Реализация проблемного обучения на кружковых занятиях учащихся 5-го класса

Реализация проблемного обучения на кружковых занятиях учащихся 5-го класса

Департамент образования города Москвы

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

города Москвы

"Московский городской педагогический университет"

Математический факультет

Кафедра теории и методики обучения математике в школе

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

По теме: "Реализация проблемного обучения на кружковых занятиях учащихся 5-го класса"

По специальности 050201.65 "Математика" с дополнительной специальностью "Информатика"

Студентки

курса очной

формы обучения

Тафинцевой А.А.

Научный руководитель:

Доцент, к.п.н.

Фёдорова Н.Е.

Москва, 2010

Оглавление

Введение

Глава I. Проблемное обучение в рамках внеклассной работы

§1. Особенность метода проблемного обучения в условиях внеклассной работы

. Место проблемного обучения в педагогических концепциях

2. Основы проблемного обучения

3. Внеклассная работа и проблемное обучение

§2. Кружковая работа как форма индивидуализации обучения

§3. Особенности исследовательской деятельности школьников 5класса

Глава II. Методика реализации проблемного обучения в рамках кружковой работы

§1. Методические рекомендации по реализации проблемного обучения на кружковых занятиях в 5 классе

§2. Кружок математики в 5 классе, организованный с помощью проблемного метода обучения

Заключение

Библиография

Приложения

Введение

Школьное образование предназначено для того, чтобы подготовить человека к дальнейшей жизни, главной его функцией является будущее развитие общества. Необходимо так построить обучение, применяя различные педагогические концепции и методы, чтобы в дальнейшей своей жизни люди смогли, опираясь на знания и умения, усвоенные из школы, решить любые жизненные задачи, которые могут возникнуть перед ними сегодня.

Научно- техническая революция в 20 веке резко усложнила характер труда, он стал преимущественно интеллектуальным, что требовало внесения корректив в систему массового образования. Над начальной школой были надстроены среднее и старшие звенья, с принципиально иным, научным содержанием знаний. Однако выяснилось, что многие учащиеся не владеют необходимыми способностями для их усвоения. Это и породило неразрешимое противоречие между массовостью среднего образования и интеллектуальным потенциалом учащихся. Что и явилось основанием для поиска новых концепций и методов обучения и воспитания.

Одной из таких концепций является концепция проблемного обучения, разработка которой в нашей стране началась в середине 60-х годов 20 века. Но предпосылки к ее появлению и развитию появились еще в древности, в трудах некоторых ученых и философов. Например, Сократ широко применял эвристический метод обучения в виде бесед, Платон и в научных трудах, и педагогической деятельности использовал метод диалога. Можно найти отдельные аспекты проблемного обучения в трудах таких ученых, как М.Монтень, Я.Коменский, И.Г.Песталоцци, К.Д.Ушинский, А.Дистервег, Дж.Дьюи.

В нашей стране исследования в области проблемного обучения в полной мере начались в 60-х годах 20-го века. Разработкой тех или иных аспектов проблемного обучения и проблемного обучения как концепции в целом занимались с того времени, и занимаются сегодня многие ученые и практики:

М.Н.Скаткин, И.Я.Лернер, В.Оконь, Н.А.Менчинская, М.И.Махмутов, А.М.Матюшкин, Л.М.Фридман, А.В.Брушлинский и др.

Актуальна концепция проблемного обучения и при изучении математики. С появлением стандартов второго поколения это становится особенно важно. На первый план выходит развитие личности, а это и является целью проблемного обучения. Основными видами деятельности учащихся, в соответствии со стандартами, становятся: анализ и осмысление текста задачи, переформулирование условия, извлечение необходимой информации; построение логической цепочки рассуждений; критическое оценивание полученного ответа, осуществление самоконтроля, проверка ответа на соответствие условию. Эти действия присутствуют при разборе и решении проблемных задач.

Но не всегда достаточно того материала, который дается на уроках, не всегда находится возможность осуществить его изложение при помощи методов проблемного обучения. Для развития математических способностей, интереса к математике необходима организация внеклассной работы по предмету. Существует много различной литературы, посвященной этой теме, в том числе конкретных разработок, например, кружковых занятий. Этим вопросом в разное время занимались такие авторы как: В.А.Гусев, Б.А.Кордемский, Н.А.Козловская, А.В.Фарков и др.

Не было найдено разработок, которые бы освещали внеклассную работу, а точнее кружковую работу, организованную с применением методов проблемного обучения. Это и обуславливает актуальность данного исследования.

Цель данной дипломной работы - разработка кружка математики для 5 класса с применением методов проблемного обучения.

Для достижения цели данного исследования были поставлены следующие задачи:

.        анализ психолого-педагогической литературы по теме исследования;

.        анализ методической литературы с целью отбора содержания кружка;

.        разработка методических рекомендаций по проведению математического кружка с применением проблемного метода;

.        Разработка вариантов занятий математического кружка для 5 класса с применением проблемного метода.

Решение поставленных задач определило структуру дипломной работы. Она состоит из двух глав, введения, заключения, библиографии и приложения. Первая глава посвящена изучению положения проблемного обучения в различных педагогических концепциях, определению особенностей проблемного обучения и выделению главных его понятий. Необходимо обосновать возможности применения проблемного метода во внеклассной работе, в частности на кружке. Также рассматриваются психолого-педагогические особенности применения проблемного обучения в младшем подростковом возрасте. При разработке занятий учитывались принципы проблемного обучения и психологические особенности той возрастной категории учащихся, для которой предполагается проведение этих занятий. проблемный обучение внеклассный дидактический эвристика

Во второй главе приведены методические рекомендации по реализации проблемного обучения на кружковых занятиях и соответствующие данным рекомендациям занятия, материал для которых отбирается в соответствии с рядом приведенных требований. Учитель математики может использовать данные методические рекомендации и конкретные материалы кружка, приведенные в исследовании, для организации работы кружка с применением проблемного метода.

Глава I. Проблемное обучение в рамках внеклассной работы.

§1. Особенность метода проблемного обучения в условиях внеклассной работы.

1. Место проблемного обучения в педагогических концепциях

В теории и практике педагогики в настоящее время существует большое количество разнообразных концепций, теорий, подходов к обучению, основанных на тех или иных образовательных целях, на тех или иных особенностях передачи или усвоения знаний, развития личности учащихся и т.д. Наиболее теоретически обоснованные и методологически развитые из них формируют педагогические технологии. В соответствии с определением ЮНЕСКО педагогическая технология представляет собой системный метод планирования, применения и оценивания всего процесса обучения и усвоения знаний путем учета человеческих и технических ресурсов и взаимодействия между ними для достижения более эффективной формы образования[9].

Технологии обучения характеризуются рациональной организацией учебной деятельности, возможностью получить желаемый результат с наименьшими затратами, методологическим уровнем рассмотрения педагогических проблем, внедрением системного мышления, позволяющего сделать учебный процесс управляемым, упорядоченностью действий, гарантирующих достижение педагогических целей.

Существует много различных педагогических технологий и концепций, которые классифицируются по тем или иным характерным признакам. Для определения сущности проблемного обучения и установления его характерных особенностей рассмотрим некоторые из наиболее часто встречающихся подходов к классификации педагогических технологий и определим в них место проблемного обучения.

Так, в настоящее время существует несколько основных научных концепций процесса обучения, представляющих теории построения системы мыслительной активности, в частности процесса запоминания и воспроизведения информации, формирования умений и навыков:

ü  ассоциативно-рефлекторные,

ü  бихевиористские,

ü  гештальттехнологии,

ü  интериоризаторские,

а также менее распространенные технологии

ü  нейролингвистическое программирование,

ü  суггестопедия

Они основываются на различных особенностях мышления и психики. Например, согласно ассоциативно-рефлекторной концепции (И.М.Сеченов, И.П.Павлов, Ю.А.Самарин и др.) знания усваиваются в результате образования в сознании учащегося ассоциаций различного характера, согласно суггестопедической (В.Н.Мясищев, Г.К.Лозанов и др.) - в результате эмоционального внушения, согласно гештальттехнологии (М.Вертхеймер, Г.Мюллер, К.Коффка и др.) - в результате запечатления в сознании структуры и смысла информационных блоков-гештальтов. Концепция проблемного обучения имеет в своей основе подоплеку развития, а не усвоения знаний, вместе с тем, в ней заложена идея большей прочности знаний при их самостоятельном достижении учащимся.

По целевой ориентации педагогические технологии подразделяются на несколько групп:

ü  направленные на формирование знаний, умений и навыков,

ü  направленные на формирование способов умственных действий,

ü  направленные на формирование эстетических и нравственных отношений,

ü  направленные на формирование самоуправляемых механизмов личности (технологии саморазвития),

ü  направленные на формирование действенно-практической сферы и на развитие творческих способностей.

Необходимость каждой из этих целей признается, как правило, любой педагогической технологией. Вместе с тем, каждая педагогическая технология по-своему расставляет акценты в иерархии целей обучения. Так, в традиционном подходе к обучению отдается приоритет передаче учащимся максимального объема знаний, умений и навыков, что в итоге должно привести к развитию личности и формированию базы для саморазвития. Приоритет знаниям, умениям и навыкам отдается и многими более или менее современными педагогическими концепциями, такими как программированное обучение (П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина и др.), технология укрупнения дидактических единиц (П.М.Эрдниев, Б.П.Эрдниев) и т.п. - представляющими собой усовершенствование методики преподавания и структуры учебного материала. Технологии развивающего обучения также предполагают передачу учащимся значительного объема знаний, умений и навыков, но при этом они сместили образовательные акценты: знания являются не самоцелью, а средством: средством развития теоретического мышления (В.В.Давыдов, Д.Б.Эльконин и др.), или всестороннего развитие ученика (Л.В.Занков и др.).

Проблемное же обучение в настоящее время имеет несколько разновидностей, в зависимости от того, какая цель выделяется педагогом в качестве основной. Это может быть усвоение учащимися знаний, умений и навыков, тогда педагог руководит и направляет процесс разрешения проблемных ситуаций, и за счет увеличения самостоятельности и персонализации получаемых знаний, они в большей степени усваиваются учениками, чем при объяснительно-иллюстративных и репродуктивных методах. Учебный процесс в этой ситуации активизируется за счет большего интереса со стороны учеников.

Основной целью может стать творческое развитие учащихся, тогда педагог использует по большей части проблемные ситуации, изначально не имеющие однозначного ответа, поощряет творческое начало в учениках, отдает им учебную инициативу - проблемное обучение превращается в совершенно иной вид обучения. У проблемного обучения есть определенная связь также с теорией и практикой методов дополнительного образования - общая идея обучения как индивидуально интересного процесса субъективного открытия. Проблемное обучение может быть близко и к развивающему обучению, если его задачей ставится развитие интеллекта учеников - за счет увеличения самостоятельности учащихся при разрешении проблемных ситуаций формируется активная познавательная деятельность, достигается свобода и органичность применения способов умственных действий. В теории все эти цели признаются в проблемном обучении, но на практике педагог самостоятельно выстраивает ту или иную иерархию при структурировании учебного материала, разработке методики и реализации учебного процесса.

