Переходный процесс в цепи, закон изменения во времени
Министерство
образования и науки
Вологодский
государственный технический университет
Кафедра
электротехники
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Вологда
Задача 1
Рис. 1
Дана электрическая цепь, в которой происходит
коммутация (рис. 1). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Параметры цепи: Е = 120
В; L1 = 10 мГн; С1 = 10 мкФ; R1 = 20 Ом; R2 = 80 Ом; R3 = 1000 Ом; R4 = 1000
Ом.
Определить i3.
Рассмотреть переходный процесс в цепи второго
порядка, когда L2 = 0, т.е. участок а-в схемы закорочен. Определить закон
изменения во времени указанной величины тока i3.
На основании полученного аналитического
выражения построить график изменения искомой величины в функции времени в
интервале от t = 0 до t = .
Решение.
Обозначим R12 = R1 + R2 = 30 + 70 = 100 Ом
Заменим источник ЭДС и сопротивления R1, R2, R3
в схеме коммутации эквивалентным генератором - рис. 2.
Рис. 2
где R0 =
Е0 =
Классический метод
Будем вначале искать напряжение на конденсаторе
uc, которое представим в виде двух составляющих - принуждённой и свободной
= uпр + uсв
Принуждённая составляющая - это значение
напряжения спустя бесконечный промежуток времени после коммутации, т.е. в
установившемся режиме. Поскольку на входе действует постоянная ЭДС, то в
установившемся режиме сопротивления катушки равняется нулю, а сопротивление
конденсатора - бесконечности. В результате, схема в установившемся режиме имеет
вид - рис. 3.
Рис. 3
Откудапр =
Свободная составляющая напряжения представляется
в видесв =
Где А1 и А2 - постоянные, подлежащие
определению, р1 и р2 - корни характеристического уравнения.
Тогда искомое напряжение примет вид (1)= (1)
Ток конденсатора ic =
Тогда= (2)
Для определения корней характеристического
уравнения необходимо записать комплекс входного сопротивления цепи, заменить
множитель jw на р и приравнять полученное выражение к нулю
(p) = R0 + p·L1 +
После упрощения
(p) = R0 + p·L1 + z(p) =
Приравнивая к нулю числитель
(R0 + p·L1)·( R4·p·C1 +1) + R4 = 0·L1·C1·R4 +
p·(R0·R4·C1) + R0 + R4 = 0
или+ р · = 0
Введём обозначения
δ =
ω0 =
Тогда, характеристическое уравнение примет вид
р2 + 2·δ·р
+ ω02
= 0
Решив это уравнение, получим
р1= -δ + = -4,595·103 + = - 1,4·103
р2 = -δ - = -4,595·103 - = - 7,791103
Для определения постоянных А1 и А2 рассмотрим
уравнения (1), (2) в начальный момент времени после коммутации
(0) = А1 + А2 + (3)(0) = C1·(p1·A1
+ p2·A2) (4)
В соответствии с законом коммутации uc(0) =
uc(-0), где напряжение до коммутации определим из схемы до коммутации - рис. 4.
Рис. 4
(-0) =
Для определения напряжения на катушке в первый
момент времени после коммутации (схема рис.2) решим уравнение, записанное по
1-му закону Кирхгофа
(0) = + ic(0)
откуда(0) = 0
В результате система уравнений (3), (4) примет
вид
А1 + А2 + = (5)
р1·А1 + р2·А2 = 0 (6)
Из уравнения (5) А2 =
Подставим в (6) р1·А1 р2·А1 + = 0
Откуда
А1 = = = 11,083
Обратной подстановкой получим
А2 = = = -1,992
Подставив найденные постоянные в (2) получим
искомый ток конденсатора(t) =
Искомый ток
i3(t) = = = =
-0,1552·е-1400·t + 0,1552·е-7791·t
Операторный метод
Операторная схема замещения представлена на рис.
5.
где uc(0) = = = 109,091 В(0) = =
= 0,109 А
Выполним расчёт схемы методом контурных токов
(R0 + p·L1 + R4)·I11 - R4·I22 = + L1·iL(0) = +
R4·I11 + = =
Контурный ток во втором контуре
=
где главный определитель системы
Δ(р) =
Определитель
Δ22(р) =
После упрощения
=
Обозначим
G(p) = -1,091·104(p) = 1,011·104·p + 1,2·108 +
11·p2
Тогда (p) =
Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой
разложения=
Найдём корни полинома H(р)=0 с помощью теоремы
Виета
р1 = -1,4·103 р2 = -7,791·103
Найдём производную Н'(р)
Н'(р) = = 22·p + 101100
Подставив полученные значения в теорему
разложения получим
= -0,155 = 0,155(t) =
-0,155·е-1400·t + 0,155·е-7791·t,
что совпадает с решением классическим методом
Построение графиков
Длительность переходного процесса примем равной
tпп = tпп = 2,142·10-3
Задаваясь значениями времени в этом интервале
рассчитаем ток и построим график - рис. 6.
