Оценка состояния объекта, подвергающегося воздействию наводнения, на основе построений функции принадлежности

Оценка состояния объекта, подвергающегося воздействию наводнения, на основе построений функции принадлежности

КУРСОВАЯ РАБОТА

Оценка состояния объекта, подвергающегося воздействию наводнения, на основе построений функции принадлежности

Введение

В рамках метода контроля предложена методика оценки состояния гидротехнического объекта, подверженного воздействию наводнений различной природы (морских наводнений, наводнений от весенних паводков), с использованием теории нечетких множеств [1, 2, 3, 4]. Предложенную методику можно рассматривать как элемент экспертных систем зонирования прибрежных территории, предназначенный для оценки ожидаемого ущерба от наводнения и, следовательно, риска.

При выборе участка береговой территории для строительства гидротехнического объекта естественно рассматривать риск наводнения для проектируемого объекта как один из критериев оптимизации:

,

где  - условный порядковый номер участка береговой территории,  - вероятность опасности наводнений для зоны ,  - вероятность ущерба при реализации опасности для проектируемого объекта расположенного в зоне .

Для оценки ущерба от наводнения возникает задача оценки уязвимости (или состояния повреждения) гидротехнического объекта по отношению к этому неблагоприятному явлению [5, 6]. В современной практике, для оценки состояния повреждения, технические сооружения разного рода могут быть подвергнуты как экспериментальному, так и аналитическому изучению. Известно, что такие общие процедуры анализа уязвимости уникальных гидротехнических сооружений существуют, однако, детализированная методология, особенно процесс принятия решения, остается в сфере компетентности относительно немногих лиц и основывается главным образом на интуиции экспертов, а не на вычислительных процедурах [6].

При решении задачи оценки состояния повреждения объекта многим входным данным невозможно сопоставить количественное значение, часто они определяются качественными признаками такими, как «много», «сильное» и так далее. Входные данные также зависят от субъективной оценки экспертов и содержат в себе неопределенность и неоднозначность, которые важно учитывать в процессе принятия решения. Например, известно, что уязвимость объекта зависит от геологических условий участка, где он размещается, но разбиение исследуемой территории на относительно одинаковые по геологическим характеристикам зоны можно произвести только условно. В настоящее время признано, что теория нечетких множеств полезна при решении проблем в случае, когда данные представлены в форме лингвистических выражений (словесно) и зависят от субъективных оценок экспертов [4].

Рассматривая состояние повреждения объекта, важно определить само понятие повреждения как пример нечеткого множества. Естественно, оно зависит от многих параметров (входных данных) таких как материал, характеристика фундамента, геологические характеристики участка, интенсивность наводнения и так далее. В таких обстоятельствах, включающих многие факторы, сложно построить простой классификатор, отображающий многомерное пространство признаков в определенный набор категорий. Кроме того, поскольку не существует хорошо установленного способа определять состояние повреждения, следует эффективно использовать знания, которые могут предоставить опытные инженеры. Методы анализа данных: теория нечетких множеств, построение функций принадлежности.

Цель исследования: разработать методику оценки состояния повреждения гидротехнического объекта, подверженного воздействию морских наводнений сейсмической природы или наводнений от весенних паводков, с использованием теории нечетких множеств.

Основные задачи:

.         Оценка уязвимости объекта по отношению к неблагоприятному явлению.

.         Оценка ожидаемого ущерба от наводнения.

.         Моделирование риска с целью решения задачи зонирования прибрежной территории.

1. Элементы теории нечетких множеств

1.1 Понятие нечеткого множества

Нечеткое множество представляет собой совокупность элементов различной природы, относительно которых нельзя с полной определенностью утверждать принадлежит ли тот или иной элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет [3].

Нечетким множеством называется совокупность упорядоченных пар или кортежей , где  является элементом некоторого универсального множества или универсума X, а  - функция принадлежности, которая ставит в соответствие каждому  некоторое действительное число из замкнутого интервала [0, 1], т.е. данная функция определяется в форме отображения:

Нечеткая переменная определяется как кортеж: , где  - наименование нечеткой переменной;  - область ее определения (универсум);  - нечеткое множество на , описывающее возможные значения, которые может принимать нечеткая переменная .

Лингвистическая переменная определяется как кортеж: , где  - наименование лингвистической переменной;  - базовое терм-множество лингвистической переменной или множество ее значений (термов), каждое из которых представляет собой наименование отдельной нечеткой переменной ;  - область определения (универсум) нечетких переменных, которые входят в определение лингвистической переменной ;  - некоторая синтаксическая процедура, которая описывает процесс образования из множества  новых, осмысленных в рассматриваем контексте значений для данной лингвистической переменной (например, с помощью логических связок «И», «ИЛИ» и модификаторов типа «ОЧЕНЬ», «СЛЕГКА» и др.);  - семантическая процедура, которая позволяет поставить в соответствие каждому новому значению данной лингвистической переменной, получаемому с помощью процедуры , некоторое осмысленное содержание посредством формирования соответствующего нечеткого множества.

Элементарным нечетким высказыванием, в общем случае, называется повествовательное предложение, выражающее законченную мысль, относительно которой мы можем судить об ее истинности или ложности только с некоторой степенью уверенности.

Нечетким лингвистическим высказыванием называются высказывания следующих видов:

. Высказывание «есть », где  - наименование лингвистической переменной,  - ее значение из .