Еще одной важнейшей классификацией педагогических технологий является в настоящее время их разделение по подходу к ученику, по определению его места в системе обучения. В рамках данной классификации выделяются три главные группы:

ü  авторитарные технологии (предполагающие безоговорочное подчинение ученика учителю, полный контроль последним учебного процесса, подавление инициативы и самостоятельности),

ü  дидактоцентрические или технократические технологии (предполагающие приоритет обучения над воспитанием, главным фактором формирования личности признаются дидактические средства),

ü  личностно-ориентированные технологии.

Последние завоевывают все более прочные позиции: в современной педагогике на первом плане оказывается ученик как субъект деятельности, и основные педагогические усилия направляются на его познавательное и личностное развитие. Как и в предыдущем случае, классификация проблемного обучения зависит от смысла, который вкладывается в это понятие, от основных целей, которые ставятся педагогом. Если цель заключается в том, чтобы разнообразить и усовершенствовать учебный процесс за счет активизации учащихся, то тогда проблемное обучение можно отнести к дидактоцентрическим концепциям. Если же методы проблемного обучения применяются для того, чтобы у учеников развивалось творческое мышление, интеллект, то проблемное обучение можно отнести к личностно-ориентированным концепциям.

Таким образом, в настоящее время проблемное обучение является не столько педагогической технологией, сколько методикой или даже подходом к обучению, и в зависимости от уровня той или иной своей составляющей может служить различным целям и органично применяться в различных действующих педагогических технологиях. Рассмотрим подробнее основы проблемного обучения и методику его организации.

. Основы проблемного обучения

Концепция проблемного обучения, как и любая другая педагогическая концепция, при ее формулировке неизбежно раскрывает субъективные особенности сознания, предпочтения педагога или исследователя. Именно поэтому в педагогической литературе даются различные определения этого понятия, в той или иной мере отражающие отношение автора к педагогическому процессу и соответствующую иерархию образовательных ценностей. Кроме того, у проблемного обучения имеется своя история развития, наложившая свой отпечаток на это понятие. И.Я.Лернер, стоявший у истоков популяризации проблемного обучения в России, понимал под проблемным обучением решение учащимся (под руководством учителя) новых для него познавательных и практических проблем в системе, соответствующей образовательно-воспитательным целям школы.

В теории М.И. Махмутова проблемное обучение представляет собой тип развивающего обучения, в котором сочетаются систематическая самостоятельная поисковая деятельность учащихся с усвоением ими готовых выводов науки, а система методов построена с учетом целеполагания и принципа проблемности; процесс взаимодействия преподавания и учения ориентирован на формирование познавательной самостоятельности учащихся, устойчивости мотивов учения и мыслительных (включая и творческие) способностей в ходе усвоения ими научных понятий и способов деятельности, детерминированного системой проблемных ситуаций [12].

Можно охарактеризовать проблемное обучение как систему научно обоснованных методов и средств, применяемую в процессе развивающего обучения. Эта система предполагает создание под руководством преподавателя проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность учащихся по их разрешению с целью, в первую очередь, интеллектуального и творческого развития учащихся, а также овладения ими знаниями, навыками, умениями и способами познания.

Проблемное обучение обеспечивает возможности творческого участия обучаемых в процессе освоения новых знаний, формирование познавательных интересов и творческого мышления, высокую степень органичного усвоения знаний и мотивации учащихся.

Фактически основой для этого является моделирование реального творческого процесса за счет создания проблемной ситуации и управления поиском решения проблемы. При этом осознание, принятие и разрешение этих проблемных ситуаций происходит при оптимальной самостоятельности учащихся, но под общим направляющим руководством педагога в ходе совместного взаимодействия.

Как отмечает М.И. Махмутов, основным понятием проблемного обучения является проблемная ситуация. Проблемную ситуацию можно представить как "интеллектуальное затруднение человека, возникающее в случае, когда он не знает, как объяснить возникшее явление, факт, процесс действительности, не может достичь цели известным ему способом, что побуждает человека искать новый способ объяснения или способ действия. Проблемная ситуация обуславливает начало мышления в процессе постановки и решения проблем" [12]. Таким образом, все проблемное обучение строится на принципе проблемности, противоречия как закономерности познания, как основного механизма, активизирующего обучение уже на уровне учащихся.

Поскольку мыслительная активность является характеристикой развития интеллекта, воспитание которого является одной из основных задач всестороннего гармонического развития личности, и в тоже время, высокая степень мыслительной активности является необходимым условием для эффективного обучения, поэтому эти идеи были положены в основу проблемного обучения. Проблемное обучение характеризуется постановкой проблемной задачи (созданием проблемной ситуации), которая приводит к появлению познавательной потребности, в связи с чем повышается мыслительная активность учащегося и развивается интеллект, что приводит, по мнению М.И. Махмутова, к эскалации способностей учащегося и его мотивации к обучению [12].

В проблемном обучении, как и в традиционном, признается важность всех тех же функций, однако несколько изменяется расстановка акцентов, иерархия образовательных целей:

·        Развитие интеллекта, познавательной самостоятельности и творческих способностей учащихся;

·        Усвоение учениками системы знаний и способов умственной практической деятельности;

·        Формирование всесторонне развитой личности.

Проблемному образованию приписываются также следующие специальные функции, являющиеся, по большому счету, конкретизацией общих применительно именно к проблемному образованию:

·        воспитание навыков творческого усвоения знаний (применение отдельных логических приемов и способов творческой деятельности);

·        воспитание навыков творческого применения знаний (применение усвоенных знаний в новой ситуации) и умение решать учебные проблемы;

·        формирование и накопление опыта творческой деятельности (овладение методами научного исследования и творческого отображения действительности);

·        формирование мотивов обучения, социальных, нравственных и познавательных потребностей.

Наиболее важными функциями, характерными для проблемного обучения, являются, во-первых, развитие творческих способностей учащихся и, во-вторых, развитие практических навыков использования знаний и повышение уровня освоения учебного материала.

С помощью чего организуется проблемное обучение? Конечно, как и любой другой тип обучения, оно организуется различными методами. Будем рассматривать метод обучения как систему организации взаимодействия преподавателя и учащихся, призванную обеспечивать достижение педагогических целей.

В зависимости от целей исследования методы обучения классифицируются в педагогической литературе по различным критериям. Существуют также и различные классификации методов непосредственно проблемного обучения применительно к целям, которые оно ставит перед собой, и средствам, которыми оно располагает. Так, по способу решения проблемных задач иногда выделяют четыре метода:

·        проблемное изложение (педагог самостоятельно ставит проблему и самостоятельно решает ее),

·        совместное обучение (педагог самостоятельно ставит проблему, а решение достигается совместно с учащимися),

·        исследование (педагог ставит проблему, а решение достигается учащимися самостоятельно),

·        творческое обучение (учащиеся и формулируют проблему, и находят ее решение).

По характеру взаимодействия и распределению активности педагога и учащихся также иногда выделяют пять способов организации учебного процесса (называемые также бинарными методами), в которых соответствующему методу преподавания соответствует свой метод учения (сообщающий и исполнительный, объяснительный и репродуктивный, инструктивный и практический, объяснительно-побуждающий и частично-поисковый, побуждающий и поисковый).

Остановимся более подробно на классификации методов проблемного обучения, предложенной М.И. Махмутовым , названных им дидактическими способами организации процесса проблемного обучения. За основу своей классификации им, по всей видимости, была принята классификация методов обучения по характеру (степени самостоятельности и творчества) учащихся, предложенная еще в 1965 году И.Я. Лернером и М.Н. Скаткиным. Эта классификация до настоящего времени является наиболее распространенной в российской педагогической науке: объяснительно-иллюстративный метод (называемый также иногда информационно-рецептивным), репродуктивный метод, метод проблемного изложения, эвристический, исследовательский метод.

К методам проблемного обучения обычно относят

·        исследовательский;

·        эвристический;

·        проблемное изложение [13].

Исследовательский метод занимает центральное место в проблемном обучении. А.Я.Блох с соавторами утверждают, что этот метод предполагает построение процесса обучения наподобие процесса научного исследования. Осуществление основных этапов исследовательского процесса, разумеется, в упрощенной, доступной учащимся форме: выявление неизвестных фактов, подлежащих исследованию; уточнение и формулировка проблемы; выдвижение гипотез; составление плана исследования; осуществление исследовательского плана, исследование неизвестных фактов и их связей с другими, проверка выдвинутых гипотез; формулировка результата; оценка значимости полученного нового знания, возможностей его применения.

Важная особенность исследовательского метода состоит в том, что в процессе решения одних проблем постоянно возникают новые.

"Проблемное изложение подготавливает базу для применения эвристического метода, а эвристический метод - для применения исследовательского метода".

Необходимо отметить особую значимость методов проблемного обучения в воспитательном отношении: они формируют и развивают творческую познавательную деятельность учащихся, способствуют правильному уяснению мировоззренческих проблем, а это очень важно. Но осуществить обучение проблемным методом на уроке не всегда возможно, в силу ряда причин:

·        ограниченность времени на уроке;

·        регламентированная программа, которую должен освоить ученик за определенное время;

·        различный уровень учеников в классе;

·        не всегда можно изложить ту или иную тему, используя методы проблемного обучения.

Вывод: Целесообразно применять проблемное обучение не только на уроках, но и во внеклассной работе, где предусмотрена большая свобода действий. Кроме того, на занятия во внеурочное время чаще приходят школьники, заинтересованные в изучении математики, а значит, именно с ними одним из оптимальных методов работы будет проблемный метод.

. Внеклассная работа и проблемное обучение

На уроке математики всегда можно заинтересовать и увлечь школьников. Но также необходимо обучить определенному комплексу процедур математического характера; занимательность изложения подчинена этой цели; развитие способностей учащихся происходит в рамках изучения обязательного материала, поэтому не всегда можно найти достаточно времени для развития интереса к предмету и творческого мышления.

Возможности развивать различные способности у учащихся, прививать интерес к математике предоставляют различные внеклассные и внешкольные формы занятий. Эти мероприятия, по мнению А.Я. Блоха, могут быть нацелены на развитие определенных сторон мышления и черт характера учащихся [13].

"Математический кружок-одна из наиболее действенных и эффективных форм внеклассных занятий по математике. В основе кружковой работы лежит принцип строгой добровольности. Обычно кружковые занятия организуются для хорошо успевающих учащихся. Однако следует иметь в виду, что иногда и слабо успевающие учащиеся изъявляют желание участвовать в работе математического кружка и нередко весьма успешно занимаются там. Учителю математики не следует этому препятствовать". Исходя из этого, ученики, посещающие кружковые занятия более нацелены на интересную и творческую работу, так как они уже показывают свой интерес к предмету тем, что посещают необязательные кружковые занятия

В работе математического кружка обычно выделяются два направления. Первое в основном ориентировано на развитие мышления и формирование первоначального интереса к математике, второе - на углубление знаний по математике и параллельно с этим на дальнейшую работу по развитию мышления.

