Основы линейного программирования
1. Решить задачу линейного программирования
Строим графики
1. 2х1+х2=4 (0,4) и (1,2)
2. х1+2х2=6 (0,3) и (2,2)
. х1+х2=3 (1,2) и (2,1)
f: 3х1+2х2=0
(0,0) и (2,-3)
OABCD-
многоугольник решений системы. Оптимальные решения - в вершинах многоугольника.
Смещая параллельно самой себе линию целевой функции f,
пока многоугольник условий не окажется ниже этой прямой. Это произойдет, если
прямая f займет положение
(предельное) в точке В (1,2):
Значит f
(1,2)=3*1+2*2=7
. Составить и решить задачу линейного
программирования
Предприятию требуется уголь с содержанием
фосфора не более 0,3‰ и с долей зольных примесей не более 3,25%. Содержание
примесей в трех сортах угля приведены в таблице.
Полезное
вещество
|
Сорт
угля
|
|
А
|
Б
|
В
|
Содержание
фосфора, ‰
|
0,6
|
0,4
|
0,2
|
Содержание
примеси золы, %
|
2
|
4
|
3
|
Цена килограмма угля сортов А и Б составляет 30
рублей, а сорта В - 45 рублей.
Составьте задачу линейного программирования о
пропорциях смеси углей минимальной цены, удовлетворяющей ограничениям на
содержание примесей. Найдите оптимальные пропорции смеси.
Решение
Введем переменные x1
- количество 1 вида угля, x2
- количество 2 вида угля, x3
- количество 3 вида угля. На переменные накладывается условие
неотрицательности.
Таким образом, получим следующую математическую
модель:
= 30x1 +30x2 +45x2 → min
0,6x1
+0,4x2 +0,2x2 60,
2x1 +4x2 +3x2 40,
x1 ³ 0,
x2 ³ 0.
Для этого подготовим исходные
данные. Внесите следующие данные и функции, указанные в таблице 1.
Таблица 1.
Исходные данные
Решение
|
x1
|
x2
|
x2
|
|
|
|
|
0
|
0
|
0,052
|
|
|
|
Целевая
функция
|
30
|
30
|
45
|
min
|
=СУММПРОИЗВ($B$2:$D$2;B3:D3)
|
|
|
Коэффициенты
|
|
|
|
Свободные
члены
|
Ограничения
|
0,6
|
0,4
|
0,2
|
<=
|
0,3
|
|
2
|
4
|
3
|
<=
|
=СУММПРОИЗВ
(B2:D2;B6:D6)
|
3,25
|
В ячейке E3
используется функция для вычисления значения целевой функции f
= c1x1
+ c2x2+
c3x3,
где c1 и c2
и c3 - значения
коэффициентов целевой функции; x1,
x2, x3
- искомые значения неизвестных. Затем в меню «Сервис» выбираем команду «Поиск
решения». Если данной команды нет, то Сервис | Надстройки | Поиск решения.
Вводим следующие значения: в поле «Установить
целевую ячейку» вводим адрес ячейки $F$3;
в поле «Равной» выбираем «минимальному значению»; В поле «Изменяя ячейки»
вводим диапазон ячеек $B$2:$D$2.
Щелкаем по кнопке «Добавить». Вводим
ограничения:
Выполним процедуру, щелкнув по кнопке
«Выполнить». Если решение будет найдено, то появится сообщение: «Решение
найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены». Выбрав «Сохранить
найденное решение», получим таблицу результатов.
Таблица 2.
Результаты
Решение
|
x1
|
x2
|
x2
|
|
|
|
|
0
|
0
|
0,0517
|
|
|
|
Целевая
функция
|
30
|
30
|
45
|
min
|
2,33
|
|
|
Коэффициенты
|
|
|
Свободные
члены
|
Ограничения
|
0,6
|
0,4
|
0,2
|
<=
|
0,01
|
0,3
|
|
2
|
4
|
3
|
<=
|
0,155
|
3,25
|
Делаем вывод, что оптимальное решение X*(0;
0; 0,0517), f(X*)=2,33.
. Математическая статистика
. Проверяющий в течение контрольного периода
записывал время ожидания нужного автобуса (в минутах) и получил следующие
данные:
1,21
|
4,71
|
4,45
|
0,27
|
7,42
|
8,45
|
8,09
|
1,38
|
5,62
|
9,66
|
3,77
|
1,72
|
4,98
|
1,83
|
3,09
|
6,96
|
8,04
|
6,46
|
2,34
|
8,67
|
8,64
|
1,33
|
7,08
|
0,35
|
8,29
|
8,7
|
0,51
|
7,12
|
3,78
|
6,07
|
7,52
|
6,01
|
4,06
|
0,49
|
7,98
|
6,88
|
8,32
|
2,93
|
2,97
|
Построить интервальную группировку данных по
шести интервалам равной длины и соответствующую гистограмму.
Найти среднее время ожидания и исправленное
среднее квадратическое отклонение для выборки. Построить доверительные
интервалы надежности 95% и 99% для среднего времени ожидания автобуса.