. Высказывание «есть », где  - модификатор, соответствующий таким словам, как: «ОЧЕНЬ», «БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ», «МНОГО БОЛЬШЕ» и другим, которые могут быть получены с использованием процедур  и  данной лингвистической переменной.

. Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1 и 2 и нечетких логических операций в форме связок «И», «ИЛИ», «ЕСЛИ-ТО».

Для оценки степени истинности произвольного нечеткого высказывания введем отображение T:  - отображение истинности нечетких высказываний, где U множество нечетких высказываний.

1.2 Основные логические операции

моделирование нечеткое множество гидротехнический

Приведем определения основных логических операций с нечеткими высказываниями, необходимые в дальнейшем. А и B некоторые нечеткие высказывания.

Логическое отрицание. Отрицанием логического высказывания А называется унарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого по определению принимает значение:

.                                                                                 (1.1)

Логическая конъюнкция. Конъюнкцией нечетких высказываний А и В называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого определяется по формуле:

 - min-конъюнкция.                                   (1.2)

Для определения степени истинности конъюнкции нечетких высказываний можно использовать следующие альтернативные формулы:

алгебраическое произведение: ,

граничное произведение: ,

драстическое произведение:

Логическая дизъюнкция. Дизъюнкцией нечетких высказываний А и В называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого по определению принимает значение:

 - max-дизъюнкция.                                  (1.3)

Для определения степени истинности конъюнкции нечетких высказываний можно использовать следующие альтернативные формулы:

алгебраическая сумма: ,

граничная сумма: ,

драстическая сумма:

Под правилом нечеткой продукции или просто нечеткой продукцией понимается выражение вида: , где  - имя нечеткой продукции,  - сфера применения нечеткой продукции (описание предметной области знаний) ,  - условие применимости ядра нечеткой продукции (логическое выражение в случае истинности которого становится возможным активизация ядра),  - ядро нечеткой продукции, где  условие ядра, а  заключение, представляющие собой нечеткие лингвистические высказывания,  - знак логического следования,  - метод определения количественного значения степени истинности заключения (метод активации),  - коэффициент определенности или уверенности нечеткой продукции,  - постусловия продукции описывающее действия, которые выполняются в случае реализации ядра продукции.

Простейший вариант правила нечеткой продукции может быть записан в форме:

ПРАВИЛО <№>: ЕСЛИ «есть », ТО « есть ».

Таким образом, рассмотрены элементы теории нечетких множеств, которые используются для оценки состояния гидротехнического объекта, подверженного воздействию наводнений различной природы, так как данные представлены в форме лингвистических выражений и зависят от оценки экспертов.

1.2 Примеры нечетких множеств

Для представления размытых (нечетких) знаний в начале 70-х американский математик Лотфи Заде предложил формальный аппарат нечеткой алгебры и нечеткой логики. В основе теории Л. Заде лежит субъективный факт - субъективные представления о цели всегда нечетки. Но он делает и следующий шаг - полагает, что все оценки субъекта и ограничения, с которыми он работает, так же, как правило, нечетки, а иногда и вообще лишены в своем начальном виде количественных характеристик. Л. Заде ввел одно из главных понятий в нечеткой логике - понятие лингвистической переменной.

Лингвистическая переменная - это переменная, значение которой определяется набором словесных характеристик некоторого свойства. Например, лингвистическая переменная "скорость" определяется через набор {очень маленькая; низкая; средняя; высокая; очень высокая}.

Значение лингвистической переменной определяются через нечеткие множества, которые в свою очередь определены на некотором базовом множестве значений или базовой числовой шкале, имеющей размерность. Каждое значение лингвистической переменной определяется как нечеткое множество.

Пусть X - непустое множество. Нечеткое множество A в X характеризуется функцией принадлежности µ_A:X→X[0;1], µ_A - степень принадлежности элемента x нечеткому множеству A для каждого xÎX. Таким образом, нечеткое множество B -совокупность пар вида (x, µ(x)), где xÎB.

Функция принадлежности определяет субъективную степень уверенности эксперта в том, что данное конкретное значение базовой шкалы соответствует определяемому нечеткому множеству.

Функция принадлежности интерпретируется как степень принадлежности элемента X нечеткому множеству A для любого xÎX.

Если X - дискретно (X = {x₁,x₂,...,x_n}), то A = µ₁/x₁ + µ₂/x₂ + ... + µ_n/x_n

(знак «/» означает «при», знак «+» означает «объединение»), где член m_i/x_i, i=1,...n означает, что m_i есть степень принадлежности x_i в A и знак суммы представляет объединение.

Пример: Предположим, что мы хотим определить множество натуральных чисел «близких к единице». Зададим базовое множество X = {-2,-1,0,1,2,3,4}

A = 0/-2 + 0.3/-1 + 0.6/0 + 1/1 + 0.6/2 +0.3/3 + 0/4

Графически множество натуральных чисел «близких к единице» представлено так:

Если X - непрерывно, то A(t) = f(t).

Пример: Функция принадлежности нечеткого множества действительных чисел «близких к 1» может быть определена как A(t)=exp(-b(t-1)²), где b-положительное действительное число.

Нечеткое множество называется нормальным, если

.

