Разностные уравнения и их применение в экономике
План
Введение
Глава 1.
Разностные уравнения
§ 1. Основные
понятия и примеры разностных уравнений
§ 2. Решение
разностных уравнений
Глава 2.
Применение аппарата разностных уравнений в экономической сфере
§ 1. Модель
экономического цикла Самуэльсона-Хикса
§ 2.
Модель рынка с запаздыванием сбыта
§ 3.
Рыночная модель с запасами
§ 4.
Динамическая модель Леонтьева
Выводы
Литература
Введение
В последние десятилетия математические методы всё настойчивее проникают в
гуманитарные науки и в частности, в экономику. Благодаря математике и её
эффективному применению можно надеяться на экономический рост и процветание
государства. Эффективное, оптимальное развитие невозможно без использования
математики.
Целью данной работы является изучение применения разностных уравнений в
экономической сфере общества.
Перед данной работой ставятся следующие задачи: определение понятия
разностных уравнений; рассмотрение линейных разностных уравнений первого и
второго порядка и их применение в экономике.
При работе над курсовым проектом были использованы доступные для изучения
материалы учебных пособий по экономике, математическому анализу, работы ведущих
экономистов и математиков, справочные издания, научные и аналитические статьи,
опубликованные в Интернет - изданиях.
Глава 1. Разностные уравнения
§1. Основные понятия и примеры разностных уравнений
Разностные уравнения играют большую роль в экономической теории. Многие
экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений. Разберем
основные понятия разностных уравнений.
Пусть время t выступает как
независимая переменная, а зависимая переменная определяется для времени t, t-1, t-2 и
т.д.
Обозначим
через 
значение в момент времени t; через 
- значение функции в момент, сдвинутый назад на
единицу (например, в предыдущем часу, на предыдущей неделе и т.д.); через 
- значение функции y в момент,
сдвинутый на две единицы назад, и т.д.
Уравнение
(1)
где
- постоянные, называется разностным неоднородным
уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнение
(2)
В
котором 
=0, называется разностным однородным уравнением n-го
порядка с постоянными коэффициентами. Решить разностное уравнение n-го
порядка - значит найти функцию , которая
обращает это уравнение в верное тождество.
Решение,
в котором отсутствует произвольная постоянная, называется частным решением
разностного уравнения; если же в решении есть произвольная постоянная, то оно
называется общим решением. Можно доказать следующие теоремы.
Теорема
1. Если однородное разностное
уравнение (2) имеет решения 
и 
, то решением будет также функция
где
и 
-
произвольные постоянные.
Теорема
2. Если 
- частное решение неоднородного разностного уравнения
(1) и 
- общее решение однородного уравнения (2), то общим
решением неоднородного уравнения (1) будет функция
-
произвольные постоянные. Эти теоремы сходны с теоремами для дифференциальных
уравнений. Системой линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными
коэффициентами 
называется система вида
где
- вектор из неизвестных функций, 
- вектор из известных функций.
Есть
матрица размера n
n.
Эта
система может быть решена сведением к разностному уравнению n-го
порядка по аналогии с решением системы дифференциальных уравнений.
§
2. Решение разностных уравнений
Решение
разностного уравнения первого порядка. Рассмотрим
неоднородное разностное уравнение
f(t). (3)
Соответствующее
однородное уравнение есть
0. (4)
Проверим,
будет ли функция 
решением
уравнения (3).
Имеем
Подставляя
в уравнение (4), получаем
Следовательно,
есть решение уравнения (4).
Общее
решение уравнения (4) есть функция
где
C - произвольная постоянная.
Пусть
- частное решение неоднородного уравнения (3). Тогда
общее решение разностного уравнения (3) есть функция
Найдем
частное решение разностного уравнения (3), если f(t)=c,
где c - некоторая переменная.
Будем
искать решение в виде постоянной m. Имеем
,
Подставив
эти постоянные в уравнение
получаем
откуда
Следовательно,
общее решение разностного уравнения
Есть
.
Пример1. Найти с помощью разностного уравнения формулу
прироста денежного вклада А в сбербанке, положенного под p %
годовых.
