Практическая реализация принципа оптимальности в экономике

Практическая реализация принципа оптимальности в экономике

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Факультет: Финансово-кредитный

Специальность: 080100 бакалавр экономики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: Экономико-математические методы и прикладные модели

Выполнил:

Студент Гребёнкин Игорь Андреевич

Курс 3

№ зачетной книжки 11ФЛД61185

Преподаватель:

проф. Денисов Владимир Петрович

Омск - 2011

Задание № 1

двойственная оценка функционал временной ряд

Двойственные оценки как мера влияния ограничений на функционал.

Выбор наилучшего решения предполагает наличие некоторого критерия оптимальности, позволяющего оценить эффективность принятых решений. В экономике такие задачи возникают при практической реализации принципа оптимальности в планировании и управлении, при этом в качестве критерия оптимальности могут выступать максимум прибыли, минимум себестоимости, минимум трудовых затрат и др. Если записать критерий оптимальности в виде математической функции , то эта функция называется целевой функцией (функция цели, функционал).

Любую задачу линейного программирования в стандартной форме можно записать в виде соотношений:

                                                            (1.1)

                                                             (1.2)

                                                                         (1.3)

Ограничения (1.2) принято называть функциональными ограничениями, а условия неотрицательности переменных (1.3) - прямыми ограничениями. Если эту задачу назвать исходной (прямой), то ей можно поставить в соответствие двойственную задачу. Построение двойственной ЗЛП основано на следующих пяти правилах:

) если в исходной задаче надо найти максимум целевой функции, то в двойственной - минимум, и наоборот;

) коэффициентами целевой функции двойственной задачи служат правые части системы ограничений исходной задачи в стандартной форме;

) матрицы коэффициентов левых частей систем функциональных ограничений исходной и двойственной задач являются транспонированными по отношению друг к другу;

) если функциональные ограничения исходной задачи в стандартной форме имеют вид неравенств типа £, то аналогичные ограничения двойственной задачи являются неравенствами типа ³, и наоборот;

) правыми частями системы функциональных ограничений двойственной задачи служат коэффициенты целевой функции исходной ЗЛП.

Таким образом, задача, двойственная по отношению к задаче (1.1) - (1.3), в стандартной форме имеет вид:

                                                                     (1.4)

                                                                (1.5)

                                                                          (1.6)

Если рассматривать исходную ЗЛП (1.1) - (1.3) как задачу оптимального использования ресурсов предприятия, то можно дать следующую экономическую интерпретацию двойственной задачи. Пусть некоторая фирма обратилась к предприятию с предложением продать ее имеющиеся ресурсы, и встает проблема установления объективно обусловленных цен этих ресурсов. Если эти цены обозначить y_i , то целевая функция (1.4) будет выражать интересы фирмы, покупающей ресурсы (наименьшая стоимость ресурсов), а функциональные ограничения (1.5) - интересы предприятия (стоимость ресурсов не менее стоимости продукции, которую можно из этих ресурсов выпустить). В связи с этой интерпретацией переменные двойственной задачи называются объективно обусловленными оценками или двойственными оценками (за рубежом принят термин «теневая цена»).

Слова «и наоборот» в первом и четвертом правилах построения двойственной задачи свидетельствует о том, что если в качестве исходной ЗЛП взять задачу (1.4) - (1.6), то построенная по тем же правилам двойственная задача будет иметь вид задачи (1.1) - (1.3). Таким образом, рассматриваемые задачи образуют пару взаимодвойственных задач. Следует оговориться, что здесь рассматриваются только так называемые симметричные взаимодвойственные задачи (ограничения обеих задач имеют вид неравенств).

Задание № 2

Финансовый консультант фирмы «ABC» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

Анализируются акции «Дикси-Е» и «Дикси-В». Цены на акции: «Дикси-Е» - 5долл. за акцию; «Дикси-В» - 3 долл. за акцию.

Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

По оценкам «ABC», прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит: «Дикси-Е» - 1,1 долл.; «Дикси-В» - 0,9 долл.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

РЕШЕНИЕ:

Пусть х₁ шт. - количество акций «Дикси-Е»; х₂ шт. - количество акций «Дикси-В», тогда количество приобретаемых акций:

х₁ + х₂ <= 6000;

причем х₁ <= 5000; x₂ <= 5000;

вложенные средства должны составить:

х₁ + 3х₂ <= 25 000 долл.;

а максимальная прибыль выразится функцией:

F = 1,1x₁ + 0,9x₂ ®max

Получили задачу оптимизации:

найти максимальное значение линейной функции

F = 1,1x₁ + 0,9x₂ при ограничениях:

х₁ +х₂ <= 6000

х₁ + 3х₂ <= 25000

≤ х₁ ≤ 5000; 0 ≤ х₂ ≤ 5000

Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат х₁Ох₂ на плоскости изобразим граничные прямые

х₁ + х₂ = 6000 (L₁);

х₁ + 3x₂ = 25000 (L₂);

х₁+90х₂ = 0 (F);

x₁ = 5000 (L₄); х₂ = 5000 (L₃)

Установим, какую полуплоскость определяет каждое неравенство относительно граничной прямой.

В результате имеем пятиугольник АВСDO.

Построим вектор N = (5500; 4500) и прямую 1,1х₁ + 0,9х₂ = 0 (F). Перемещаем прямую F параллельно самой себе в направлении вектора N. Из рис. следует, что она выйдет из многогранника решений и станет опорной по отношению к нему в угловой точке С; в точке С линейная функция принимает максимальное значение.

Точка С лежит на пересечении прямых L₁ и L₂; для определения ее координат решим систему уравнений:

х₁ + х₂ = 6000

х₁ + 3x₂ = 25000 . Имеем: х₁ = 3500; х₂ = 2500.

Подставляя найденные значения в линейную функцию, получаем:

F_max = 1,1×3500 + 0,9×2500 = 3850 + 2250 = 6100.

Для того, чтобы обеспечить максимум прибыли (6100 долл.), необходимо приобрести  3500 акций «Дикси-Е» и 2500 акций «Дикси-В».

Если решить эту задачу на минимум, то получим, что вообще ничего не надо приобретать, т.к. функция достигает своего минимального значения в точке (0; 0).

Задание № 3

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице:

Требуется:

1)          проверить наличие аномальных наблюдений.

2)          построить линейную модель Ŷ(t) = , параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) - расчетные, смоделированные значения временного ряда);

) оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 - 3,7);

4)          оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации;

5)          по построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза считать при доверительной вероятности р = 70%);

) фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

РЕШЕНИЕ:

) Для выявления аномальных уровней временного ряда используем метод Ирвина, который предполагает использование следующей формулы:

, где

s_у - среднеквадратическое отклонение рассчитывается с использованием формул:

Таблица 1

Вывод: видим, что значения у₂, у₄, у₆, у₇ и у₈ являются аномальными, т.к. все, кроме них, вычисленные значения λ меньше критического значения критерия Ирвина: n=10, для уровня значимости 0,05, т.е. с 5%-ной ошибкой, λ_табл=1,5.

) Результаты регрессионного анализа для временного ряда представим в таблицах 2 и 3.

Таблица 2

Таблица 3

Во втором столбце табл. 2 содержатся коэффициенты уравнения регрессии  и , в третьем столбце - стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом - t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости у_t (спроса на кредитные ресурсы финансовой компании) от времени t имеет вид:

Y(t) = 10,3 + 1,9t.

При вычислении «вручную» получаем те же результаты.

Промежуточные расчеты параметров линейной модели приведем в таблице 4.

Таблица 4

;

19,6- 1,9×5 = 10,3.

) Расчетное значение в момент времени получается по формуле:

где k - количество шагов прогнозирования (обычно k = 1).

Это значение сравнивается с фактическим уровнем, и полученная ошибка прогноза:

Е(t) = Y(t) - Y_p(t) используется для корректировки модели.

Корректировка параметров осуществляется по формулам:

где β - коэффициент дисконтирования данных, отражающих большую степень доверия к более поздним данным.

Процесс модификации модели (t = 1, 2,…,N) в зависимости от текущих прогнозных качеств обеспечивает ее адаптацию к новым закономерностям развития.

Для прогнозирования используется модель, полученная на последнем шаге (при t=N).

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи МНК:

Таблица 5

Используя эти результаты, получим:

 14 : 10 = 1,4;

 15,8 - 1,4×3 = 11,6.

