Синтез следящей системы

СИНТЕЗ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ

Задание

. Рассчитать последовательную корректирующую цепь постоянного тока для следящей системы, исходная система неустойчивая, структурная схема которой приведена на рис.1. Исходные данные приведены в таблице 1.

. Рассчитать время переходного процесса и установившуюся ошибку следящей системы по условиям первого задания.

. Построить модель исследуемой системы и провести моделирование системы без коррекции и с коррекцией. Сравнить результаты расчетов с результатами моделирования.

Таблица 1

Индивидуальное задание

Содержание

1. Схема следящей системы и вид задающего воздействия

. Синтез следящей системы

.1. Синтез последовательной корректирующей цепи

. Расчет времени переходного процесса и установившейся ошибки следящей системы

.1 Расчет времени переходного процесса

.2 Вычисление установившейся ошибки

. Моделирование работы автоматической системы с использованием пакета Simulink

. Список использованной литературы

1. Схема следящей системы и вид задающего воздействия

Рисунок. 1. Схема следящей системы

Вид задающего воздействия:

          (1)

последовательный корректирующий цепь ток следящий

где - начальная скорость движения, - ускорение движения

2. Синтез следящей системы

.1 Синтез последовательной корректирующей цепи

W(p) - передаточная функция исходной, нескорректированной системы,

WК(p) - передаточная функция последовательной корректирующей цепи,

WЖ(p) - передаточная функция скорректированной системы с заданными (желаемыми) динамическими характеристиками.

Выбор желаемой передаточной функции WЖ(p) осуществляется методом логарифмических амплитудных характеристик на основании требований, предъявляемых к автоматической системе.

 (2)

В соответствии с рис.1 передаточная функция исходной (нескорректированной) системы

 (3)

где К1=kЧЭkУkДkР -добротность системы по скорости,

ТД и Ту - постоянные времени исполнительного двигателя и усилителя соответственно.

При построении желаемой ЛАХ весь частотный диапазон 0<w<¥ условно делится на три области: частоты w < w₂ относят к низкочастотной области, частоты w₂ £ w £ w₃ определяют область средних частот, частоты w > w₃ - cвысокочастотную область. Для того чтобы автоматическая система обладала требуемым запасом устойчивости, асимптота ЛАХ, пересекающая ось частот, должна иметь наклон 20 дБ/дек и иметь вполне определенную протяженность. Так, при заданном показателе колебательности М =1.45 протяженность этой асимптоты

причем ее положение относительно оси частот определяется отрезками

     и                                                  (4)

Вычислив, получим следующие значения:=10.1, L3=4.5

В соответствии с выражением (2)

К(w) = LЖ(w) - L(w) (5)

Передаточная функция последовательной корректирующей цепи WК(p) по ЛАХ (Рис. 1), будет иметь следующий вид:

 (6)

интегро-дифференцирующее звено, где Tс=0.172c, TД=0.1c, Td=2.08c, Te=0.016c.

Из формулы (2) следует

 (7)

3. Расчет времени переходного процесса и установившейся ошибки следящей системы.

.1 Расчет времени переходного процесса

Аналитически время переходного процесса в следящей системе может быть определено через ее передаточную функцию.

 (8)

Из формул (7) и (8) выведем выражение для HЖ :

                       (9)

Для упрощения вычислений пренебрежем, за незначительностью, высокочастотными составляющими в формуле (9).

Переходная характеристика системы связана с ее передаточной функцией обратным преобразованием Лапласа

 (11)

По формулам (10) и (11) вычислим h*(t)

Построим переходную характеристику - Рис. 3.

Быстродействие определяется длительностью переходного процесса tП. В данной работе считается, что переходный процесс завершен, когда величина  становится равной 5%. Таким образом:

h(tП)=1.05

tП ≈ 0.275с

Рисунок 3. Переходная характеристика скорректированной системы

.2 Вычисление установившейся ошибки

Значение установившейся ошибки (при отсутствии возмущающих воздействий) вычисляется по следующей формуле:

          (12)

где g(t) - задающее воздействие, определенное формулой (1).

Расчет коэффициентов системы по ошибке C0, C1, C2 производится по следующей формуле:

                                       (13)

На основе выражения, полученного для передаточной функции замкнутого контура скорректированной системы HЖ(p) можно определить передаточную функция замкнутого контура скорректированной системы по ошибке.

    (14)

На основании выражений (13) и (14) рассчитаем значение первых трех коэффициентов системы по ошибке:

Значение установившейся ошибки получим с учетом исходных данных и формул (1), (12):

Таким образом, установившаяся ошибка системы в течение времени будет неограниченно возрастать. При отсутствии же ускорения в системе ее значение будет равно 0.007096.

Рисунок 4. График значений установившейся ошибки xуст

4. Моделирование работы автоматической системы с использованием пакета Simulink

Подавая на вход построенных моделей единичный скачок, были получены следующие графики:

·        На Рис.5 представлен сигнал на выходе исходной нескорректированной системы.

·        На Рис.6 приведен сигнал на выходе скорректированной системы.

Определим перерегулирование и время переходного процесса

o      время переходного процесса:

tП ≈ 0.275с ;

o      перерегулирование

                                                  (15)

где y(max) - максимальное значение регулируемой величины, y(∞) - установившееся значение ошибки.

.

·        На Рис.7 приведен график зависимости установившейся ошибки в системе при подаче на вход исходного задающего воздействия.

Установившаяся ошибка, судя по графику на рис. 6, равна

 ,

Это значение близко к полученному ранее. Расхождение между ними обосновано пренебрежениями и округлениями в ходе расчетов.

Рисунок 5. Сигнал на выходе не скорректированной системы

Рисунок 6. Сигнал на выходе скорректированной системы

Рисунок 7. Сигнал на входе не скорректированной системе исходным задающим воздействием

Рисунок 8. Сигнал на входе не скорректированной системе исходным задающим воздействием

5. Список использованной литературы

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972.

. Радиоавтоматика / Под ред. В.А.Бесекерского. М.: Высшая школа, 1985.

. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / Под ред. В.А. Бесекерского. М.: Наука, 1978.

. Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического регулирования. М.: Высшая школа, 2004.

. Мироновский Л.А., Петрова К.Ю. Введение в MATLAB. Учебное пособие. ГУАП, СПб, 2006.

. Matlab: официальный учебный курс Кембриджского университета/ Hunt, Brian R. и др./ - М.: Триумф, 2008.