Моделирование систем автоматического регулирования температуры в объекте второго порядка

КУРСОВАЯ РАБОТА

“Моделирование систем автоматического регулирования температуры в объекте второго порядка”

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание        2

Введение    3

1. Математическое описание элементов АСМ 5

1.1 Определение передаточной функции объекта по переходной характеристике методом площадей. 5

1.2 Определение передаточной функции датчика температуры и ПИ регулятора.        10

Приложение 1    13

2. Определение статических характеристик случайного процесса по заданной реакции (корелляционная функция, спектральная плотность)        19

Приложение 2    23

3. Расчет дисперсии выходной координаты АСР под воздействием случайного сигнала на ее входе     26

Приложение 3    30

4. Моделирование АСР по задающему и возмущающему воздействиям     32

Заключение         35

Список используемой литературы         36

ВВЕДЕНИЕ

Настоящий этап развития химической техники связан с увеличением ее эффективности, которое базируется на применении методов кибернетики и освоении уже существующих ХТП.

Разработка и внедрение автоматизированных систем управления технологическими процессами являются основной тенденцией развития современного промышленного производства. Цели автоматизации - повышение эффективности и производительности труда, повышение качества продукции, оптимизация планирования и управления, освобождение человека от работы во вредных условиях. Одной из наиболее сложных задач автоматизации является формализованное их представление в форме математического описания. Существует большое число методов идентификации объектов управления на основании экспериментальных методов. Эти методы чаще всего требуют большого числа расчетов, которые целесообразно выполнить с помощью вычислительной техники. Так же используются и аналитические методы построения моделей для отдельных классов объектов.

Математическое моделирование ускоряет темпы химического процесс, позволяя изучать только основные каналы управления данным каналом, сокращая время освоения новых процессов, совершенствования уже существующих. Цели и методы моделирования направлены на повышение эффективности и производительности труда, повышение качества продукции, оптимизация планирования и управления, освобождение человека от работы во вредных условиях.

Моделирование - это способ изучения объектов и систем управления, при котором эксперимент проводиться на его модели, а результаты качественно или количественно переносятся на оригинал. К процессу моделирования предъявляется два требования:

К модели предъявляются следующие требования:

эксперимент на модели должен быть проще, дешевле, безопаснее, чем на оригинале;

должно быть известно правило переноса данных исследуемой модели на оригинал.

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ АСМ

автоматическая система моделирование математическое

При определении динамических характеристик промышленного объекта осуществляется аппроксимация его переходной функции h(t) решением дифференциального уравнения. Для одной и той же переходной функции можно получить несколько решений. Применяются разнообразные методы аппроксимации и их математические выражения.

Основной особенностью классификации известных методов определения динамических характеристик на основании h(t) является допущение о структуре дифференциального уравнения или передаточной функции W(p), свойственной каждому методу определения динамических характеристик. Под структурой дифференциального уравнения или передаточной функции понимают количество и размещение корней характеристического уравнения или нулей и полюсов W(p).

1.1 Определение передаточной функции объекта по переходной характеристике методом площадей

Необходимо по таблично или графически заданной единичной переходной функции определить коэффициенты следующей передаточной:

.        (1.1.1)

Преобразовав, получим:

       (1.1.2)

Сущность метода заключается в разложении функции  в усеченный ряд по степени p при p=0:

       (1.1.3)

с последующим определением  и порядка n путем последовательного приближения h⁰(t) решением дифференциального уравнения первого порядка.

;

Это равенство можно обеспечить, когда коэффициенты при одинаковых степенях будут равны:

Необходимо найти a_i. Для их вычисления необходимо найти площади S₁ под кривой  и осью абсцисс

.

Данная площадь будет равна:

Пусть на вход поступает единичное ступенчатое воздействие, тогда:

Перейдем в правой части к пределу при  

Примем .

Далее на основе модели первого приближения  находим переходную характеристику . Далее находят предел от разности  в месте преобразования Лапаласа, которая разделена на оператор р.

Принимаем . Аналогично можно найти все площади:

.

Необходимость интегрировать приводит к тому, что возникает погрешность. В связи с этим рассмотрим интеграл . В подынтегральной функции выполним замену на ряд:

Вводим нормирование по времени с помощью подстановки:

.

В результате преобразования с учетом предыдущих формул получим следующее выражение:

,

где .

В частности для  имеем:

,

при  получим:

Коэффициенты исходной передаточной функции рассчитываются на основании системы уравнений указанной выше.

Порядок передаточной функции определяется по величине площадей. Если маленькая по сравнению с , то ; если , то  и необходимо повысить порядок числителя аппроксимируемой функции .