На занятиях кружка одной из главных целей является развитие творческого мышления. Разбор нестандартных интересных заданий, должен дать возможность для творческой деятельности, в этом здесь и может помочь проблемное обучение, которое направлено на развитие творческого мышления, организовать которое позволят проблемные задачи.

Существуют различные определения проблемной задачи. А.В. Петровский писал, что возникновение задачи - в отличие от проблемной ситуации - означает, что удалось хотя бы предварительно и приближенно расчленить данное (известное) и неизвестное (искомое).

В то же время А.М. Матюшкин указывает, что задача есть "способ знакового предъявления задания одним человеком другому (или самому себе), включающий указания на цель и условия ее достижения".

При возникновении проблемной ситуации, для того чтобы решить данную проблему необходимо провести анализ возникшей ситуации. В процессе этого анализа выявляются все составные компоненты проблемной ситуации, связи и отношения между ними, характер и особенности преграды, и результаты этого анализа выражаются на каком-то языке. Получающееся при этом описание проблемной ситуации - её знаковая модель - и есть задача.

Л.М.Фридман раскрывает понятие задачи так: "Генезис задачи можно рассматривать как моделирование проблемной ситуации, в какую попадает субъект в процессе своей деятельности, а саму задачу - как знаковую модель проблемной ситуации, выраженную с помощью знаков естественного и/или искусственного языков".

У А. Н. Леонтьева задача - "это цель, данная в определенных условиях".

В. Н. Пушкин приводит такое определение задачи: "задача - это результат определенного этапа мыслительной деятельности человека. Постановка, формулировка задачи зависит от того, как была проанализирована проблемная ситуация".

Рассмотрев различные взгляды на определение проблемной задачи, мы пользуемся определением Л.М. Фридмана, так как именно в нем, по нашему мнению, более полно раскрывается понятие проблемной задачи. Действительно, учитель, создавая проблемную ситуацию, моделирует ее самостоятельно, отталкиваясь от того, каких целей он хочет добиться, на пути решения этой проблемы. Мы будем говорить о преподавании математики с помощью проблемного метода, а значит и язык, с помощью знаков которого будет выражена задача, будет особый, математический.

Что значит творческие задания в математике: это задания, требующие нестандартного подхода. В этих заданиях не всегда сразу можно определить пути их решения, иногда может казаться, что не в состоянии решить ту или иную задачу, поэтому и необходимо развивать навыки решения проблемных задач: именно при решении проблемных задач и формируются творческое мышление, познавательная самостоятельность, мотивация. Ученик решает возникающие проблемные задачи, и по ходу решения у него значительно активизируется мыслительная деятельность, он ищет все возможные пути решения возникшей проблемы, он более самостоятелен, ему интересно найти решение этой проблемы. Материал, изученный и осмысленный таким образом, лучше всего запоминается. Ученик сам делает выводы и приходит к решению проблемы, а не просто воспринимает необходимый материал со слов учителя. Самостоятельный поиск решения проблемной ситуации развивает чувство ответственности, повышает самомотивацию, волю учащихся. Кроме того, в процессе проблемного обучения предполагается, что учащиеся будут самостоятельно выбирать и обрабатывать самые разные источники информации, в том числе и те, с которыми они будут работать в последующем, и обращаться к этим источникам им приходится чаще, чем тем, кто обучается по традиционной программе.

"И как здорово, что в момент поиска нас никто не подгонял, наши идеи созревали в спокойной обстановке, мы их обдумывали, корректировали, отказывались от них, заменяя новыми. Мы понимали, что творчество требует времени".

В этой ситуации и актуальны кружковые занятия, организованные по принципу проблемного обучения. Не всегда решение проблемы может быть найдено за одно занятие. Для самостоятельного решения многих проблемных задач учащимся придется искать различную литературу и взаимосвязи с уже знакомым материалом, а на уроках учитель не мог бы затратить достаточно времени для того, чтобы учащиеся могли, как следует подумать над решением проблемы, рассмотрели различные гипотезы и варианты, а потом бы еще и обосновали самостоятельно сделанные выводы.

§2. Кружковая работа как форма индивидуализации обучения

"Математический кружок - одна из наиболее действенных и эффективных форм внеклассных занятий. В основе кружковой работы лежит принцип строгой добровольности". Как правило, кружковые занятия организуются для хорошо успевающих учащихся. Иногда и слабо успевающие учащиеся изъявляют желание участвовать в работе математического кружка. Необходимо более внимательно отнестись к таким учащимся, постараться укрепить имеющиеся у них ростки интереса к математике, организовать работу в математическом кружке так, чтобы она оказалась для них посильной. Не смотря на то, что наличие слабо успевающих учащихся среди членов математического кружка затрудняет работу учителя, необходимо путем индивидуализации заданий, предлагаемых кружковцам, ослабить эти трудности.

Рассмотрим мнения разных педагогов об индивидуализации обучения на уроке и во внеурочное время. И.М.Чередов считал, что с точки зрения дидактических соотношений следует понимать индивидуализацию обучения как принцип процесса обучения. В исследованиях различных авторов понятие индивидуализации обучения обычно соотносят с понятием дифференциации. Эти понятия часто смешиваются. Одни педагоги соотносят дифференциацию с образованием, а индивидуализацию с обучением, другие дифференциацию рассматривают как одну из форм индивидуализации. Ряд авторов понятие дифференциации подчиняют понятию индивидуализации, другие полагают, что индивидуализация - частный случай дифференциации.

И.М.Осмоловская понимает под дифференцированным обучением - учет индивидуальных особенностей, присущих группам учеников, и организация вариативного учебного процесса в этих группах, а под индивидуализацией -предельный вариант дифференциации, когда учебный процесс строится с учетом особенностей не групп, а каждого отдельно взятого ученика.

А.А. Кирсанов рассматривает индивидуализацию учебной работы как систему воспитательных и дидактических средств, соответствующих целям деятельности и реальным познавательным возможностям коллектива класса, отдельных учеников и групп учащихся, позволяющих обеспечить учебную деятельность ученика на уровне его потенциальных возможностей с учетом целей обучения.

"Поначалу под индивидуализацией обучения понимали лишь обеспечение различного темпа учебной работы школьников в соответствии с их способностями… . Было установлено, что недостаточная индивидуализация учебной работы школьников препятствует оптимальному развитию их способностей, влечет за собой снижение уровня знаний".

"Индивидуализация обучения математике предполагает и обязательную его дифференциацию, которую следует понимать как всестороннюю доступность и результативность обучения для всех учащихся для каждого из них в отдельности.

Отметим, что индивидуализация обучения математике не означает отказ от коллективной деятельности учащихся в процессе обучения; она означает лишь органическое единство индивидуальной и коллективной учебной деятельности школьников. Основными целями индивидуализации обучения любому учебному предмету, и в частности математике, следует считать:

) развитие и использование в обучении индивидуальных качеств личности школьника;

) развитие и использование в обучении познавательных интересов каждого школьника;

) развитие и использование в обучении интеллектуальных способностей и талантов каждого школьника;

) оптимальное развитие способностей к обучаемости у каждого школьника;

) подготовка к сознательному выбору профессии;

) развитие у каждого школьника навыков самостоятельной учебной деятельности.

В связи с этим учителю математики необходимо хорошо изучить каждого из своих учащихся с точки зрения уровня знаний, обучаемости, действенности интересов и способностей. А это удобнее делать именно на кружковых занятиях, где более неформальная обстановка чем на уроках, занятия можно планировать в более свободной форме, чем урок, допустимы отступления от программы кружка, тому или иному вопросу можно посвятить больше времени.

Для того чтобы успешно это осуществить, полезно применять определенную систему тестовых упражнении, имеющих целью проверить;

) уровень обучаемости;

) умение самостоятельно работать;

) умение читать с пониманием и нужной скоростью учебный текст;

) способность к сообразительности;

) уровень развитии того или иного компонента математического мышления;

) познавательные интересы и т. п.".

На кружке можно уделить этому достаточное время, в отличие от урока, где необходимо выполнять четкий план.

На уроке индивидуализация может быть осуществлена лишь некоторыми способами, например самостоятельной работой разного уровня сложности. По мнению А.Я. Блоха при организации самостоятельных работ отдельные ученики класса могут выполнять задания, учитывающие в достаточной степени их индивидуальные особенности и интересы [13].

На кружках же можно гораздо больше индивидуализировать обучение путем беседы, различными творческими заданиями каждому конкретному ученику в зависимости от его увлечений, способностей и возможностей и др.

На кружке часто применяется, так как ее легче организовать в рамках кружка, групповая работа учащихся, что очень эффективно в рамках проблемного обучения. Групповая работа приводит к укреплению межличностных отношений, развивает взаимодействие в учебном микросоциуме. Решение проблемных задач производится, как правило, в группах небольшого и среднего размера. В случае применения группового метода проблемного обучения учащиеся получают навыки коллегиального решения рабочих проблем. "Нам не нужна ничья оценка во время поиска, но мы будем рады разделить радость успеха с друзьями, тут они нам необходимы".

Кружковые занятия призваны мотивировать учащихся на изучение математики, особенно это актуально при проведении занятий в 5-7 классах, в 8-9 классах акцент смещается на углубление знаний по математике. В этом отношении проблемное обучение, имеет более выигрышное положение, по отношению к традиционному, так как его характеризует творческая, а не репродуктивная деятельность учащихся. Ученики получают больше возможности самореализоваться в процессе обучения, постоянная постановка и решение проблемных задач является более приемлемой для поддержания неослабевающего интереса и активности учащихся.

§3. Особенности исследовательской деятельности школьников 5 класса

Возраст человека представляет собой важное условие, определяющее многие особенности того, как этот человек учится. Ученики 5-6 классов - это дети 11-12 лет. Это период когда заканчивается младший школьный возраст и наступает подростковый. В психическом развитии подростка основная роль принадлежит устанавливающейся системе социальных взаимоотношений с окружающими. Своеобразие социальной ситуации развития подростка состоит в том, что он включается в новую систему отношений и общения с взрослыми и товарищами, занимая среди них новое место, выполняя новые функции. По сравнению с младшим школьником подросток должен устанавливать отношения не с одним, а со многими учителями, учитывать особенности их личности и требований. Л. И. Божович отмечал, что именно это определяет совсем иную позицию учащихся по отношению к учителям и воспитателям, как бы эмансипирует подростков от непосредственного влияния взрослых, делая их значительно более самостоятельными. [1].

Но самое главное изменение в социальной ситуации развития подростка, подчеркивает Л. И. Божович, состоит в той роли, которую выполняет в этот период коллектив учащихся.

Организуя работу с подростками, необходимо учитывать, что на их поведение и деятельность существенное влияние оказывает мнение товарищей. Во всех своих действиях и поступках они ориентируются, прежде всего, на это мнение.

