Разработка методики обучения интегрального исчисления функции двух переменных

Введение

Требования, предъявляемые к образованию в современном педагогическом вузе, поставили перед методикой преподавания математики новые цели и задачи, одной из которых является вопрос о методике преподавания математического анализа в вузе. Курс «Математический анализ» входит в блок предметной подготовки и занимает среди них важное место в процессе подготовки будущих педагогов-математиков.

Интегральное исчисление функции двух переменных изучается на втором курсе математического факультета педагогического вуза. Двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Впервые двойной интеграл встречается в 1756 году в письме Жозефа Луи Лагранжа Леонарду Эйлеру, причем Лагранж выражает его с помощью объема цилиндрического тела и площади криволинейной поверхности. Первое изложение теории двойных интегралов опубликовал Л. Эйлер в 1770 году. В настоящее время двойной интеграл имеет широкое применение в геометрии для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел и площади поверхности; и в физике для вычисления массы пластинки с переменной поверхностной плотностью, нахождения статических моментов и момента инерции пластинки, а также для вычисления координат центра тяжести пластинки. При переходе к решению таких задач очень важно, чтобы студенты обладали навыками вычисления двойного интеграла путем сведения его к повторному интегралу по прямоугольной и криволинейной областям, а также умели вычислять двойной интеграл путем замены переменных и перехода к полярным координатам. Поэтому необходимо повышать эффективность процесса обучения, используя новые образовательные технологии. В поиске и выборе таких технологий и заключается научная проблема данного исследования.

Объектом исследования является процесс преподавания дисциплины «Математический анализ» в педагогическом вузе. В качестве предмета исследования выступает методика преподавания раздела математического анализа «Двойной интеграл».

Целью работы является исследование вопросов интегрального исчисления функции двух переменных, разработка методических рекомендаций к преподаванию темы «Двойной интеграл» с применением новых образовательных технологий, создание конспекта фондовых лекций и практических занятий, а также обучающе-контролирующей компьютерной программы по данной теме.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1)      изучение данного вопроса в научно-методической литературе;

2)      выявление направленности учебной мотивации изучения математического анализа у студентов;

)        рассмотрение методического аспекта преподавания темы «Двойной интеграл» с применением новых образовательных технологий;

)        создание компьютерной обучающе-контролирующей программы по теме;

)        создание конспекта фондовых лекций и практических занятий по теме «Двойной интеграл»;

)        апробация предложенной методики проведения лекционных и практических занятий.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:

1)      анализ методической, математической и психолого-педагогической литературы, публикаций в периодической печати;

2)        анкетирование;

3)      изучение педагогического опыта преподавателей факультета математики и информатики СГПИ.

Практическую значимость работы составляют: методические рекомендации для преподавания раздела математического анализа «Двойной интеграл»; компьютерная обучающе-контролирующая программа; электронный конспект фондовых лекций и практических занятий.

интегральный функция компьютерный программа

1. Психолого-педагогический и методический аспекты преподавания раздела математического анализа «двойной интеграл»

 

1.1 Высшее образование в перспективе XXI столетия

Мир вступил в этап истории, одной из главных примет которого являются перемены, но эти перемены коренным образом отличаются от тех, что происходили в прошлом.

Приведя к геополитическим и политическим потрясениям последних десятилетий, которые глубоко изменили положение дел на мировой политической арене, перемены вместе с тем приобрели общецивилизационное значение. Им свойственны три особенности: они непрерывны, постоянны; они стремительны и характеризуются тенденцией к ускорению; они касаются всей планеты и практически всех областей и условий деятельности и жизни человека и общества. Меняется все, даже сам характер труда, в котором все большая доля приходится на умственную составляющую; меняется экономическая деятельность, ее техническая база и организационные формы, ее структура, условия и требования, которые она предъявляет к уровню знаний и квалификации своего главного действующего лица - человека в целях обеспечения нормального функционирования экономики, что отныне подразумевает развитие в условиях непрерывных перемен и нововведений. Появляются и получают развитие новые виды и типы деятельности, некоторые из прежних, напротив, приходят в упадок и постепенно исчезают. Эти перемены приводят к изменению спроса на квалификационную структуру различных категорий самодеятельного населения и требуют их социальной и профессиональной мобильности, непрерывного образования и профессионального совершенствования [37].

Впечатляющее развитие образования во второй половине XX века, которое иногда называют «взрывом образования», и весьма ощутимое повышение среднего уровня образованности населения планеты представляет собой одну из крупнейших перемен общемирового значения. Его воздействие на социальную, экономическую, культурную и политическую жизнь проявились еще далеко не в полной мере. В конечном счете оно, бесспорно, окажется куда сильнее, чем можно предполагать. Именно развитие высшего образования, темпы которого были наиболее высокими, стало одним из решающих факторов процесса образования в целом и необычайного прогресса знаний. И именно это развитие за несколько десятилетий обеспечило невиданный рост потенциала для продвижения вперед и распространения знаний, их практического применения и внедрения технических новшеств [37].

Этот огромный количественный прорыв в сфере образования, и в частности высшего образования, который произошел в столь сжатые сроки, не сопровождался ни концептуальными, ни качественными переменами сравнимого с ним масштаба, соответствующими новой ситуации, новым требованиям, новым потребностям. В начинающемся веке высшее образование должно учитывать в своей учебной деятельности, в научных исследованиях и разработках результаты воздействия и последствия процессов глобализации и интернационализации жизни общества, развития информационных технологий, стремительного изменения структуры потребностей в области занятости и постоянного увеличения потребностей в высококвалифицированных кадрах. В то же время необходимость обновления и совершенствования общей и профессиональной подготовки и профессиональной переориентации дает о себе знать все настойчивее. Перед высшим образованием стоит задача решительно повернуться к новым требованиям и нуждам и полностью учитывать их в своей деятельности. Учитывать означает не просто и не столько адаптироваться, сколько предвидеть, предвосхищать, влиять, направлять. Высшее образование призвано расширить и более целенаправленно вносить свой вклад в солидарное и устойчивое развитие человечества, неустанно проводя линию на обмен знаниями, на сокращение неравенства на международном уровне и внутри отдельных стран, на борьбу с отчуждением и безработицей, на искоренение бедности, различных форм эксплуатации и дискриминации [37].

Растущее значение знаний в современном мире, с одной стороны, и рост численности тех, кого готовит высшая школа, с другой, повышают ее ответственность перед обществом и ее влияние изнутри него. Как четко явствует из выводов региональных конференций по высшему образованию, состоявшихся в 1996-1998 годах в Гаване, Дакаре, Токио, Бейруте и Палермо, и из всей подготовительной работы к Всемирной конференции (Париж, октябрь 1998 г.) и ее итогов, чтобы быть на высоте в решении стоящих перед ней задач, высшая школа нуждается в серьезных преобразованиях. А для этого ей нужна помощь всего общества и его более широкая поддержка, в частности, со стороны государства.

В числе противоречий и парадоксов, характерных для нашего времени, те, что касаются высшей школы - не самые малозначимые. Никогда еще подъем образования в целом, и высшего образования в частности, не был так необходим обществу для его нормального функционирования, развития и экономического, общественного, культурного, духовного и политического прогресса, как в настоящее время. Между тем создается впечатление, что общество не решается выделить для образования, и особенно высшего образования, ресурсы, позволяющие им удовлетворительным образом выполнять свои задачи на службе того же самого общества. Если это противоречие не удастся устранить, его отрицательные последствия серьезным образом отразятся в XXI веке на различных областях и различных аспектах жизни общества [37].

1.2 Проблемы современного педагогического образования

За последние годы в подготовке педагогических кадров произошли существенные изменения.

Сегодня педагогическое образование определяется как «гуманитарное образование, обеспечивающее готовность выпускника к трансляции культуры на основе гуманистически ориентированной профессиональной позиции и профессиональных умений к моделированию и проектированию вариативных способов деятельности» [39]. Посмотрим, как реализуется гуманистическая концепция педагогического образования в учебных планах подготовки специалистов.

