Сезонные временные ряды

Содержание

Постановка задачи. Данные. Цель задачи

Описательные статистики. (Определения, формулы, значения)

Доверительные интервалы для среднего, медианы, стандартного отклонения с заданным уровнем доверия (формулы, значения). Выводы (в терминах задачи)

Вывод по модели

Постановка задачи. Данные. Цель задачи

В таблице представлены ежемесячные данные по количеству туристов, приехавшие в Италию. Данные представлены ежемесячно за период с 1 января 2003 года по 1 января 2007 года.

Цель задачи.

Проанализировать количество туристов, которые посещают Италию ежемесячно. Также, сделать предварительные прогнозы на 3-6 месяцев и создать модель для будущих прогнозов.

Описательные статистики. (Определения, формулы, значения)

Среднее арифметическое выборки (mean) - это сумма всех данных, деленная на количество данных.

Стандартная ошибка среднего (SE mean) характеризует колебания среднего значения. Величина  - оценка теоретической дисперсии х:

Для выборки из n наблюдений выборочная дисперсия определяется как среднеквадратичное отклонение в выборке:

Медиана - это точка, вокруг которой располагается одинаковое количество элементов выборки.

За указанный период среднее значение туристов было равно 95,46 тысяч человек в месяц; стандартная ошибка среднего равна 2,37; среднее квадратичное отклонение равно 18,34; дисперсия равна 336,17; медиана равна 97,70; разница между минимальным и максимальным значением равна 81,60.

Доверительные интервалы для среднего, медианы, стандартного отклонения с заданным уровнем доверия (формулы, значения). Выводы (в терминах задачи)

Доверительным интервалом называют интервал который показывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.

Доверительный интервал медианы, среднего, стандартного отклонения с 95% уровнем доверия приводится для количества туристов, и, опираясь на график, мы можем сделать следующие выводы: среднее число посещающих страну с 95% уверенностью колеблется в пределах от 90,725 до 100, 198; медиана с 95% уверенностью будет находиться в пределах от 91,238 до 101,107; стандартное отклонение с 95% гарантией будет лежать в пределах от 15,541 до 22,363.

1.      График. Предварительные выводы по ОС и графику.

По данному графику видно, что для количества туристов в Италии имеется тренд, наблюдается общая тенденция к возрастанию посещающих достопримечательности, находящиеся в стране. Также по данному графику можно говорить о сезонности с периодом в 1 год: максимум достигается в феврале месяце, а минимум в июле месяце каждого года, что конечно странно для туризма. Но по собранным данным, понятно, что в феврале в Италии проходит более 5 карнавалов ежегодно. Возможно, этим и объясняется рост туристов на данный период.

2.      Автокорреляционная функция. (Определение, формула, график, заключение).

Автокорреляция - корреляционная связь между значениями одного и того же случайного процесса X (t) в моменты времени t1 и t2. Функция, характеризующая эту связь, называется автокорреляционной функцией.

По анализу автокорреляционной функции можно сказать, что есть сезонность. Временной ряд не стационарен.

После анализа данной автокорреляционной функции, заметно, что значения автокорреляции в начале значительно отличны от нуля, а потом постепенно приближаются к нулю. Каждые 12 лагов достигается максимальные показатели корреляции, что доказывает наличие сезонности, так как начиная сначала АКФ, заметно падение и рост. Так как первый и второй, а также двенадцатые лаги выходят из доверительного интервала, и значительно отличны от нуля, значит для этой модели необходимо построить модель авторегрессии и модель ARIMA.

3.      Анализ линейной модели:

·        Название модели. Уравнение тренда. Значение R2.

·        Сезонная компонента (значение и график). (Если есть сезонность во ВР)

·        Значение MAD,MSE, MAPE, MPE

·        График тренда

·        Выбор типа тренда по R2 после работы с параболической моделью.

Additive Model

Уравнение тренда: Yt = 72,7958 + 0,743143*t

R^2= 0,979136

сезонный временной ряд

Decomposition - Component Analysis for Туриcты

Линейно мультипликативная модель

Multiplicative Model

Data Туриcты

Уравнение тренда: Yt = 72,2651 + 0,760331*t

R^2= 0,961811

Time Series Decomposition Plot for Туриcты

4.      Анализ параболической модели:

·        Название модели. Значение R2.

·        Сезонная компонента (значение и график). (Если есть сезонность во ВР)

·        Значение MAD,MSE, MAPE, MPE

·        График тренда

·        Выбор типа тренда по R2

Аддитивная параболическая модель.

Trend Analysis for Туриcты

Уравнение тренда:

Yt = 73,9564 + 0,734098*t - 0,000719185*t**2

Series Decomposition for RESI2

R^2=0,977121

Time Series Decomposition Plot for RESI2

Decomposition - Component Analysis for RESI2

Мультипликативная параболическая модель

Data Туриcты. Уравнение тренда:

Yt = 73,9564 + 0,734098*t - 0,000719185*t**2

От полученных FITS5, рассчитываем S*E используя наши FITS5 и показатели Туристы.

X (t) =T (t) *S (t) *E (t) => X (t) /T (t) =S (t) *E (t)

Time Series Decomposition for S*E

Multiplicative Model

Использую полученные FITS6 (S*E) и само S*E, подсчитаем конечные остатки-E (r).

По этим остаткам находим коэффициент детерминации.

R^2= 0,996968

Вывод. После построения нескольких моделей, выявлено то, что модель ПМ является наиболее лучшей с коэффициентом детерминации - 0,996968.

Модель:

= (73,9564 + 0,734098*t - 0,000719185*t^2) *S*E (r)

где Сезонность:

………

5.      Анализ остатков. АКФ остатков.

У нас в Автокорреляционной функции столбцы выходит за пределы красной линии, что означает остатки не являются Белым Шумом. Поэтому проводим Авторег. остатков через ARIMA.

Autocorrelation Function: E (r)

Авторегрессия для E (r)

Первого порядка.

ARIMA Model: E (r)

Относительное изменение в каждой из лагов не превышает 0,0010.

В графике видно, в 12 лаге есть некое отклонение и возможно существуют факторы, которые повлияли на исходные изменения.

E (t) =0,489377+0,5109*E (t-1) +W (t)

6.      Общее уравнение модели тренда. Прогноз на 3 шага вперед.

Финальная модель:

(t) = (73,9564 + 0,734098*t - 0,000719185*t^2) *S (t) * (0,489377+0,5109*E (t-1) +W (t))

Прогноз на 3 месяца:

По модели

Вывод по модели

Как уже говорилось, модель имеет тенденцию к снижению и сезонность, которая характеризуется перепадами и прыжками, каждые полгода. После анализа графика также стало ясно о наличии цикличности в рассматриваемый период. AKФ показала, что зависимость следующих показателей сильно зависит от предыдущих.

При проведенных анализах в 6 и 7 пунктах, выявлена наилучшая модель в виде ПМ. При выборе учитывался Коэффициент детерминации ПМ с 0,9969 в отличии от других. В дальнейшем мы выбрали ПМ в качестве основы финальной модели.

После проведения авторегрессии 1 порядка достигнут результат с наилучшим прогнозом. Составлена финальная модель.