Постоянное взаимодействие подростка с товарищами порождает у него стремление занять достойное место в коллективе. Это один из доминирующих мотивов поведения и деятельности подростка. Это стремление влияет на отношение подростка к обучению, с помощью достижений в учебе он может самоутвердиться.

Учение для подростка является главным видом деятельности. В учебной деятельности, как и во всех остальных, проявляются психологические особенности развития подростков и оказывают на нее влияние. Нужно уметь пользоваться этими особенностями для достижения лучших результатов в обучении.

В подростковом возрасте начинает ярко проявляться самостоятельность. В этот период учащиеся многое могут делать самостоятельно и стремятся расширить сферу такой деятельности. В этом они находят возможность удовлетворения бурно развивающейся потребности быть и считаться взрослым. Самостоятельность необходима при исследовательской деятельности, поэтому целесообразно именно в этом возрасте начинать включать исследовательскую деятельность в процесс обучения. Ребенок сможет проявить себя, почувствовать свою значимость. А если исследовательская деятельность будет проводиться в группах, то тем самым можно положительно влиять и на самооценку подростка, так как особую роль для него играет мнение окружающих и важность его действий для окружающих.

По мнению М.В. Матюхиной большим достоинством подростка является его готовность ко всем видам учебной деятельности, которые делают его взрослым в собственных глазах. Его привлекают самостоятельные формы организации занятий на уроке, сложный учебный материал, возможность самому строить свою познавательную деятельность за пределами школы. Беда же подростка состоит в том, что эту готовность он еще не умеет реализовать, ибо он не владеет способами выполнения новых форм учебной деятельности. Обучить этим способам, не дать угаснуть интересу к ним - важная задача педагога [10]

Задача педагога постепенно вводить элементы различных форм учебной деятельности, новых для подростков, тем самым еще больше развивая интерес к предмету. Это касается и исследовательской деятельности. Младшие школьники не в состоянии производить исследования и делать выводы в силу своих психологических особенностей и маленького опыта в обучении. В младшей школе для поддержания осмысленных учебных действий необходима регуляция действий школьника со стороны учителя. В средней школе ученик в большей мере приобретает способность к самостоятельной регуляции действий. Г.Клаус считал, что происходит постепенное расширение пространства его действий, планов, принятия решений. Ребенок научается выполнять задания, ставить цели, искать нужную ему информацию, взаимодействовать с другими людьми, решать задачи и преодолевать трудности. [6]

Подростки уже окончили начальную школу, овладели некоторыми видами деятельности и испытывают потребность в новых знаниях, умениях и навыках. И задачей учителя является постепенное знакомство с разными видами деятельности, еще не знакомыми подросткам.

М.В. Матюхина считает, что подростки испытывают большое эмоциональное удовлетворение от исследовательской деятельности. Им нравится мыслить, делать самостоятельные открытия. Неудовлетворение познавательной потребности и познавательных интересов вызывает у подростков не только состояние скуки, апатии, безразличия, но порой и резко отрицательное отношение к "неинтересным" предметам. При этом для подростков в равной степени имеет значение, как содержание, так и процесс, способы, приемы овладения знаниями [10].

Подросткам важно применение своих знаний, важна возможность нахождения новых приемов учебной работы, что необходимо при проблемном обучении. Особое значение придается возрастным изменениям тех путей, которыми учащиеся находят новые приемы. Эти пути становятся с возрастом более сложными, разнообразными и активными.

По мнению Е.Н. Какбановой-Меллер возрастные изменения очень заметны в тех путях, которыми учащиеся не только применяют усвоенные знания, но и самостоятельно раскрывают новые понятия, закономерности. Это выявляется в известном факте, что старшеклассники легче решают проблемные задачи, чем младшие школьники [5]. С точки зрения возрастной динамики развития структуры математических способностей Ж. Пиаже считал, что ребенок только к 12 годам становится способным к абстрактному мышлению[7]. Абстрактное мышление играет важную роль в исследовательской деятельности, но в младшем школьном возрасте оно практически не развито. Ф. Отиа утверждал, что лишь с 11-12 лет ребенок начинает проявлять в математике способность к абстрагированию и начинает рассуждать в отвлеченной форме. Под влиянием школьного обучения возникает тенденция к формализации математического материала в процессе его восприятия, способности высматривать в конкретном математическом выражении или задаче их формальную структуру [7]. Эта способность к формализации встречается у способных учащихся младшего школьного возраста. Тенденция к "свернутости" восприятия усиливается от начальной школы к средней. Способность к обобщению материала, начинает складываться раньше всех других. "С возрастом обобщение становится все более широким, распространяется на больший круг однородных математических явлений. В младшем школьном возрасте наблюдается относительно более простой вид обобщения - движение от частного к известному общему. Этот вид обобщения достигает большого развития в среднем школьном возрасте". Как правило, обобщение от частного к неизвестному общему встречается только в начале среднего школьного возраста. Именно такое обобщение от частного неизвестному общему и является одним из ключевых моментов исследовательской деятельности. В младшем и отчасти среднем школьном возрастах обобщение вызывается каким-либо внешним стимулом (указание учителя, логика задачи). В среднем школьном возрасте уже явно обнаруживается потребность в обобщении. Особенного развития она достигает в старшем школьном возрасте.

В среднем школьном возрасте начинают проявляться математические способности, более всего необходимые для исследовательской деятельности. Ученикам хочется проявить долю самостоятельности, делать какие-то выводы, самостоятельно узнавать и открывать что-то новое для себя. Задача учителя заметить желание ученика и помочь ему реализовать его.

Выводы

§  Проблемное обучение должно стать одним из основных подходов в обучении математике.

§  Проблемное обучение предполагает активную самостоятельную деятельность учащихся, которая способствует интеллектуальному и творческому их развитию, овладению ими знаниями, умениями и способами познания.

§  Осуществление обучения проблемным методом на уроке не всегда возможно, поэтому целесообразно использовать этот метод во внеклассной работе.

§  Наиболее подходящей формой внеклассной работы, организованной с помощью проблемного обучения для учащихся 5 класса, является кружок.

§  Проявление учащимися самостоятельности, так присущей подростковому периоду развития, может помочь при организации исследовательской деятельности, осуществляемой в рамках проблемного обучения.

§  В связи с маленьким опытом самостоятельного обобщения материала, необходимого при проблемном обучении, лучше применять метод проблемного обучения на внеклассных занятиях.

§  В этом возрасте надо всячески развивать и укреплять интерес учащихся к математике и кружок, построенный с использованием метода проблемного обучения, может в этом помочь.

Глава II. Методика реализации проблемного обучения в рамках кружковой работы

§1. Методические рекомендации по реализации проблемного обучения на кружковых занятиях в 5 классе

В качестве одной из главных целей, которые мы ставили перед собой в данной работе, являлась разработка занятий для проведения кружка математики в 5 классе с использованием метода проблемного обучения. Данная возрастная категория выбрана не случайно, так как в 5 классе учатся дети 11-12 лет. Это период когда учащиеся переходят из категории младшего школьного возраста в категорию подросткового. Этот период развития относят к младшему подростковому возрасту, поэтому учащимся данного возраста не в полной мере соответствуют особенности развития памяти, мышления и внимания, присущие подросткам, они у них только начинают претерпевать изменения. Тем не менее, уже в этом возрасте начинают проявляться некоторые особенности учащихся данной возрастной категории. В данный период очень важна та роль, которую выполняет коллектив учащихся. Подросткам очень важно мнение окружающих, необходимость занять достойное место в коллективе. С помощью достижений в учебе он может самоутвердиться. Так же учащиеся становятся более самостоятельными, поэтому можно применять в обучении данной категории новые формы и методы обучения, которые в младшем школьном возрасте были не актуальны, в силу особенностей развития младших школьников.

Одним из новых видов деятельности, которые необходимо постепенно включать в работу, является исследовательская деятельность. При исследовательской деятельности необходимо умение делать самостоятельные выводы от частного к общему и даже от частного к неизвестному общему, но у младших подростков практически нет опыта в этом вопросе. Данное исследование призвано помочь учителю в развитии способностей учащихся и овладению ими новыми формами и видами деятельности, активно применяемыми в дальнейшем обучении.

Еще только предстоит формирование навыков работы с помощью той или иной форм деятельности, поэтому, мы считаем возможным начинать формирование этих умений не на уроках, а на внеклассных занятиях, в частности, на кружке.

В соответствии с функциями проблемного обучения, можно выделить следующие цели организации кружковой работы проблемным методом:

ü  развитее творческого, логического и пространственного мышления;

ü  обучение новым для них видам деятельности и методам познания.

ü  развитие у школьников интереса к математике.

Подбор материала может быть очень разнообразен и может варьироваться в зависимости от предпочтений учащихся.

Требования к подбору учебного материала для реализации проблемного обучения на кружковых занятиях:

§  быть интересным учащимся;

§  давать возможность организовать занятия с использованием проблемного метода обучения, предполагающего исследовательскую деятельность, необходимость рассуждений и дальнейших выводов;

§  задания, предполагающие нестандартный подход в решении;

§  задания, предполагающие использование новых методов познания;

§  возможность проведения небольших исследований.

В младшей школе проблемный метод имеет не столь активное применение как в средней и, особенно, в старшей. Но для того, чтобы активно применять данный метод на уроках, необходимы некоторые навыки, поэтому мы считаем возможным организацию кружка по математики с применение проблемного метода обучения.

Методика проведения каждого занятия состоит в следующем:

ü  подбирается проблемная задача;

ü  для решения поставленной проблемной задачи проводится анализ условия и перевод ее на язык математики;

ü  осуществляется решение более простых задач, которые приводят к решению данной задачи;

ü  решается проблемная задача;

ü  выявляется метода решения данной задачи;

ü  анализируются возможности применения данного метода при решении аналогичных задач.

В младшем подростковом возрасте необходимо развивать и укреплять интерес к математике не только с помощью различных методов и форм организации обучения, но и с помощью самих заданий. Урок не всегда можно организовать с применение каких-либо занимательных задач. Для учащихся данной возрастной категории может быть не интересно просто "красивое" решение задачи или примера. Им важна занимательность задачи, возможная связь с жизнью, различные проблемы прикладного характера. Поэтому нами была сделана данная методическая разработка, которая должна помочь в развитии интереса к математике с помощью различных нестандартных задач. А для того чтобы понять, соответствует ли подобранный материал интересам учащихся, нами был проведен опрос, который показал задания какого вида и какой тематики учащимся интересны. Для проведения этого опроса учащимся были предложены несколько задач различной тематики, условно разделенных на две группы: задачи, вошедшие в программу кружка и задачи, не вошедшие в программу кружка. (Приложение 1)

Учащимся предлагалось попробовать самостоятельно решить данные задачи и присвоить каждому заданию балл от 1 до 10 в порядке возрастания интереса данного задания для них, то есть самому интересному заданию соответствует 10 баллов, а самому неинтересному - 1 балл. Таким образом, 1 балл может быть присвоен только одному из заданий, 2 балла - одному из заданий и так далее. Далее был проведен анализ всех работ учащихся, который представлен в следующей таблице.

