Исследование сигналов и их прохождение через линейные цепи

Тема: "Анализ сигналов и их прохождение через линейные цепи"

Оглавление

Задание на курсовую работу

. Получение и описание математической модели формы сигнала

. Компьютерная модель сигнала с заданными параметрами

. Получение аналитического выражение (модели) периодического сигнала

. Анализ характеристик видеосигнала

. Анализ характеристик радиосигнала

. Построение дискретного сигнала соответствующего видеосигнала

. Построение аналитического сигнала соответствующего радиосигнала

. Анализ прохождения видео- и радиосигнала через RС-цепь

. Анализ прохождения видео- и радиосигнала через RLC-цепь

. Анализ прохождения белого шума через RС- и RLC-цепи

Выводы

Список использованной литературы

Задание на курсовую работу

Тема: анализ сигналов и их прохождение через линейные цепи.

Цель:

1.       Анализ характеристик сигналов.

2.       Анализ характеристик линейных цепей.

Последовательность этапов анализа:

1.       Составление математических моделей.

2.       Построение компьютерных моделей.

3.       Проведение моделирования процессов формирования и прохождение сигналов для получения характеристик цепей.

4.       Формулирование выводов о характеристиках сигналов на входе и выходе системы.

Исходные данные:

Форма сигнала: Функция Эрмита 3-го порядка.

Амплитуда: А = 3.

Длительность: 0.05 с.

Условия: Q=50, w_p=w₀

1)       RС цепь:

Заданная RС-цепь

Параметры: Z1= C1||R1, Z2= C2.

2)       RLC цепь:

Заданная RLC-цепь

Параметры:                  Z1 = R1||L||С, Z2=R2

Основные задачи:

1.       Получение и описание математической модели формы сигнала.

2.       Компьютерная модель сигнала с заданными параметрами.

3.       Построение графиков сигнала.

4.       Построение периодического сигнала

5.       Нахождение спектра, спектральной плотности и АКФ.

6.       Построение дискретного сигнала соответствующего видеосигнала.

7.       Получение аналитического сигнала для соответствующего радиосигнала. импульсный переходный цепь сигнал

8.       Анализ прохождения сигналов (радио- и видео-) и белого шума через RL- и RLC-цепь.

9.       Выводы по каждой задаче.

1. Получение и описание математической модели формы сигнала

Для того, чтобы сделать сигналы объектами теоретического изучения и расчётов, следует указать способ их математического описания, то есть создать математическую модель исследуемого сигнала.

Исследуемая форма сигнала представляет собой функцию Эрмита. Она имеет вид:

.

Функция Эрмита третьего порядка описывается следующей формулой:

.

График функции Эрмита представлен на рисунке 1.1.

Рис. 1.1 График математической модели функции Эрмита 3-го порядка

В дальнейшем будем использовать сдвинутую функцию Эрмита 3-го порядка в курсовой работе. График сдвинутой функции представлен на рисунке 1.2.

Рис. 1.2. График математической модели функции Эрмита 3-го порядка и ее сдвинутой копии

2. Компьютерная модель сигнала с заданными параметрами

Так как физический сигнал не может быть в отрицательной области временной оси, то исходную математическую модель надо переместить в положительную полуось времени. Далее изменим длительность сигнала и его амплитуду в соответствии с исходными данными. Пусть амплитуда сигнала , длительность равна 0.05 с. Компьютерная модель видеосигнала представлена на рисунке 2.1, радиосигнала - на рисунке 2.2. Модели построены в СКМ MathCAD 14.

Рис. 2.1. Компьютерная модель видеосигнала

Рис. 2.2. Компьютерная модель радиосигнала

3. Получение аналитического выражение (модели) периодического сигнала

Периодический видеосигнал выразим через одиночную функцию Эрмита третьей степени, длительностью 3 миллисекунды:

Рис.3. График периодического видеосигнала

4. Анализ характеристик видеосигнала

Построим спектры видеосигнала. В виде базовой функции выберем гармонику. Частоту первой гармоники зададим как ,  - число суммируемых гармоник.

