гипотезы, пользоваться аналогиями - всё это и многое другое человек осваивает в
значительной мере именно благодаря изучению математики [26].
Широко распространенный термин «процесс
обучения» может означать самые различные по объему и содержание понятия от
общей системы всего среднего образования до отдельного урока по тому или иному
предмету.
В этой выпускной квалификационной работе
рассматривается процесс обучения, связанный с одной математической темой
«Обратные тригонометрические функции». И в ходе этого процесса учащийся
получает знания по данной теме.
Тем не менее, процесс обучения в любом
смысле есть процесс труда, включающий работника, т.е. человека, который
осуществляет этот труд в соответствии с поставленной целью (формирование у
учащихся понятия об обратных тригонометрических функциях). Предмет труда,
материал, воздействуя на который человек, получает продукт заданного качества и
количества в нашем случае это учащиеся или обучаемые. Средства труда - это те
средства, которыми человек действует на предмет труда. В данном случае это
методика изучения обратных тригонометрических функций. Но обучение есть весьма
сложный трудовой процесс. Задача учителя выделить общие черты при преподавании
темы для старших и младших школьников, но в то же время и разграничить
некоторые моменты, учитывая возрастные особенности детей. Большая сложность ещё
и в том, что дети одновременно со школьным подвергаются ещё и внешкольному
воздействию - со стороны семьи, улицы, друзей, телевидения, т.е. среды и это
воздействие не всегда является благоприятным, а значит, появляется
необходимость заинтересовать каждого ученика. Кроме этого, каждый ребёнок
обладает определенной психической, физиологической индивидуальностью, уровень
способностей так же будет различен, подобно наличию или отсутствию склонностей
или таланта в той или иной области отсюда должен вытекать индивидуальный подход
к каждому ученику [26].
Ученик не есть просто предмет труда,
пассивно воспринимающий рабочее воздействие учителя. В соответствии со своими
познавательными возможностями на основании закономерностей детского познания,
пользуясь ранее приобретенными учебными навыками, он тоже действует, и
действует весьма активно, так как занят трудом, имя которому - учение [26].
От простого предмета труда учащийся
отличается и тем, что он, как и при любой деятельности, переживает своё
отношение (проще говоря - так или иначе относится) к изучаемому материалу, к
учителю, к товарищам по классу, к миру вообще, к результатам своей деятельности
не только конечным - в виде оценок, например, - но и, так сказать, текущим,
сиюминутным. Поэтому полезную аналогию между обучением и трудовым процессом не
следует рассматривать шире тех пределов, где та аналогия способна породить
продуктивные размышления.
Обучение есть и не что иное, как процесс
общения (или, как его чаще называют, коммуникации) между учителем и учащимися.
Как и при любом общении, учащиеся, слушая активно, предугадают дальнейший ход
изложения, радуясь верным догадкам и осмысливая причины неудачных, не
оправдавшихся. Ведь успех или неуспех в учении также влияет на формирование
отношения к учебным предметам. Успех вызывает положительные эмоции, позитивное
отношение к предмету и стремление развиваться в этом отношении, а неуспех
порождает негативное отношение к предмету и желание прервать занятия.
Учитель должен быть хорошим стратегом и вовремя создавать для
интеллекта детей посильные трудности. В этом и заключается трудность: уметь не
ликвидировать все преграды на пути ребят к вершине знания, а планомерно
создавать их, что позволит детям не только осознано владеть школьной
программой, но и продвинуться на пути формирования своей личности.
2.2 Психолого-педагогический аспект
2.2.1 Возрастные особенности подростков
Знание психологии учеников помогает учителю в его работе, так
как учителя нередко задают вопрос: «Как относиться к ученикам, а в особенности
к старшеклассникам? Считать ли их детьми, пусть, старшими, но все-таки детьми,
или требовать с них, как с взрослых?» Вопрос этот не случайный. Его решение
связано с пониманием кардинальных проблем возраста, специфики и ведущих
тенденций, определяющих особенности учебно-воспитательного процесса в старших
классах, стратегию обучения и воспитания. «Как относиться» - значит, решить для
себя, какие принципы положить в основу планирования содержания и методов
обучения, какие требования предъявлять учащимся, как строить общение с ними,
как оценить их знания, возможности, способности, т.е. как определить основные
направления и пути реализации характера обучения. Найти ответы на эти вопросы
поможет анализ возрастных особенностей учащихся [12].
Тема «Обратные тригонометрические функции» изучается в
старшей школе, поэтому остановимся на специфике подросткового возраста.
Подростковый возраст - важный этап развития умственных
способностей. Старшеклассники чаще и настойчивее задают вопрос «почему?» и
высказывают сомнения в достаточности и обоснованности предлагаемых объяснений.
Их мыслительная деятельность более активна и самостоятельна. Они более критично
относятся к учителям. Само представление об интересности предмета иное: если
шестиклассники ценят внешнюю занимательность, то десятиклассникам интересно то,
что требует самостоятельного обдумывания. Для них характерна тяга к обобщениям,
поиск общих принципов и законов, стоящих за частными фактами.
Однако широта умственных интересов часто сочетается у
подростков с разбросанностью, отсутствием системы и метода. Иногда они склонны
преувеличивать уровень своих знаний и особенно умственных возможностей.
В работе со старшеклассниками, с одной стороны, встают задачи
формирования новых действий - задачи совершенствования всех звеньев учебной
жизнедеятельности и коррекции некоторых ее элементов, по тем или иным причинам
оказавшихся у отдельных учащихся недостаточно сформированными. Особое внимание
в старшем школьном возрасте должно быть уделено формированию учебных действий,
необходимых исследовательского поиска самопознания, осуществляемого по типу
эксперимента. Этот возраст характеризуется интенсивным формированием
контрольно-оценочного аппарата, возможностью ввертывать в процессе работы
отдельные звенья контроля. Это способствует ускорению темпа работы.