Учебные планы традиционно регулярно обновлялись каждые пять лет на основе анализа деятельности выпускников педагогических вузов в школе, выявленных недостатков их подготовки и предложений педагогической общественности. Стратегия обновления сводилась к:

сокращению числа нормативных дисциплин в учебных планах при условии непрерывности изучения дисциплин каждого цикла в течение всех лет обучения;

дифференциации числа обязательных аудиторных занятий по курсам;

сокращению числа курсовых и государственных экзаменов, признанию дипломной научно-исследовательской работы по специальности оптимальной формой государственного экзамена;

уменьшению числа специальных дисциплин, обеспечивающих предметную подготовку будущих учителей, за счет исключения вспомогательных предметов при увеличении объема математических методов исследования с применением новых компьютерных технологий;

сокращению до трех числа нормативных дисциплин психолого-педагогического блока: психология, педагогика и частные методики;

переносу определения уровня профессиональной квалификации специалиста на год после сдачи государственных экзаменов и практической работы в школе в качестве преподавателя [39].

Анализ образовательных стандартов по педагогическим специальностям показывает, что стремление к обеспечению «всесторонней» подготовки учителя привело к резкому возрастанию количества учебных предметов. Результатом стало снижение фундаментальности и уровня профессиональной подготовки будущих учителей, сошла на нет работа по формированию мировоззрения и гражданско-нравственной позиции, потребности служить обществу, воспитывая подрастающие поколения в духе любви к своему Отечеству [39].

Самое большое недоумение вызывает резкое сокращение (фактически на 1/3 часов) профессиональной (по предметам специальности) подготовки будущих учителей.

Предметом собственно педагогического образования является знание о человеке в процессе его становления. Отсюда часто делаются выводы, что психолого-педагогическая и методическая составляющие - главное, основное в подготовке учителя, что специфика педагогического образования заключается исключительно в овладении способами передачи информации. Но каждый учитель обучает и воспитывает учеников посредством своей дисциплины, через познание истории развития, особенностей и закономерностей, свойственных только этому предмету. Наконец, учитель должен «передать» обучаемому само содержание учебной дисциплины, помочь понять методологию изучаемой науки. Таким образом, фундаментальность предметной составляющей должна быть правилом при подготовке будущего специалиста [39].

Безусловно, положительный учебный эффект может достигаться и за меньшее количество часов, но это возможно лишь при наличии хороших обучающих технологий.

Трудности реализации целей образования обуславливаются противоречиями между:

непрерывным ростом научно-технической информации и возрастающими требованиями к общекультурной и общетеоретической подготовке выпускников;

постоянным усложнением технического оснащения производства, технологических процессов и ростом требований общества к практической готовности выпускников творчески решать производственные задачи;

тем и другим и невозможностью увеличивать время на формирование профессиональной готовности учащихся к самостоятельному производительному труду [39].

В связи со сказанным остро встает проблема не только фундаментализации и гуманитаризации, но и технологизации профессиональной подготовки будущих педагогов и всех других участников педагогического процесса.

Чтобы целенаправленно совершенствовать систему образования (педагогическую, в частности), необходимо все ее элементы (цели, содержание, средства, формы и методы педагогического воздействия и коммуникации; качество и уровень подготовки учащихся; профессионализм педагогов) привести в соответствие с новыми требованиями нашего общества и государства как на уровне регионов, так и целостных педагогических коллективов, циклов дисциплин и отдельных предметов.

Для этого необходимо анализировать эффективность деятельности системы образования в целом и отдельных ее подсистем. Имеющиеся исследования свидетельствуют, что активное овладение информацией, умениями применять новые педагогические приемы (системное моделирование, установки на искомый результат и др.) способствует творческому саморазвитию студента, обеспечивая в дальнейшем путь к совершенствованию его педагогической деятельности [39].

Поскольку будущий педагог призван готовить своих учеников к вхождению в последующую педагогическую систему или в материальное производство, то недопустимо снижение качества его предметной подготовки. Необходимо, чтобы будущий педагог не только совершенствовал свои профессионально-педагогические навыки, но и вел самостоятельный научный поиск в своей предметной области в целях овладения методологией науки, а также навыками саморазвития. Только таким образом возможно повышение образовательного и культурного уровня населения страны и ускорение научно-технического прогресса.

1.3 Особенности развития личности студента

Термин «студент» латинского происхождения, в переводе на русский язык означает «усердно работающий, занимающийся», т.е. овладевающий знаниями.

Если изучать студента как личность, то 18-20 лет - это период наиболее активного развития нравственных и эстетических чувств, становления и стабилизации характера и, что особенно важно, овладения полным комплексом социальных ролей взрослого человека. С этим периодом связано начало «экономической активности», под которой демографы понимают включение человека в самостоятельную производственную деятельность. Преобразование мотиваций, всей системы ценностных ориентаций с одной стороны, интенсивное формирование специальных способностей в связи с профессионализацией - с другой, выделяют этот возраст в качестве центрального периода становления характера и интеллекта [34].

Факт поступления в вуз укрепляет веру молодого человека в собственные силы и способности, порождает надежду на полнокровную, интересную жизнь. Вместе с тем на втором и третьем курсах нередко возникает вопрос о правильности выбора вуза, специальности, профессии. К концу третьего курса окончательно решается вопрос о профессиональном самоопределении. Довольно часто профессиональный выбор человека определяют случайные факторы. Поэтому чрезвычайно важна профориентационная работа с молодыми людьми, поступающими в высшую школу [34].

Для определения способностей, необходимых для овладения той или иной профессии, которой обучают в вузе, требуется предварительное описание профессиограмм. В соответствии с требованиями, предъявляемыми профессиограммой к психике человека, выделяются три уровня способностей:

1)      абсолютно необходимые;

2)       относительно необходимые;

3)      желательные [34].

Использование этих профессиограмм дает положительные результаты.

Студенческий возраст, по утверждению Б.Г. Ананьева, является сенситивным периодом для развития основных социогенных потенций человека. Высшее образование оказывает огромное влияние на психику человека, развитие его личности. За время обучения в вузе, при наличии благоприятных условий у студентов происходит развитие всех уровней психики. Они определяют направленность ума, т.е. формируют склад мышления, который характеризует профессиональную направленность личности. Для успешного обучения в вузе необходим довольно высокий уровень общего интеллектуального развития, в частности восприятия, представлений, памяти, мышления, внимания, эрудированности, широты познавательных интересов, уровня владения определенным кругом логических операций. При некотором снижении этого уровня возможна компенсация за счет повышенной мотивации или работоспособности, усидчивости, тщательности и аккуратности в учебной деятельности [34].

Молодые люди, претендующие на поступление на естественные факультеты, должны обладать, в первую очередь, высокоразвитым логическим и абстрактным мышлением, способностью произвольно управлять собственными мыслительными процессами, т.е. быстро и активно сосредотачиваться на интересующем объекте, полностью отвлекаясь от всего остального. Последнее возможно лишь при наличии высокой степени концентрации внимания. Строгость и логичность суждений у них должна быть безупречной [34].

Качества ума, необходимые для овладения естественными профессиями, должны быть хорошо сформированы уже ко времени поступления в вуз.

Студенты естественных специальностей отличаются повышенной серьезностью и независимостью суждений. Однако им присущ низкий уровень социабельности, т.е. недостаточно развитое умение общаться с людьми. Интровертированность личности высоко значимо коррелирует с уровнем успеваемости студентов-математиков. Значит, интровертированность - необходимое условие успешного обучения в вузе, и ее также следует включить в структуру специальных способностей студентов естественных факультетов. Обнаружена еще одна характерная черта личности студентов этих специальностей: самооценочные суждения у них (особенно о своих социальных свойствах) в основном неадекватны. Себя они знают плохо и в этом плане нуждаются в помощи [34].

Необходимым условием успешной деятельности студента является освоение новых для него особенностей учебы в вузе, устраняющее ощущение внутреннего дискомфорта и блокирующее возможность конфликта со средой. На протяжении начальных курсов складывается студенческий коллектив, формируются навыки и умения рациональной организации умственной деятельности, осознается призвание к выбранной профессии, вырабатывается оптимальный режим труда, досуга и быта, устанавливается система работы по самообразованию и самовоспитанию профессионально значимых качеств личности [34].