На прктике чаще всего задаются следующими структурами :

Метод площадей не связан с графическим построением и может использоваться для определения динамических характеристик объекта с негладкими переходными функциями.

1.2 Определение передаточной функции датчика температуры и ПИ регулятора

Выбор датчика производится исходя из следующего условия: постоянная времени датчика должна быть много меньше постоянной времени объекта.

Принимаем, что передаточная функция датчика описывается апериодическим звеном первого порядка с коэффициентом передачи равным 1.

,

где .

ПИ регуляторы перемещают регулирующий орган пропорционально сумме отклонения и интеграла от отклонения регулируемой величины:

В динамике ПИ- регулятор соответствует системе из двух параллельно включенных звеньев: пропорционального с коэффициентом передачи k и интегрирующего с коэффициентом передачи T .

Передаточная функция ПИ- регулятора:

.

Одним из способов расчета параметров наладки регулятора является расчет по М - желаемому. М - это показатель колебательности, т.е. амплитуда на резонансной частоте:

Рис.1.2.1 Вещественная характеристика.

Пусть задано значение величины М_жел . Для него можем построить окружность. Метод синтеза заключается в том, что окружность, радиус которой и центр зависит от величины М_жел, должна коснуться АФЧХ объекта с учетом параметров регулятора.

Координаты центра окружности определяются по формуле:

В свою очередь радиус окружности может быть найден:

Угол наклона касательной к окружности, проведенной из начала координат:

Расстояние от оси ординат до точки касания:

.

Таким образом, изменяя параметры Т_и и К_р, можно подобрать такие значения, которые обеспечат касание окружности и АФЧХ:

Рис.1.2.2 Синтез регулятора на основе известного М_жел.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

clc,clear=30;=2;=0.85;=0:dT:T;=step(K, [4 5.8 1], t);

[t' W];(t,W,'k');

grid=

0 0

2.0000 0.1850

4.0000 0.3964

6.0000 0.5453

8.0000 0.6457

10.0000 0.7131

12.0000 0.7582

14.0000 0.7885

16.0000 0.8088

18.0000 0.8224

20.0000 0.8315

22.0000 0.8376

24.0000 0.8417

26.0000 0.8444

28.0000 0.8463

30.0000 0.8475

Рис.1.1 Переходной процесс исходной передаточной функции

h=W';=h/K;=length(h1);=dT*(sum(1-h1)-0.5*(1-h1(1)))=t/s1 =g(2)-g(1)=(s1^2)*dg*(sum((1-h1).*(1-g))-0.5*(1+(1-h1(n))));=step(K,[s2 s1 1], t);(2)(t,h,'ko',t,y);

grid

ans

[s1 s2]=

5.7950  4.7036

Таким образом, получив постоянные времени объекта, можем записать его передаточную функцию:

 ;

Рис. 1.2. Моделирование переходной характеристики экспериментальной функции и рассчетной

clc,clear=-2:0.001:2;=1.2

p=j*w;=1.1;=2.3969;=kp.*(1+1./(ti.*p)).*(0.85)./(2.212*p.^3+7.429*p.^2+6.265*p+1);=real(www)=imag(www)

r=M/(1-M^2)=-2:0.005:2=M.^2/(1-M.^2)=sqrt(r^2-(x-c).^2)=-sqrt(r^2-(x-c).^2)=tan(asin(1/M))=k*x(2)(re,im,x,y1,x,y2,x,y3);

grid on

Рис.1.3 Определение настроек регулятора по M_жел

Таким образом, запишем передаточную функцию регулятора:

Рис.1.4. Моделирование объекта с датчиком

Рис.1.4 Переходный процесс системы

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ПО ЗАДАННОЙ РЕАКЦИИ (КОРЕЛЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ, СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ)

Ход технологического процесса характеризуется значениями фиксированного количества параметров, большая часть которых безостановочно изменяется относительно своих переменных значений. Эти изменения носят случайный характер и носят название случайных процессов. Процессы, статистические характеристики которых не изменяются во времени, называются стационарными.

Определение статистических характеристик данных процессов производится путем усреднения данных процессов различными методами. Если результаты усредненных данных процессов не зависят от применяемого способа усреднения и от вида случайного процесса, то такие случайные стационарные процессы называются - эркадическими. Основными статистическими характеристиками данных процессов являются:

математическое ожидание

,       (2.1)

где Т - время реализации случайного процесса.

При определении остальных статистических характеристик случайного процесса обычно удобно сначала центрировать его, т.е. отнять от ординат от ординат процесса его среднее значение.

Вся необходимая информация для расчета линейных систем для стационарного процесса содержится в корреляционной функции:

         (2.2)

Физически величина корреляционной функции для некоторого момента времени τ показывает, на сколько значение, которое отстает от него на время τ.