Старшеклассники уже могут вполне осознанно и гибко применять все формы
самоконтроля. Качественной особенностью деятельности старшеклассников, как уже
отмечалось, является возросший уровень произвольности и саморегуляции. Учащиеся
могут не только самостоятельно выделять цели и задачи своей деятельности, но и вполне
сознательно подчинять им способы своей работы. Действия оценки становятся
сформированным действием самого учащегося как субъекта учебной деятельности.
Оно является внутренней основой для принятия и самостоятельной постановки
учебной задачи. При сформированной деятельности учащийся планирует, способы
решения учебных и жизненных задач в соответствии со своими возможностями, может
определить степень отработки отдельных элементов деятельности, прогнозирует
возможные затруднения в работе и способы их преодоления [6].
В подростковом возрасте внимание, память, воображение уже
приобрели самостоятельность - подросток настолько овладел этими функциями, что
теперь в состоянии ими управлять по своей воле. В этот период начинает
выявляться индивидуально доминирующая ведущая функция: каждый подросток может
сам отрефлексировать, какая из функций является для него наиболее значимой [6].
2.2.2 Психолого-педагогические особенности
учебной деятельности в школах с углубленным изучением математики
Психолого-педагогический подход к обучению требует анализа
учебной деятельности как деятельности субъекта, как особой формы социальной и
познавательной активности учащегося, в которой происходит реализация его
собственных стремлений [22].
Важно знать не только объективные результаты учебной
деятельности, но и то, как она протекает: какие мотивы побуждают учащегося
учиться, как формируются «личностные смыслы», как принимаются учебные задачи и
подбираются соответствующие учебные действия. Понимание психологических
механизмов саморегуляции учебной деятельности поможет вскрыть собственную
позицию учащегося в учении: какова мера его активности, система отношений и
личностных ценностей [22].
Психологический анализ учебной деятельности связан с
пониманием ее как деятельности ведущей в связи с той функцией, которую она
выполняет в развитии школьников. Ведущая деятельность объединяет в себе
основные тенденции развития, формирует и перестраивает психические процессы,
обуславливает психологические изменения личности. Деятельность становится ведущей
постольку, поскольку в ней появляется и интенсивно формируется нечто новое,
позволяющее понять и охарактеризовать происходящие в ней качественные сдвиги
[23].
Итак, качественно новой характеристикой учебной деятельности
в школах и классах с углубленным изучением математики является ее
профессиональная направленность. Учебно-профессиональная деятельность как
ведущая изменяет всю систему отношений учащихся к учению, к себе, к окружающим.
В связи с устремленностью в будущее отношение к учению в школах и классах с
углубленным изучением математики выступает в иной фазе: учение носит для
учащихся личностный смысл на принципиально иной, чем в обычной школе, основе -
на основе задач самоопределения и социализации личности [23].
Динамика развития учебной деятельности от младшего школьного
возраста к старшему связана с изменением функций учителя, она от
организаторской переходит к направляющей и консультационно-творческой. Поэтому
учащийся должен сам становиться подлинным субъектом учебной деятельности: уметь
самостоятельно выделять учебные задачи, выбирать соответствующие им учебные
действия, осуществлять различные формы самоконтроля, всесторонне и объективно
оценивать результаты своей работы [6].
Учебная деятельность в таких школах и классах требует от
учащихся высокой степени активности. Это в равной степени относится как к
умственной, так и к общей активной позиции в процессе познания.
Проблема активности учащегося в обучении охватывает, таким
образом, два аспекта формирования учебно-воспитательного процесса - внешний и
внутренний:
1) активность и мотивы учебной деятельности, ее
обусловленность потребностями, интересами, целями самих учащихся, исходя из
специфики психолого-педагогических особенностей развития;
2) активность и особенности организации учебно-воспитательного
процесса, т.е. зависимость активности учащегося от форм, методов и средств
обучения и воспитания в образовательной среде, которая зависит от количества и
личных умений учителя [26].
А значит, задача учителя организовать процесс обучения таким
образом, чтобы каждое усилие по овладению знаний протекало в условии развития
познавательных способностей учащихся, формирования у них таких основных приемов
умственной деятельности, как анализ, синтез, абстрагирование, обобщение,
сравнение. Учащихся необходимо учить самостоятельно делать обобщения, творчески
применять знания в новой ситуации. Именно такие новые ситуации и выдвигаются
при изучении обратных тригонометрических функций.
2.3 Тематическое планирование
Успех углубленного изучения математики во многом зависит от
профессионального уровня учителя и степени заинтересованности и
подготовленности школьников. Обучение в X-XI классах предполагает
наличие у учеников более или менее устойчивого интереса к математике и
намерение выбрать после окончания школы связанную с ней профессию. На этом
этапе необходимо обеспечить подготовку к поступлению в вуз и продолжению
образования. Поэтому предполагаемое планирование учебного материала учитель
может и должен менять их в зависимости от уровня класса, своих вкусов: упрощать
или дополнять материал, переставлять темы, варьировать число часов, отводимых
на ту или иную тему, проводить несколько больше или меньше проверочных работ.
Учителю предоставляется право свободного выбора методических
путей и организационных форм обучения, учитывающих возрастные возможности
учащихся. Очень важно при этом, чтобы требования к знаниям и умениям учащихся
не были чрезмерно завышенными. Чрезмерность требований порождает перегрузку,
что ведет, особенно на первом этапе к угасанию интереса к математике.
Планирование проведено в соответствии с учебным планом,
согласно которому в неделю и в X-XI классах 5,5-6 часов в неделю.