Резкая ломка многолетнего привычного рабочего стереотипа иногда приводит к нервным срывам и стрессовым ситуациям. По этой причине период адаптации, связанный с ломкой прежних стереотипов, может на первых порах обусловить и сравнительно низкую успеваемость, и трудности в общении.

В проведенных исследованиях процесса адаптации первокурсников к вузу обычно выделяются следующие главные трудности: отрицательные переживания, связанные с уходом из школьного коллектива с его взаимной помощью и моральной поддержкой; неопределенность мотивации выбора профессии; недостаточная психологическая подготовка к ней; неумение осуществлять психологическое саморегулирование поведения и деятельности, усугубляемое отсутствием привычки повседневного контроля педагогов; поиск оптимального режима труда и отдыха в новых условиях; налаживание быта и самообслуживания; наконец, отсутствие навыков самостоятельной работы, неумение конспектировать, работать с первоисточниками, словарями, справочниками [34].

Все эти трудности различны по своему происхождению. Одни из них объективно неизбежны, другие носят субъективный характер и связаны со слабой подготовкой, дефектами воспитания в семье и школе.

Преподаватели вуза должны относиться к студентам с пониманием, так как именно они помогают сделать процесс обучения в вузе мотивированным, влияют на сознание и волю студентов, процесс их социальной и профессиональной адаптации.

Основные характеристики студенческого возраста приведены в таблице приложения 1 [34].

1.4 Логика и интуиция при изучении двойного интеграла в педагогическом вузе

Важное условие обеспечения способности мышления к опосредованному отражению действительности - использование дедукции и умозаключений, на основе которых можно получать новые знания. Отличительной особенностью логического мышления является то, что оно от истинных посылок всегда приводит к истинному заключению, не опираясь при этом на опыт, интуицию и другие внешние факторы.

Но не только и не столько умением использовать строгую логику обусловлена способность мышления открывать новые факты. Подобное сомнение высказывал еще Г. Галилей: «Мне кажется, что логика учит познавать, правильно ли сделаны выводы из готовых рассуждений и доказательств, но чтобы она могла научить нас находить и строить такие рассуждения и доказательства - этому я не верю» [22]. Вторым важным условием этого процесса выступает способность мышления к интуитивным суждениям. «Доказывают при помощи логики, изобретают при помощи интуиции», - утверждал французский математик А. Пуанкаре [22]. Его мнение разделял русский математик В.А. Стеклов: «Метод открытия и изобретения один и тот же, та же интуиция. Ибо при помощи логики никто ничего не открывает» [22].

Интуиция представляет собой способность постижения истины путем прямого ее усмотрения без обоснования с помощью логически строгого доказательства (латинское слово intuitio означает «пристальное всматривание»). Таким образом, интуиция - это своего рода антипод, противовес логике и строгости.

Различают два вида интуиции в научном познании: интуицию-суждение и интуицию-догадку [22]. Первая характеризуется тем, что прямое усмотрение истины, объективной связи вещей осуществляется без логически строгого доказательства, и такого доказательства для данной истины не существует и не может существовать в принципе.

Интуиция-догадка - это прямое внелогическое усмотрение такого факта, который по прошествии определенного времени будет обоснован и доказан строго логическим путем. Способность к интуиции-догадке наиболее ярко проявляется в человеке при его занятиях математикой. Если эта способность оказывается развита в нем сильно, он становится выдающимся математиком.

Высокая степень развитости способности к интуиции-догадке характеризует интуицию открытия. Именно последняя движет вперед многочисленные научные области и, в первую очередь, математику. Менее развитая способность к интуиции-догадке характеризует интуицию узнавания. О ней писал Декарт в своих «Правилах для руководства ума»: «Всякий может интуитивно постичь умом, что он существует, что он мыслит, что треугольник ограничивается только тремя линиями, что шар имеет только одну поверхность, и подобные этим истины, гораздо более многочисленные, чем это замечает большинство людей вследствие того, что не считает достойными внимания такие простые вещи» [22]. Интуиция узнавания исключительно важна в процессе обучения математике. Более того, и обучение математике, в свою очередь, способствует развитию интуиции, которое может быть доведено до весьма высокого уровня. Я. Стюарт считает, что «главной целью подготовки математиков следовало бы сделать оттачивание их интуиции до такой степени, чтобы она превратилась в управляемое орудие исследования» [22].

Логика и интуиция, являясь неотъемлемыми и неразделимыми компонентами математического творчества, призваны занять свое место и в математическом образовании. Обучение математике будет развивающим, если оно сумеет обеспечить такое их сочетание в учебном процессе, в котором они присутствуют в научном математическом поиске. К числу формально-логических относят следующие умения: умение определять понятие (через род и видовое отличие), умение классифицировать совокупности объектов (группировать объекты по заданному признаку, выделять признак, общий для данных объектов и т.п.), проводить дедуктивные рассуждения, опровергать общие утверждения с помощью примера, уметь выдерживать полноту дизъюнкций при переборах возможностей, формулировать гипотезы и ставить вопросы, проводить действия по алгоритму, составлять алгоритм деятельности. Среди компонентов интуитивного характера - зрительное угадывание закономерностей как на числовом материале, так и на геометрических чертежах, высказывание гипотез и проведение рассуждений по аналогии и по индукции, построение обобщений и конкретизаций [22].

В процессе обучения математике вопрос о взаимоотношении логики и интуиции встает особенно остро, когда приходится решать проблему уровня строгости преподавания того или иного ее раздела. Попробуем обсудить некоторые аспекты проблемы логической строгости в изложении математических курсов. Математика зарождается в определениях и развивается в теоремах. Поэтому рассмотрим вопрос о дидактически целесообразном соотношении логики и интуиции в выборе формулировок математических определений и доказательств теорем при изучении раздела математического анализа «Двойной интеграл» в педагогическом вузе.

Практика преподавания курса математики как в школе, так и в вузе показывает, что на окончательное формирование представления о некотором математическом понятии интуитивная деятельность учащихся оказывает не меньшее влияние, чем непосредственное изучение формального определения этого понятия.

Чтобы процесс формирования понятия шел у учащихся наиболее успешно, преподавателю необходимо выработать такое определение этого понятия, в котором дидактически целесообразно соотносились бы интуиция и логика. При этом по мере изучения предмета логическая строгость определений изучаемых понятий может усиливаться.

При изучении функций нескольких переменных в курсе математического анализа, их свойств, дифференцирования и интегрирования, используется метод аналогий с функцией одной переменной. В частности. Интеграл от функции двух переменных является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай плоской области. К моменту введения понятия двойного интеграла у студентов накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия - опыт, содействующий пониманию всех слов, содержащихся в определении, на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях. Перед формулировкой определения двойного интеграла рассматривается задача об объеме цилиндрического тела, вводятся понятия интегральной суммы, диаметра плоской области, делаются ссылки на аналогичные понятия для функции одной переменной, что значительно упрощает понимание вводимого определения.

Теперь обратимся к теоремам и их доказательствам. Теоремы составляют существо математической науки, а их доказательства образуют ее живую ткань. Теоремы, лишенные доказательства, безжизненны, мертвы. Поэтому изучать математику путем усвоения теорем без их доказательства бессмысленно. Понять структуру теоремы, метод ее доказательства и само доказательство помогает математическая логика. Доказательство теоремы, проведенное в полном соответствии с требованиями логики, и есть ее логически строгое доказательство [22].

Нестрогие доказательства должны возникать из строгих путем изъятия из них некоторых частей, которые при необходимости могут быть восстановлены самими учащимися или с помощью преподавателя. Например, не рассмотрены до конца все возможные случаи, при условии, что их рассмотрение происходит аналогично. Или дается лишь общая логическая схема доказательства без углубления в его детали. В самом крайнем случае может быть сообщена лишь общая идея доказательства, полная реализация которой потребует значительных усилий.

Изучение логически строгих математических доказательств составляет ту сторону математики, которая в большей степени развивает, нежели образовывает, воспитывает целеустремленность, волю, настойчивость, развивает культуру и мышление. Кроме того, строгие логические доказательства помогают глубже раскрыть смысл вводимых понятий, овладеть ими и правильно применять на практике, помогают установить логическую структуру всего математического курса и связи между отдельными его частями, что существенно облегчает его запоминание и усвоение по сравнению с лишенным внутренней логики рецептурным методом изложения. Логические доказательства помогают полнее овладеть математическими методами, выработать необходимые для их использования навыки, лучше осознать границы применимости этих методов [22].