Во многих случаях люди могут охарактеризовать численную информацию только приблизительно. Например, человек использует такие выражения, как «около 5000», «близко к нулю», «существенно больше 5000». Это примеры того, что называют нечеткими числами. Используя теорию нечетких множеств, мы можем представить такие нечеткие числа как нечеткие подмножества множества действительных чисел.

Нечеткое множество A называется триангулярным нечетким числом с вершиной (центром) a, шириной слева λ>0, шириной справа β>0, если его функция принадлежности имеет вид:

Триангулярное нечеткое число с центром a можно понимать как нечеткую величину «x приблизительно равен a».

Трапецеидальное нечеткое число можно понимать как нечеткую величину «x приблизительно находится в интервале [a,b] ».

Пусть A и B -нечеткие подмножества классического множества X.

Мы говорим, что A есть подмножество B, если A(t) ≤ B(t), " tÎ X.

Пусть A - нечеткое число. Если sup(A)={x₀}, то A называется нечеткой точкой, и мы используем обозначение A =`x₀.

Расширим операции над классическими множествами из теории обычных множеств на нечеткие множества. Все эти операции, которые являются расширением четких понятий, сводятся к их обычному пониманию, когда нечеткие подмножества имеют степени принадлежности из {0,1}. Поэтому, распространяя операции на нечеткие множества, мы используем те же символы, что и в теории множеств.

Пусть A и B - нечеткие подмножества непустого (четкого) множества X. Пересечение A и B определяется следующим образом:

(AÇB)(t)=min{ A(t), B(t) }= A(t)ÙB(t), tÎ X.

Пример:

Пусть A и B - нечеткие подмножества X={-2,-1,0,1,2,3,4}:

A=0.6/-2+0.3/-1+0.6/0+1.0/1+0.6/2+0.3/3+0.4/4.

B=0.1/-2+0.3/-1+0.9/0+1.0/1+1.0/2+0.3/3+0.2/4.

Тогда AÇB имеет следующий вид:

AÇB=0.1/-2+0.3/-1+0.6/0+1.0/1+0.6/2+0.3/3+0.2/4.

Объединение A и B определяется как

(AÈB)(t)=max{ A(t), B(t) }= A(t)Ú B(t)  tÎ X.

Пример:

Пусть A и B -нечеткие подмножества X={-2,-1,0,1,2,3,4}.

A=0.6/-2+0.3/-1+0.6/0+1.0/1+0.6/2+0.3/3+0.4/4.

B=0.1/-2+0.3/-1+0.9/0+1.0/1+1.0/2+0.3/3+0.2/4.

Тогда AÈB имеет следующий вид:

AÈB=0.6/-2+0.3/-1+0.9/0+1.0/1+1.0/2+0.3/3+0.4/4.

Дополнение нечеткого множества A определяется как (^ØA)(t)=1- A(t).

Для операций с нечеткими знаниями, выраженными при помощи лингвистических переменных, существует много различных способов. Эти способы являются в основном эвристиками. Усиление или ослабление лингвистических понятий достигается введением специальных квантификаторов. Для вывода на нечетких множествах используются специальные отношения и операции над ними.

Рассмотрим утверждение нечеткой импликации «если давление высокое, то объем малый».

Функция принадлежности нечеткого множества A «большое давление», показанная на рисунке 15, может быть интерпретирована как

.

а) 1 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 0.

б) 2 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 0,25.

в) 4 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 0,75.

г) u³5 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 1.

Функция принадлежности нечеткого множества B «малый объем» показана на рисунке 16 и может быть интерпретирована как

.

а) 5 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 0.

б) 4 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 0,25.

в) 2 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 0,75.

г) 1 входит в нечеткое множество «большое давление» со степенью принадлежности 1, для всех v£1.

Если p - логическое высказывание вида «x есть A», где A - нечеткое множество, например «большое давление», и g есть пропозиция вида «y есть B», где B - нечеткое множество, например «малый объем», то мы определяем нечеткую импликацию A→B как нечеткое отношение.

(A→B)(u,v) зависит только от A(u) и B(v). То есть (A→B)(u,v)=I(A(u), B(v))=A(u) →B(v).

В этой интерпретации A(u) рассматривается как значение истинности пропозиции «u -большое давление», и B(v) рассматривается как значение истинности пропозиции «v-малый объем», то есть

«u -большое давление» →«v-малый объем» º A(u) →B(v).

Более главное расширение оператора материальной импликации может быть получено в виде:

.

Этот оператор называется импликацией Гёделя.

Другой возможностью является расширение первоначального определения . Так как нечеткая импликация может быть записана в виде A(u)→B(v)=max{1 - A(u), B(v)}. Этот оператор называется импликацией Клини-Динса.

Часто на практике используют оператор импликации Мамдани, для того чтобы моделировать причинные отношения между нечеткими переменными. Этот оператор выбирает наименьшее из значений истинности предикатов: A→B=min{A(u), B(v)}. Легко видеть, что это расширение материальной импликации некорректно, потому что 0→0 дает ноль. Однако в прикладных системах искусственного интеллекта обычно не интересуются правилами, в которых априорная часть ложная.

Операторы импликаций:

Импликацией Гёделя: .

Импликация Клини-Динса: A(u)→B(v)=max{1 - A(u), B(v)}.

Импликация Ларсена: .

Импликация Лукасевича: .

Импликация Мамдани: .