Предполагаемое планирование учебного материала для X-XI классов ориентировано в
основном на учебник Н.Я. Виленкина и других и опубликовано в сборнике МО РФ
программ для общеобразовательных учреждений по математике, выпускаемом
издательством «Дрофа» [22].
2.4 Методические рекомендации по организации
обучения теме «Обратные тригонометрические функции»
Основной целью занятий является расширение и углубление
знаний, развитие интереса учащихся к предмету, а также развитие их
математических способностей. Кроме того, в настоящее время при изучении любого
материала, а, в частности, и обратных тригонометрических функций, следует обращать
особое внимание на те аспекты темы, усвоение которых необходимо для успешной
сдачи ЕГЭ.
Введению понятия арксинуса, арккосинуса и арктангенса числа
предшествует рассмотрение теоремы о корне, смысл которой достаточно очевиден
для учащихся. Основное внимание здесь нужно уделить разъяснению смысла
указанных понятий, а также формированию умения находить табличные значения
(например, 
, 
,
и так далее), что необходимо не только
для безошибочного решения тригонометрических уравнений, но и для грамотной
работы с самими функциями, так как среди заданий, предлагаемых на ЕГЭ,
встречаются примеры типа: найти значение выражения 
, 
, 
и другие (это группа B) [7].
Тема «Обратные тригонометрические функции»
изучается после преобразований
тригонометрических выражений и доказательства тождеств (т.е. навыки работы с
тригонометрическими формулами дети уже имеют). Тема предшествует изучению
тригонометрических уравнений и неравенств, изучается не очень глубоко, но
достаточно, чтобы уяснить определение этих функций. Необходимо жестко,
требовательно сформировать понимание и запоминание определения этих обратных
тригонометрических функций. Эти определения даются на основе самих
тригонометрических функций, авторитарным методом, в качестве готовой информации
(абстрактно-дедуктивно), после чего проводится работа по запоминанию
определений. Необходимо требовать разъяснение определения из учебника, тогда
ученикам будет легче ориентироваться в записи обратных тригонометрических
функций. Сформулировав определения и дав основные понятия, неплохо проверить,
поняли ли учащиеся смысл всего сказанного. Для этой цели можно предложить
группу простых упражнений. Например, попросить ребят выполнить
последовательность следующих заданий:
- объяснить запись: arcsin π/4, arctg(-1) и т.д. (обязательно дать пример «на засыпку», например, чему
равен arccos π);
вычислить arccos π/2, arctg 1 и т.д.
Следует обратить особое внимание на области определения и
области значений функций, промежутки их возрастания и убывания, так как эти
вопросы составляют необходимую базу для решения примеров групп B и С единого
государственного экзамена, например:
B5. Пусть 
есть решение следующей системы уравнений 
Вычислите значение 
[7].
С2. Найдите множество значений функции 
, заданной на отрезке 
[7].
Кроме того, важен акцент на самой математической сути аркфункций -
даже в сильном классе зачастую не понимают, что аркфункция есть угол.
Для отработки необходимо большое количество тренировочных
упражнений. Контроль со стороны учителя осуществляется за ходом и результатом
решения.
Кроме того, при изучении этих функций полезно использовать
геометрическую интерпретацию их как углов (дуг окружности), построенных надлежащим
образом. Эта интерпретация естественна и логически обоснована, ведь аркфункции
являются обратными к тригонометрическим функциям, рассмотренным на
соответствующих промежутках. Аргументы же последних имеют широко известную
интерпретацию как углы или дуги окружности.
Деятельность ученика становится более целенаправленной, если
перед ним поставлена учебная задача по овладению обобщенным приемом решения
задач. Поэтому обучение строится, основываясь на общих приемах решения.
Перед изучением новой темы необходимо актуализировать базовые
знания (вспомнить о существовании обратных функций, привести примеры таковых).
Требуется повторить тригонометрические функции, их свойства, графики.
Обязательно повторить формулы приведения. Объяснение темы сочетается с наблюдением
учащихся, с вопросами учителя и ответами учеников и может перерасти в беседу.
Ученики под руководством учителя рассуждают, решают возникшие познавательные
задачи. Обучение и закрепление рекомендуется проводить на конкретных примерах,
усложняя их в течении урока от элементарных до сложных. Целесообразно подробно
обсуждать ход решения каждой задачи, предлагать учащимся давать объяснения
своих выводов. Если возможен не один способ решения упражнения, то
рассматривать все возможные. Домашнее задание не надо слишком усложнять,
достаточно дать ряд примеров, аналогичных тем, которые решались в классе, так
как усложнение домашнего задания ведет к отказу выполнения данного задания.
Контроль можно проводить либо с помощью самостоятельной работы, либо прибегая к
тесту, который был разработан по теме «Обратные тригонометрические функции».
С учетом методических рекомендаций, приведенных выше, и на
основании учебников для школ с углубленным изучением математики были
разработаны уроки по теме «Обратные тригонометрические функции».
2.5.1 Конспект урока по алгебре №1 (10 класс)
Урок - лекция
Тема урока:
Обратные тригонометрические функции. Арксинус и арккосинус.
Тип урока: изучение нового материала.
Методы обучения: наглядный, словесный, практический.
Средства обучения: доска, конспект лекций,
задачник, методические указания.
Цели урока:
- «открыть», что такое обратные тригонометрические функции;
- учить находить значения аркфункций;
- познакомиться со свойствами арксинуса и арккосинуса,
их графиками;
развивать интерес к математике;
- воспитывать самостоятельность и аккуратность.
Ход урока
I. Организационный момент:
приветствие класса;
проверить готовность класса к уроку;
сообщить тему урока и цели.