Проанализировав данную таблицу, можно сделать вывод, что содержание кружка полностью удовлетворяет интересам учащихся и данные задачи довольно занимательны для них.

§2. Кружок математики в 5 классе, организованный с помощью проблемного метода обучения

Кружок рассчитан на 10 занятий. Возможно проведение кружка в любой период обучения в 5 классе, так как материал кружковых занятий не связан с программным материалом. С нашей точки зрения целесообразно проводить данный кружок во втором полугодии, а в первом полугодии можно организовать кружок, содержащий задания более высокого уровня сложности, но по тематике соответствующие программному материалу, а также задачи логического характера. Учащиеся должны усвоить систему работы на кружке, так как этот вид работы для них является новым. Во втором же полугодии можно переходить на новый уровень обучения, именно здесь и возможно проведение кружка, программа которого представлена в данной разработке.

Проблемное обучение направлено, прежде всего, на развитие творческих способностей школьников, умение нестандартно мыслить в различных ситуациях и при решение различных задач. Для того, чтобы организовать кружковые занятия с учетом способностей и возможностей каждого ученика, определить насколько нестандартно может мыслить каждый из учащихся, посещающих кружок, целесообразно на первых двух занятиях определить уровень творческих способностей каждого ученика. Итоги проведенного тестирования помогут понять, кому следует уделить больше времени и, может быть, задать какой-либо наводящий вопрос. Поэтому первые два занятия кружка проводятся для оценки уровня творческого мышления учащихся, необходимой при обучении с применением проблемного метода.

Для определения уровня творческого мышления предлагается использовать тест, разработанный в 1966 году Е.П. Торренсом, наиболее известные тесты определения уровня творческого мышления. В своих тестах он обратил основное внимание на сам процесс творческого мышления. Предполагается использовать адаптированный тест, прошедший апробацию среди американцев и россиян. Показатели по всем частям текста определяются следующими факторами, установленными в исследованиях Дж. Гилфорда:

·        "беглость" - способность продуцировать большое количество идей;

·        "гибкость" - способность применять разнообразные стратегии при решении проблем;

·        "оригинальность" - способность продуцировать необычные, нестандартные идеи;

·        "разработанность" - способность детально разрабатывать возникшие идеи. [19]

Все тесты сгруппированы в три батареи: вербальную, образную и звуковую. Мы остановим свое внимание на первой. Первая батарея поможет определить уровень словесного творческого мышления. Тесты в основном предназначены для использования в дошкольном и школьном возрасте.

Тест Е.П. Торренса на вербальное творческое мышление предназначен для диагностики у детей таких характеристик, как умение задавать информативные вопросы, устанавливать возможные причины и следствия применительно к ситуациям, изображенным на серии картинок, предлагать оригинальные способы применения обычных предметов, задавать нестандартные вопросы по поводу хорошо знакомого предмета, строить предложения.

Надежность тестов очень велика - от 0,7 до 0,9.

Вербальная батарея состоит из семи субтестов:

.        "Вопросы": требуется придумать как можно больше вопросов о происходящем на картинке.

.        "Причины": требуется придумать как можно больше причин, вызвавших события, происходящие на картинке.

.        "Следствия": требуется придумать как можно больше следствий, вытекающих из происходящего на картинке.

.        "Улучшение предмета": требуется придумать как можно больше способов улучшения игрушечного слона.

.        "Необычное использование": требуется придумать как можно больше способов необычного использования картонных коробок.

.        "Необычные вопросы": требуется придумать как можно больше необычных вопросов о картонных коробках.

.        "Невероятная ситуация": требуется придумать как можно больше последствий заданной невероятной ситуации.

Для проведения вербальной батареи необходимо 45 минут, без учета времени на инструкции. Более подробное описание дается в Приложении 2.

В связи с этим, целесообразно вербальную батарею тестов провести на первом занятии математического кружка.

Это тестирование не совсем соответствует предмету математики, но для определения уровня творческих способностей вообще, у детей школьного и дошкольного возраста, оно является самым распространенным и достоверным. Задачи со спичками, помогающие в развитии пространственного мышления и осуществлении целенаправленного поиска решения, предполагается включить в материал следующих двух занятий.

Развить логическое мышление и умение делать выводы целесообразно, в частности при решении математических ребусов. Поэтому занятие №4 возможно провести по этой теме. Решение задач с применением совершенно нового для учащихся метода можно осуществить на следующем занятии по новой для учащихся теме "Пересечение множеств". Предполагается обучение новому для учащихся методу решения задач, с использованием кругов Эйлера.

Формировать у учащихся умения анализировать и делать самостоятельные выводы предполагается при изучении новой для них темы топологического характера "Графы". Изучению данной темы предполагается отвести занятие №6.

Учить самостоятельному проведению небольших исследований и установлению опытным путем каких-то фактов, можно во время изучения темы "Геометрия нитей", которой предполагается отвести занятие №7.

Занятия №8,9 предполагается посвятить обобщению и систематизации знаний по всем ранее пройденным темам.

Название кружка: "Математическая шкатулка".

Цели:

Образовательные

§  учить осуществлять целенаправленный поиск решения задач,

§  учить делать самостоятельные выводы, применять их при решении задач,

§  формирование навыков исследовательской деятельности,

§  овладение математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности.

Развивающие

§  Развитие творческого, логического и пространственного мышления,

Воспитательные

§  Воспитание математической культуры учащихся,

§  Воспитание таких качеств личности, как целенаправленность, настойчивость в преодолении трудностей, самостоятельность, ответственность, точность и аргументированность высказываний,

§  Воспитание ответственного отношения к труду.

Возрастная категория: 11-12 лет.

Применяемые методы:

§  эвристический,

§  исследовательский,

§  проблемное изложение.

Планирование

Занятие № 3.

Тема: Задачи со спичками.

Цели: формировать умение осуществлять целенаправленный поиск решения задач на примере задач со спичками.

II этап: Разминка ума.

Постановка проблемы.

Задание №1. В музее, в котором собраны произведения искусства трех видов: картины, скульптуры и предметы быта - произошла кража из двух залов с разными произведениями искусства. В каждом из девяти залов музея собраны произведения искусства одного вида, при этом залы расположены так, что из одного зала с картинами не возможно напрямик попасть в другой зал с картинами, то есть из зала с картинами двери ведут только в залы с предметами быта и скульптурами и наоборот. Как узнать, что и в каких залах пропало, если известно, что на север и запад выходят окна залов с каждым видом произведений искусства, при условии, что из этих залов не пропало ни одного предмета быта?

Перевод на язык математики

Учитель: Для того чтобы выяснить, что же произошло, попробуем переформулировать задачу и перевести ее на язык математики.

Учитель: Каким образом музей может быть разделен на залы?

Ученик: Например

Учитель: Какое расположение возможно для залов с разными произведениями искусства? Что мы должны сделать, чтобы показать положение залов с теми или иными произведениями искусства на рисунке?

Ученик: Должны ввести обозначения для залов с разными произведениями искусства. Например:

 - предметы быта,

 - скульптуры,

 - картины.

Учитель: Как же теперь будет выглядеть наша схема с учетом введенных обозначений, если мы отобразим на ней все известные данные задачи?

Ученик: Схема может выглядеть, например, так:

Решение задачи

Учитель: Как же эта схема поможет нам в решении задачи?

Ученик: Можно, пользуясь сделанной схемой, понять закономерность расположения залов музея, чтобы отыскать залы, в которых произошла пропажа.

Учитель: Еще раз внимательно прочитайте условие задачи и посмотрите на рисунок. Какие выводы можно сделать?

Ученик: По рисунку сразу понятно, что пропажа произошла в залах со скульптурами и с картинами. Но необходимо понять расположение залов. Известно, что из зала со скульптурой невозможно попасть напрямик в другой зал со скульптурой. Можно сделать вывод, что в центральной части музея расположен зал с картинами, значит, третий зал со скульптурой расположен в юго-восточной части музея. Схема расположения залов будет выглядеть следующим образом:

III этап: Изучение нового материала.

Учитель: Решив предыдущую задачу, мы смогли найти пропажу. Каким образом мы это сделали?

Ученик: Выясняли возможное расположение элементов.

Учитель: А теперь мы рассмотрим следующую задачу и узнаем, что произойдет при изменении расположения элементов.

Задание №2. Из десяти спичек выложите три квадрата. Уберите одну спичку и сделайте из оставшихся спичек один квадрат и два ромба.

Учитель: Задачи со спичками предполагают практическое ее выполнение, т.е. для выполнения задания необходимо выложить то или иное изображение, фигуру. Что мы должны в первую очередь представлять, чтобы мы смогли выложить спичками те фигуры, которые от нас требуют в задании?

Ученик: Мы должны представлять, как выглядят эти фигуры. Т.е. как они изображаются.

Ученик: (рисует на доске)Квадрат - , ромб - ?( )

Учитель: Итак, мы вспомнили, как изображаются фигуры, теперь необходимо подумать, как расположить спички, чтобы получилась требуемая фигура.

Учащиеся пытаются выложить требуемую фигуру с помощью спичек, а потом все вместе обсуждают выложенные фигуры, и приходят к выводу, какой должна быть эта фигура.

Задание №3. Необходимо выложить фигуру таким образом, чтобы образовались один восьмиугольник, два квадрата и восемь треугольников, воспользовавшись при этом только 8 спичками.

Учитель: Как должна выглядеть эта фигура?

Учитель: Тогда для того, чтобы понять, как возможно выполнить это задание, предлагаю сначала такое задание.

Задание №4. Сколько здесь треугольников?

Решение этой задачи направленно на понимание учащимися возможного расположения различных фигур относительно друг друга.

Учитель: Вернемся к заданию№3.Теперь вы поняли, что возможно выкладывать фигуры, содержащие в себе другие фигуры. Но как же это сделать, воспользовавшись только 8 спичками?

Ученик: Так как фигуры могут состоять из более мелких фигур, можно выложить следующую фигуру

Учитель: Мы выполнили задания на составление фигур по тексту задачи. Теперь же мы займемся непосредственным преобразованием уже данных фигур, которые называют геометрическими.

IV этап. Решение геометрических задач со спичками

Постановка проблемы

Задание №5. Имеется помещение квадратной формы, разделенное на 9 одинаковых комнат квадратной формы перегородками. Необходимо снести восемь перегородок так, чтобы осталось две комнаты квадратной формы , одна в другой.

Перевод на язык математики.

Учитель: Чем можно воспользоваться для наглядного представления условия задачи?

Ученик: Спичками. Выложить с их помощью модель помещения, разделенного на 9 квадратных комнат.

Учитель: Какие же стены в помещении нужно снести, чтобы ответить на вопрос задачи?

Ученики совещаются и приходят к выводу, что можно разбить помещение на две квадратных комнаты, чтобы одна находилась в другой, можно несколькими способами, но только единственный способ разбиения можно осуществить, снеся только 8 стен.