Решение. Если некоторая сумма 
положена
в банк под сложный процент p, то к концу года t её размер
составит
Это
однородное разностное уравнение первого порядка. Его решение
где
C - некоторая постоянная, которую можно рассчитать по
начальным условиям.
Если
принять 
, то C=A, откуда
Это
известная формула подсчета прироста денежного вклада, положенного в сбербанк
под сложный процент.
Решение
разностного уравнения второго порядка. Рассмотрим
неоднородное разностное уравнение второго порядка
(5)
и
соответствующее однородное уравнение
(6)
Если
k
является корнем уравнения
(7)
есть
решение однородного уравнения (6).
Действительно,
подставляя 
в левую часть уравнения (6) и учитывая (7), получаем
Таким
образом, если k - корень уравнения (7), то - решение уравнения (6). Уравнение (7) называется
характеристическим уравнением для уравнения (6). Если дискриминант 
характеристическое уравнение (7) больше нуля, то
уравнение (7) имеет два разных действительных корня 
и 
, а общее
решение однородного уравнения (6) имеет следующий вид:
Общее
решение неоднородного уравнения (5) таково:
где
- частное решение неоднородного уравнения (5), а и -
произвольные постоянные, которые можно вычислить по начальным условиям,
например y(0)=, y(1)=
.
Пример
2. Найти решение разностного
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
7,
удовлетворяющего
начальным условиям 
Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего
однородного разностного уравнения таково:
Корни
уравнения 
, 
действительны
и различны. Следовательно, общее решение однородного разностного уравнения есть
функция 
Предположим
далее, что 
c есть частное
решение неоднородного уравнения, тогда
Откуда
Таким
образом, общее решение заданного неоднородного уравнения есть функция
Постоянные
и определяем
по начальным условиям
Для
t=0 и t=1 соответственно получаем
Решая
систему уравнений
Находим
Поэтому
в итоге имеем 
Глава
2. Применение аппарата разностных уравнений в экономической сфере
§1.
Модель экономического цикла Самуэльсона-Хикса
В
экономических науках в целях простоты модели, связанные с запаздыванием,
записывают в виде разностных уравнений, то есть в виде уравнений с дискретным
временем.
Так,
модель Самуэльсона-Хикса предполагает, что рост потребления 
запаздывает от роста национального дохода 
, т.е. что
(1)
где
- предельная склонность к потреблению при увеличении
текущего дохода на единицу (
), а 
- автономное потребление.
Предполагается
также, что предприниматели осуществляют инвестиции 
после того, как убедятся в том, что приращение
национального дохода устойчиво. Поэтому, принимая решение об объеме инвестиций,
они ориентируются на приращение национального дохода не в текущем, а в
предшествующем периоде:
(2)
Здесь
- коэффициент, именуемый акселератом.
Условие
равенства спроса и предложения имеет вид
(3)
Подставляя
в (3) выражение для из (1), из (2),
находим:
(4)
Уравнение
(4) называется уравнением Хикса. Пусть величины , и постоянны.
Тогда уравнение Хикса представляет собой линейное неоднородное разностное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
В
реальной экономике 
, а 
. При
таких значениях предельной склонности к потреблению и акселератора решение
уравнения Хикса неустойчиво и носит колебательный характер: возрастание
сменяется быстрым убыванием, убывание - возрастанием. Это означает, что даже
при постоянном темпе капиталовложений экономика имеет неустойчивый характер
(раз нарушенное равновесие больше не восстанавливается), а периоды подъема
экономики чередуются с периодами спадов (кризисов).
Поясним
это на числовом примере.
Пример
(уравнение Хикса). Предположим, что 
, 
, 
. Тогда уравнение Хикса имеет вид
(5)
Найдем
частное решение. Положив 
и подставив в (5) получим
, 
Частное
решение 
. Найдем общее решение соответствующего однородного
уравнения.
Корни
характеристического уравнения
равны
.
Этим
корням соответствуют линейно независимые решения вида
И
,
где
.
После
округления получим 
и 
.
Рис.1
Модель Самуэльсона-Хикса
Таким
образом, общим решением однородного уравнения является функция 
График
этой функции при 
и 
изображен
на рис.1,а.