II. Изучение нового материала.
а) Учитель, для того, чтобы заинтересовать учащихся новым
материалом, подводит учащихся к изучению обратных тригонометрических функций,
начиная с актуализации знаний о взаимно однозначных отображениях и существовании
обратной функции (сначала на примере более простых функций).
Вспомним общее определение функции. Предположим, что E(f)=Y и соотношение, осуществляемое функцией f, является взаимно однозначным, то есть каждому соответствует единственный. В этом случае обратное соотношение между
Y и X также является функцией с областью определения Y и множеством значений X. Эта функция называется обратной к функции f и обозначается f
-1. Отметим, что D(f)=E(f -1)=X; E(f)=D(f -1)=Y.
x1
y1
x2
y2
x3
y3
Рис. 12
Итак, функция имеет обратную, если она осуществляет взаимно
однозначное соответствие между D(f) и E(f)
[5].
Функция, ставящая в соответствие каждому ученику класса его
год рождения, вряд ли имеет обратную, так как в классе, как правило, всегда
есть ученики, родившиеся в одном и том же году. Обратная функция существует,
если все ученики имеют различные года рождения. Это может быть, например, в том
случае, когда в классе всего 3 ученика, один из которых родился в 85, 86, 87
гг. Для городских школ это невозможно.
Вернемся к числовым функциям. Функция y=x3 осуществляет взаимно однозначное соответствие между областью
определения D(f)=R и множеством значений E(f)=R. Поэтому
существует обратная функция f -1 с областью определения D(f -1)=R и множеством значений E(f -1)=R. Для явной
записи обратной функции решим уравнение. Получим . В этой записи аргумент обратной функции
обозначен через y, значение функции - через x. Мы привыкли к другой записи, поэтому переобозначим х и y, получим явную запись обратной функции в виде . Графики исходной функции y=f(x) и обратной функции y=f-1(x) симметричны
относительно прямой y=x -
биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов [5].
Функция y=x2 не имеет обратной функции на всей области определения D(f)=R, так как не существует взаимно однозначного соответствия
между D(f) и E(f)=. Но если ограничить область определения
этой функции множеством D(f)= , то в этом случае соответствие между D(f) и E(f)= = будет взаимно однозначным, и существует
обратная функция f -1 c областью
определения D(f -1)= и множеством значений E(f -1)= . Для записи обратной функции решим
уравнение y= x2 при
условии х ≥ 0. Получим (арифметическое значение корня), то есть обратная функция задается
формулой [5].
Соотношение x = sin y
позволяет с помощью таблиц найти как x по
данной величине y, так и y по данной величине x (не
превышающей единицы по абсолютной величине). Таким образом, можно считать не
только синус функцией угла, но и угол функцией синуса. Этот факт находит
внешнее выражение в записи y = (arcsin читается как «арксинус»). Например, вместо 1/2 = =sin 30° можно написать 30° = arcsin (1/2). Обычно при второй записи угол
выражается в радианной, а не в градусной мере, так что пишут π/6=
arcsin (1/2).
б) Открытие нового знания происходит в виде лекции, где ученику
будут представлены основные положения по данной теме.
Необходимо сказать учащимся, что основные моменты следует
записать.
Рассматривается приведенный ниже материал.
Рассмотрим функцию y = sin х, которая на отрезке [-π/2;π/2] возрастающая, непрерывная и принимает значения из
отрезка [-1; 1]. Значит, на отрезке [-π/2;
π/2] определена
функция, обратная функции y = sin x.
Эту
обратную функцию называют арксинусом и обозначают y = arcsin x. Введем определение
арксинуса числа а [4].
Арксинусом числа а, если называют угол (или дугу), синус которого равен числу а и который
принадлежит отрезку [-π/2;π/2]; его обозначают arcsin а.
Таким образом, arcsin а есть
угол, удовлетворяющий следующим условиям: sin (arcsin a)=a, |a| ≤ 1; -π/2 ≤ arcsin а ≤ π/2. Например, , так как sin и [-π/2; π/2]; arcsin , так как sin 
и [-π/2; π/2].
Функция y = arcsin х (рис. 13) определена на отрезке [-1; 1],
областью ее значений является отрезок [-π/2;π/2].
На отрезке
[- 1; 1] функция y = arcsin x непрерывна и монотонно возрастает от -π/2 до π/2 (это следует из того, что
функция y
= sin x на отрезке [-π/2; π/2] непрерывна и монотонно
возрастает).
Рис. 13
Наибольшее значение она принимает при x=1: arcsin 1 = π/2, а наименьшее - при х = -1: arcsin (-1) = -π/2. При х = 0 функция равна нулю: arcsin 0 = 0 [4].
Покажем,
что функция y
= arcsin x является нечетной, т.е. arcsin (-х) = -arcsin х при любом х [-1; 1].
Действительно,
по определению, если |x| ≤ 1, имеем: -π/2≤
arcsin x ≤π/2.
Таким
образом, углы arcsin (-х) и - arcsin х принадлежат одному и тому же отрезку [-π/2; π/2].
Найдем синусы этих углов: sin (arcsin(-х)) = - х (по
определению); поскольку функция y = sin x нечетная, то sin (-arcsin х) = - sin (arcsin x) = - х. Итак, синусы углов, принадлежащих одному
и тому же промежутку [-π/2; π/2], равны, значит, равны и
сами углы, т.е. arcsin(-х) = - arcsin х. Значит, функция y = arcsin x - нечетная. График
функции y
= arcsin x симметричен относительно
начала координат.
Итак, искомый график уже построен на отрезке 
длины 2π. Но искомая функция имеет период 2π,
поэтому график с любого
отрезка длины 2π можно
периодически продолжить на все значения х (см. рис. 14).
Рис. 14
Областью значений функции y = cos x является отрезок. На отрезке функция непрерывна и монотонно убывает.