Импликация Гайнеса .

Пусть A - нечеткое множество в X. Тогда мы можем определить нечеткие множества «очень A» и «более или менее A» следующим образом

, .

Использование нечетких множеств дает основу для метода манипуляции неопределенными и неточными понятиями.

В частности, мы можем применить нечеткие множества для представления лингвистических переменных.

На рисунке показано изменение нечеткого множества «высокий человек» с помощью модификаторов: «очень высокий человек», «не очень высокий человек».

Лингвистические переменные могут рассматриваться или как переменные, значения которых являются нечеткими числами или как переменные, значения которых определяется в лингвистических термах.

Таким образом, лингвистические переменные характеризуются пятеркой (x, T(x),U,G,M) в которой x- имя переменной;

T(x) - множество термов x, те есть множество имен лингвистических переменных величин x, каждое значение которой есть нечеткое число, определенное на U;

G- синтаксическое правило для выработки имен величин x;

M- семантическое правило для связывания каждой величины с её смыслом.

Пример: Лингвистическая переменная «Скорость» может быть определена через множество термов:

Можно интерпретировать «медленно» как «скорость менее 40 километров в час»; «умеренно» как «скорость близкая к 55 километров в час»; и «быстро» как «скорость более 70 километров в час».

Эти термы определяются через нечеткие множества, функции принадлежности которых показаны на рисунке.

2. Алгоритм нечеткого вывода

2.1 Основные этапы нечеткого вывода

На введенных в предыдущем пункте понятиях основывается процедура нечеткого логического вывода, которая реализуется в экспертных системах и используется для принятия решений в многокритериальных задачах, когда информация задана в виде нечетких правил. Опишем основные этапы нечеткого вывода (рис. 2.1):

1. Формирование базы правил систем нечеткого вывода - представление эмпирических знаний или знаний экспертов в виде конечного множества правил нечетких продукций. При этом в каждом из нечетких высказываний должны быть определены функции принадлежности значений терм-множества для каждой лингвистической переменной.

2. Фаззификация - процедура нахождения значений функции принадлежности нечетких множеств (термов) на основе обычных (не нечетких) исходных данных.

До начала фаззификации предполагается, что известны конкретные значения всех входных переменных системы нечеткого вывода, т.е. множество значений , где каждое  (- универсум лингвистической переменной ). Эти значения могут быть получены, например, от датчиков. Далее рассматривается каждое из подусловий вида « есть » правил системы нечеткого вывода, где  - некоторый терм с известной функцией принадлежности . Результатом фаззификации подусловия « есть » является значение . Этап фаззификации считается законченным, когда будут найдены все значения  для каждого из подусловий всех правил, входящих в рассматриваемую базу правил системы нечеткого вывода. Это множество значений обозначим: .

3. Агрегирование - процедура определения степени истинности условий по каждому из правил системы нечеткого вывода.

До начала этого этапа предполагаются известными значения истинности всех подусловий системы нечеткого вывода, т.е. множество . Далее рассматривается каждое из условий правил системы нечеткого вывода. Если условие представляет собой нечеткое высказывание вида 1 или 2, то степень его истинности равна соответствующему значению . Если условие состоит из нескольких подусловий, причем лингвистические переменные в подусловиях попарно не равны друг другу, то определяется степень истинности сложного высказывания на основе известных значений истинности подусловий. При этом для определения результата нечеткой конъюнкции («И») может быть использована формула (1.2), а для определения результата нечеткой дизъюнкции («ИЛИ») может быть использована формула (1.3).

Рис. 2.1. Основные этапы нечеткого вывода.

Тем самым находятся количественные значения истинности всех условий правил системы нечеткого вывода.

Этап агрегирования закончен, когда найдены все значения количественные значения  для каждого правила  входящего в систему нечеткого вывода. Это множество обозначим .

4. Активизация - процедура нахождения степени истинности каждого из подзаключений правил нечеткой продукции.

До начала этого этапа предполагаются известными значения истинности всех условий системы нечеткого вывода, т.е. множество  и значения весовых коэффициентов  для каждого правила. Далее рассматривается каждое из заключений правил системы нечеткого вывода. Если заключение представляет собой нечеткое высказывание вида 1 или 2, то степень его истинности равна алгебраическому произведению соответствующего значению  на весовой коэффициент . Если заключение состоит из нескольких подзаключений, причем лингвистические переменные в подзаключениях попарно не равны друг другу, то степень истинности сложного каждого из подзаключений равна алгебраическому произведению соответствующего значению  на весовой коэффициент . Таким образом, находятся все значения  степеней истинности подзаключений для каждого из правил  входящих в базу правил системы нечеткого вывода. Это множество значений обозначим , где  - общее количество подзаключений в базе правил.

Далее определяются функции принадлежности каждого из подзаключений для рассматриваемых выходных лингвистических переменных. Для этой цели можно использовать один из методов, являющихся модификацией того или иного метода нечеткой композиции:

min-активизация: ;                                              (2.1)

prod-активизация: ;                                                  

average-активизация: ,                                              

где  - функция принадлежности терма, который является значением некоторой переменной , заданной на универсуме .

Этап активизации закончен, когда для каждой из входных лингвистических переменных, входящих в отдельные подзаключения правил нечетких продукции, будут определены функции принадлежности нечетких множеств из значений, т.е. совокупность нечетких множеств: .