Выдающийся математик и педагог академик А.Д. Александров предостерегал, что при чрезмерно высоком уровне логической строгости преподавания математики многие учащиеся не столько усваивают и понимают логику формулировок и доказательств, сколько заучивают их. Одно из средств преодоления этой опасности, по его мнению, состоит в том, чтобы «уменьшить число формулировок и особенно доказательств, которые ученик должен знать - выучить, запомнить… Если мы хотим учить логическому мышлению, то и надо учить ему, а не заучиванию готовых рассуждений. Поэтому излагаемые формулировки и доказательства должны рассматриваться скорее как упражнения в логическом мышлении, чем как то, что надо знать» [22].

Одной из основных задач всякого педагога является достижение осмысленного усвоения его учениками излагаемого им материала. Абсолютно логически строгое и пошагово безупречное доказательство теоремы не всегда приводит к пониманию учащимися этого доказательства. Ж. Адамар отмечает, что «всякое математическое рассуждение, как бы сложно оно ни было, должно мне представляться чем-то единым; у меня нет ощущения, что я его понял, до тех пор, пока я его не почувствовал как единую, общую идею» [22].

Таким образом, понимание доказательства теоремы не сводится к пониманию и проверке правильности каждого шага формального доказательства, а достигается пониманием той общей идеи, которая привела именно к этой последовательности шагов. Можно использовать этот факт для проверки понимания и усвоения теоремы. Для прояснения этой идеи невозможно обойтись без нестрогих, интуитивных соображений и образов. Интуитивные аспекты доказательства той или иной конкретной теоремы, а также целой математической теории помогают учащимся лучше понять их строгую логику и исключительно важны для преподавания.

Важную роль строгая доказательность математического курса играет и в формировании научного мировоззрения, в воспитании его основы, которую образует безусловное уважение к установленной истине, требование доказывать то, что выдвигается в качестве истины, не допуская подмены доказательства ни верой, ни ссылкой на авторитет.

Что же касается проблемы логической строгости математических доказательств в процессе преподавания математики будущим учителям в педвузе, то здесь уместно вспомнить слова А. Пуанкаре по этому поводу: «Имеются ученики, не столь многочисленные, которые должны стать учителями. Последние должны дойти до конца: для них прежде всего обязательно глубокое и строгое изучение основных принципов. Но отсюда не следует, что в них не следует культивировать интуиции. Ибо они могут составить себе ложное представление о науке, если всегда будут смотреть на нее с одной только стороны, и они не сумеют развить в своих питомцах того качества, которым сами не обладают» [22].

Думается, что преподавание математических курсов в педвузе будущим учителям математики должно быть преимущественно строго доказательным. Те, кто в недалеком будущем сами будут обучать математике других, должны как можно большую часть своего предмета изучить обстоятельно и с логически строгими доказательствами. При этом материал, входящий в школьный курс, должен быть весь обоснован с полной логической строгостью. Материал математических курсов, выходящий за рамки школьной математики, должен быть профессионально ориентирован на школьный курс, тесно с ним связан, и его преподавание должно вестись на уровне разумной строгости. При этом знание основ логики - необходимый инструмент будущего учителя математики. Он, во-первых, поможет ему ориентироваться в уровне строгости доказательств теорем вузовского курса, научит отличать логически строгие доказательства от нестрогих, эвристических. Во-вторых, он создаст основу для будущей методической работы над школьным курсом математики, когда самостоятельно придется решать вопрос об уровне строгости преподавания этого курса в конкретных условиях учебного процесса.

1.5 Диагностика направленности учебной мотивации студентов 2 курса факультета математики СГПИ

В качестве психолого-педагогической основы изучения двойного интеграла был выбран один из компонентов учебной деятельности - мотивация учения, в частности, познавательные мотивы.

В современном постоянно меняющемся, динамичном мире на первый план выходит не просто обучение учащегося предметным знаниям, умениям, навыкам (некоторые из которых могут оказаться либо устаревшими, либо невостребованными), а личность обучающегося, как будущего активного деятеля, обеспечивающего общественный прогресс, сохранение и развитие жизни на Земле и в космосе. Именно личность и индивидуальность человека с присущими ему характеристиками являются результатом образовательного процесса. При этом воспитание личности заключается прежде всего в развитии системы его потребностей и мотивов. Характер мотивации учения и особенности личности являются, по сути, показателями качества образования [15].

Фактор мотивации для успешной учебы сильнее, чем фактор интеллекта. Осознание высокой значимости мотива учения для успешной учебы привело к выделению мотивационного принципа мотивационного обеспечения учебного процесса.

Среди разнообразных мотивов учения принято, в частности, выделять внешние и внутренние мотивы. Л.М. Фридман так характеризует их отличие: «Если мотивы, побуждающие данную деятельность, не связаны с ней, то их называют внешними по отношению к этой деятельности; если же мотивы непосредственно связаны с самой деятельностью, то их называют внутренними» [15].

Мотив является внутренним, если он совпадает с целью деятельности. То есть в условиях учебной деятельности овладение содержанием учебного предмета выступает одновременно и мотивом, и целью.

Внутренние мотивы связаны с познавательной потребностью субъекта, удовольствием, получаемым от процесса познания. Овладение учебным материалом служит целью учения, которое в этом случае начинает носить характер учебной деятельности. Учащийся непосредственно включен в процесс познания, и это доставляет ему эмоциональное удовлетворение. Доминирование внутренней мотивации характеризуется проявлением собственной активности учащегося в процессе учебной деятельности [15].

Внешне мотивированной учебная деятельность становится при условии, что овладение содержанием учебного предмета служит не целью, а средством достижения других целей. Это может быть получение хорошей оценки (аттестата, диплома), стипендии, похвалы, признания товарищей, подчинение требованию учителя и др. При внешней мотивации знание не выступает целью учения, учащийся отчужден от процесса познания. Изучаемые предметы для учащегося не являются внутренне принятыми, внутренне мотивированными, а содержание учебных предметов не становится личностной ценностью.

Преподаватель, заинтересованный в повышении эффективности своей деятельности, естественно, обращает внимание на мотивацию учения и стремится к ее активизации и поддержанию на высоком уровне, но при этом он лишен методического инструментария, позволяющего определить наличный уровень мотивации учащихся и ее динамику при использовании различных форм, методов обучения, подбора содержания предмета.

В связи с этим кандидатом психологических наук Т.Д. Дубовицкой была разработана методика диагностики направленности мотивации изучения предмета, которая может использоваться в образовательном процессе и служить основой повышения эффективности обучения.

Цель методики - выявление направленности и уровня развития внутренней мотивации учебной деятельности учащимися при изучении ими конкретных предметов.

Методика состоит из 20 суждений и предложенных вариантов ответа. Ответы в виде плюсов и минусов записываются либо на специальном бланке, либо на простом листе бумаги напротив порядкового номера суждения. Обработка производится в соответствии с ключом. Методика может использоваться в работе со всеми категориями обучающихся, способными к самоанализу и самоотчету, начиная примерно с 12-летнего возраста. Содержание тест-опросника и ключ для обработки результатов см. в приложении 2 [15].

Предложенная методика может использоваться:

1)      для выяснения причин неуспеваемости учащихся;

2)      для выявления категорий учащихся в зависимости от направленности мотивации изучения предмета (с доминированием внешней мотивации, доминированием внутренней мотивации и среднего типа);

)        для обеспечения психологического сопровождения учащихся в процессе обучения;

)        для исследования эффективности преподавания учебных дисциплин и поиска резервов его совершенствования;

)        в преподавании курсов педагогической психологии, педагогики и психодидактики в вузах и педагогических колледжах для практического знакомства студентов с различными видами мотивов учебной деятельности и поиска методов и приемов активизации мотивационной сферы учащихся.

Результаты исследования могут рассматриваться:

) как показатель эффективности (качества) применяемой учителем методики (технологии) обучения (сравнение результатов исследования мотивации в контрольных и экспериментальных классах);

) как показатель способности учителя активизировать мотивационную сферу учащихся;

) как основа для повышения эффективности педагогической деятельности и совершенствования педагогического мастерства [15].