Возьмем k = 1 и α = 0,4, β = 1 - α = 0,6.

Подробно покажем расчет на первых двух шагах, а остальные отразим в таблице 6.

t = 1 11,6 + 1,4×1 = 13,0;

Е(1) = Y(1) - Y_p(1) = 12 - 13 = -1;

13,0 - 1×0,64 = 12,4;

1,4 - 1×0,16 = 1,2.= 2 12,4 + 1,2×1 = 13,6;

Е(2) = Y(2) - Y_p(2) = 15 - 13,6 = 1,4;

13,6 +1,4×0,64 = 14,5;

1,2 +1,4×0,16 = 1,4 и т. д.

Таблица 6

Так как ∑Е²(t) (α = 0,4) < ∑E²(t) (α = 0,7), на последнем шаге получена модель:

Y_p(N+k) = 27,5 +2,0k.

Далее исследуем адекватность модели. Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю выполним с использованием t-критерия Стьюдента:

,

где ;

t < t_табл.(1,05), поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

При проверке независимости (отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей, с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона по формуле. Численное значение коэффициента равно

     d`= 4 - 2,3=1,7.

Попадает в интервал от d₂ до 2 (для линейной модели при 10 наблюдениях можно взять в качестве критических табличных уровней величины d₁ = 1,08, d₂ = 1,36), значит, гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается и модель адекватна по данному признаку.

Таблица 7

Проверка случайности уровней ряда остатков по критерию пиков дает положительный результат: р = 6; 6>2 - неравенство выполняется, следовательно, свойство случайности выполняется.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия: RS= [ε_max - ε_min]:S_ε = [2,9+3,2]: 1,8 = 3,4 (для N=10 и 5%-го уровня значимости границы критерия (2,7 - 3,7)), 3,4 попадает в указанный интервал, следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.

.

Вывод: модель статистически адекватна (выполняются все условия из четырех).

Средняя относительная ошибка: %, т.к. 7,3% < 15%, то точность модели считается приемлемой.

) Для этого следует преобразовать график подбора, который был получен с помощью инструмента Регрессия:

Результаты моделирования и прогнозирования.

5) Построим точечный и интервальный прогнозы спроса на следующие две недели (для вероятности 70% использовать t = 1,12):

Y_p(10) = 27,5 +2,0k = 27,5 + 2×1 = 29,5;

Y_p(11) = 27,5 +2,0k = 31,5.

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости α = 0,3 следовательно, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при v = п - 2 = 7 равен 1,12. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

, где ;

m=1 - количество факторов в модели (для линейной модели m=1).

;

.

Таблица 8

Т.к. построенная модель адекватна, то можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития, прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный нижней и верхней границами.

)

Задание № 4

Фирма может производить изделие или покупать его. Если фирма сама выпускает изделия, то каждый запуск его в производство обходиться в 20 тыс. руб. Интенсивность производства  составляет 100 шт. в день. Если изделие закупается, то затраты на осуществление заказа равны 1500 руб. Затраты на содержание изделия в запасе независимо от того, закупается оно или производится, равны 20 руб. в день. Потребление изделия фирмой оценивается в 30 тыс. шт. в год.

Предполагая, что фирма работает без дефицита, определите, что выгоднее: закупать или производить изделия (в месяце 22 рабочих дня). Построите график общих годовых затрат по наиболее выгодному способу.

Дано:

Количество рабочих дней в месяце - 22 раб. дн.;

M = 30 000 шт./год;

h = 0,02 тыс.руб×22 раб. дн.×12 мес. = 5,28 тыс.руб./ ед. в год;

K₁ = 20 тыс. руб;

K₂ = 1,5 тыс. руб.

Определить:

Сравнить Z₁(Q) по первому и второму способам, построить график Z₁(Q) наиболее выгодного способа.

РЕШЕНИЕ:

) Первый способ - производства изделия.

. Экономичный размер производимой партии:

2. Совокупные издержки на производство и хранение:

2) Второй способ - покупка изделия.

. Количество изделий в одном заказе:

. Совокупные издержки на заказ и хранение:

Вывод: второй способ выгоднее, чем первый.

Строим график общих годовых затрат Z₁(Q) по второму способу с помощью таблицы:

График общих годовых затрат