Ученик:

Задание №6. Из спичек сложена фигура, состоящая из девяти равных треугольников. Уберите пять спичек так, чтобы осталось пять треугольников. Как это сделать?

Задание №7. Возьмите фигуру из задачи 5 и переложите шесть спичек так, чтобы получилась фигура, состоящая из шести равных четырехугольников.

Задание №8. Из спичек сложена фигура, состоящая из шести равносторонних треугольников. Переложите четыре спички так, чтобы получилось три равносторонних треугольника.

Мы научились выяснять возможное расположение различных элементов относительно друг друга, научились менять положение элементов, в чем нам помогали задачи со спичками. Задачи со спичками бывают различной тематики, поэтому для того, чтобы перейти к другим задачам, выполним сначала такое задание.

V этап.

Задание №9. На одной из старых улиц Москвы стоят два дома, на фасаде которых обозначена дата их постройки: а) MDCCCCV; б) MDCCCLXXXXIX. В каком году построен каждый дом? Упростите запись года, учитывая, что в римской записи чисел четыре одинаковые цифры подряд не пишут.

Учитель: Можем ли мы записать год, в котором был построен каждый дом?

Ученик: Не можем, так как мы не знаем, какая арабская цифра соответствует тому или иному знаку в римской нумерации и как записываются римские цифры.

Учитель: Необходимо узнать, что обозначает каждый знак в римской нумерации, и по каким правилам записываются числа. Это будет частью вашего домашнего задания. На следующем занятии, зная римскую нумерацию и правила, мы сможем продолжить решение задач.

VI этап. Итоги урока.

Учитель: Сегодня на уроке мы с вами занимались решением задач со спичками. Выполнили несколько заданий со спичками. Мы не смогли решить две задачи, так как не знаем, как изображается ромб и римскую нумерацию. К следующему занятию вам необходимо знать изображение ромба, также римскую нумерацию и правила записи римских чисел. (Одному из учащихся необходимо задать сделать доклад по римской нумерации и правилам записи римских чисел).

Занятие №4.

Тема: Задачи со спичками.

Цели: формировать умение осуществлять целенаправленный поиск решения задач в ходе решения задач со спичками.

II этап. Проверка домашнего задания.

Учитель: На прошлом занятии мы не смогли выполнить (два) задание(я). На дом вам было задано разобраться с римской нумерацией.

Доклад одного из учащихся на 5-7 минут по римской нумерации.

Необходимо записать на доске и в тетрадях следующую таблицу

Учитель: Теперь мы знаем обозначения римских цифр и правила записи, значит, мы можем выполнить задание, не получившееся на прошлом уроке.

Постановка проблемы

Задание №1. На одной из старых улиц Москвы стоят два дома, на фасаде которых обозначена дата их постройки: а) MDCCCCV; б) MDCCCLXXXXIX. В каком году построен каждый дом? Упростите запись года, учитывая, что в римской записи чисел четыре одинаковые цифры подряд не пишут.

Ученик: Дома построены в: а) 1905 году, б) 1899 году. Учитывая правила записи римских чисел, получатся следующие числа: а) MCMV; б) MDCCCXCIX.

Задание №2. Используя римскую систему записи чисел, запишите год своего рождения.

Учитель: Следующие задания тоже будут по римской нумерации, но уже с использованием спичек.

III этап.

Задание №3. Из спичек сложили шесть неверных равенств. Переложите в каждом равенстве по одной спичке так, чтобы равенства стали верными.

Задание №4. На столе лежит 9 спичек. Расположите их так, чтобы в каждом горизонтальном ряду было:

а)      по 4;

б)      по 6.

Учитель: мы рассмотрели фигуры, которые изображали числа в римской нумерации.

IV этап.

Постановка проблемы

Задание №9. 16 спичками изображают крепость и окружающий ее ров, наполненный водой. Как при помощи двух шестов (спичек), длина которых как раз ровняется ширине рва, пробраться в крепость?

Перевод на язык математики

Ученик: Нужно выложить с помощью спичек модель крепости и рва и так расположить две спички, чтобы по ним можно было "пройти" с берега в крепость.

Решение

Учитель: Каким же образом это можно осуществить, ведь каждый шест имеет такую же длину, какова и ширина рва?

Ученик: Нужно каким-то образом сложить два шеста.

Учитель: Что значит "сложить"? Связать? Но у нас нет веревки и каких-либо других приспособлений.

Ученик: Тогда нужно так их совместить, чтобы они держались без каких-либо приспособлений. Например, положить один на другой.

Учитель: В каком месте это возможно осуществить? Посмотрите внимательно на рисунок.

Ученик: В углах.

Учитель: Какое же должно быть расположение шестов, чтобы они не упали в воду?

Ученик: Здесь ров шире, чем везде, следовательно, не получится положить шест от одного берега до другого. Значит нужно положить шесты следующим образом:

Учитель: Правильно. Это единственное возможное расположение шестов для перехода на другой берег?

Ученик: Да

Учитель: А теперь самостоятельно потренируйтесь в выполнении задач на перекладывание спичек.

Задание №5. Спичечный рак ползет вверх. Переложите две спички так, чтобы он полз вниз.

Задание №6. Из спичек построен дом. Переложите две спички, чтобы дом повернулся другой стороной.

Задание №7. Этот греческий храм построен из одиннадцати спичек. Переложите четыре спички так, чтобы получилось пятнадцать квадратов.

Задание №8. Переложите три спички так, чтобы рыбка поплыла в противоположную сторону.

 этап. Подведение итогов урока

Учитель: Сегодня на уроке мы с вами более подробно познакомились с римской нумерацией и выполнили несколько заданий со спичками. В качестве домашнего задания по этой теме следующая задача: Переложите две спички так, чтобы корова смотрела в противоположную сторону. Ответ зарисуйте в тетради.

Занятие №5 (фрагмент)

Тема: Математические ребусы.

Цели: Формировать навыки решения математических ребусов.

II этап: Актуализация.

Постановка проблемы

Задание №1. На листе бумаги был решен пример. Петя разлил чай, и часть примера стерлась. Помогите Пете восстановить решение примера, если известно, что складывали два двузначных числа, в результате получилось трехзначное число, оканчивающееся на 98.

Учитель: Необходимо восстановить решение примера. Что нужно сделать, чтобы мы смогли помочь Пете?

Ученик: Необходимо записать пример.

Учитель: Как мы сможем это сделать, если мы не знаем некоторые цифры? Чтобы это понять, решим следующее задание.

Задание №2. Ученик решал пример на сложение. После того, как он его правильно решил, другой ученик стер некоторые цифры. Помоги восстановить первоначальную запись:

Учитель: Как необходимо начинать восстанавливать пример, с конца или с начала?

Начинаем восстанавливать пример с конца, так как при сложении могут получиться единицы переноса, которые нужно учитывать в старшем разряде. При сложении четырех чисел, одно из которых неизвестно, а остальные три числа 0, 4 и 5. В результате, сумма этих чисел оканчивается цифрой 7. В сумме все эти четыре числа не могут давать 7, так как 4+0+5 = 9, значит, вместе со стертым числом они должны давать 17, а это возможно только в том случае, если стертой цифрой была 8. Вместо следующей звездочки стояла цифра 7, так как при сложении в младшем разряде образовалась единица переноса, а сумма всех этих цифр равняется 1.

Проводя аналогичные рассуждения, учащиеся восстанавливают весь пример:

Учитель: Теперь можем вернуться к примеру из задания №1.

Ученик: Необходимо записать пример, обозначив стершиеся цифры звездочками.

Учитель: Как же был записан пример?

Ученик:

Учитель: Можем мы теперь восстановить цифры, вместо которых стоят звездочки?

Ученик: Можем. Обращаем внимание на то, что сумма двух двузначных чисел является трехзначным числом, последние две цифры которого 98. Значит, в результате сложения двух двузначных чисел может быть только число 198. Это число может получиться только в результате сложения двух наибольших двузначных чисел, каждое из которых 99. Исходя из этого, можно сделать вывод, что пример выглядел так:

Учитель: Мы восстановили несколько примеров, в которых были неизвестны некоторые числа. Теперь мы переходим к решению математических ребусов.

III этап: Введение нового материала.

Задание №3. Как из трех кошек сделать одну собаку?

Учитель: Чтобы выполнить задание, что мы должны сделать.

Ученик: Сформулировать его на языке математики.

Учитель: Подумайте, что может означать на языке математики это задание?

Ученик: Нужно произвести какие-то действия над тремя кошками, чтобы получилась одна собака.

Учитель: Какое действие может быть использовано в данной задаче?

Ученик: Сложение.

Учитель: Как тогда можем записать это.

Ученик: Например

Учитель: Какие есть предположения как мы буде решать этот ребус?

Ученик: ???

Учитель: Тогда попытаемся выполнить несколько других заданий, чтобы понять, как решаются такие ребусы.

Задание №4. Мальчик написал записку с помощью шифра:

Как расшифровать сделанную запись, если известно, что мальчик пользовался русским алфавитом?

Учитель: Как вы думаете, как, используя русский алфавит, можно расшифровать эту записку и что тогда обозначают цифры в этом ребусе?

Ученик: Возможно, если необходимо использовать русский алфавит, нужно каким-то образом связать каждое число с буквой.

Учитель: Какая может быть установлена связь?

Ученик: Возможно, каждое число обозначает порядковый номер буквы в алфавите, вместо которой стоит число в данном ребусе.

Учитель: Попробуйте выполнить это задание, воспользовавшись этим предположением.

Ученик: перебор дерево событие.

Учитель: Как вы считаете, подтвердились ваши предположения. Смогли вы решить ребус?

Ученик: Да, так как в результате замены цифр соответствующими буквами получились слова.

Учитель: Какие же предположения мы можем сделать исходя из решения данного задания для выполнения задания № 3?

Ученик: Необходимо заменить буквы цифрами и, возможно, нужно воспользоваться для этого алфавитом.

Учитель: Попробуйте выполнить это задание, воспользовавшись этим предположением.

Ученики пробуют заменить буквы цифрами, соответствующими их порядковому номеру в алфавите. У них не получается решить ребус таким способом.

Учитель: К каким выводам вы пришли, пытаясь заменить буквы цифрами, обозначающими их порядковый номер в алфавите?

Ученик: Для решения этого ребуса необходимо заменить буквы цифрами, но эти цифры могут не являться порядковыми номерами этих букв в соответствующем алфавите.

Учитель: С учетом сделанных выводов выполните данное задание.

Путем некоторых рассуждений и умозаключений учащиеся должны прийти к следующим выводам.

Ученик: Так как КА + КА + КА оканчивается на КА, то КА = 50, а значит, К = 5, А = 0. Так как Ш + Ш + Ш + 1 оканчивается на 0, то Ш = 3. Так как сумма трех чисел, начинающихся на 5, может начинаться лишь с 1, то С = 1. Рассматривая варианты для О, получаем, что О = 6 или О = 7, а значит, Б = 9 или Б = 2. Значит, получается два возможных решения этого ребуса:

Занятие №6 (фрагмент)

Тема: Пересечение множеств.