С целью выявления направленности учебной мотивации у студентов 2 курса факультета математики и информатики Славянского-на-Кубани государственного педагогического института было проведено анкетирование по изложенной выше методике.

Результаты анкетирования приведены в таблице 1.

Таблица 1.

№ вопроса	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Ответы «Да» (%)	67	54	43	32	13	29	71	58	27	38	42	81	31	76	29	34	21	47	87	12
Ответы «Нет» (%)	33	46	57	68	87	71	29	42	73	62	58	19	69	24	71	66	79	53	13	88

Из приведенных в таблице данных следует, что интерес к математическому анализу стоит среди мотивов, привлекающих студентов в институте.

Исходя из данных таблицы 1, можно утверждать, что наиболее значимыми факторами, под воздействием которых возник интерес к данному предмету, студенты считают его практическое применение в будущем и важное значение в своей предметной подготовке, а также влияние преподавателя.

Данные таблицы показывают, что, прежде всего в изучаемом предмете студентов привлекает то, что все знания по нему являются ценными (76% ответов), на втором месте-то, что этот предмет дает возможность проявить свои способности (67% ответов), на третьем - влияние преподавателя (32% ответов)

Таким образом, из ответов студентов на вопросы анкеты и анализа результатов, можно сделать следующие выводы:

1. Если учесть то, что возможность получать знания, проявить свои способности как цель изучения математического анализа в основном ставится на первое и второе места, и эта цель лежит в основе подлинно познавательного интереса, то можно утверждать, что познавательный интерес является одним из наиболее сильных мотивов учения.

2. У студентов интерес к данному предмету часто связан с его полезностью.

3. Многих студентов привлекает в учебном предмете соответствие их интересам.

1.6 Методические рекомендации по проведению лекционных занятий

 

Тематическое планирование и методические рекомендации по организации лекций

В соответствии с учебной программой на изучение раздела математического анализа «Двойной интеграл» отводится 10 часов. В таблице 2 дано примерное разбиение материала этого раздела на лекции.

Основными учебниками для изучения данной темы в педагогическом вузе являются учебные пособия Фихтенгольца Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», Бохана К.А. «Курс математического анализа» и Кудрявцева Л.Д. «Курс математического анализа». В них наиболее доступно и полно изложен лекционный материал, который должны знать студенты, а также содержатся задания с решением.

Фундаментальный учебник «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Г.М. Фихтенгольца, в трех томах, предназначен для студентов вузов, где математика является профилирующим предметом. Материал по двойным интегралам изложен в томе III. Материал изложен доступным математическим языком, так как данный труд является результатом долгих лет педагогической и лекторской деятельности Г.М. Фихтенгольца. Как правило, математические выкладки снабжены многочисленными примерами и задачами, для которых приведены решения. Определение двойного интеграла, многие понятия и теоремы даются с опорой на аналогию с интегральным исчислением функции одного переменного.

В учебнике Бохана К.А. двойной интеграл вводится с геометрической точки зрения, все свойства и теоремы имеют наглядное геометрическое истолкование, что значительно облегчает понимание задач на применение двойного интеграла в геометрии и физике. Учебник содержит много примеров, которые значительно облегчают усвоение теоретической части.

Учебник Кудрявцева Л.Д. «Курс математического анализа» сложнее, материал изложен на высоком уровне абстракции, при изучении двойного интеграла, а особенно при рассмотрении замены переменных в двойном интеграле, используются средства высшей алгебры.

Был также проанализирован учебник «Курс математического анализа» под ред. Н.Я. Виленкина, предназначенный для студентов заочного отделения математического факультета. Поскольку пособие рассчитано на самостоятельное изучение математического анализа, то материал в нем изложен на самом доступном для понимания уровне, что может значительно облегчить самостоятельную работу студентов.

При подготовке конспекта фондовых лекций использовались также учебные пособия: Зорич В.А. «Математический анализ», Коровкин П.П. «Математический анализ», Никольский С.М. «Курс математического анализа», Райков Д.А. «Многомерный математический анализ».

Помимо этих материалов для более полного приобретения и усвоения знаний можно пользоваться другими источниками, указанными в предложенном списке литературы.

Таблица 2

№ лекции	Примерное содержание лекции	Количество часов на изучение данной темы	Всего часов
1	Задача об объеме цилиндрического бруса. Понятие двойного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных. Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу. Необходимое и достаточное условие функции двух переменных. Интегрируемость непрерывной функции. Основные свойства двойного интеграла.	2	6
2	Теорема о среднем. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области.	2
3	Преобразование областей при регулярных отображениях. Криволинейная система координат. Полярная система координат. Замена переменных в двойном интеграле.	2

В качестве основных требований к чтению лекции выдвигают:

-        высокий, научный уровень излагаемой информации, имеющий, как правило, мировоззренческое значение;

-        большой объем четко и плотно систематизированной и методически переработанной современной научной информации;

         доказательность и аргументированность высказанных суждений;

         достаточное количество приводимых убедительных фактов, примеров, текстов и документов;

         ясность изложения мыслей и активизация мышления слушателей, постановка вопросов для самостоятельной работы по обсуждаемым проблемам;

         анализ разных точек зрения на решение поставленных проблем;

         выведение главных мыслей и положений, формулировка выводов;

         разъяснение вводимых терминов и названий; предоставление студентам возможности слушать, осмысливать и кратко записывать информацию;

         умение устанавливать педагогический контакт с аудиторией, использование дидактических материалов и технических средств;

         применение основных материалов текста, конспекта, блок - схем, чертежей, таблиц, графиков [5].

Лекция должна быть органически связана с другими видами учебных занятий: семинарами, лабораторными работами, учебной и производственной практикой, самостоятельной работой студентов» [5].

«Учебная лекция должна отражать актуальные проблемы современного производства, науки, культуры и перспективы их развития. Необходимо соблюдать логическую последовательность в изучении тем и разделов, обеспечить эффективную взаимосвязь с другими видами учебных занятий и особенно с самостоятельной работой студентов [23].

Лекционный курс, составляющий 6 часов, позволяет изложить материал, входящий в содержание курса, и создает теоретическую основу для всех видов учебной деятельности по математическому анализу. При чтении лекций рекомендуется использовать новейшие информационные технологии (подробный обзорный материал о подготовке и проведении таких лекций изложен в следующих разделах). Можно указать следующие методические рекомендации к использованию информационных технологий в процессе изучения раздела математического анализа «Двойной интеграл»:

) В соответствии с учебной программой можно организовать изучение отдельных вопросов на практических занятиях в компьютерных классах:

а) изучение теоретических вопросов;

б) изучение практического содержания темы;

в) комплексное изучение предлагаемых тем.

) Можно проводить контрольные мероприятия по отдельным разделам темы. Проводится контроль:

а) усвоения теоретического содержания темы;

б) уровня сформированности умений и навыков по решению базовых задач, включенных в обязательные результаты обучения.

) На первом занятии преподавателем даются указания к работе с обучающими программами. После чего студентам предлагается самостоятельно изучить темы во внеаудиторное время. Контрольные мероприятия преподаватель может проводить либо с использованием тестовых систем, либо с использованием других форм (устные и письменные опросы, фронтальные проверки).

Для контроля усвоения студентами части лекционного материала рекомендуется провести коллоквиум [18].

Резкое сокращение аудиторного времени на изучение курса «Математический анализ» ставит задачу усиления самостоятельной работы студентов по проработке важнейших разделов курса. На лекции преподаватель может успеть лишь в тезисной форме изложить основные вопросы курса. Все остальное изучение материала ложится на плечи студентов в виде их самостоятельной работы [18].

В процессе изучения раздела «Двойной интеграл» предусматриваются следующие виды самостоятельной работы студентов над изучаемым материалом:

-        проработка и осмысление лекционного материала;

-        работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу;

         самостоятельная проработка тем и вопросов, предусмотренных программой, но нераскрытых полностью на лекции (доказательство свойств сумм Дарбу, теоремы о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции двух переменных);

         подготовка к коллоквиумам по учебникам, учебным пособиям и лекционному материалу [18].