Рис. 4.1. Амплитудо-частотный спектр заданного видеосигнала

Рис. 4.3. Спектральная плотность заданного видеосигнала

Построим автокорреляционную функцию (АКФ) заданного сигнала (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Построение АКФ заданного сигнала

5. Анализ характеристик радиосигнала

Как и в случае с видеоимпульсом, построим амплитудный и фазовый спектры, спектральную плотность и АКФ заданного радиосигнала.

Рис. 5.1. Амплитудно-частотный спектр заданного радиосигнала

Рис. 5.2. Фазо-частотный спектр заданного радиосигнала

Рис. 5.3. Спектральная плотность заданного радиосигнала

На рисунке 5.4 изображён график АКФ заданного радиоимпульса. Автокорреляционной функцией радиоимпульса является гармоника.

Рис. 5.4. Построение АКФ заданного радиоимпульса и видеоимпульса

6. Построение дискретного сигнала соответствующего видеосигнала

По теореме Котельникова произвольный сигнал может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени  с, где  - верхняя граничная частота в спектре.

За  возьмем значение частоты, до которой сосредоточено 95% энергии спектра. Чтобы найти верхнюю граничную частоту в спектре построим функцию зависимости энергии спектра от интервала частот E(Δw) и найдем Δw, при которой E(Δw) = 0.95E.

Определим верхнюю граничную частоту.

Рис. 6.1. График зависимости энергии сигнала от частоты

Путём трассировки по графику определим, что 95% энергии сигнала соответствует круговой частоте в . На рисунке 6.2 изображён дискретный сигнал, полученный по теореме Котельникова.

Рис. 6.2. График дискретного сигнала, полученного по теореме Котельникова

7. Построение аналитического сигнала соответствующего радиосигнала

Используя формулу Эйлера, произвольный сигнал  с известной спектральной плотностью  можно записать как сумму двух составляющих, каждая из которых содержит или только положительные, или только отрицательные частоты:

Аналитическим сигналом, отвечающим вещественному колебанию , называется функция

Используя прямое преобразование Гильберта, получим, что сопряженный сигнал записывается как

.

Реальная часть аналитического сигнала должна соответствовать сигналу, для которого он строится. Таким образом, аналитический сигнал соответствующий заданному радиосигналу записывается как

Рис. 7.1. График аналитического сигнала и видеосигнал

8. Анализ прохождения видео- и радиосигнала через RС-цепь

Анализ прохождения видеосигнала через заданные цепи произведём классическим методом. На рисунке 8.1 представлена схема заданной RС-цепи, причём .

Рис. 8.1. Cхема заданной RL-цепи

Зададим параметры элементам цепи первого порядка:

Согласно схеме на рис. 8.1, двухполюсник Z1 выражается параллельным соединением емкости С1 и сопротивления R1 следующим образом:

А Z2 вычисляется по формуле:

Тогда комплексный коэффициент передачи вычисляется по известной формуле:

То есть в нашем случае

АЧХ и ФЧХ такого фильтра выглядят следующим образом (для более наглядного представления изобразим их в логарифмической шкале):

Рис. 8.2 АЧХ фильтра первого порядка

Рис. 8.3 ФЧХ фильтра первого порядка

Найдя выражение для операторного коэффициента передачи цепи, упростив его и сделав обратно преобразование Лапласа, найдем импульсную характеристику h(t):

Рис. 8.4 Импульсная характеристика фильтра первого порядка

Зная известную формулу найдем переходную характеристику:

Рис. 8.5 Переходная характеристика фильтра первого порядка

Найдем реакцию цепи на исходный видеоимпульс.

Рис. 8.6 График отклика RС-цепи на воздействие заданного видеоимпульса

Найдем реакцию цепи на полученный радиоимпульс

Рис. 8.7 График отклика RС-цепи на воздействие заданного радиоимпульса

9. Анализ прохождения видео- и радиосигнала через RLC-цепь

Также как и в предыдущем случае воспользуемся классическим методом анализа.

