Использование методов Крамера, Жордано-Гаусса при построении матриц через алгебраические дополнения

Министерство связи и информатизации республики Беларусь

Учреждение образования

Высший государственный колледж связи

Факультет заочного обучения

Кафедра экономики и управления

Контрольная работа

по дисциплине

Эконометрика и экономико-математические методы и модели

Вариант 1

Использование методов Крамера, Жордано-Гаусса при построении матриц через алгебраические дополнения

 

 

Выполнил студент гр. ЭС061

А.А. Долготович

Преподаватель Е.М. Колодная

 

 

 

Минск 2011

Содержание

Задача 1

Решение задачи 1

Задача 2

Решение задачи 2

Задача 3

Решение задачи 3

Задача 4

Решение задачи 4

Задача 5

Решение задачи 5

Использованная литература

Задача 1

 

Условие:

Для условной экономики, состоящей из трех отраслей, за отчетный период известны межотраслевые потоки -

,

и вектор конечного использования -

.

1. Построить схему межотраслевого баланса за отчетный период

.   Рассчитать плановый межотраслевой баланс при условии, что в плановом периоде известен валовый выпуск продукции:

.

Привести числовую схему баланса.

3. Определить, каков должен быть валовый выпуск продукции отраслей в плановом периоде, если известен выпуск продукции для конечного использования:

.

. Какое влияние в условиях рынка оказывает увеличение цены на продукцию отрасли 1 в 2 раза, на изменение цен в других отраслях. Структуру затрат отчетного периода сформировать самостоятельно, исходя из того, что на заработную плату первой отрасли приходится 0,3, второй отрасли - 0,35, третьей отрасли - 0,35 валовой добавленной стоимости. Рост заработной платы отстает от роста цен, коэффициент эластичности заработной платы от цен составляет 0,7. Реальная динамика затрат в прогнозном периоде остается неизменной.

5. Какое влияние в условиях рынка оказывает увеличение зарплаты в отрасли 2 на 30%, на увеличение цен продукции отраслей. Заработная плата в остальных отраслях остается неизменной.

Решение:

Таблица 1

1. Схема МОБ за отчетный период:

Отрасли-производители	Отрасли-потребители			Промежуточное потребление	Конечное использование	Валовый выпуск
	1	2	3
1	0	60	20	80	120	200300
2	50	10	40	100	170	270200
3	30	20	40	90	90	180200
Промежуточные затраты	80	90	100	270	380
Валовая добавленная стоимость (ВДС)	180 70	80 10	380
Валовый выпуск	200 160	270 160	180 110			650

2. Коэффициенты прямых затрат определяются в соответствии с соотношением

Вычисления можно оформить в виде матрицы:

.

Найдем матрицу «затраты-выпуск»:

Вектор конечного использования определим на основе балансового соотношения

.

Определим объемы межотраслевых поставок по формуле

, , ;

Вычисления можно оформить в виде матрицы

.

Определим валовую добавленную стоимость по формуле

.

Таблица 2

Схема МОБ на плановый период

Отрасли-производители	Отрасли-потребители			Конечное использование	Валовый выпуск
	1	2	3
1	0,0000	44,4400	22,2200	233,3400	160
2	75,0000	7,4000	44,4400	73,1600	160
3	45,0000	14,8200	44,4400	95,7400	110
Валовая добавленная стоимость	40,0000	93,34	-1,1000	402,24
Валовый выпуск	160	160	110		430

3.      Определим вектор валовой продукции отраслей  по известному вектору конечного использования  по формуле

.

Матрицу коэффициентов полных затрат  рассчитывают путем обращения матрицы :

,

где  − алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .

Найдем определитель матрицы

.

Вектор валового выпуска в плановом периоде

.

Сформируем структуру затрат отчетного периода, исходя из того, что на заработную плату первой отрасли приходится - 30%, второй отрасли - 35%, третьей отрасли -35% валовой добавленной стоимости.

Определяем заработную плату в отраслях для отчетного периода

;

;

.

Прочие элементы валовой добавленной стоимости находятся как разность между валовой добавленной стоимостью и заработной платой.