Цели: Учить решать задачи на пересечение множеств с помощью кругов Эйлера.

III этап: Введение нового материала.

Постановка проблемы

Задание №1. В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и волейболом - трое, волейболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни волейболом.

а)      Сколько ребят увлекается одновременно тремя видами спорта?

б)      Сколько ребят увлекается лишь одним видом спорта?

Учитель: С какой проблемой мы столкнулись в данной задаче? Что нам "мешает" в условии?

Ученик: В условии есть данные о количестве учащихся в классе, количестве учащихся занимающихся баскетболом, волейболом и хоккеем. Проблема заключается в том, что некоторые из учащихся занимаются двумя, а некоторые тремя видами спорта. Не понятно, как можно решить эту задачу.

Учитель: Для того, чтобы мы смогли решить эту задачу и поняли как решаются задачи, аналогичные данной, решим следующую задачу.

Постановка проблемы

Задание №2. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро - фиалки. И только у двоих из них есть и кактусы и фиалки.

Перевод на язык математики

Учитель: Можем мы для лучшего понимания условия задачи нарисовать рисунок (схему), на которой отобразим все известные величины?

Ученик: Можем.

Учитель: Раз у нас в условии говорится о подругах, которые выращивают разные растения, но некоторые выращивает и то и другое, как мы можем изобразить это на нашей схеме?

Обсуждая с учителем возможные обозначения, учащиеся приходят к выводу, что каждую из девочек удобно обозначить кружком (квадратиком и др.), половина которого будет закрашена одним из двух цветов, в зависимости от того, какое растение она выращивает, а вторая половина будет закрашена другим цветом у тех девочек. Кто выращивает оба растения.

Ученик: Мы нарисуем несколько кружков. Поделим каждый кружок пополам и закрасим сначала зеленым цветом столько половинок кружков, сколько девочек выращивает кактусы. Затем, из этих кружков мы закрасим фиолетовым цветом столько половинок кружков, сколько девочек выращивает и кактусы и фиалки. А затем мы закрасим фиолетовым столько пустых кружков, сколько девочек выращивает фиалки, с тем учетом, что двух из них мы уже отметили, как выращивающих и кактусы и фиалки.

С помощью разноцветных мелков учащиеся рисуют на доске рисунок. У них должно получиться следующее:

Учитель: А можем мы по-другому нарисовать рисунок, отметив не каждую девочку, а объединив их в группы? И как это можно изобразить?

Ученик: Девочки, выращивающие кактус, изображаются зеленым цветом, а девочки, выращивающие фиалки - фиолетовым. А девочки, выращивающие и то и другое должны обозначаться и тем и другим цветами.

Учитель: Правильно. Но что у нас получится за схема, если мы изобразим одну и вторую группы девочек с помощью какой-нибудь геометрической фигуры, например круга?

Ученик: У нас получатся два круга, накладывающихся один на другой.

Учитель: А как нам нужно обозначить на рисунке, сколько девочек выращивает кактусы, сколько фиалки, а сколько и то и другое вместе?

Ученик: У нас получится картинка, состоящая из трех частей, каждая из которых обозначает девочек, выращивающих только кактусы, только фиалки или и то и другое вместе. Значит, на каждой из этих частей рисунка просто ставим число, обозначающее количество девочек в той или иной группе.

Решение проблемы.

Учитель: Теперь по этому рисунку можем мы сосчитать, сколько у меня подруг?

Ученик: Можем узнать, сколько у Вас подруг. Получится следующее выражение: 4 + 2 + 3 = 9.

Учитель: Хорошо, молодцы. Теперь попробуем выполнить следующую задачу.

Постановка проблемы

Задание №2. Мы с подругами отдыхали на турбазе в большой компании. Прибыв на место, мы обнаружили, что 12 человек привезли с собой бутерброды с колбасой, 5 - с сыром и 9 - с маслом. Трое сделали бутерброды двух видов: и с колбасой, и с маслом, а я захватила с собой бутерброды с маслом и бутерброды с сыром, но не оказалось ни одного отдыхающего, который привез бы бутерброды с колбасой и бутерброды с сыром. Сколько человек было в нашей компании?

Перевод на язык математики.

Ученик: Можно выполнить рисунок, аналогичный тому, с помощью которого мы решали предыдущую задачу. Он поможет нам понять, сколько было человек в компании.

Учитель: Хорошо. Как же тогда может выглядеть схема условия задачи, нарисованная с помощью кругов и их пересечений?

Ученик: Для начала обозначим разными цветами группы людей, которые привезли с собой разные бутерброды.

Учитель: Допустим, у вас нет цветных карандашей и фломастеров под рукой, как можно тогда обозначить разные группы?

Ученик: Можно обозначить каждую группу буквой, например К - люди, которые привезли бутерброды с колбасой, М - люди, которые привезли бутерброды с маслом, С - люди, которые привезли бутерброды с сыром.

Учитель: Тогда как с этим условием может выглядеть наша схема?

Ученик:

Учитель: Хорошо. Может ли быть другой вариант данной схемы, соответствующий условию задачи?

Обсудив с учителем, учащиеся приходят к выводу, что возможен другой вариант схемы, равносильный первой схеме.

Ученик:

Решение проблемы

Учитель: С учетом нарисованной нами схемы, можем мы теперь без проблем решить эту задачу?

Ученик: Да. Решение такое: 9 + 3 + 5 + 1 + 4 = 22 человека было в компании.

Учитель: Можем мы теперь, решив эти две задачи, вернуться к решению задания №1?

Ученик: Да, можем. Эти две задачи нам показали, что первую задачу можно решить с помощью кругов. Главное правильно составить схему по условию.

Перевод на язык математики.

Учитель: Самостоятельно составьте схему условия данной задачи.

Обсудив условие, ребята приходят к затруднению, так как на схеме должно быть обозначение пересечения всех трех кругов, что обозначает количество ребят, которые увлекаются одновременно тремя видами спорта.

Ученик: Мы не знаем число ребят, занимающихся одновременно тремя видами спорта, его только нужно найти. Но число ребят, занимающихся только одним видом спорта, зависит от ребят, занимающихся всеми видами спорта.

Учитель: Как же мы поступаем, когда не знаем какой-то величины, но она фигурирует в записи условия, а в дальнейшем и в записи выражения по условию?

Ученик: Мы обозначаем такие величины за неизвестную.

Учитель: Хорошо. Что же в нашей задаче мы примем за неизвестную?

Ученик: Ребят, которые одновременно увлекаются тремя видами спорта, обозначим z. Тогда с этим условие, схема будет выглядеть так:

Решение проблемы.

По рисунку видно, что одним лишь видом спорта, баскетболом - занимаются 16 - (4 + z + 3) = 9 - z ребят, одним лишь хоккеем 8 - z, одним лишь волейболом 10 - z.

Можем составить уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят. Получим следующее уравнение:

3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 +5 + z = 38.

Решив это уравнение, получаем z = 2, значит, двое ребят занимаются тремя видами спорта. Складывая количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта, т. е. числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z, как мы теперь знаем, равно 2, найдем ответ на второй вопрос задачи: 21 человек увлекается лишь одним видом спорта.

Занятие №7 (фрагмент)

Тема: Графы. Вычерчивание фигур одни росчерком пера.

Цели: учить решать задачи на вычерчивание фигуры одним росчерком; ознакомить с понятием графа; вывести правило решения задач с помощью графов; учить решать задачи, применяя это правило; формировать умение анализировать и делать самостоятельные выводы.

III этап: Введение нового материала.

Постановка проблемы

Задание №1.(задача "о кёнигсбергских мостах") Почти триста лет назад в городе Кёнигсберге, располагавшемся по берегам реки Преголя (или Преголь) и на двух островах, было семь мостов. Совершая прогулки в воскресные дни, горожане заспорили: можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти один раз по каждому мосту и затем вернуться в начальную точку пути?

Учитель: В сущности, для решения задачи, как вы думаете, что необходимо сделать, раз нам нельзя проходить по одному и тому же мосту дважды, как мы запомним, на каком мосту мы были, а на каком еще нет?

Ученик: Нужно чертить линию пройденного маршрута, тогда на тех мостах, по которым мы уже прошли на рисунке останется след, и мы будем помнить, что туда идти уже нельзя.

Учитель: Тогда что мы начертим, отмечая каждый мост, на котором были, если нам нельзя проходить по одному мосту больше одного раза?

Ученик: Мы начертим фигуру, при этом мы не прочертим ни одной линии этой фигуры дважды. Ведь линия обозначает, что мы уже здесь проходили, а значит, больше мы не имеем права проходить в этом месте, следовательно, и линии маршрута не могут быть прочерчены одна по другой.

Учитель: Каким образом можно вычертить фигуру так, чтобы не пройти по одному и тому же месту, но при этом мы не можем просто взять и переместиться с необходимое нам место, мы всегда оставляем за собой след (линию). Ведь мы не можем перелететь с одного берега на другой.

Ученик: Такую фигуру можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, при этом, не прочерчивая одну линию дважды.

Учитель: Такие задачи называются задачами на вычерчивание одним росчерком. Решим несколько таких задач.

Задание №2. Начертить, не отрывая пера.

Учитель: Получилось ли у вас начертить фигуры одним росчерком?

Ученик: Не все.

Учитель: Есть такие учащиеся, у кого получилось нарисовать все фигуры одним росчерком?

Ученик: Нет.

Учитель: Давайте сравним результаты, у кого какие фигуры получилось нарисовать одним росчерком.(Вызывает троих учеников к доске и каждый из них рисует все фигуры, которые у него получилось нарисовать одним росчерком)

Сделаем вывод, по данным на доске, какие же из фигур, данных на рисунке, можно начертить одним росчерком.

Учитель: Есть у кого-нибудь предположения, почему не можем остальные фигуры начертить таким же образом?

Учащиеся высказывают свои предположения, но так и не могут прийти к однозначному выводу.

Учитель: Чтобы понять, почему одни фигуры удалось нарисовать одним росчерком, а другие нет, рассмотрим их "сеть кривых". Сеть таких кривых называют графом (от греческого слова grapho - "пишу"). Точки, в которых соединяются кривые, называются узлами.

Посмотрите внимательно на рисунки. Как вы думаете, какие существуют виды таких узлов? От чего это зависит?

Ученик: Есть узлы, в которых соединяются две линии, три линии, четыре линии и пять линий.

Учитель: Правильно, как же тогда можно разделить все эти узлы на какие-то подгруппы, как вы думаете?

Ученик: Узлы, в которых сходится четное количество линий, и узлы, в которых сходится нечетное количество линий.

Учитель: Исходя из этого, как можно назвать эти узлы?

Ученик: Четные и нечетные.

Учитель: Правильно. Еще раз сформулируйте, какие узлы называются четными, а какие нечетными.

