Исследование математического ожидания состоятельной оценки взаимной спектральной плотности

Учреждение образования

«Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина»

Математический факультет

Кафедра информатики и прикладной математики

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ СОСТОЯТЕЛЬНОЙ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Курсовая работа студентки 5 курса

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРВОГО МОМЕНТА СОСТОЯТЕЛЬНОЙ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

3. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ОКНА

4.ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т.п. Все они изменяются во времени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода и представляет собой временной ряд.

Одной из главных задач спектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они дают важную информацию о структуре процесса.

Методы анализа временных рядов широко используются в различных областях науки и техники, их можно применять при анализе больших объемов данных, получаемых в процессе вибрационных испытаний или извлекаемых из сводок экономических данных.

Среди непараметрических методов спектрального оценивания одним из наиболее распространенных является метод Уэлча, в котором для построения оценки спектральной плотности производится осреднение периодограмм, построенных по пересекающимся и непересекающимся интервалам наблюдений. Цель перекрытия - увеличить число осредняемых отрезков при заданной длине временного ряда и тем самым уменьшить дисперсию итоговой оценки. Д. Бриллинджер исследовал оценку, построенную по непересекающимся интервалам наблюдений. И.Г. Журбенко по предложению А.Н. Колмогорова при построении оценки спектральной плотности по методу Уэлча использовал полиномиальное окно просмотра данных. Им были найдены общие точные асимптотики среднеквадратичного уклонения в зависимости от характера гладкости исследуемого спектра.

В данной работе исследовано математическое ожидание состоятельной оценки взаимной спектральной плотности. Построены графики этой оценки для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Графики построены также для центрированного случайного процесса.

1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ

Действительным случайным процессом  =  называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.

Если , или  - подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем.

Если , или  подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.

Введем характеристики случайного процесса , , во временной области.

Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида

,

где .

Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида

,

где .

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

спектральный плотность временной ряд

=,

, при условии, что

.

Нормированной спектральной плотностью случайного процесса   называется функция вида

где  , если  и , если .

Из определения видно, что спектральная плотность  непрерывная, периодическая функция с периодом, равным  по каждому из аргументов.

Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида

.

Смешанным моментом  го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

,

, .

Заметим, что

,

.

Лемма 1.1. Для любого целого р справедливо следующее соотношение

.                                          (1.1)

Доказательство. Если , то доказательство очевидно. Рассмотрим случай . Воспользуемся формулой Эйлера

тогда

Лемма доказана.

Пусть - значения случайного процесса  в точках . Введем функцию

которую будем называть характеристической функцией, где  - ненулевой действительный вектор, , .

Смешанный момент  го порядка, , можно также определить как

,

, .

Смешанным семиинвариантом (кумулянтом)  го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

,

, , которую также будем обозначать как .

,

где суммирование производится по всевозможным разбиениям множества  на подмножества , где , , , , .

При

,

,

.

При

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

=,

, при условии, что.

Из определения видно, что спектральная плотность   непрерывная, периодическая функция с периодом, равным  по каждому из аргументов.

Семиинвариантной спектральной плотностью  го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

=,

, при условии, что

.

Теорема 1.1. Для смешанного семиинварианта  го порядка, , случайного процесса  справедливы представления

,

.

Пусть  - случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве , и

- мерная функция распределения, где

Случайный процесс  называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального , любых  и любого , такого что  выполняется соотношение

где

Возьмем произвольное . Пусть , тогда

В дальнейшем функцию, в правой части (1), будем обозначать

Используя определение стационарного в узком смысле СП , смешанный момент го порядка, , будем обозначать

Смешанный семиинвариант го порядка, , стационарного в узком смысле  СП  будем обозначать

Случайный процесс , называется стационарным в широком смысле, если  и

Замечание 1. Если , является стационарным в узком смысле СП и  то , является стационарным в широком смысле, но не наоборот.

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса , называется функция вида

, при условии, что

Семиинвариантной спектральной плотностью - го порядка, , стационарного СП , называется функция вида

при условии, что

Для смешанного семиинварианта -го порядка, , стационарного СП  справедливо следующее соотношение

.

Для  эти соотношения примут вид

.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРВОГО МОМЕНТА СОСТОЯТЕЛЬНОЙ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Рассмотрим действительный стационарный случайный процесс  , с , неизвестной ковариационной матрицей , неизвестной взаимной спектральной плотностью   

Пусть  -  последовательных наблюдений, полученных через равные промежутки времени, за составляющей  процесса   .

Предполагаем, что число наблюдений  представимо в виде , где  - число пересекающихся интервалов, содержащих по  наблюдений, а  принимает целочисленные значения, .

Используя методику Бриллинджера Д. [2], в качестве оценки взаимной спектральной плотности исследована статистика вида

                                 (2.1)

где  ,  - спектральное окно, а ,  - оценка взаимной спектральной плотности процесса  , построенная по методу Уэлча [6]

                                          (2.2)

где

                         (2.3)

 , , модифицированная периодограмма на -ом интервале разбиения, а  задано выражением

                       (2.4)

  , причем наблюдения сглаживаются одним и тем же окном просмотра данных  

В работе [6] исследована оценка (2.2) для гауссовских процессов. В данной работе оценки (2.1), (2.2) исследованы для произвольных случайных процессов.

Предположение 1. Пусть окна просмотра данных    ограничены единицей и имеют ограниченную постоянной вариацию.