Значит, на отрезке определена функция, обратная функции y = cos x. Эту обратную функцию называют арккосинусом и обозначают y = arccos
x.
Aрккосинусом числа а, если |а|1, называют угол, косинус которого принадлежит отрезку; его обозначают arccos а.
Таким образом, arccos а есть
угол, удовлетворяющий следующим двум условиям: сos (arccos a) = a, |а|1; 0 ≤ arccos
a ≤ π.
Например, arccos, так как cos и; arccos, так как cosи .
Функция y=arccos x (рис.
15) определена на отрезке, областью ее значений является отрезок. На отрезке функция y = arccos x непрерывна и монотонно убывает от π до 0 (поскольку y = cos х - непрерывная и монотонно убывающая
функция на отрезке ); на концах отрезка она достигает
экстремальных значений: arccos(-1)= π, arccos 1 = 0. Отметим, что arccos 0 = .
График функции y = arccos x (см.
рис. 15) симметричен графику функции y = cos x
относительно прямой y = x [4].
Рис. 15
Покажем, что имеет место равенство arccos(-x) = π - arccos x.
В самом деле, по определению 0 ≤ arccos х ≤ π. Умножая на (-1) все части последнего
двойного неравенства, получаем -π ≤ arcсos х ≤ 0. Прибавляя π ко всем
частям последнего неравенства, находим, что 0 ≤ π - arccos х ≤ π. Таким образом, значения углов arccos(-х) и π-arccos х
принадлежат одному и тому же отрезку. Поскольку на отрезке косинус монотонно убывает, то на нем не может быть двух различных
углов, имеющих равные косинусы. Найдем косинусы углов arccos(-х) и π-arccos х. По
определению cos (arc - cos x)= - x, по формулам приведения и по определению cos
(π-arccos х) =-cos (arccos х) = - х. Итак, косинусы углов равны,
значит, равны и сами углы.
При 
выполняется равенство arccos (cos x) = х.
Так как функция четна, то мы можем построить ее график на отрезке 
. Затем воспользуемся периодичностью
функции с периодом 2π. График
функции изображен на рисунке 16.
Рис. 16
III. Домашнее задание.
Рассмотреть и проработать основные положения по изученному
материалу, а именно:
выучить определения функций арксинус и арккосинус, их свойства,
вид графиков;
изучить способ вычисления значений аркфункций.
IV. Подведение итогов.
Итак, давайте вспомним, что сегодня мы узнали (учитель с помощью
учащихся):
что такое система арксинус, арккосинус;
какими свойствами они обладают;
как можно найти значения аркфункции и построить ее график.
2.5.2 Конспект урока по алгебре №2 (10 класс)
Тема урока:
Обратные тригонометрические функции. Арксинус и арккосинус.
Тип урока: закрепление изученного материала.
Средства обучения: доска, конспект лекций,
задачник, методические указания.
Цели урока:
1. Образовательная:
закрепить тему «Обратные тригонометрические функции. Арксинус
и арккосинус»;
выработать умения производить различные действия над
арксинусом и арккосинусом, строить графики.
. Развивающая:
развитие творческой активности и самостоятельности,
находчивости;
. Воспитательная
- воспитание усидчивости, аккуратности.
Ход урока
I. Организационный момент:
- приветствие класса;
проверить готовность класса к уроку;
сообщить тему урока и цели.
II. Актуализация базовых знаний.
Фронтальный опрос.
. Дать определение арксинуса, назвать область определения и
значений функции, схематично изобразить на доске график.
. Дать определение арккосинуса, назвать область определения и
значений функции, схематично изобразить на доске график.
. Какими свойствами они обладают?
III. Закрепление изученного материала через практику (учащиеся
работают у доски).
Искомый график y = arcsin (sin |x-p/4|) получается из него сдвигом на p/4 вправо вдоль оси
абсцисс (изображен сплошной линией на рис. 17) [19].
Рис. 17
IV. Упражнения на нахождение обратной
функции и решение нестандартных задач по теме
Найти обратную функцию f -1 к функции f(x) = sin x, если
а) D(f)= 
; б) D(f)= 
.
Решение:
В обоих этих случаях функция f осуществляет взаимно однозначное соответствие между D(f) и E(f) =
. Значит, обратная функция существует. В
случае а) D (f -1) = ; E (f -1)= 
. Для явной записи обратной функции решим уравнение sin x=у при
условии 
. Так как arcsin у = =arcsin (sin x) = π-x (см. рис. 14),
то х = π-arcsin у. Итак, в случае а) обратная функция
(после обозначения аргумента ее через х, а самой обратной функции через у)
задается формулой у = π-arcsin х.
В случае б), когда х
, arcsin у = arcsin (sin x) = х-2π (см. рис.
14), т.е. х = 2π+arcsin у. Обратная функция задается формулой у =
2π + arc - sin х [19].
Найти обратную функцию к следующим функциям:
а) y=sin x на 
; б) y=sin x на 
; в) y=cos x на 
.
Решение:
а) Функция y = sin x
осуществляет взаимно однозначное соответствие между D(f)= и E(f)= 
. Значит, обратная функция существует. Для
явной записи обратной функции решим уравнение sin x=y при условии 
. Так как на этом отрезке arcsin (sin x) = 5p - x, то arcsin
y= =arcsin (sin x) = 5p-x, откуда y = 5p-arcsin x (явная запись обратной функции).
б) Аналогично примеру а), arcsin y = arcsin (sin x) = -p-x, откуда
y = -p- arcsin x.
в) Аналогично примеру а), arccos y = arccos (cos x) = 4p +x, откуда x= =arccos y - 4p. Переобозначая х и у, имеем у = arccos х -4p.
Сравнить числа 
и 
.
Решение:
Заметим, что 
и 
.