Рис. 9.1. Заданная RLC-цепь

Зададим параметры элементам цепи первого порядка:

Согласно схеме на рис. 9.1, двухполюсник Z1 выражается параллельным соединением емкости С, сопротивления R1 и индуктивности L следующим образом:

 выражается следующим выражением:

Тогда комплексный коэффициент передачи вычисляется по известной формуле и после упрощения в нашем случае равен:

АЧХ и ФЧХ такого фильтра выглядят следующим образом (для более наглядного представления изобразим их в логарифмической шкале):

Рис. 9.2 АЧХ фильтра второго порядка

Рис. 9.3 ФЧХ фильтра второго порядка

Найдя выражение для операторного коэффициента передачи цепи, упростив его и сделав обратно преобразование Лапласа, найдем импульсную характеристику h2(t):

Рис. 9.4 Импульсная характеристика фильтра второго порядка

Зная известную формулу найдем переходную характеристику:

Рис. 9.5 Переходная характеристика фильтра второго порядка

Найдем реакцию цепи на исходный видеоимпульс.

Рис. 9.6 График отклика RLС-цепи на воздействие заданного видеоимпульса

Найдем реакцию цепи на полученный радиоимпульс

Рис. 9.7 График отклика RLС-цепи на воздействие заданного радиоимпульса

10. Анализ прохождения белого шума через RС- и RLC-цепи

В радиотехнике белым шумом принято называть стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности. Функция корреляции белого шума всюду равна нулю, кроме точки . Средняя мощность белого шума неограниченно велика. Белый шум является дельта-коррелированным случайным процессом. Некоррелированность мгновенных значений такого случайного сигнала означает бесконечно большую скорость изменения их во времени - как бы мал ни был интервал τ, сигнал за это время может измениться на любую наперёд заданную величину. На рисунке 10.1 показана компьютерная модель белого шума. В СКМ MathCAD моделирование белого шума осуществляется при помощи нормального закона распределения. Для получения отклика цепи на воздействие белого шума требуется представить белый шум в виде функции, зависящей от времени и подать её на вход цепей. Графики откликов RС- и RLC-цепей представлены на рисунках 9.2 и 9.3 соответственно. Смоделируем процесс "белого шума", состоящего из 3000 прямоугольных импульсов случайной амплитуды

Рис. 10.1. Компьютерная модель белого шума

Рис. 10.2. График отклика заданной RС-цепи на воздействие белого шума

Рис. 10.3. График отклика заданной RLC-цепи на воздействие белого шума

Выводы

На основе выполненной курсовой работы и расчетного анализа можно сделать следующие выводы:

                   1. Получено аналитическое выражение для видеосигнала, длительностью 3 секунды, аналитическое выражение для периодического видеосигнала, построен график дискретизированного видеосигнала.

. Найдена верхняя частота спектра видеосигнала, - 144 Hz.

. Найдены аналитические выражения для импульсной и переходной характеристик цепи.

. Исследовано прохождение видеосигнала через цепи с помощью импульсной характеристики цепи. Построено графическое изображение сигнала на входе и выходе цепи.

. Исследовано прохождение "белого" шума через цепи методом частотного анализа. Найдены основные характеристики "белого шума" на входе и на выходе цепи.

Список использованной литературы

1.       Нефедов В.И. Основы радиоэлектроники и связи. М.: Высшая школа, 2005

2.       Каганов В.И. Основы радиоэлектроники и связи М.: Высшая школа, 2007

3.       Лекции по ОРЭС, Трофимов А.Т., 2010 год

4.       http://ru.wikipedia.org/wiki/Функции_Эрмита

5.       http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Котельникова

6.       http://brokgauz.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/6386/ЭРМИТА

7.       http://radiomaster.ru/cad/mathcad/index.php