Предположение 2. Пусть  непрерывная, периодическая функция с периодом , имеет ограниченную вариацию и является ядром.

                                          (2.5)

Доказательство. Используя свойства математического ожидания и функции    вида

                        (2.6)

где

запишем

Откуда, учитывая лемму Д5.1 работы [2], получим

Сделаем замену переменных   тогда,

Сделаем замену переменных  , получим

Известно, что свертка двух ядер является ядром, следовательно,

 -

ядро. Тогда,

Так как взаимная спектральная плотность  непрерывна в точке  и ограничена на , а  является ядром, получим требуемый результат. Теорема доказана.

Исследуем скорость сходимости первых двух моментов оценки  ,  заданной (4), предполагая, что  , удовлетворяет следующему условию:

                            (2.7)

для любых , С - некоторая положительная постоянная,

Лемма 2.1. Для ядра   , заданного выражением (2.6), при любом

                                        (2.8)

Доказательство. Запишем

где

Так как функция  непрерывна на , следовательно, для любого  существует  что как только  то  поэтому

 можно сделать сколь угодно малым за счет выбора . Значит,

Рассмотрим .

Аналогично можно доказать, что

Лемма доказана.

Лемма 2.2. Для функции , заданной выражением (2.6), справедливы соотношения

,                                                     (2.9)

для любого ,

,                                           (2.10)

,                                             (2.11)

где

.                                      (2.12)

Доказательство. Подставляя  в явном виде, получим

.

Используя соотношение (1.1) получим (2.9).

Докажем соотношение (2.10). Нетрудно видеть, что

.

Используя

,

получим

.

Аналогично можно показать, что

.

Откуда следует справедливость соотношения (2.10). Докажем (2.11). Используя неравенство Гельдера, получим

=.

Откуда, используя

~,  (),

получим требуемый результат. Лемма доказана.

Теорема 2.2. Если взаимная спектральная плотность   удовлетворяет соотношению (2.7), то для математического ожидания оценки , , задаваемой (2.1), имеет место равенство

                     (2.13)

где   , задается соотношением (2.6),  .

Доказательство. Используя соотношение (2.9) можем записать

Теорема доказана.

3. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ОКНА

где четная, не зависящая от T действительная функция, для которой

а  Обычно предполагается, что при , , ,

 и

Приведем некоторые примеры функций  

.       

.       

.       

.       

.       

Все указанные функции  являются неотрицательными.

Оказывается, скорость сходимости моментов рассматриваемых оценок важно существенно улучшить, если использовать знакопеременные спектральные окна, т.е. такие четные функции , которые наряду с тем, что  удовлетворяют условиям

а

где  - некоторое натуральное число.

4.ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ

Чтобы выделить определенные характеристики спектральных оценок, нередко прибегают к сглаживанию значений на концах случайного временного ряда. Временное сглаживание представляет собой умножение ряда на «окно данных».

Функция  называется окном просмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания).

Функцию

                                     (4.1)

 называют  частотным окном. Из соотношения (4.1)  вытекает, что

Характерное поведение функции  состоит в том, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при .

Примеры окон просмотра данных:

1.      1 - окно Дирихле;

.        1- - окно Фейера;

.        ;

.        - окно Хэннинга;

.        - окно Хэмминга;

.        - окно Хэмминга;

.        , где  - окно Хэмминга;

.        1- - окно Рисса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе исследовано математическое ожидание оценки взаимной спектральной плотности вида

.

Построены графики этой оценки для различных окон данных на основании данных, представляющих собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Графики построены также для центрированного случайного процесса.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.       Андерсон, Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976. - 755 с.

2.      Бриллинджер, Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. - М.: Мир, 1980. - 536 с.

.        Журбенко, И.Г. Спектральный анализ временных рядов. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 168 с.

.        Труш, Н.Н. Асимптотические методы статистического анализа временных рядов. - Мн.: БГУ, 1999. - 218 с.

.        Труш, Н.Н., Мирская, Е.И. Случайные процессы. Преобразования Фурье наблюдений. - Мн.: БГУ, 2000.

6. Welch, P.D. The use of FFT for the estimation of power spectra / P.D.    Welch // IEEE Trans. Electroacoust. - 1967. - Vol. 15, №2. - P.70-73.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ГРАФИКИ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ОКОН ПРОСМОТРА ДАННЫХ

Для исследования оценки (2.2) был исследован ряд, состоящий из 176 наблюдений ежедневной температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Рисунок 1 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Дирихле.

Рисунок 2 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Дирихле для центрированного случайного процесса

Рисунок 3 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Фейера.

Рисунок 4 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Фейера для центрированного случайного процесса.

Рисунок 5 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна вида 3.

Рисунок 6 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна вида 3 для центрированного случайного процесса.

Рисунок 7 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэннинга.

Рисунок 8 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэннинга для центрированного случайного процесса.

Рисунок 9 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэмминга вида 5.

Рисунок 10 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэмминга вида 5 для центрированного случайного процесса.

Рисунок 11 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэмминга вида 6.

Рисунок 12 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэмминга вида 6 для центрированного случайного процесса.

Рисунок 13 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэмминга вида 7.

Рисунок 14 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэмминга вида 7

для центрированного случайного процесса .

Рисунок 15 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Рисса.

Рисунок 16 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Рисса для центрированного случайного процесса.