Углы близки. Попробуем вычислить значения тригонометрических
функций упятеренного аргумента, так как значения их для 
известны. При этом 
. Удобнее вычислить 
, т. к. его значения по разные стороны от имеют разные знаки.
3-ей четверти, а потому 
.
Ответ: [17].
Сравнить числа 
и 
.
Решение:
I способ
Найдем 
, так как с 
вычислять труднее.
.
II способ
Заметим, что 
.
Часть угла 
(рис. 18), который обозначим как угол
АОВ, расположена в четвертой, часть - в первой четвертях. Найдем синус этого
угла, тогда будет ясно, в какой именно четверти находится угол . Обозначим 
и вычислим sin 5x.
Рис. 18
5x = sin 4x. cos x + sin
x. cos 4x= 2cos 2x. 2 sin x. cos
x +sin x. (2cos2 2x -1)= =
=
Ответ: 
[19].
V. Подведение итогов.
Итак, давайте вспомним, что сегодня мы сделали (учитель с
помощью учащихся):
научились строить различные графики, содержащие обратные
тригонометрические функции, сравнивать числа и аркфункции, находить вид
функции, обратной к тригонометрической;
приобрели опыт решения примеров и построения графиков.
В завершении урока рекомендуем проверить усвоенные знания,
предложив самостоятельную работу, где будут представлены один - два примера (из
заданий для самостоятельной работы).
2.5.3 Конспект урока по алгебре №3 (10 класс)
Тема урока:
Обратные тригонометрические функции. Арктангенс и
арккотангенс.
Тип урока: изучение нового материала.
Методы обучения: наглядный, словесный, практический.
Средства обучения: доска, конспект лекций,
задачник, методические указания.
Цели урока:
1. Образовательная:
ввести понятие арктангенса и арккотангенса, рассмотреть их
свойства и графики;
рассмотреть способ вычисления значения данных аркфункций,
решения примеров, их содержащих.
. Развивающая:
вырабатывать память учащихся;
развивать логическое и абстрактное мышление.
прививать интерес к математике;
воспитывать положительное отношение к процессу обучения.
Ход урока
I. Организационный момент:
- приветствие класса;
проверить готовность класса к уроку;
сообщить тему урока и цели.
II. Изучение нового материала.
Изучение нового материала рекомендуется дать аналогично
предыдущему уроку изучения нового материала (Урок №1). Теоретический материал
для урока можно найти в первом параграфе, пункты 1.4 и 1.5. Следует проводить
сравнение и аналогию с уже изученными арксинусом и арккосинусом, одновременно
выявляя их отличия.
III. Домашнее задание.
Продиктовать примеры (один - два, использовать дидактический
материал, содержащийся в параграфе 1 п. 1.4).
IV. Подведение итогов.
Ребята, сегодня мы познакомились с новыми обратными
тригонометрическими функциями - арктангенсом и арккотангенсом, изучили их
свойства, графики, научились находить их значения. Есть что-нибудь непонятное в
этой теме?
Если есть, то учитель ещё раз повторяет непонятные положения.
2.5.4 Конспект урока по алгебре №4 (10 класс)
Тема урока:
Обратные тригонометрические функции. Арктангенс и
арккотангенс.
Тип урока: обобщение и систематизация знаний.
Методы обучения: наглядный, словесный, практический.
Средства обучения: доска, конспект лекций,
задачник, методические указания.
Цели урока:
1. Образовательная:
обобщить и систематизировать знания и умения по изучаемой теме;
повторить и закрепить пройденный материал.
. Развивающая:
развитие самостоятельности, интеллекта и воли учащихся.
. Воспитательная
прививать интерес к математике;
воспитание целеустремленности и аккуратности.
Ход урока
I. Организационный момент:
- приветствие класса;
проверить готовность класса к уроку;
сообщить тему урока и цели.
II. Актуализация базовых знаний
Фронтальный опрос.
. Дать определение арктангенса, назвать область определения и
значений функции, схематично изобразить на доске график.
. Дать определение арккотангенса, назвать область определения
и значений функции, схематично изобразить на доске график.
. Какими свойствами они обладают?
III. Упражнения (предполагается, что ученики
решают самостоятельно у доски, но под контролем учителя).
Рис. 19
Найти arctg (tg p2).
Решение:
Так как 
, можем выполнить следующие
преобразования: аrctg (tg p2)
= аrctg (tg(3p + (p 2-3p))) =
|воспользуемся формулами приведения|= аrctg (tg(p2-3p)), где уже p2-3p 
, тогда arctg (tg p2) = =аrctg (tg(p 2-3p) = p2-3p [16].
Найти наибольшее значение
(sin11x) +
и х, при которых оно достигается.
Решение:
(sin11x)
Поэтому
(sin11x)+ 
, при этом 
, если 
.
Ответ: 
[19].
IV. Подведение итогов.
Ребята, на этом уроке мы выполнили нелегкую задачу. Мы
закрепили изученный нами материал, а также разобрались в непонятных вопросах.
Но может, что-нибудь непонятное в этой теме все же осталось?
Если да, то учитель помогает учащимся до конца разобраться в
данной теме.
Данный урок нацелен на повторение ключевых вопросов. Задания
на этом уроке являются более сложными. Поэтому целесообразно подробно обсуждать
ход решения каждой задачи, предлагать учащимся давать объяснения своих выводов.
Если возможен не один способ решения упражнения, необходимо найти и обсудить их
все.
3. Использование информационных технологий при
изучении обратных тригонометрических функций
тригонометрический информационный функция обратный
В многочисленных публикациях, как в нашей стране, так и за
рубежом отмечается, что компьютер может быть использован при изучении
естественно-математических и гуманитарных дисциплин для решения самых различных
задач: выполнения сложных вычислительных операций, анализа результатов учебных
экспериментов, построения и интерпретации математических моделей физических,
химических и других явлений и процессов. Он может выполнять функции
информационной системы, банка данных, автоматизированного справочника.