5. Аккумуляция - процедура нахождения функции принадлежности для каждой из выходных лингвистических переменных.

До начала этого этапа предполагаются известными значения истинности всех подзаключений для каждого из правил , входящих в базу правил системы нечеткого вывода, в форме совокупности нечетких множеств: , где  - общее количество подзаключений в базе правил. Далее последовательно рассматривается каждая из выходных лингвистических переменных  и относящиеся к ней нечеткие множества . Результат аккумуляции для выходной лингвистической переменной  определяется как объединение нечетких множеств  по одной из следующих формул:

  ,                                                       (2.2)

,

,

,

, .

Этап аккумуляции считается законченным, когда для каждой из выходных лингвистических переменных определены итоговые функции принадлежности, т.е. совокупность нечетких множеств , где s - общее количество выходных лингвистических переменных в базе правил системы нечеткого вывода.

6. Дефаззификация - процедура нахождения обычного (не нечеткого) значения для каждой из выходных лингвистических переменных.

До начала этого этапа предполагаются известными функции принадлежности всех выходных лингвистических переменных в форме нечетких множеств . Далее последовательно рассматривается каждая из выходных лингвистических переменных  и относящиеся к ней нечеткое множество . Результат дефаззификации для выходной лингвистической переменной  определяется в виде количественного значения , получаемого по одной из приведенных ниже формул.

Этап дефаззификации считается законченным, когда для каждой из выходных лингвистических переменных определены итоговые количественные значения в форме некоторого действительного числа, т.е. в виде , где s - общее количество выходных лингвистических переменных в базе правил системы нечеткого вывода.

Для определения количественных значений выходных лингвистических переменных можно воспользоваться одним из следующих методов.

2.2 Метод центра тяжести

Центр тяжести или центроид площади рассчитывается по формуле:

,                                                                                  (2.3)

где y - результат дефаззификации; x - переменная, соответствующая выходной лингвистической переменной ;  - функция принадлежности нечеткого множества, соответствующего выходной переменной  после этапа аккумуляции; Min и Max - левая и правая точки интервала носителя нечеткого множества рассматриваемой выходной переменной .

Метод центра тяжести для одноточечных множеств

,                                                                                   (2.4)

где n - число одноточечных (одноэлементных) нечетких множеств, каждое из которых характеризует единственное значение рассматриваемой выходной лингвистической переменной.

Метод центра площади

Центр площади равен , где значение  определяется из уравнения:

.                                                                            (2.5)

Таким образом, предлагаемый подход позволяет получать количественную оценку характеристики объекта, если исходная информация задана нечетко.

Разработанный алгоритм имеет следующий структуру:

·    Формирование базы правил систем нечеткого вывода

·        Фаззификация

·        Агрегирование

·        Активизация

·        Аккумуляция

Итак, разработана основа методики построения нечеткого логического вывода, реализуемая в экспертных при заданной информации в виде нечетких правил.

3. Оценка состояния повреждения объекта от наводнения на основе теории нечетких множеств

3.1 Постановка задачи

Рассмотрим задачу количественной оценки характеристик объекта по нечетким данным в результате воздействия цунами.

Известны многие признаки, определяющие состояние объекта в результате наводнений. Их можно разделить на следующие группы.

1. Множество признаков на основе визуального осмотра объекта экспертами: A1 - наличие деформаций и трещин в балках, соединениях полов, потолков, внешних и внутренних стен, дверей, окон, лестниц, несущих перегородок.

. Множество признаков, получаемых из данных наблюдений о наводнениях: A2 - изменение характеристик водного протока при воздействии на здания; A3 - изменение характеристик грунта при воздействии наводнений; A4 - общее поглощение и рассеяние энергии потока во время наводнения.

. Множество признаков из справочной информации об объекте: A5 - строительный материал; A6 - высота и число этажей; A7 - характеристика фундамента и грунта; A8 - возраст сооружения.

Некоторые из признаков могут быть определены численно, другие задаются лингвистически (словесно). Однако налагая предположение о неточности и (или) субъективности исходных данных будем считать, что каждый признак является нечетким множеством.

3.2 Формализация описания объекта

Можно лингвистически определить пять общих состояний повреждения [7, 8]:

. «нет» - отсутствие повреждений или несущественные неструктурные повреждения,

. «легкое» - небольшие локализованные неструктурные повреждения (трещины, отколы, смещение перегородок, повреждение окон и дверей),

. «умеренное» - повсеместные, значительные неструктурные повреждения, легко ремонтируемые структурные повреждения (разрыв в несущих стенах, массовое повреждение имущества),

. «сильное» - большие структурные повреждения, возможно полные неструктурные повреждения (обвалы, разрушения и перемещение сооружений),

. «разрушительное» - полное разрушение здания с потерей формы.

          Следовательно, эти состояния используются при построении базы правил нечетких лингвистических правил.

3.3 Правила для оценки состояния повреждения объекта

Эмпирические знания о рассматриваемой проблемной области могут быть представлены в форме эвристических правил, которые применяются в случае оценки состояния повреждения объекта. Например:

. Если наблюдается большое количество деформаций и трещин в балках, соединениях полов, потолков, внешних и внутренних стен, дверей, окон, лестниц, несущих перегородок и здание старое, то состояние повреждения будет разрушительное.