.  является четной функцией.

.  равна среднему значению квадрата отклонения случайного процесса от его математического ожидания и всегда больше нуля. Эту величину называют дисперсией случайного процесса.

.  при .

.  стремятся к нулю при .

В том случае когда исследуется связь между двумя случайными процессами  и , характеристикой этой связи будет являться взаимной корреляционная функция

.       (2.3)

Величина взаимной корреляции показывает, как зависит ордината процесса  в момент времени τ+t от ординаты процесса в момент времени t. Основные свойства :

. , является четной функцией.

.  стремятся к нулю при .

Автокорреляционная функция сигнала , которая представляет собой сумму двух случайных сигналов  и , может быть выражен через корреляционные функции слагаемых:

    (2.4)

Когда  и  не коррелированны между собой между собой, то взаимокорреляционные в (2.4) равны 0 и

 (2.5)

Если исследуются частотные характеристики объекта, то для этой цели используется соответствующая спектральная плотность  и взаимная спектральная плотность  случайных процессов и :

         (2.6)

         (2.7)

Она является четной функцией , для любой частоты  . Физически величина спектральной плотности показывает, какая доля мощности случайного процесса приходится на эту частоту.

Общая же мощность случайного процесса может быть подсчитана как интеграл его спектральной плотности. Из обратного преобразования Фурье можно получить

.  (2.8)

Тогда дисперсия будет равна суммарной мощности случайного процесса:

.                   (2.9)

При прохождении случайного процесса через линейную систему его характеристики изменяются. Формулы связи между характеристиками системы и характеристиками сигнала на ее входе и выходе особенно простые, когда пользоваться спектральными плотностями случайных процессов и частотными характеристиками системы.

Пусть  и  - соответственно случайных процессов на входе и выходе системы с амплитудно-фазовой характеристикой , тогда

          (2.10)

Среднее значение квадрата сигнала на входе системы в соответствии с (2.9) может быть рассчитано по формуле

                   (2.11)

В том случае, когда  и  - рациональная функция, интеграл (2.11) может быть рассчитана с помощью таблиц.

Взаимная спектральная плотность процесса на входе нелинейной системы связана со спектральной плотностью процесса на входе и частотной характеристикой системы выражением:

   (2.12)

Выражение (2.12) соответствует связи между взаимной корреляционной функцией сигналов на входе и выходе объекта, корреляционной функцией входного сигнала и импульсной характеристикой системы выражением

Последние два выражения являются основой для определения динамических характеристик объекта статистическими методами.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

=0.95;=7;=5;

x=K1*rand(1,100)+K2*rand(1,100);('seed',K3);(3)(x,'b');=100;m=0:9;

z=0;

for i=1:(N-m);

z=z+x(i)*x(i+m);

end

Rxx(m+1)=z/(N-(m+1));(4)=1:10;=log(Rxx(:));=1:10;=t';=[ones(10,1),tx(:)];=inv(X'*X)*X'*Y=exp(B(1))=exp(B(1))*exp(B(2)*t)(m,Rxx,t,Wx),grid=-0.3:0.01:0.3;=-B(2)=exp(B(1))=(2*a*R0)./(a^2+w.^2);

figure(5)(w,Sxx)

ans=

a =0.0095=2.9128=18.4090

Рис.2.1 График случайного процесса

Рис.2.2 График реальной и сглаженной корреляционной функции.

Рис.2.3 График спектральной плотности.

3. РАСЧЕТ ДИСПЕРСИИ ВЫХОДНОЙ КООРДИНАТЫ АСР ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА НА ЕЕ ВХОДЕ

Взаимосвязь между спектральной плотностью выходного и входного сигналов объекта:

                   (3.1)

Преобразовав (3.1), получим:

   (3.2)

     (3.3)

Для вычисления (3.3) применим методы приближенного интегрирования следующего вида:

    (3.4)

где     (3.5)

    (3.6)

При отсутствии нулевых корней в полиноме А:

     (3.7)

      (3.8)

   (3.9)

Таким образом:

                                                                  (3.10)

                                                    (3.11)

Характеристики (3.3), (3.10), (3.11) могут быть определены по конечной реализации случайного процесса за время Т. При этом

          (3.12)

           (3.13)

Эти выражения являются оценкой соответствующих функций (2.2) и (2.3). Если оценки соответствующих взаимокорреляционных функций равны их истинным значениям, то такие функции являются несмещенными. Вычисление данных формул по (3.12) и (3.13) приводит к несмещенным оценкам, однако их точность при больших интервалах τ может вызвать погрешность.