Указываются и многие другие возможности применения компьютеров в учебном
процессе.
Отмечается, в частности, что компьютеры могут быть с успехом
использованы на всех стадиях учебного занятия: они оказывают значительное
влияние на контрольно-оценочные функции урока, придают ему игровой характер,
способствуют активизации учебно-познавательной деятельности учащихся.
Компьютеры позволяют добиться качественно более высокого уровня наглядности
предлагаемого материала, значительно расширяют возможности включения
разнообразных упражнений в процесс обучения, а непрерывная обратная связь,
подкрепленная тщательно продуманными стимулами учения, оживляет учебный
процесс, способствует повышению его динамизма, что, в конечном счете, ведет к
достижению едва ли не главной цели собственно процессуальной стороны обучения -
формированию положительного отношения учащихся к изучаемому материалу,
интереса к нему, удовлетворения результатами каждого локального этапа в
обучении [1].
Предлагаемая обучающе-контролирующая программа по теме
«Обратные тригонометрические функции», в сущности, представляет собой модель
школьного учебника по этой теме. Программа создана в Delphi - это среда разработки,
ориентированная на работу в Windows, в основе которой лежит технология визуального
проектирования и методология объектно-ориентированного программирования. Для
представления программы в Delphi используется разработанный фирмой Borland язык Object Pascal, в основе которого лежит
ставший классическим Turbo Pascal. Программа достаточно проста в обращении, имеет
удобный интерфейс, а снабжение представляемого материала наглядными
графическими изображениями помогает сделать процесс обучения не только эффективным,
но и достаточно интересным.
При запуске программы появляется главная форма, содержащая
следующие основные пункты меню: «Теория», «Тест», «Журнал», «О программе»,
«Выход». А теперь - подробнее о каждом пункте.
Название первого пункта меню - «Теория» - говорит
само за себя. В нем представлен теоретический материал, рассчитанный на
изучение в течение 4 учебных часов, содержащий следующие разделы: «Понятие
тригонометрических функций», «Функция, обратная синусу», «Функция, обратная
косинусу», «Функция, обратная тангенсу», «Функция, обратная котангенсу»;
«Операции над обратными тригонометрическими функциями», «Основные
тригонометрические соотношения».
В программе рассмотрены примеры задач (всего - более
30) на нахождение значений аркфункций; построение графиков обратных
тригонометрических функций; нахождение функции, обратной тригонометрической, на
заданном промежутке, а также примеры на нахождение наибольшего значения
обратных тригонометрических функций. Кроме того, в каждом подразделе
представлена система заданий для самостоятельного решения, в каждом - от
10 до 15 заданий.
Используемый
материал дает возможность составить для учащихся индивидуальные задания с
учетом их возможностей, диапазон сложности представленных заданий достаточно
широк. Программа поможет экономить время учителя и учащихся в проведении
занятий, и, кроме того, не представляет особой трудности внесение
корректирующих изменений в ее теоретическую и практическую часть.
Проверка знаний осуществляется с помощью теста (пункт меню
«Тест»), что обеспечивает обратную связь и своевременную коррекцию знаний. Тест
рассчитан примерно на один урок, в течение которого ученики должны справиться с
пятью заданиями. Время на каждое задание не ограничено, поэтому тестирующийся в
праве сам решать, сколько ему затратить времени на каждое из заданий. Вопросы
выбираются случайным образом из пятнадцати и они полностью соответствуют
материалу, представленному в данной курсовой работе, т.е. на нахождение
значений аркфункций, нахождение функции, обратной тригонометрической, на
заданном промежутке, а также на нахождение наибольшего значения обратных
тригонометрических функций. Оценивание происходит по классической схеме,
подсчетом количества правильных ответов на предложенные 5 заданий.
Если учитель не успел просмотреть данные после тестирования,
то они автоматически заносятся в электронный журнал (пункт меню «Журнал»),
который можно открыть и просмотреть. Причем изменять данные без соответствующей
подготовки невозможно, что препятствует подмене результатов теста.
Таковы основные преимущества электронной
обучающе-контролирующей программы, структурная схема которой представлена на
следующей странице (см. рис. 19).
Однако важно отметить, что основной формой организации
учебного процесса был и остается урок, и не следует забывать об этом, доверяя
образование персональному компьютеру. Как бы ни были развиты информационные
технологии, компьютер не заменяет учителя, а является хорошим помощником в
достижении высоких и прочных результатов обучения.
Заключение
Тема данной выпускной квалификационной работы продолжает и
углубляет изучение обратных тригонометрических функций, что необходимо в
настоящее время, так как возрастает ценность образования, изменяется
содержание, задачи и цели обучения, а также и требования, предъявляемые к
уровню знаний учащихся. А при обучении выполнению заданий, связанных с
обратными тригонометрическими функциями, учащийся приобретает способность к
научно-исследовательской деятельности.
В работе путем строгого аналитического изложения вводятся
некоторые важные понятия и определения, способствующие успешному пониманию
темы. А также разобраны основные методические положения, которые способствуют
наиболее успешному и качественному изучению обратных тригонометрических
функций.
Осуществлена апробация занятий в 10 классе
физико-математической школы при СГПИ в мае 2004 г. Апробация дала положительные
результаты; выявлен довольно высокий уровень усвоения материала по изученному
материалу. На занятиях учащиеся принимали активное участие в решении, успешно
справлялись с задачами, чувствовалось их стремление выполнять более сложные
задания.