. Если наблюдается среднее количество деформаций и трещин в балках, соединениях полов, потолков, внешних и внутренних стен, дверей, окон, лестниц, несущих перегородок и здание старое, то состояние повреждения будет сильное, и т.д.

Приведем еще один пример эвристических правил. При этом устойчивость постройки оценим по пятибалльной системе (слабые постройки, постройки низкой устойчивости, постройки средней устойчивости, постройки высокой устойчивости, постройки повышенной устойчивости). Эта характеристика зависит от строительного материала, совершенства проекта и т.д. Поэтому устойчивость объекта можно, в свою очередь, оценить, так же используя соответствующие базы нечетких правил. Исследуемую территорию разобьем на три зоны со сходными геологическими условиями (I зона - не устойчивый грунт, II зона - грунт средней устойчивости, III зона - устойчивый грунт). Проявление наводнения на берегу условно разобьем на пять категорий: не существенное, слабое, умеренное, сильное, разрушительное.

. Если постройка характеризуется повышенной устойчивостью, грунт устойчивый и наводнение умеренное, то состояние повреждения будет легкое.

. Если устойчивость постройки низкая, грунт средней устойчивости и наводнение умеренное, то состояние повреждения будет сильное, и т.д.

Таким образом, устойчивость объекта можно оценить, используя базы нечетких правил.

3.4 Построение базы нечетких лингвистических правил

Для формирования базы правил систем нечеткого вывода необходимо предварительно определить входные и выходные лингвистические переменные и соответствующие им термы-множества, а так же области определения (универсумы) нечетких переменных, которые входят в определение соответствующих лингвистических переменных. Рассмотрим первый пример эвристических правил оценки состояния повреждения объекта и построим соответствующую базу нечетких лингвистических правил.

Входные лингвистические переменные:

 - «наличие деформации», = {«нет», «мало», «средне», «много»},  определяется как процент поврежденной площади поверхности объекта,

;

 - «возраст сооружения», = {«новое», «примерно 25 лет», «примерно 50 лет», «примерно 75 лет», «старое»},  определяется как возраст сооружения в годах,

.

Выходная лингвистическая переменная:

 - «состояние повреждения», = {«нет», «легкое», «умеренное», «сильное», «разрушительное»},  определяется как общее повреждение объекта в условной шестнадцатибальной шкале .

Далее необходимо определить виды функций принадлежности.

Функции принадлежности для нечетких переменных из  имеют следующий вид:

 - колоколообразная функция.

Функции принадлежности для нечетких переменных из  имеют следующий вид:

 - треугольная функция.

Функции принадлежности для нечетких переменных из  имеют следующий вид:

 - функция плотности нормального распределения.

Заметим, что функции принадлежности нечетких переменных могут быть заданы аналитически, либо таблично (если известны значения функции принадлежности только для некоторых фиксированных элементов универсального множества). В нашем случае функции принадлежности для значений лингвистических переменных  и  заданы аналитически, а для значений  - табличным способом.

3.5 Построение аналитических моделей для функций принадлежности

Рассмотрим процедуру построения аналитических моделей для функций принадлежности, заданных таблично, с помощью программного комплекса «Модели», в основе которого лежит регрессионное моделирование данных. Процедура состоит из следующих этапов [9].

. Предварительное преобразование данных:

,

где  значение функции принадлежности в точке .

. Построение, с помощью программного комплекса, аналитической модели в виде:

где  - выход,  - вход,  - подстраиваемые параметры;  - количество гармоник аппроксимирующей функции.

3. Обратное преобразование. В результате, функция принадлежности имеет вид:

.

Пример результатов регрессионного моделирования функций принадлежности для термов лингвистической переменной «общее повреждение» представлен на рисунке 3.1. Далее построим базу нечетких лингвистических правил. В нашем случае система нечеткого вывода будет содержать три правила нечетких продукций следующего вида:

Правило 1: Если  есть «много» и  есть «старое», то  есть «разрушительное».

Правило 2: Если  есть «среднее» и  есть «старое», то  есть «сильное».

Правило 3: Если  есть «много» и  есть «новое», то  есть «сильное».

Рис. 3.1. Нечеткое множество значения «нет повреждений» для лингвистической переменной «общее повреждение»:

.

Фаззификация входных переменных. На рисунках 3.2-3.4 приводятся графики конкретных функций принадлежности для отдельных лингвистических термов соответствующих лингвистических переменных.

При этом наличие деформации определяется как процент поврежденной площади поверхности объекта, возраст сооружения в годах, а состояние повреждения в условной шестнадцати бальной шкале.

3.6 Пример построения при наличии деформации

Используя в качестве алгоритма вывода алгоритм Мамдани [3], рассмотрим пример его выполнения для случая, когда наличие деформации 70%, а возраст сооружения 92 года.В этом случае фаззификация первой входной лингвистической переменной приводит к значению степени истинности 0,96 для терма «средне» и 0,5 для терма «много» (рис. 3.2), а фаззификация второй лингвистической переменной приводит к значению истинности 0,6 для терма «старое» (рис. 3.3). Соответствующие подусловия используются в правилах нечетких продукций с номерами 1 и 2. Эти правила считаются активными и используются в текущем процессе нечеткого вывода.

Рис. 3.2. График функций принадлежности для термов входной лингвистической переменной «Наличие деформации». Вид функций принадлежности:

.