Планирование самостоятельной работы студентов необходимо проводить в соответствии с уровнем подготовки студентов к изучаемому курсу. Студент может получить разъяснения по непонятным вопросам у преподавателя на индивидуальных консультациях в соответствии с графиком консультаций [18].

Студент может также обратиться к рекомендуемым преподавателем учебникам и учебным пособиям, в которых теоретические вопросы изложены более широко и подробно, чем на лекциях и с достаточным обоснованием [18].

Средством итогового контроля по теме «Двойной интеграл» является экзамен на втором курсе в 4 семестре.

Использование информационных технологий в образовании

Современное общество начала третьего тысячелетия характеризуется рядом особенностей, к которым прежде всего следует отнести возросшую значимость интеллектуального труда, ориентированного на использование информационного ресурса глобального масштаба; усилившуюся миграцию населения, обусловленную как политическими, так и социокультурными причинами; потребность в осуществлении оперативной коммуникации между отдельными личностями, группами или сообществами людей; стремление к взаимному приятию и уважению культур разных народов; необходимость решения глобальных экологических проблем совместными усилиями специалистов различных стран или общественных организаций. Эти особенности современного социума влекут за собой необходимость постоянного повышения профессионального уровня как отдельного человека, так и групп специалистов или целых коллективов в области владения информационными и коммуникационными технологиями [24].

Развитость и совершенство методов и средств современных информационных технологий создает реальные возможности для их использования в системе образования с целью развития творческих способностей человека в процессе его образования. Именно с новыми информационными технологиями сегодня связаны реальные возможности построения открытой образовательной системы, позволяющей каждому человеку выбирать свою собственную траекторию обучения; коренного изменения технологии получения нового знания посредством более эффективной организации познавательной деятельности обучаемых в ходе учебного процесса на основе такого важнейшего дидактического свойства компьютера, как индивидуализация учебного процесса при сохранении его целостности за счет программируемости и динамической адаптированности учебных программ [24].

Совершенно новые возможности для преподавателей и студентов открывают Интернет и телекоммуникационные сети и интеллектуальные компьютерные системы. Объединение таких систем и сетей уже сегодня составляет основу новой инфраструктуры планеты - инфосферы [24].

Использование компьютерных технологий создает принципиально новые возможности не только в получении человеком новых знаний, но и в совершенствовании его чувственных ощущений [24].

Современный уровень развития информационных и коммуникационных технологий дает основание сегодня говорить о реальной возможности создания глобальной системы дистанционного образования, позволяющей на основе новых информационных технологий обеспечивать эффект непосредственного общения между преподавателем и обучаемым, что всегда было преимуществом и отличительной чертой очного обучения, независимо от того, на каком физическом расстоянии они находятся друг от друга. Становление и последующее развитие системы дистанционного образования должно в будущем привести к созданию так называемых электронных библиотек и университетов распределенного типа, которые заложат реальную основу формирования единого образовательного пространства для всего мирового сообщества, в том числе для тех его членов, которые по тем или иным причинам лишены свободного доступа к образованию [24].

Последнее утверждение в первую очередь следует отнести к людям, нуждающимся в специальном образовании. В этом видится высокая гуманистическая роль новых информационных технологий в образовании, посредством которых «искусственная природа» восполняет для этих людей то, что не додала им естественная природа, что отняли у них войны, межнациональные конфликты, человеческая жестокость и природные катастрофы. При этом важно осознавать, что создаваемая с помощью информационных технологий коммуникационная среда общения «людей со специальными потребностями» и так называемых «обычных людей» ведет к их взаимному обогащению, расширяет новые возможности интеллектуального, физического и духовного развития человека, закладывает реальные основы осуществления провозглашенного ЮНЕСКО девиза: «Образование без границ» [24].

Для того, чтобы эффективно использовать возможности информационных технологий, такие новые области, как компьютерная психология, компьютерная дидактика и компьютерная этика должны быть лучше изучены и использованы преподавателями. Уже на этой стадии разработчики новых и будущих информационных и коммуникационных технологий должны ориентироваться на их практическое применение, учитывая не только технические возможности этих технологий, но также и более широкие культурные, образовательные и этические цели [24].

Становление информационного общества повлечет за собой радикальные изменения в сфере производства и деловой активности людей, а также и во всей социальной сфере. Будущим поколениям предстоит решать проблему адаптации к условиям жизни в этом обществе, где решающую роль будут играть не вещество и энергия, а информация и научные знания - факторы, которые станут определять как общий стратегический потенциал общества, так и перспективы его дальнейшего развития [24].

В связи с актуальностью рассматриваемой проблемы возникла необходимость в разработке и применении в обучении новых компьютерных технологий, ориентированных на обучение новому материалу и контроль знаний учащихся. Широкое распространение получают электронные учебники и системы тестового контроля. В рамках данного исследования была разработана обучающе-контролирующая программа, в которую входят материал фондовых лекций и решенные практические задания (обучающая часть) и тест (контролирующая часть).

Использование ТСО при проведении лекционных занятий

В вузе функционируют разнообразные организационные формы обучения: лекции, практические занятия в их разновидности - семинары, лабораторные работы, практикум, НИРС, самостоятельная работа студентов под контролем преподавателя, производственная практика. В дидактике эти формы трактуются как способы управления познавательной деятельностью для решения определенных дидактических задач. В то же время лекция, семинар, практическое занятие, самостоятельная работа выступают как организационные формы обучения, так как являются способами осуществления взаимодействия студентов и преподавателей, в рамках которых реализуются содержание и методы обучения. Процесс обучения сопровождается и завершается различными формами контроля [5].

На протяжении всей истории высшей школы с момента зарождения до наших дней ведущей организационной формой и методом обучения является лекция. С нее начинается первое знакомство студента с учебной дисциплиной, именно лекция закладывает основу научных знаний [5].

Развитие отечественной образовательной системы, ее гуманизация, тенденция к ориентации на отдельного человека, на реализацию его творческих способностей обусловили разработку и появление новых лекционных форм. Одной из них является лекция - визуализация [5].

Лекция - визуализация возникла как результат поиска новых возможностей реализации принципа наглядности. Психолого-педагогические исследования показывают, что наглядность не только способствует более успешному восприятию и запоминанию учебного материала, но и позволяет проникнуть глубже в существо познаваемых явлений [5].

Визуализированная лекция представляет собой устную информацию, преобразованную в визуальную форму. Видеоряд, будучи воспринятым и осознанным, сможет служить опорой адекватных мыслей и практических действий. Преподаватель должен выполнить такие демонстрационные материалы, такие формы наглядности, которые не только дополняют словесную информацию, но сами выступают носителями содержательной информации. Подготовка такой лекции состоит в реконструировании, перекодировании содержания лекции или ее части в визуальную форму для предъявления студентам через ТСО. Чтение такой лекции сводится к сводному, развернутому комментарию подготовленных визуальных материалов, которые должны:

-        обеспечить систематизацию имеющихся знаний;

-        обеспечить усвоение новой информации;

         обеспечить создание и разрешение проблемных ситуаций;

         демонстрировать различные способы визуализации [5].

В визуализированной лекции важны: определенная визуальная логика и ритм подачи материала, его дозировка, мастерство и стиль общения преподавателя с аудиторией. Основные трудности такой лекции - в разработке визуальных средств и режиссуре процесса чтения лекции. Необходимо учитывать:

-        уровень подготовленности и образованности аудитории;

-        профессиональную направленность;

         особенности конкретной темы [5].

Отбор технических средств обучения, наглядных пособий и способ их применения зависит от содержания учебного материала, методов обучения, дидактических целей занятия. Наиболее полной реализации дидактических целей обучения, повышению эффективности труда преподавателя способствует комплексное использование наглядных пособий и ТСО. Рассмотрим наиболее часто применяющиеся виды ТСО.

Диапроектор служит для проектирования на экран диапозитивов 24х36 мм, вмонтированных в рамку 50х50 мм и диапозитивов 18х24 мм. Осветительно-проекционная система состоит из источника света (лампа мощностью 100 Вт), зеркального контротражателя, конденсора и объектива с просветленной оптикой. При работе аппарат нагревается, что необходимо учитывать.