Балансовое соотношение для прогнозирования цен для нашей задачи будет иметь вид

,

где  - индекс цен j-ой отрасли;

 - i-ый элемент валовой добавленной стоимости j-ой отрасли.

Так как рост заработной платы отстает от роста цен, и коэффициент эластичности зарплаты от цен составляет 0,7, то заработную плату необходимо умножить на 0,7. По условию . Тогда I и IIIразделы отчетного МОБ в текущих ценах будут иметь вид, как показано в таблице 3

Таблица 3

Отрасли-производители	Отрасли-потребители
	1	2	3
1	06020
2	501040
3	302040
Заработная плата	366328
Прочие элементы ВДС	8411752
Валовый выпуск	200270280

Величина затрат на продукцию первой отрасли не влияет на формирование цены в этой отрасли, поэтому система балансовых уравнений включает уравнения только для второй и третьей отраслей и будет иметь вид

После приведения подобных получаем систему

Решая систему, находим

Следовательно, индекс цен во второй отрасли составит 132,53%, а в третьей отрасли - 55,36%.

Таким образом, при увеличении цены впервой отрасли в 2 раза, во второй цена увеличится на 32,53%, а во второй уменьшится на 44,64%.

5. Рассчитаем, какое влияние в условиях рынка окажет увеличение заработной платы вовторой отрасли на 30% на увеличение цен на продукцию отраслей.

I и IIIразделы отчетного МОБ в текущих ценах будут иметь вид, как в таблице 4

Таблица 4

Отрасли-производители	Отрасли-потребители
	1	2	3
1	06020
2	501040
3	302040
Заработная плата	36	6328
Прочие элементы ВДС	8411752
Валовый выпуск	200270280

Система балансовых уравнений будет иметь вид

После приведения подобных получаем систему

Решая систему, находим

Следовательно, индекс цен в первой отрасли составит 85,61%, во второй отрасли - 99,51%, а в третьей отрасли - 45,16%.

Таким образом, при увеличении заработной платы во второй отрасли на 30% цена на продукцию первой отрасли уменьшится на 14,39%, второй отрасли - на 0,49%, третьей отрасли - на 54,84%.

Задача 2

 

Условие:

Определить план реализации  товаров двух товарных групп (кг), максимизирующий прибыль (руб.),

и стоимость реализованных товаров (руб.)

методом равных наименьших относительных отклонений.

 

Решение

Построим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через  и  количество товарной группы вида  и  соответственно. Тогда модель задачи будет

Решим задачу методом равных наименьших относительных отклонений.

Определим максимальную величину прибыли  при ограниченных ресурсах. Для этого решим графически задачу

Построим область допустимых значений, которая задается системой ограничений. Геометрической интерпретацией линейного ограничения является полуплоскость, ограниченная прямой. Запишем уравнения граничных прямых и для их построения найдем по две точки, лежащих на этих прямых:

1)         , (210; 0), (0; 210);

2)         , (225; 0), (75; 10).

Рисунок 1

Пересечением полуплоскостей является многоугольник ОАВС (см. рисунок 1) - это область допустимых значений.

Графической интерпретацией целевой функции является множество линий уровня. Вектор-градиент , координатами которого являются частные производные целевой функции  по  и , показывает направление наискорейшего возрастания целевой функции. Линии уровня перпендикулярны вектору-градиенту. На чертеже обычно изображают одну из них, например .

Для определения точки, в которой целевая функция  принимает наибольшее значение, перемещаем линию уровня  в направлении вектора-градиента до тех пор, пока она займет крайнее положение в области допустимых значений. Для данной задачи это точка А с координатами (0; 150). В этой точке значение целевой функции -

.

Итак, максимальная прибыль составляет 1500 руб. и достигается при реализации 150 кг продукциитоварной группы вида .

Определим максимальный объем выпуска  при ограниченных ресурсах. Для этого решим графически задачу

Координаты вектора-градиента . Максимальное значение целевой функции  достигается в точке В (см. рисунок 1).