Здесь. Для нечеткой переменной «мало» , для нечеткой переменной «средне» , для нечеткой переменной «много» .

Рис. 3.3. График функций принадлежности для термов входной лингвистической переменной «Возраст сооружения».

Рис. 3.4. График функции принадлежности для термов выходной лингвистической переменной «состояние повреждения».

Агрегирование подусловий правила 1 дает в результате число 0,5, а агрегирование подусловий правила 2 число 0,6.

Следующим этапом нечеткого вывода является активизация заключений в нечетких правилах продукции. Поскольку все заключения правил заданы в форме нечетких лингвистических высказываний первого вида, а весовые коэффициенты правил по умолчанию равны 1, то активизация правил 1 и 2 приводит к двум нечетким множествам (рис. 3.4: правило 1 - Ряд 6, правило 2 - Ряд 7).

Аккумулирование (аккумуляция) заключений нечетких правил продукции с использованием операции max-дизъюнкции для правил 1 и 2 приводит в результате к нечеткому множеству, функция принадлежности которого изображена на рисунке 3.4 (Ряд 7).

Дефаззификация выходной лингвистической переменной «общее повреждение» методом центра тяжести для одноточечных множеств (2.4) приводит к значению выходной переменной равной 11,61 баллам степени разрушения. Если использовать построенные с помощью комплекса программ аналитические функции принадлежности для термов лингвистической переменной «состояние повреждения», то для дефаззификации выходной лингвистической переменной можно воспользоваться методом центра тяжести (2.3) и методом центра площади (2.5). В этом случае получаем значения равные 11,33 и 11,719 баллов соответственно.

В результате получаем количественное описание состояния повреждения гидротехнического объекта при наводнении. Таким образом, предложенную вычислительную методику, можно рассматривать как элемент экспертных систем зонирования прибрежных территорий предназначенный для оценки риска цунами.

4. Методика оценки состояния гидротехнического объекта на основе теории нечетких множеств

Рассмотрим задачу моделирования риска. Эксперт, используя предложенную методику оценки состояния гидротехнического объекта, и оценивая стоимость объекта и вероятность возникновения наводнения, определяет риск для проектируемого строения (либо для уже имеющихся объектов) на некотором участке побережья  за определенное время :

,

где  - условный порядковый номер участка береговой территории,  - вероятность опасности наводнений для зоны ,  - стоимость объекта, зависящая от участка строительства  и некоторого набора характеристик объекта ,  - оценка состояния повреждения объекта при реализации опасности.

Процедура моделирования оценка риска с целью принятия решения о выборе участка для строительства объекта может быть следующая.

. Задается  (например, 100 лет).

. Определяется максимальная опасность наводнения (максимальная высота волны) для каждого участка  за .

. Оценивается уязвимость объекта при реализации определенной в п.2. опасности (по каждому участку ).

. Оценивается риск для проектируемого объекта на каждом альтернативном участке.

. Производится выбор участка. Либо, если эксперт делает вывод о том, что риск неприемлемо высок, то ему предоставляется возможность смоделировать различные ситуации: например, улучшать состояние повреждения при наводнении путем изменения технологии строительства, материалов и т.д. Рассчитать новые риски и принять решение.

Рассмотрим ряд общих моделей природного риска , поскольку понятие риска лежит в основе прикладной задачи зонирования прибрежной территории по степени опасности.

Оценка риска () цунами определяется как вероятностная мера потерь, установленная для участка береговой зоны за определенное время :

,

где  - вероятность опасности цунами,  - вероятность потерь (ущерба) участка береговой зоны при реализации опасности.

Оценка риска цунами сочетает в себе вероятность неблагоприятного события и объем этого события (потери, ущерб, убытки). Эти две «элементарные» меры взаимосвязано фигурируют у субъекта при его действиях в условиях неопределенности (в условиях опасности). Строя комбинации этих элементарных мер, адекватных сложившейся ситуации, субъект оценивает уровень опасности и принимает решение на последующие действия (последнее положение относится к управлению риском).

Такое толкование риска может быть подкреплено совершенно прозрачными логически непротиворечивыми выводами субъекта об опасности, находящегося в одной из трех идеализированных ситуациях.

Первая ситуация. Вероятность события весьма большая, но ущерб субъекту, связанный с этим событием, равен нулю (или бесконечно мал). В этой ситуации субъект ясно понимает, что он не подвергается опасности (риск равен нулю).

Вторая ситуация. Ущерб от возможного события велик, но вероятность его появления равна нулю. Следовательно, опасности нет (риск равен нулю).

Третья ситуация. Вероятность события и ущерб от него равны нулю. Ситуация характеризуется как достоверное отсутствие опасности (абсолютная безопасность).

Анализ риска начинается с оценки вероятности возникновения природных опасностей и определения ущерба. Выше уже было сказано о моделях оценки опасности возникновения морских наводнений с высотой волны превышающей некоторый порог.

Оценка ущербов от наводнений производится на основе полной стоимости объектов, оказавшихся в зоне поражения, и степени их уязвимости. Под уязвимостью понимается свойство объектов полностью или частично утрачивать способность к выполнению своих функций в результате воздействия опасного природного процесса. Уязвимость (или состояние повреждения) объекта оценивается по отношению затрат, необходимых для восстановления его прежних функций к полной стоимости объекта, и зависит от качества постройки, инженерно-геологических условий размещения объекта и интенсивности природного воздействия. Величину уязвимости находят исходя из практического опыта - анализа разрушений от имевших место природных катаклизмов или с помощью компьютерного моделирования. В диссертационной работе предлагается методика оценки состояния повреждения на основе теории нечетких множеств.