Из
последнего примера наглядно видно, что решение уравнения Хикса 
очень быстро принимает неправдоподобные значения. В
действительности такой сильной раскачки значений национального дохода не
происходит. Размер национального дохода не может превышать величину
национального дохода полной занятости. Это ограничивает амплитуду колебаний
объема национального дохода сверху. С другой стороны, объем инвестирования не
может быть меньше отрицательной величины амортизации и это ограничивает
амплитуду колебания величины национального дохода снизу. В результате колебания
размера национального дохода принимают вид, изображенный на рис.1,б. Они имеют
конечную амплитуду и характеризуют экономические циклы подъема и спада производства.
В реальности часто складывается такая рыночная ситуация, что цикл производства
продукции отстает от цикла ее реализации. Это характерно, например, для
сельского хозяйства. И в промышленном производстве предложение формируется на
основе цены в предшествующий период. Таким образом, функция предложения 
сдвинута по времени относительно
цены 
, т.е. будем полагать, что 
, в то время как функция спроса 
одномоментно отвечает цене: 
. Для простоты рассмотрим линейные
зависимости спроса и предложения от цены:
.(1)
Условие равновесия предполагает равенство предлагаемого и востребованного
объемов товара: 
, откуда с учетом (1) имеем
или 
.
Поделив обе части этого равенства на 
и переходя для удобства на шаг
вперед по времени, получаем линейное неоднородное разностное уравнение первого
порядка относительно цены с постоянными коэффициентами:
.(2)
Пусть 
тогда 
.
Характеристическое уравнение имеет единственный корень, равный 
. Частное же решение уравнения (2)
удобно искать в виде постоянной величины:
; 
.
После подстановки в это уравнение оно легко определяется:
.(3)
Величина 
является равновесной ценой. Общее решение уравнения (2)
определяется формулой
,(4)
где 
- произвольная величина.
Пусть в начальный момент времени известна цена 
(задача Коши), тогда подстановкой в
равенство (4) находим
или 
,
так что в окончательном виде получаем
или 
.(5)
Проанализируем полученное решение. В зависимости от входных параметров
задачи и 
формул (1) динамика цены во времени
может быть разной. Здесь возможны три варианта:
1)
, 
-
текущая цена расходится с равновесной ценой с увеличением размаха колебаний
вокруг нее. Такие колебания с нарастающей амплитудой называются взрывными;
)
, 
- текущая
цена стремится к равновесной цене с колебаниями около нее;
)
- две точки равновесия: в зависимости от четности t
имеет место колебание от одной точки к другой. В этой ситуации говорят, что
цена совершает регулярные или циклические колебания около равновесного уровня.
а
б
в
0 1 2 3 4 
Рис.
2.
Недостатки
этой модели достаточно очевидны. Во-первых, расходящиеся и циклические
колебания на практике на наблюдаются, поскольку производители учатся на своих
ошибках: рано или поздно они заметят, что их ожидания, основанные на сохранении
цены прошлого периода, не оправдываются и они изменят процедуру определения
ожидаемой цены. Например, производители могут определять предложение товара,
исходя из средневзвешенных цен нескольких предшествующих периодов. Во-вторых, в
модели не учтено воздействие совокупного поведения всех производителей.
Представим себе, например, что речь идет о рынке картофеля и пусть в какой-то
год его предложение было сравнительно небольшим, а цена - высокой. Тогда можно
предположить, что отдельный фермер в этой ситуации будет расширять посадки
картофеля, ожидая, что его высокая цена сохранится. Однако, если все фермеры
поступят таким образом, то на следующий год под влиянием возросшего предложения
цена картофеля снизится.
Наконец,
совсем не обязательно исходить из предположения гибкости цены данного товара и
совпадения спроса с предложением в каждом периоде. Изменение цены может
происходить и в неравновесной ситуации под влиянием избыточного спроса.
§3. Рыночная модель с запасами
В этой модели предполагаются запасы товара как разность между
предложением и спросом . Примем следующие допущения.