При применении ЭВМ для вычисления корреляционной функции необходимо получить значения ординат случайного процесса отстающих друг от друга на интервал Δt.

Величина Δt должна быть такой, чтобы между двумя соседними ординатами случайного процесса была линейная зависимость:

.

Тогда (3.12) и (3.13) примут вид:

         (3.14)

         (3.15)

Для определения как можно более точного значения корреляционной функции можно выделить те факторы, которые влияют на полученный результат:

точность получения ординат случайного процесса зависит от класса точности регистрирующего прибора;

величина Δt

 - наибольшая из геометрических частот процесса. Т.к. она чаще всего независима, то примем экспериментальный метод определения Δt. По записи случайного процесса выбирают участок записи и проводят линию математического ожидания случайного процесса и определяют

Далее . Теперь можно выбрать максимальное значение τ

. Определяется время реализации случайного процесса

.

Полученная по формуле (3.15) корреляционная функция может быть аппроксимирована следующей кривой:

      (3.16)

 - определяются по соответствующему значению корреляционной функции.

Преобразование Фурье от полученной зависимости дает спектральную плотность:

           (3.17)

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

,clear=5.7950;=4.7036;

k=0.85;=1.1;=2.3969;=18.4090;=0.0095;=s2^2;

%Коэффициенты при соответствующих степенях

a1=a*s2^2+s1;=a*s1+1;=a;=0;

b1=0;=2*a*D*k^2;

%Вычисление дисперсии разомкнутой системы

I3=(a2*b0-a0*b1+(a0*a1*b2)/a3)/(2*a0*(a1*a2-a0*a3))=Ti*s2^2;=a*s2^2*Ti+k*Kp*Ti+Ti;=a*(k*Kp+Ti)+k;=a*k;

b0=0;=0;=2*a*D*(k*Ti)^2;=0;

%Вычисление дисперсии замкнутой системы

I4=(b0*(a2*a3-a1*a4)-a0*a3*b1+a0*a1*b2+(a0*b3/a4)*(a0*a3-a1*a2))/(2*a0*(a0*a3^2+a1^2*a4-a1*a2*a3))=

I3 =13.0390

I4 =0.3051

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ АСР ПО ЗАДАЮЩЕМУ И ВОЗМУЩАЮЩЕМУ ВОЗДЕЙСТВИЯМ

Структурная схема системы с ПИ-регулятором и датчиком температуры:

Рис.4.1 График переходного процесса АСР с ПИ-регулятором и датчиком температуры при задающем воздействии

Передаточная функция датчика температуры:

Передаточная функция объекта:

По графику переходного процесса (рис4.1.) определяем cследующие характеристики:

1)   перерегулирование s = 15.5 %;

2)      время регулирования t_рег= 25с.

По графику видим, что ПИ-регулятор хорошо отрабатывает задающее воздействие. Статическая ошибка регулирования стремиться к пулю.

Структурная схема системы с ПИ-регулятором и датчиком температуры при возмущающем воздействии:

Рис.4.2. График переходного процесса при возмущающем воздействии

Структурная схема системы моделирования АСР по возмущающему воздействию и график переходного процесса приведены на рис(4.2).

Из него определяем cледующие характеристики:

1)       перерегулирование s=29 %;

2)      время регулирования t_рег=30с.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В курсовой работе было рассмотрено моделирование САР температуры в объекте второго порядка. В результате расчетов были построены графики экспериментальной и переходной характеристики объекта регулирования. Были найдены передаточная функция датчика и ПИ-регулятора. Определены статистические характеристики случайного сигнала по заданной реализации случайного процесса. Рассчитана дисперсия выходного сигнала разомкнутой и замкнутой АСР при воздействии случайного сигнала на входе АСР.

Все проделанные расчеты были выполнены в пакете MATLAB 6.5

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.      Макаров И.М., Менский Б.И. Линейные автоматические системы.- М., Машиностроение, 1982г.

2.      Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования.- СПб, «Профессия», 2000г.

3.      Дудников, Балакирев.“Экспериментальные исследования динамических характеристик промышленных объектов” 1972г.

4.      Ильин О.П., Анхимюк В.Л. Основы технической кибернетики.- Мн., 1975г.

.        ”Наладка средств автоматизации и АСР” под редакцией Клюева В.С. 1990г.

6.      Кузьмiцкi I.Ф., Кобрынец В.П., Аŷсяннiкаŷ А.В. Мадэляванне аб’ектаŷ i сiстэм кiравання: Вучэбны дапаможнiк для студэнтаŷ ВНУ спецыяльнасцi «Аŷтаматызацыя тэхналагiчных працэсаŷ i вытворчасцяŷ». - Мн.: БГТУ, 2003г.