Координаты точки В определяем из решения системы, составленной из уравнений прямых, пересекающихся в этой точке:

Решая систему, находим

Следовательно, точка В имеет координаты (180; 30). В этой точке значение целевой функции

.

Итак, стоимость реализованных товаров составляет 4440 кг и достигается при реализации 180 кг продукции товарной группы вида  и 30 кг продукции товарной группы вида.

Отрезок АВ является областью компромиссов.

Запишем относительные отклонения для обеих функций:

,

.

Для построения дополнительного ограничения замещающей задачи приравняем отклонения , т.е.

После упрощения этого выражения получим

Замещающая задача в соответствии с методом равных наименьших относительных отклонений будет иметь вид

Рисунок 2

цена продукция прибыль

Областью допустимых значений замещающей задачи является отрезок OD (см. рисунок2). Максимальное значение целевой функции  достигается в точке D. Координаты точки D определяем из решения системы, составленной из уравнений прямых, пересекающихся в этой точке:

Решая систему, находим

Следовательно, точка D имеет координаты (38,2979; 124,4681) - это субоптимальное решение. Точка D принадлежит области компромиссов, следовательно, найденное решение эффективно. В этой точке целевые функции принимают значения:

Итак, по методу равных наименьших относительных отклонений план реализации двух товарных групп составит 38,2979 кг товарной группы вида  и 124,4681 кг товарной группы вида . Максимизирующая прибыль будет равна 1436,1705 руб., а стоимость реализованных товаров 4251,0648 руб.

Относительные отклонения составляют

;

Это означает, что обе целевые функции отклоняются от своих оптимальных значений на 4,26%.

Задача 3

Условие:

За некоторый промежуток времени потребление основного вида топлива (мазута) на ТЭЦ в зависимости от качества составляет 20, 22 или 24 весовых единиц. Мазут можно закупить по оптовой цене, равной 3 ден. ед. за весовую единицу мазута. Если для обеспечения заданной температуры теплоносителя объема приобретенного мазута окажется недостаточно, то можно закупить недостающее количество мазута по розничной цене, равной 4 ден. ед. за весовую единицу мазута. Если же запас мазута превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 2 ден. ед. в расчете на единицу веса мазута.

Требуется:

. Придать описанной ситуации игровую схему. Выявить участников игры и установить их характер. Указать допустимые стратегии сторон;

. Вычислить элементы платежной матрицы;

. Дать обоснованные рекомендации об уровне запаса мазута, при котором совокупные затраты на приобретение, содержание и хранение мазута будут минимальными при следующих предположениях:

а) вероятности , ,  потребности мазута в количестве 20, 22, 24 весовых единиц известны. Найти оптимальную чистую стратегию, пользуясь критерием Байеса;

, ,

б) вероятности потребности мазута в количествах 20, 22, 24 весовых единиц одинаковы. Найти оптимальную чистую стратегию, пользуясь критерием Лапласа;

в) о вероятностях потребления мазута в количествах, 20, 22, 24 весовых единиц ничего определенного сказать нельзя. Найти оптимальные чистые стратегии, пользуясь критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица (величина параметра  в критерии Гурвица задается)

 

Решение:

1 В рассматриваемой ситуации в качестве статистика А выступает руководство ТЭЦ, заинтересованное в минимизации затрат на приобретение мазута. Вторым игроком является «природа» - совокупность объективных факторов, благодаря которым потребление мазута может быть различным.

Приобретая мазут, руководство ТЭЦ может ориентироваться на его потребление: либо 20 весовых единиц (первая чистая стратегия ),либо 22 (вторая чистая стратегия ),либо 24 (третья чистая стратегия ).

«Природа» (совокупность объективных неопределенных факторов) может реализовать состояния ,  и  - необходимое потребление мазута20, 22 и 24 весовых единиц соответственно.

Таким образом, платежная матрица статистической игры будет иметь размерность 3x3(см. Таблицу 5).

«Выигрышами» статистика А будут затраты, связанные с реализацией стратегий ,  и , которые являются элементами платежной матрицы. Рассчитаем их.