Ученик: Четным называется узел, в котором сходится четное количество линий. Нечетным называется узел, в котором сходится нечетное количество линий.

Учитель: Теперь, с учетом только что сформулированных определений и рисунков, попытайтесь вывести правило, с помощью которого можно было бы понять, можно данную фигуру нарисовать одним росчерком.

Учащиеся самостоятельно выводят правило и вместе формулируют его, на основании сформулированных ранее определений и применения этих определений к рисункам.

Ученик: Если в фигуре (на графе) больше двух нечетных узлов, то ее нельзя нарисовать одним росчерком.

Учитель: Вы правы. Вы сформулировали важное правило, мы еще потренируемся его применять на практике. А теперь вернемся к задаче, с которой мы начали наше занятие. Как же возможно ее решить с учетом сделанных нами выводов, воспользовавшись сформулированным правилом?

Ученик: Решим эту задачу, изобразив рисунок с помощью графа. Узлами обозначим берега и острова, и семь кривых, которые будут обозначать мосты.

Ученик: Если бы существовал искомый маршрут, то этот рисунок можно было бы вычертить одним росчерком.

Учитель: Вы правы. Долго бы спорили жители города, если бы через Кёнигсберг не проезжал великий математик Леонард Эйлер. Он заинтересовался спором и разрешил его. Подумайте, как мог рассуждать великий ученый?

Возможны различные варианты рассуждений, но после обсуждения всех вариантов должны прийти к следующему:

Ученик: Возьмем один из островов, например остров D. К нему ведут три моста. Допустим, прогулка начинается вне этого моста, тогда, поскольку по каждому мосту можно пройти только один раз, заканчиваться она должна на этом острове.

Учитель: Хорошо, но у нас еще есть два берега и еще один остров, еще пять мостов. Какие следует проводить рассуждения дальше?

Ученик: Рассмотрим теперь остров А. К этому острову ведет пять мостов. Допустим, прогулка началась вне острова А, тогда она должна закончиться на этом мосту, как и в случае с островом D. 5, как и 3 - число нечетное. Значит у каждого из островов нечетное количество мостов.

Но и на берег С, и на берег В также ведут по три моста, и к ним применимо то же рассуждение. Каждый из участков суши, обозначенных буквами А, В, С и D, будет либо началом, либо концом прогулки. Мы никогда не сможем, попасть в то место, откуда вышли, пройдя при этом каждый мост только один раз.

Учитель: Какой же можно сделать вывод из решения этой задачи?

Ученик: Задача об обходе мостов оказалась равносильной задаче о рисовании одним росчерком. Решение задачи о мостах доказывает, что изображенную фигуру нельзя нарисовать одним росчерком. Так же обосновывается наше правило для любой фигуры.

Учитель: Мы с вами хорошо поработали. Вывели правило о возможности вычерчивания фигур одним росчерком, решили задачу о кёнигсбергских мостах, тем самым подтвердив сформулированное правило. Теперь потренируемся применять полученные знания на практике.

Занятие №8 (фрагмент)

Тема: Геометрия нитей.

Цели: установление опытным путем зависимости количества узлов и количества промежутков от вида шнура; применение этих свойств при решении задач.

III этап: Введение нового материала.

Учитель: Необходимо решить следующую задачу:

Задание №1. Из Нижнего Новгорода в Астрахань (и обратно) ежедневно, в один и тот же час, выходит по пароходу. По течению реки пароход проходит этот путь за 4 дня, а обратно (против течения) - за 5 дней. Сколько пароходов встретит на своем пути до Астрахани пароход, вышедший из Нижнего Новгорода? Каково минимальное число пароходов, необходимое для обслуживания этого маршрута?

Учащимся предлагается самостоятельно попытаться решить эту задачу. Через некоторое время обсуждаются возможные варианты решения. Так как решение этой задачи общепринятыми методами вызывает значительные сложности, учащимся, скорее всего, не удастся решить её. Учителю следует вместе с учащимися обосновать, почему не подходят для решения этой задачи уже знакомые методы (недостаточность данных и т.д.).

Учитель: Решение этой задачи можно провести совсем просто, используя свойства своеобразной "геометрии нитей". Так как нам эти свойства пока неизвестны, необходимо вывести их с помощью проведения опыта.

Учащиеся должны будут самостоятельно провести опыты, а затем сделать выводы из этих опытов, т.е. необходимые для решения данной задачи свойства.

Учащимся раздаются тонко скрученные шнуры (нити) и предлагается сделать на этих шнурах произвольное число узлов, не связывая концы шнура между собой (на открытом шнуре).

Учитель: Теперь, каждому необходимо подсчитать количество узлов и количество промежутков между ними на своем шнуре, а результаты сообщить мне для занесения в общую таблицу, изображенную на доске. Например:

Учитель: Оставим пока эту таблицу и проведем еще один опыт. Необходимо теперь выполнить то же задания, только теперь необходимо связать концы шнура друг с другом (для замкнутого шнура).

Эти результаты занесем в другую таблицу.

Учитель: Теперь внимательно посмотрите на обе таблицы сделайте выводы, как связаны между собой число узлов с числом промежутков для открытого и для замкнутого шнура.

Ученик: Для открытого шнура число узлов на единицу меньше числа промежутков, а для замкнутого - равно числу промежутков.

Учитель: Можно ли эти выводы оформить так, чтобы в дальнейшем удобно было использовать их на практике? Что для этого нужно сделать?

Ученик: Необходимо оформить это в виде свойства (формулы).

Учитель: Правильно, для этого необходимо как-то обозначить используемые величины. Какие величины нам важны? Как их можно обозначить?

Ученик: Число узлов и число промежутков. Возможны следующие обозначения: У - число узлов, П - число промежутков.

Учитель: Тогда как же можно записать наши выводы в виде свойств с учетом этих обозначений?

Ученик:

)        У - П = 1 - для открытого шнура;

)        У - П = 0 - для замкнутого шнура.

Учитель: Теперь вам необходимо записать свойство для открытого шнура с узлами на концах.

Ученики самостоятельно проводят опыт и устанавливают равенство:

У - П = 1 - для открытого шнура с узлами.

Учитель: Мы с вами вывели свойства для открытых и замкнутых шнуров с узлами. Теперь можно вернуться к той задачи, для решения которой мы их рассматривали. Прочитайте еще раз внимательно задачу и подумайте, как применить эти свойства по отношению к ней.

Ученик: Для того, чтобы мы могли применить данные свойства при решении задачи, необходимо одну из величин задачи обозначить "узлами", и какую-то величину обозначить "промежутками". В данном случае можно обозначить "узлами" пароходы, идущие по данному маршруту в указанный отрезок времени, а "промежутками" - отрезки пути, пройденного каждым пароходом за один день.

Учитель: Тогда каким свойством мы будем пользоваться в нашем случае?

Ученик: В обоих случаях, когда теплоход движется по течению реки и начинает движение против течения, в Нижнем Новгороде и Астрахани одновременно находятся пароходы. Поэтому будем рассматривать для открытого шнура с узлами на концах.

Учитель: Тогда как мы найдем количество узлов и промежутков для данной задачи?

Ученик: Количество промежутков при движении по течению реки равняется 4, количество промежутков против течения реки равняется 5, так как по течению теплоход идет 4 дня, а против течения 5 дней, а каждый день выходит еще по пароходу.

Учитель: Как мы это запишем?

Ученик: П = 4 + 5 = 9.

И тогда, если мы пользуемся свойством для открытого шнура с узлами на концах, получаем следующее:

У - 9 = 1;

У = 10.

Учитель: На какой вопрос задачи мы сейчас ответили?

Ученик: Данный пароход встретит на своем пути 10 пароходов.

Учитель: Какое количество пароходов необходимо для бесперебойного обслуживания маршрута?

Ученик: 10 + 1 = 11 (пароходов).

Для бесперебойного обслуживания маршрута необходимо 11 пароходов.

Учитель: Мы вывели некоторые зависимости количества узлов и промежутков для замкнутого или открытого шнура. Эти зависимости, как мы с вами только что убедились, помогут нам в решении задач.

Заключение

1.      Анализ психолого-педагогической литературы по теме исследование таких авторов как В.А.Крутецкий, Л.И.Божович, Ф.Отиа и др. показал актуальность данной работы и возможность организации обучения в 5 классе с применением проблемного метода. С 11-12 лет ребенок начинает проявлять способность к абстрагированию и начинает рассуждать в отвлеченной форме, в этом возрасте начинают проявляться математические способности, более всего необходимые для исследовательской деятельности. Проявление учащимися самостоятельности, так присущей подростковому периоду развития, может помочь при организации исследовательской деятельности, осуществляемой в рамках проблемного обучения.

.        Анализ методической литературы по математике следующих авторов: А.В.Фаркова, Т.Д.Гавриловой, Б.А.Кордемского, Н.А.Козловской, А.Я.Блоха с соавторами, Ю.М.Колягина с соавторами и других выявил, что в связи с маленьким опытом самостоятельного обобщения материала, необходимого при проблемном обучении, целесообразно применять метод проблемного обучения на внеклассных занятиях учащихся 5 класса. В этом возрасте надо развивать и укреплять интерес учащихся к математике и кружок, построенный с использованием метода проблемного обучения, является наиболее подходящей для этого формой внеклассной работы. На основании этого анализа отобран материал для проведения кружковых занятий с применением проблемного метода. Анкетирование учащихся 5 класса подтвердило, что подобранный для кружка материал соответствует познавательным интересам учащихся.

.        Ядром методических рекомендации по проведению математического кружка с применением проблемного метода является ;

.        Математический кружок для 5 класса с применением проблемного метода "Математическая шкатулка" включает занятия по следующим темам: уровень творческого мышления, задачи со спичками, математические ребусы, пересечение множеств, графы, геометрия нитей. Данные занятия направлены на развитие образного, логического и творческого мышления, развитие исследовательских умений школьников. По содержанию и методике проведения кружка были получены положительные отзывы учителей математики ГОУ СОШ №85 на проведенном заседании методического объединения.

Библиография

1.      Божович, Л.И. Личность и ее формирование в детском возрасте [Текст]  / Л.И. Божович.- СПб.: Питер Пресс, 2008. - 398 с.

.        Брушлинский, А.В. Психология мышления и проблемное обучение [Текст] / А.В. Брушлинский.- М.: Знание, 1983.- 96 с.: ил.

.        Володин, Н.Н. Вопросы непрерывного медицинского образования (проблемно-ориентированное обучение) [Текст] / Н.Н. Володин, А.Г.Чучалин, В.С. Шухов // Лечащий врач.- 2000.- № 3.- С. 33-35.

4.      Евсеева, Л.А. Развитие математических способностей учащихся 5- 6-х классов [Электронный документ]. - (<#"526516.files/image045.gif">

Задание№5. Перед вами стоят 6 стаканов: три с водой и три пустых. Дотроньтесь рукой лишь до одного стакана и добейтесь, чтобы пустые и полные стаканы чередовались.