. Спрос 
и предложение 
представляют собой линейные функции
от текущей цены 
:
.(1)
. Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на
предшествующий период, причем разница в ценах во времени пропорциональна
относительной величине запаса с некоторым коэффициентом 
(при наличии запаса цена на товар в
последующий период падает):
.(2)
Подстановка соотношений (1) в (2) приводит к линейному разностному
уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами относительно цены :
или
.(3)
Пусть 
, тогда 
, следовательно 
. Характеристическое уравнение имеет
единственный корень, равный 
. Частное же решение уравнения (3) удобно искать в виде
постоянной величины:
.
Величина является равновесной ценой, или стационарным решением
уравнения (3) Общее решение уравнения (2) определяется формулой
.
Пусть 
- значение цены в начальный момент времени 
, тогда решение этого уравнения имеет
вид
или 
.(4)
Сходимость во времени к значению существенно зависит от величины и
знака основания степени в (4) 
. Рассмотрим все возможные случаи сочетания этих параметров
задачи:
)
, откуда 
- монотонная сходимость к равновесному значению ;
)
, откуда 
, т.е. 
;
)
, откуда 
- сходимость цены к равновесному значению с колебаниями около него;
)
, т.е. 
- две точки равновесия: и , на каждом шаге по времени цена
«перескакивает» с одного значения на другое;
)
, т.е. 
- цена расходится с увеличением амплитуды
колебаний.
а
б
в
г
д
0 1 2 3 4
Рис. 3.
§ 4. Динамическая модель Леонтьева
разностный
уравнение динамический рынок
Так как мы рассмотрели продуктивную модель межотраслевого баланса
безотносительно ко времени, т.е. все ее компоненты полагались осредненными за
некоторый временной интервал и «одномоментными». В реальности продукт,
предназначенный для внутреннего и конечного потребления в период , определяется не текущим выпуском, а
выпуском в последующий период 
. Эта задержка производства обусловлена многими факторами, в
частности инерцией планирования и перенастройки, мобилизацией внутренних
ресурсов и изменение транспорта сырья и т.д.
С учетом этого система уравнений баланса, в предположении о постоянстве
доли внутреннего потребления каждой отраслью, будет иметь следующий вид
(1)
Соотношения (1) составляют систему линейных разностных уравнений первого
порядка с постоянными коэффициентами 
.
Как и прежде, введем вектор валового выпуска 
, матрицу прямых затрат 
и вектор конечного потребления 
. Тогда систему (1) можно переписать
в матричной форме:
.(1)
Теперь задача формулируется следующим образом: при заданном векторе
конечного потребления и матрице 
определить динамику (изменение во времени) вектора валового
выпуска .
Одна из основных задач прогноза с использованием динамической модели
Леонтьева такова: известны динамика вектора конечного потребления и вектор валового выпуска 
в начальный момент времени ; требуется рассчитать вектор
валового выпуска на момент времени 
. Эту задачу можно решить при помощи
формулы:
.(2)
Пример 1. Пусть известны продуктивная матрица , а также заданные в момент времени векторы валового выпуска 
и 
, указанные в этой таблице:
Решение. Вектор конечного потребления, согласно условию задачи, имеет вид
.
Применяя формулу (11), получаем 
.
Теперь нужно вычислить матрицу 
изменяя состояния и вектор 
и подставить их в это уравнение.
Выполняя указанные действия, получим решение поставленной задачи:
Таким образом, при указанном темпе роста продукта конечного потребления
необходимо через два временных цикла увеличить компоненты валового выпуска
соответственно на 
, 
и 
по сравнению с исходными величинами на начальный момент
времени.
Литература
1. Красс
М. С. Математика для экономических специальностей: Учебник. -М.: ИНФРА-М,
1998.- 464 с.
. Беллман
Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения: М.: Издательство «Мир»,
1967
. П.
В. Конюховский, А. С. Налетова. Построение моделей динамики выпуска продукции
фирмы на основе линейных разностных уравнений второго порядка/Вестник
Санкт-Петербургского университета, 2005. Сер.5. Вып.4
. Дыхта
В. А. Динамические системы в экономике. Введение в анализ одномерных моделей.
Учебное пособие. Иркутск: Издательство БГУЭП, 2003.-173с.
. Ахтямов
А. М. Математика для социологов и экономистов: Учебное пособие. - М.:ФИЗМАТЛИТ,
2006. - 464 с.