Элемент  соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 20 весовых единиц мазута и столько же потребовалось для отопительного сезона. Т.к. оптовая цена мазута равна 3 ден. ед. за весовую единицу, то затраты составят  ден. ед. Следовательно, .

Элемент  соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 20 весовых единиц мазута, а для отопительного сезона потребовалось 22 весовых единиц. Т.к. оптовая цена мазута равна 3 ден. ед. за весовую единицу, то на закупку 20 весовых единиц мазута затраты составят  ден. ед. На закупку недостающих 22-20=2 весовых единицы мазута по розничной цене, равной 4 ден. ед. за весовую единицу, затраты составят  ден. ед. Следовательно, .

Элемент  соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 20 весовых единиц мазута, а для отопительного сезона потребовалось 24 весовых единиц. Т.к. оптовая цена мазута равна 3 ден. ед. за весовую единицу, то на закупку 20 весовых единиц мазута затраты составят  ден. ед. На закупку недостающих 24-20=4 весовых единицы мазута по розничной цене, равной 4 ден. ед. за весовую единицу, затраты составят  ден. ед. Следовательно, .

Элемент  соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 22 весовых единиц мазута, а для отопительного сезона потребовалось 20 весовых единиц. Т.к. оптовая цена мазута равна 3 ден. ед. за весовую единицу, то на закупку 22 весовых единиц мазута затраты составят  ден. ед. Запас мазута превысит потребности на 22-20=2 весовых единицы, затраты на хранение которых составят  ден. ед. (стоимость хранения весовой единицы мазута равна 2 ден. ед.). Следовательно, .

Аналогично определяются остальные элементы платежной матрицы. Платежная матрица игры представлена в таблице 5:

Таблица 5

(20)-60-68-70-70

(22)-70-66-74-74

(24)-80-76-72-80

-60-66-70

0,30,30,4

. Для определения оптимальной стратегии воспользуемся различными критериями.

а) Оптимальной по критерию Байеса будет чистая стратегия , т.к. именно при ней средний выигрыш  достигает максимального значения:

и

.

б) Оптимальной по критерию Лапласа будет чистая стратегия , т.к. именно при ней средний выигрыш

достигает максимального значения:

И .

в) Оптимальной по критерию Вальда будет чистая стратегия , т.к. именно при ней наименьший выигрыш статистика  будет максимальным (см. таблицу 5).

.

г) Чтобы воспользоваться критерием Сэвиджа, составим матрицу рисков с элементами

(таблица 6)

Таблица 6

	(14)(16)(18)
(14)0202
(16)100410
(18)2010220

Так,

 и т.д.

Оптимальной по критерию Сэвиджа будет чистая стратегия , т.к. именно при ней максимальный риск  будет минимальным (см. таблицу 6)

.

д) Оптимальной по критерию Гурвица будет чистая стратегия , т.к. именно при ней величина

достигает максимального значения:

И .

Проведенное исследование по совокупности критериев показало, что чаще других оптимальной называлась чистая стратегия . Правомерно ее и рекомендовать руководству ТЭЦ для реализации, т.е. закупить 20 весовых единиц мазута.

Задание 4

 

Условие:

Для перевода производства на новую, более прогрессивную технологию необходимо осуществить комплекс мероприятий. Известны продолжительности выполнения каждой работы и количество специалистов, необходимых для выполнения этих работ.

Требуется:

. Построить временной сетевой график выполнения комплекса работ.

. Определить критический путь.

3. Найти минимальное время  выполнения всего комплекса работ.

. Найти минимальное количество человек R, которое потребуется для выполнения этого комплекса работ.

Информация о комплексе работ приведена в таблице 7.

Таблица 7

Работа Опирается

на работыХарактеристикиработы
		Время выполнения, дни	Затраты трудовых ресурсов, чел.
¾53
¾42
62
45
, 64
, 46
53
22
77

Решение

Исходное событие означает момент начала выполнения проекта. Работам  и , не предшествуют никакие работы, следовательно, на графике они изображены дугами, выходящими из исходного события . Событие  означает момент окончания работы . Работе  предшествуют работа . Аналогично, с учетом взаимосвязей изображаются на графике все оставшиеся работы. Завершающее событие А означает момент выполнения всего проекта (рисунок3)

Рисунок 3

Критический путь - это путь из точки  к точке А, не содержащий фиктивных работ. Он состоит из критических работ , , , , Тогда критическое время выполнения проекта будет

На рисунке 4 построен временной сетевой график.