t=
|
|
i3(t)=
|
0
|
|
0
|
2,5·10-4
|
|
-0,08712
|
5·10-4
|
|
-0,07382
|
7,5·10-4
|
|
-0,05379
|
1·10-3
|
|
-0,03816
|
1,25·10-3
|
|
-0,02693
|
1,5·10-3
|
|
-0,01898
|
1,75·10-3
|
|
-0,01338
|
2·10-3
|
|
-9,42553·10-3
|
2,25·10-3
|
|
-6,64208·10-3
|
2,5·10-3
|
|
-4,68059·10-3
|
2,75·10-3
|
|
-3,29836·10-3
|
3·10-3
|
|
-2,32431·10-3
|
Рис. 6
Задача 2
конденсатор напряжение ток линия
Воздушные линии без потерь (V = 3·105 км/с)
подключаются к источнику постоянного напряжения U. Параметры линии: U = 10В;
ZВ1 = 400 Ом; ZВ2 = 600 Ом; R = 400 Ом; L = 7 мГн; l1 = 10 км; l2 = 10 км.
Определить законы изменения во времени
напряжений и токов в линиях.
Построить графики распределения вдоль линий
напряжений и токов для момента времени, когда волна, отразившись от конца
первой линии, дойдёт до её середины.
Рис. 7
Введём обозначение ZВ12 = ZВ1 + ZВ2 = 400 + 600
= 1·103 Ом
Определим падающие волны
uφ = U
iφ = = = 0,025 A
Определим ток в конце линии по расчётной схеме
(рис.2) как сумму принужденного и свободного тока
Рис. 8
где принужденный ток iпр = = 0,02 A
ток в начальный момент времени с учётом того,
что катушка в первый момент времени ток не пропускает,= = 0,014 A
Корень характеристического уравнения найдём
приравняв к нулю входное характеристическое сопротивление цепи+ = 0= = -4,0816·104
Тогда(t) = -0,0057143·е-40816·t
+ 0,02 А
Поскольку ток в любой точке линии равен сумме
токов прямой и обратной волны, то ток отражённой волны в конце линии
iψ(t) = i(t) - iφ
iψ(t) =
напряжение отражённой волны в конце линии
uψ(t) = -iψ(t)·Z1
Распределение волн напряжения и тока отражённой
волны по длине линии
iψ(x,t) =
uψ(x,t) = -iψ(x,t)·Z1
Результирующие напряжение и ток в линии при
наличии отражённой волны
uψ(x,t) = uφ + uψ(x,t)
iψ(x,t)
= iφ + iψ(x,t)
Напряжение преломлённой волны по схеме (рис.2)
uφ2(t) = i(t)·Z2φ2(t) =
Ток преломлённой волны по схеме (рис.29
iφ2(t) = i(t)
iφ2(t) =
Распределение волн напряжения и тока
преломлённой волны по длине линии
iφ2(x,t) =
uφ2(x,t) = iφ2(x,t)·Z2
Рассчитаем напряжение и ток в линии для момента
времени, когда отражённая волна дойдёт до середины, что соответствует времени= = 1,667·10-5 сек
x=
|
|
uψ(x,t)=
|
|
u(x,t)=
|
|
iψ(x,t)=
|
|
i(x,t)=
|
|
uφ2(x2,t)=
|
|
iφ2(x2,t)=
|
0
|
|
0
|
|
10
|
|
0
|
|
0,025
|
|
10,264
|
|
0,017
|
1
|
|
0
|
|
10
|
|
0
|
|
0,025
|
|
10,01
|
|
0,017
|
2
|
|
0
|
|
10
|
|
0
|
|
0,025
|
|
9,72
|
|
0,016
|
3
|
|
0
|
|
10
|
|
0
|
|
0,025
|
|
9,388
|
|
0,016
|
4
|
|
0
|
|
10
|
|
0
|
|
0,025
|
|
9,008
|
|
0,015
|
5
|
|
4,286
|
|
14,286
|
|
-0,011
|
|
0,0143
|
|
0,014
|
6
|
|
3,995
|
|
13,995
|
|
-9,987·103
|
|
0,015
|
|
|
|
|
7
|
|
3,741
|
|
13,741
|
|
-9,353·103
|
|
0,0156
|
|
|
|
|
8
|
|
3,52
|
|
13,52
|
|
-8,799·103
|
|
0,0162
|
|
|
|
|
9
|
|
3,326
|
|
13,326
|
|
-8,316·103
|
|
0,0167
|
|
|
|
|
10
|
|
3,158
|
|
13,158
|
|
-7,894·103
|
|
0,0171
|
|
|
|
|
Построим графики распределения волн напряжения
(рис.3) и тока (рис. 4)
Рис. 9
Литература
1.
Бессонов Л.А. "Теоретические основы электротехники": Учебник/ М.:
"Гардарики", 2001 - 638 с.
.
Ганичев Г.Л., Реутов В.В. "ТОЭ. Часть 2. Переходные процессы в длинных
линиях": Методические указания по выполнению расчётно-графических работ/
Вологда: РИО ВоГТУ, 2005 - 19 с.