Различают две категории ущербов: прямой и косвенный. Величину прямого ущерба получают умножением уязвимости на стоимость элементов риска в момент воздействия:

,

где  - величина общего ущерба от событий (наводнений) j-го класса,  - количество элементов (объектов), подвергшихся воздействию,  - уязвимость i-го элемента по отношению к природной опасности j-го класса,  - стоимость i-го элемента. Косвенные потери определяются главным образом нарушением экономической деятельности в связи с прекращением энергоснабжения, работы транспорта, водоснабжения, поставки продуктов питания и т.д. В отличие от прямого ущерба методика расчета косвенного еще не разработана, но, по мнению специалистов, в ряде случаев он может превышать прямой.

Снижение уровня риска можно добиться путем регулирования природной опасности и уязвимости материальной сферы. При этом управлять природными процессами намного сложнее, чем уязвимостью.

Все мероприятия по управлению природными рисками можно подразделить на три группы:

мероприятия, предусматривающие непосредственное вмешательство в развитие опасного процесса и снижение вероятности или интенсивности его проявления;

мероприятия, направленные на оптимизацию хозяйственной деятельности человека в районах опасности, фундаментальной основой которых являются карты природных опасностей и инженерно-геологического районирования территорий. Снижение уязвимости объектов так же одно из важнейших мероприятий по управлению природной безопасностью;

мероприятия, включающие просветительскую работу с населением, создание системы предупреждения и экстренного реагирования, принятия своевременных управленческих решений и т.д.

Следовательно, приведенная модель риска не может быть единственным критерием, который надо учитывать при решении задачи зонирования территории по степени опасности цунами. Оценка риска может стать лишь одним (хотя возможно основным) критерием, который учитывается при зонировании. Для выбора оптимального местоположения объекта, в каждом конкретном случае, необходимо выделение дополнительных критериев.

Таким образом, предложена методика оценки состояния повреждения гидротехнического объекта, подверженного воздействию морских наводнений сейсмической природы или наводнениям от весенних паводков, с использованием теории нечетких множеств. На основе регрессионного моделирования данных построены соответствующие модели для заданных функций принадлежности. Предложенную методику можно рассматривать как элемент экспертных систем зонирования прибрежных территории, предназначенный для оценки ожидаемого ущерба от наводнения и, следовательно, вероятного риска.

Методика состоит из следующих этапов:

·    выделение признаков, определяющих состояние объекта в результате наводнений и определение соответствующих им лингвистических переменных;

·        определение лингвистической переменной «состояние повреждения»;

·        построение аналитических моделей для функций принадлежности, заданных таблично, применяя нелинейную многопараметрическую регрессию;

·        построение базы нечетких лингвистических правил;

·    использование в качестве алгоритма вывода алгоритм Мамдани.

Результатом является количественная оценка общего повреждения гидротехнического объекта. Методика может составить основу систем принятия решения в службах контроля опасных природных процессов. Получаемые оценки состояния гидротехнического объекта можно использовать для моделирования риска с целью решения задачи зонирования прибрежной территории.

Заключение

Предложена методика оценки состояния гидротехнического объекта на основе теории нечетких множеств и нелинейной многопараметрической регрессии. Методика составляет основу систем принятия решения в службах контроля опасных процессов (полученные оценки можно использовать для моделирования риска с целью решения задачи зонирования прибрежной территории). В рамках вычислительного эксперимента построена алгоритмическая схема, включающая оценку состояния объекта, оценку риска и зонирование территории.

Список литературы

1.  Загоруйко Н.Г. Методы обнаружения закономерностей. - М.: Наука, 1981. - 115 с.

2.       Кореньков В.А., Ковшова Е.П., Николаев В.А., Лапицкий В,А. Проблемы паводков и наводнений в Красноярском крае и необходимость ее решения программными методами // Проблемы использования и охраны природных ресурсов Центральной Сибири. Вып. 2. - Красноярск: КНИИГиМС, 2000 - С. 50-54.

3.  Ле Меоте, Б. Введение в гидродинамику и теорию волн на воде. - Л.: Гидрометеоиздат, 1976. - 367 с

4.  Нейроинформатика. Сборник статей / Под. ред. А.Н. Горбаня. - Новосибирск: Наука, 1998.- 296 с.

5.       Омельченко О.К., Гусяков В.К. Планирование сети сейсмических станций для службы предупреждения о цунами // Вулканология и сейсмология. - 1996. - № 2. - С. 68-85.

.         Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. - М.: Физматлит, 2001. - 320 с.

7.  Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств: Пер. с франц. - М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

8.  Сейсмический риск и инженерные решения. Пер. с англ. / Под. ред. Ц. Ломнитца, Э. Розенблюта. - М.: Недра, 1981. - 375 с.

9.  Кириллова С.В. Информационное моделирование данных наблюдений цунами // VI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. #"524830.files/image145.gif">

Рис. 2. Типовой формат размещения данных на листе Excel

В нашем примере один вход (x) и один выход (y).(Рис 3)