Для определения числа исполнителей, необходимого для выполнения всего комплекса работ, построим шкалу потребления ресурса. Обозначим на временном сетевом графике число исполнителей для каждой работы (в скобках около наименования работы, т.е.  ()). На ось времени Оt сетевого графика проектируют пунктирными линиями начальные и конечные точки всех работ и получают промежутки постоянства интенсивности потребления ресурса. Суммарную потребность в ресурсе в данном временном промежутке определяют, суммируя интенсивности всех работ, расположенных над этим промежутком (см. рисунок 4).

Максимальное число исполнителей (12 человек) требуется на промежутке времени [5,6]. Следовательно, R=12.Таким образом, для выполнения данного проекта потребуется минимум 12 человек.

Рисунок 4

Задача 5

 

Условие:

Имеются данные о товарообороте, численности работников и торговой площади предприятий торговли за отчетный период:

Таблица 8

№ предприятия торговли  Численность работников, чел ()Торговая площадь, кв. м ()Товарооборот, тыс. руб.

 

1 2 3 4 5

70 110 140 100 80

110 170 180 130 110

300 600 750 450 400

На основе приведенных данных:

. Запишите формулу линейного уравнения множественной регрессии для результативного признака - товарооборота, связанного с двумя признаками - факторами, приведенными в таблице;

. Определите параметры уравнения множественной регрессии и поясните их экономический смысл;

. Вычислите корреляционное отношение и сделайте вывод о тесноте связи между признаками в построенной модели;

4. Используя полученную модель, сделайте прогноз о возможном товарообороте на предприятии торговли с численностью работников 75 чел и торговой площадью 105 кв. м.

Решение:

1. Зависимость товарооборота от численности работников и торговой площади выразим формулой

.

. Параметры уравнения найдем из решения системы нормальных уравнений:

Вычислим необходимые суммы в таблице:

Таблица 9

	70	110	300	4900	7700	21000	12100	33000
	110	170	600	12100	18700	66000	28900	102000
	140	180	750	19600	25200	105000	32400	135000
	100	130	450	10000	13000	45000	16900	58500
	80	110	400	6400	8800	32000	12100	44000
Итого:	500	700	2500	53000	73400	269000	102400	372500

Система нормальных уравнений примет вид:

Решая систему, находим

Следовательно, линейное уравнение множественной регрессии будет

Экономический смысл параметров  и : при увеличении численности работников на 1 чел. товарооборот увеличится в среднем на  тыс. руб., а при увеличении торговой площади на 1 кв. м товарооборот увеличится в среднем на  тыс. руб.

. Корреляционное отношение вычислим по формуле

,

где средний товарооборот

 (тыс. руб.).

Вычислим теоретические значения  и необходимые суммы в таблице 10:

Таблица 10

	300 600 750 450 400	317,0762 596,3462 743,9082 482,3212 360,3692	33461,1166 9282,5903 59491,21 97681,2325 19496,7603	40000 10000 62500 2500 10000
Итого:	2500	2500,021	219412,9097	125000

Тогда корреляционное отношение:

.

Значение  свидетельствует о наличии более чем весьма высокой или тесной связи между факторными и результативным признаками, т.е. товарооборот тесно связан с численностью работников и торговой площадью предприятия торговли.

Т.к. связь между факторными и результативным признаками в построенной модели достаточно тесная, то ее можно использовать для прогнозирования.

Итак, прогнозируемое значение товарооборота предприятия торговли с численностью работников 75 чел. и торговой площадью 105 кв. м:

Использованная литература

1. Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения специальностей: 1-260203 - Маркетинг; 1-250107 - Экономика и управление на предприятии: Экономико-математические методы и модели. Эконометрика / сост. Е. М. Колодная. - Мн.: ВГКС, 2008.