Решение
Имеем выборку из = 40
элементов, Xmin = 0,27
Xmax = 9,66
Длина интервала h = = = 1,565
Получим группировки по интервалам
№
номер интервала
|
Левая
граница
|
Правая
граница
|
Частота
|
1
|
0,27
|
1,835
|
9
|
2
|
1,835
|
3,4
|
4
|
3
|
3,4
|
4,965
|
5
|
4
|
4,965
|
6,53
|
5
|
5
|
6,53
|
8,095
|
8
|
6
|
8,095
|
9,66
|
9
|
По формулам определим
Pi = -
относительную частоту и плотность относительной частоты
P=
= 9/40 =
0,225 P*1 = 0,14= 4/40 = 0,1 P*2 = 0,064= 5/40 = 0,125 P*3 = 0,08= 5/40 = 0,125
P*4 = 0,08= 8/40 = 0,2 P*5 = 0,128= 9/40 = 0,225 P*6 = 0,14
Гистограмма частот:
Найдем среднее время ожидания
нужного автобуса
Где X - середина интервала.
№интервала Левая граница Правая
граница Частота Середина
Интервалов
ХXPi(X- - Xв)2
Pi
|
|
|
|
|
1
|
0,27
|
1,835
|
9
|
1,0525
|
0,237
|
3,926
|
2
|
1,835
|
3,4
|
4
|
2,6175
|
0,262
|
0,682
|
3
|
3,4
|
4,965
|
5
|
4,1825
|
0,553
|
0,137
|
4
|
4,965
|
6,53
|
5
|
5,7475
|
0,718
|
0,034
|
5
|
6,53
|
8,095
|
8
|
7,3125
|
1,4625
|
0,868
|
6
|
8,095
|
9,66
|
9
|
8,8775
|
1,997
|
2,994
|
|
|
|
|
|
5,2295
|
8,641
|
Выборочное среднее Хв = 5,2295
Выборочная дисперсия
Дв = (X- Xв)2Pi
Дисперсия Дв = 8,641
Среднее квадратичное отклонение
= = 2,94.
Исправленная выборочная дисперсия
S2 = Дв, S2 =8,641 8,863
Исправленное квадратичное отклонение
2,98.
Построим доверительные интервалы
Хв - t < m < Хв + t
Надежность 95%, т.е. = 0,95,
= 0,475, тогда t = 1,96
,2295 - *1,96 < m < 5,2295
+ *1,96
,2295 - 0,9242 < m < 5,2295
+ 0,9242
,3053 < m < 6,1537
Надежность 99%, т.е. = 0,99
(t) = 0,495, t = 2,58
,2295 - *2,58 < m < 5,2295
+ *2,58
,2295 - 1,2165 < m < 5,2295
+ 1,2165
,013 < m < 6,446
. Корреляционный анализ
объем,
тыс. шт.
|
3
|
4,2
|
2,8
|
5,2
|
4,4
|
3,9
|
2,9
|
4,3
|
2,7
|
1,6
|
затраты,
тыс. руб.
|
22
|
31,7
|
21
|
35,9
|
33,7
|
30
|
20
|
41,1
|
18,8
|
13,1
|
Находим выборочные средние
Вычислим коэффициент корреляции
Вычислим
=(3-3,5)(22-3,5)+(4,2-3,5)(31,7-26,73)+(2,8-3,5)(21-26,73)+(5,2-3,5)(35,9-26,73)+(4,4-3,5)(33,7-26,73)+(3,9-3,5)(30-26,73)+(2,9-3,5)(20-26,73)+(4,3-3,5)(41,1-26,73)+(2,7-3,5)(18,8-26,73)+(1,6-3,5)(13,1-26,73)=76,112
Тогда коэффициент корреляции
Таким образом, коэффициент
корреляции достаточно близок к 1 и связь между Х и У тесная. Т.к. >0, то
связь между Х и У прямая: чем больше объем производства, тем больше затраты.
А=
В=
С=
Решение
Находим , где
- определитель матрицы В
транспонированная из алгебраических
дополнений
Тогда
Находим
Находим
5. Теория вероятности
Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна
0,2. Составить закон распределения числа выигрышей среди четырех случайно
выбранных билетов. Построить многоугольник распределения.
Решение
Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна
0,2, т.е. р=0,2
Вероятность проигрыша q=1-p,q=1-0,2=0,8
Случайным образом выбирают 4 билета.
При решении задачи используем теорему Бернулли
, тогда
Проверка
линейный программирование
случайный величина
Закон распределения случайной
величины
xi
|
0
|
1
|
3
|
4
|
Pi
|
0,4096
|
0,4096
|
0,1536
|
0,0256
|
0,0016
|
Многоугольник распределения
. Матрицы и операции над ними
Выполнить умножение матриц АВ-1С
. Решения системы уравнений методом
Крамера
Находим определители третьего порядка
(-1,3,0) - решение системы