В марте 2005 г. разработанные уроки были апробированы на 2
курсе факультета математики и информатики СГПИ (группа 2003-ин) в рамках
факультативного курса «Пратикум по решению математических задач», а также на 4
курсе факультета математики и информатики СГПИ (группы 2001-м-1 и 2001-м-2) на
факультативных занятиях. После изучения темы был предложен тест для выявления
уровня полученных знаний. Задания, которые были использованы при тестировании,
можно просмотреть в приложении стр. 71. Опираясь на результаты апробации, можно
сделать вывод, что применение новых образовательных технологий при организации
изучения темы «Обратные тригонометрические функции» целесообразно, а
осуществление текущего контроля в форме компьютерного теста позволяет экономить
время и получить достоверную информацию об уровне знаний, умений и навыков
студентов по теме «Обратные тригонометрические функции».
По результатам исследования были сделаны доклады на ежегодных
научно-практических конференциях в СГПИ на «Неделе науки» в апреле 2003, 2004 и
2005 гг. Подготовлена статья для публикации в сборнике по материалам
научно-практической конференции СГПИ, так как доклад на «Неделе науки»
факультета математики и информатики в апреле 2005 г.был признан одним из
лучших.
Кроме того, составлено методическое пособие «Обратные
тригонометрические функции», которое содержит теоретический материал по данной
теме, примеры решения ключевых задач, а также задания для самостоятельного
решения. Пособие может служить хорошим подспорьем как преподавателю на уроке,
так и учащимся при подготовке к занятиям, выполнении домашнего задания и
подготовке к сдаче ЕГЭ.
Учебные материалы, представленные в данной работе, включая
подобранные для указанной темы системы задач, в том числе: устных, опорных,
стандартных, нестандартных и исследовательских, рекомендуются учителям школ для
проведения уроков и факультативных занятий по теме «Обратные тригонометрические
функции», при подготовке учащихся к ЕГЭ, преподавателям педагогических вузов при
подготовке к занятиям по курсу «Элементарная математика и практикум по решению
математических задач», «Теория и методика обучения математике», а также
студентам для самостоятельного изучения данной темы или подготовке к
педагогической практике. Необходимо отметить, что и учащиеся школ могут
самостоятельно освоить данную тему с помощью компьютерной
обучающе-контролирующей программы, разработанной в рамках выполнения выпускной
квалификационной работы.
Литература
1.
Боревский Л. Методические основы обучающих компьютерных программ. Математика
21/2002. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». - с. 14-17.
.
Васильева Н.Я. Математика: В помощь выпускнику школы и
абитуриенту. - СПб.: Паритет, 2000. -272 с.
.
Ваховский Е.Б., Рывнин А.А. Задачи по элементарной математике
повышенной трудности. - М.: Просвещение, 1971 г. - 360 с.
4.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический
анализ 11: Учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изучением математики. -
Новосибирск: Наука, 1995.
.
Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Большая медведица,
1999.
.
Гамезо М.В., Герасимова В.С., Горелова Г.Г., Орлова Л.М. Возрастная психология:
личность от молодости до старости. - М.: Просвещение, 1992. -
с.
57-78.
.
Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков Ю.А., и др. Единый государственный
экзамен. Математика. Варианты контрольных измерительных материалов. - М.:Дрофа,
2002. - 80 с.
.
Иванов О.А. Углубленное математическое образование в школе сегодня. Математика
в школе 2/2001: научно-теоретический и методический журнал. - М.: ООО «Школьная
пресса», - с. 40-44.
.
Иванов В.Л. Структура электронного учебника //
Информатика и образование, 2001. №6. - с. 63
- 71.
.
Калинин И.А. Электронный учебник. 8/2000: научно-теоретический и методический
журнал. - М.: ООО «Школьная пресса», - с. 75-77.
.
Козлова В.А., Левитас Г.Г. Саморепетитор по математике - М: Школа - Пресс,
1996. -272 с.12. Колягин Ю.М. Методика преподавания математики. Общая методика.
- М.: Просвещение, 1975. - с. 79-167.
13. Лысенко Ф.Ф., Неймарк А.Б., Давыдов Б.Е. ЕГЭ - 2004.
Математика. Учебно-тренировочные тесты. Ростов - на - Дону: подготовка к ЕГЭ -
2004 по математике. - Ростов - на - Дону: Сфинкс, 2004. -176 с.
14.
Математика: задание №1 для 10-х классов (2001-2002 учебный год). - М.: МФТИ,
2003. - 32 с.
.
Математика: решение задания №1 для 10-х классов (2001-2002 учебный год). - М.:
МФТИ, 2004. - 16 с.
.
Математика: задание №2 для 10-х классов (2002-2003 учебный год). - М.: МФТИ,
2003. - 32 с.
.
Математика: решение задания №2 для 10-х классов (2002-2003 учебный год). - М.:
МФТИ, 2004. - 16 с.
.
Математика: задание №3 для 10-х классов (2003-2004 учебный год). - М.: МФТИ,
2003. - 32 с.
19.
Математика: решение задания №3 для 10-х классов (2003-2004 учебный год). - М.:
МФТИ, 2004. -16 с.
.
Матрос Д.Ш., Полев Д.М, Мельникова Н.Н. Управление качеством
образования на основе новых информационных технологий и образовательного
мониторинга. - М.: Педагогическое общество России, 1999. - 96 с.
21.
Письменный Д.Т. Математика для старшеклассников. - М.: ООО «Рольф»,
1993. - 281 с.
22.
Программно-методические материалы. Математика 5-11 кл. Сборник нормативных
документов. - М.: Дрофа, 2000. - 67 с.
.
Саакян С.М. Лекционно-семинарская система преподавания
математики. // Математика. Еженедельное учебно-методическое
приложение к газете «Первое сентября», 1996. - №4. - с. 1.