Эпипроектор - оптический прибор, предназначенный для проектирования на экран изображений, нанесенных на непрозрачную основу и непрозрачных плоских объектов через кадровое окно 19х19 мм в хорошо затемненном помещении. В устройство эпипроектора входит мощная лампа, вентилятор, предметный столик, лампа подсветки, микровыключатель, который автоматически включает проекционную лампу при подъеме предметного столика. Во избежание перегрева аппарата рекомендуется после 10 минут непрерывной работы выключать проекционную лампу минимум на 5 минут.

Графопроектор (кодоскоп) предназначен для проецирования на экран записей, сделанных на прозрачной пленке. Он имеет световой поток 2000 люмен, что позволяет использовать его без затемнения. Графопроектор работает по принципу диаскопической проекции, когда графический материал, находящийся на поверхности крышки прибора, проецируется на экран. Изображение при этом получается прямым. Графическое изображение может наноситься на прозрачную пленку в рулоне, которая подается с катушки на катушку перемоточного устройства. Светофильтровая нить лампы очень чувствительна к перегрузкам, поэтому включение лампы сразу на полный накал, минуя пониженное напряжение, может вывести ее из строя. Нельзя работать при неисправном вентиляторе. Кроме описанных выше аппаратов статичной проекции, процессе обучения применяется аудио- и видеоаппаратура. К ней относятся такие приборы, как электрофон, магнитофон, видеомагнитофон, кинопроектор, телевизор.

Тенденция к сокращению объема лекционных занятий ставит задачу существенного повышения информативности и эффективности каждого часа лекции. Техническим средством решения этой задачи и новой формой подготовки и чтения лекций становятся компьютерные мультимедийные технологии.

Прежде всего, следует обратить внимание на дидактические возможности использования в учебном процессе электронного конспекта лекций. В электронном конспекте лекций (ЭКЛ), в отличие от электронного учебника (пособия), не предоставлена большая свобода выбора темпа и порядка изучения учебного материала пользователем. ЭКЛ предназначен для лектора и используется лектором с учетом его индивидуальной манеры чтения лекции, специфики дисциплины, уровня подготовленности аудитории и т.д.

ЭКЛ совмещает технические возможности компьютерной и мультимедийной техники с живым общением лектора с аудиторией. Его практическое использование предполагает наличие TV-выхода в лекционном компьютере (или внешнего TV-кодера), видеопроектора или телевизоров с большой длиной диагонали экранов [36].

При подготовке ЭКЛ преподавателю необходимо увеличить шрифт текста лекции до 36-38 размера. При подключении телевизора к компьютеру появляется возможность отображения текста, хранящегося на гибком магнитном диске, на экран телевизора. Текст озвучивается лектором, а студенты, глядя на экран, записывают сложные формулы, изображают рисунки.

Основной единицей ЭКЛ является слайд, или кадр представления учебной информации, учитывающий эргономические требования визуального восприятия информации. Требования касаются разборчивости шрифтов обозначений и надписей, отсутствия агрессивных полей и неприятных ощущений при динамическом воспроизведении графических материалов, правильного расположения информации в поле восприятия, отсутствия цветового дискомфорта, оптимизации яркости графиков по отношению к фону [36].

Социологический опрос студентов вузов России показал, что при использовании информационных технологий восприятие учебного материала повысилось. Более 70% студентов считают необходимым использование время от времени лекций-визуализаций. Около 75% студентов отметили улучшение эмоционального состояния на лекции и повышение интереса к изучаемому предмету. При этом всегда успевали конспектировать лекцию около 78% слушателей, постоянные трудности с конспектированием отметили примерно 6% студентов. Ни один из респондентов не хотел бы вернуться к традиционной форме лекции [36].

Применение информационных технологий подготовки ЭКЛ требует новых подходов к эстетике лекционного процесса. Оформление не должно заметно отставать от уровня дизайна web-страниц Интернета. В таких условиях повышаются профессиональные требования к преподавателям в плане владения современными программными средствами и (или) организации совместной работы над курсом лекций предметников и компьютерных дизайнеров. Достигаемое с помощью новых средств повышение информативности и обзорности лекций, увеличение динамизма и выразительности излагаемого материала (фактически привносятся элементы шоу в достаточно консервативную область) желательно сочетать с увеличение объема раздаточных материалов для самостоятельной работы как в традиционном формате внутривузовских изданий, так и в электронном варианте (практикум студенты могут скопировать на дискету и выполнять самостоятельно) [36].

2. Теоретические основы изучения раздела математического анализа «двойной интеграл»

 

2.1 Определение и простейшие свойства двойного интеграла

 

Задача об объеме цилиндрического тела

Наподобие того, как задача о площади криволинейной трапеции приводит к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приводит к новому понятию - двойного (определенного) интеграла.

Рассмотрим тело , которое сверху ограничено поверхностью , с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , наконец, снизу - плоской фигурой  на плоскости  (рис. 14). Требуется найти объем  тела [1].

Для решения этой задачи прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разложим область  сетью кривых на части  и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.

Для подсчета объема отдельных столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре  по точке: . Если приближенно принять каждый столбик за настоящий цилиндр с высотой, равной аппликате , то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным

,

где  означает площадь плоской фигуры  [1]. В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет

Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю l (наибольшего из диаметров всех областей ) это равенство делается точным, так что

,

и задача решена.

Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции  по области ; он обозначается символом

,

так что формула для объема принимает вид

.

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин [1].

Понятие двойного интеграла

Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области . При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области , отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать  вместо , если ,  - координаты точки  [6].

Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.

Определение 1. Диаметром замкнутой области  называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области  (рис. 15) [6].

Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.

Пусть в квадратируемой области  определена некоторая функция . Разобьем область  произвольным образом сетью кривых на конечное число частей , площади которых соответственно обозначим через  (рис. 16).

В каждой из частичных областей  () возьмем произвольную точку  и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции  в области .

Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область , иногда называют рангом произведенного разбиения [5].

Определение 2. Если интегральная сумма  при  имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек  в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции  по области  и обозначается символом

 или ,

функция же  в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ  называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление  напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры  осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения  [5].

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому  отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (P_i) лишь бы  и при любом выборе точек  имеет место неравенство  [5].

Замечание. Если положить  всюду в области , то получим выражение площади области  в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция  интегрируема в области , то она ограничена в  [5].

Доказательство. Если бы  была не ограничена в области , то при любом разбиении области  на части она была бы неограниченна хотя бы в одной из ее частей.

Тогда за счет произвольного выбора точки  в этой части  можно сделать значение функции , а с ним и интегральную сумму  по абсолютной величине сколь угодно большой.

В этом случае интегральная сумма , очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно, функция  не будет интегрируема.

Замечание. 1. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая ограниченная функция интегрируема.

2. Это лишь необходимое, но не достаточное условие.

3. В дальнейшем будем всегда считать  ограниченной в , т.е.

 [5].

 

Суммы Дарбу

Как и в одномерном случае при изучении двойных интегралов существенную роль играют так называемые верхняя и нижняя суммы Дарбу

где через , обозначены соответственно точная нижняя и верхняя границы функции  в i-й области .

Легко видеть, что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы Дарбу при заданном способе разбиения области  являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм  [5].

Для данного способа разбиения области на части независимо от выбора точек  будем иметь двойное неравенство:, которое сразу вытекает из очевидных неравенств , если члены обоих этих неравенств умножить на  и просуммировать по i [5].

Свойства сумм Дарбу

1⁰. При дальнейшем дроблении частей области с добавлением к старым линиям деления новых нижняя сумма Дарбу не убывает, верхняя не возрастает [1].

Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся линиям деления еще одной линии деления.

Пусть эта линия разбивает частичную область  на части  и .

Если через  обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней  она будет отличаться только тем, что в сумме  частичной области  отвечало слагаемое  а в новой сумме  этой частичной области отвечает сумма двух слагаемых

где  и  суть точные верхние границы функции f (x, y) в областях  и . Так как эти частичные области являются частями области , то

так что

Складывая эти неравенства почленно, получим:  Отсюда и следует, что  Для нижней суммы Дарбу доказательство проводится аналогично.

⁰. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям области . [1].

Доказательство. Разобьем область  произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу  и .

Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение области  на частичные области. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу  и .

Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы  и .

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где  [1].

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было  или в других обозначениях , где  есть колебание  функции  в частичной области  [5].

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному  найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей  станут меньше , тотчас будет выполняться

 или

при любом разбиении области  на частичные подобласти и произвольном выборе точек  в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что  [5].

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие  Тогда из неравенства  сразу ясно, что  и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Пусть теперь  - одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению области (P), что и суммы s и S, тогда, как известно,

Согласно условию , если предположить все  достаточно малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел  и : , так что  является пределом для , т.е. двойным интегралом [1]. ч. т.д.

Интегрируемость непрерывной функции

Теорема. Всякая непрерывная в области  функция  интегрируема [1].

Доказательство. Действительно, если функция  непрерывна в (замкнутой) области , то по свойству равномерной непрерывности каждому  отвечает такое , что в любой части области  с диаметром, меньшим чем , колебание функции будет меньше чем . Пусть теперь область  разложена на части , диаметры которых все меньше . Тогда все колебания  и

,

откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана [1].

Основные свойства двойного интеграла

1⁰. Если область , в которой задана непрерывная функция , непрерывной кривой разложена на две области  и , то из интегрируемости функции во всей области  следует ее интегрируемость в частичных областях  и , и обратно - из интегрируемости функции в обеих областях  и  вытекает интегрируемость в области . При этом

Доказательство. Разобьем области  и  на части. Это разбиение порождает разложение всей области  на части, причем

                             (1^*)

Так как  непрерывна на , то она интегрируема на ,  и  следовательно, существует предел от левой части выражения (1^*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при  в выражении (1^*) и получим формулу (1) [1].

⁰. Если умножить интегрируемую в области  функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при  в верном равенстве

, то получим нужную формулу [1].

^0. Если в области  интегрируемы функции  и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при  в верном равенстве

 [1].

4⁰. Если для интегрируемых в области  функций  и  выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при  в верном неравенстве  [1].

⁰. В случае интегрируемости функции  в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

.

Доказательство. Пусть S' и s' верхняя и нижняя суммы Дарбу на области (Р) для функции |f (x, y)|, а S и s - верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции f (x, y).

Составим разность S'-s' для функции |f (x, y)|:

,

так как .

При λ→0 разность S-s стремится к нулю, так как функция f (x, y) интегрируема на (Р) по условию, а, значит, и S'-s' стремится к нулю при λ→0 подавно.

Так как S'-s' стремится к нулю при λ→0, то функция |f (x, y)| интегрируема на (Р).

При λ→0 в очевидном неравенстве  переходим к пределу и получаем формулу свойства [1].

Теорема о среднем значении

Теорема 1. Если функция  интегрируема в замкнутой области (P) и выполняется неравенство , то:

. Справедливо неравенство , где m, M - наименьшее и наибольшее значения функции в области (P), а P площадь области (P).

. Существует такая точка с из отрезка , что выполняется:

Доказательство. 1. Первое утверждение теоремы получается при предельном переходе в двойном неравенстве

2. Пусть некоторая точка с имеет значение .

3. Разделим двойное неравенство пункта 1 на Р. Получим

4. С учетом пункта 2 из того, что  следует, что  и

 [1].

Теорема 2. Если функция двух переменных  непрерывна на замкнутой области (P), то существует такая точка , что будет выполняться:

Доказательство. Так как область (P) замкнута, то по теореме Вейерштрасса существуют наибольшее и наименьшее значения функции  в области (P).

Пусть М - наибольшее значение функции , m - наименьшее значение функции в области (P).

Из теоремы 1 следует, что

Тогда по теореме Больцано-Коши непрерывная функция  проходит через все промежуточные значения.

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

 [1].

2.2 Вычисление двойного интеграла

 

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат [1].

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении  из  существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область  (рис. 17).

Разобьем отрезки  и  соответственно на  и  частичных отрезков

,

.

Тогда область  разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник  определяется так:

.

Пусть

Обозначим через  точную нижнюю и точную верхнюю грани функции  в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке  неравенство

.

Получим: , что равносильно

Суммируя последнее неравенство по всем , получим:

.

Так как по условию теоремы существует определенный интеграл

, то                       (2)

Пусть λ→0 (где λ-наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .

Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.

Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:

 или .

Но по условию теоремы

 [1].

Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла

и справедливость формулы [1].

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области

Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:

,

а с боков - двумя ординатами:  и , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении  из  существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

[1].

Доказательство. Изобразим область  (рис. 18).

Пусть .

Заключим область  в прямоугольник , где

.

Введем вспомогательную функцию

Функция  удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

) интегрируема в области , так как

) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция  интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех  существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках  и  областей вне области  значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как  в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции  выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции -может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла:

 [1].

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

 

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что  и  удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами  в координатную плоскость с координатами  [33].

Если  - некоторая замкнутая область, то будем обозначать  - ее границу,  - область вместе с границей, то есть .

Рассмотрим две плоскости  и в них исследуем две замкнутые области и . Каждая из этих областей может быть и неограниченной, в частности может охватывать и всю плоскость. Контур или границу области (если область не охватывает всей области) будем предполагать кусочно-гладкой кривой.

Пусть  и соответственно - границы указанных областей.

Допустим, что в области  дана система непрерывных функций:

                                                (3)

которая каждой точке  области  относит одну определенную точку  области , причем ни одна точка  из не будет пропущена, так что каждая такая точка отнесена хоть одной точке  из . Если различным точкам  отвечают различные же точки , так что каждая точка  отнесена лишь одной точке , то формулы (3) однозначно разрешимы относительно . Переменные  в свою очередь являются однозначными функциями от в области :

                                               (4)

Таким образом, между областями  и  устанавливается взаимно-однозначное соответствие. Говорят также, что формулы (3) осуществляют преобразование области  в область , а формулы (4) дают преобразование  области  в область .

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Будем предполагать, что функции  и  не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные)  непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т)  отличен от нуля всюду на области .

Значит, определитель  - непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак [1].

Если взять в области  простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования  она перейдет в подобную же кривую  в области  [1].

Теорема. Пусть Т - преобразование области  в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области  [1].

Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.

Пусть уравнения кривой  будут:

,

причем так как кривая  гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.

Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :

.

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как  непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая  - гладкая кривая [1].

Криволинейная система координат

Преобразования областей для удобства трактуют как переход от прямоугольной декартовой системы координат к криволинейной системе координат [42].

Пусть поле  преобразует область  плоскости  в область плоскости .

Координатная сетка в плоскости  наводит координатную сеть в области : . Координатные линии параллельны осям  и .

При преобразовании  эти прямые (частный случай гладкой кривой) переходят в гладкие кривые в области (в соответствии с доказанной в предыдущем пункте теоремой).

Они образуют сеть гладких кривых в области  и называются криволинейными координатными линиями (координатные прямые области  порождают координатные кривые области ) [42].

Так как поле  взаимно однозначно, то через каждую точку  проходят только две координатные криволинейные линии, которые являются образами линий .

Эти координатные кривые линии сопоставляют точке с координатами  два числа , которые называются криволинейными координатами точки . Криволинейные координаты  точки  связаны с прямоугольной декартовой системой координат прямыми уравнениями  и обратными уравнениями  [42].

Полагая в (4) , получим параметрическое представление координатной линии:

(роль параметра здесь играет ). Неявное уравнение той же линии получим, полагая  во втором из уравнений (4).

Аналогично при , получим следующее параметрическое представление координатной линии:

Имея криволинейные координаты , можно трактовать преобразование  областей как переход в  от криволинейных координат  к прямоугольной декартовой системе координат  [42].

А преобразование  области  в - как переход от прямоугольной декартовой системы координат  к криволинейной системе координат  с помощью систем уравнений , где каждая точка .

Значит, любая точка области  имеет две пары координат: прямоугольные декартовы и криволинейные [42].

Полярная система координат

Простейшим и важнейшим примером криволинейных координат являются полярные координаты . Они имеют наглядное геометрическое истолкование, как полярный радиус-вектор и полярный угол, но могут быть введены и формально, с помощью известных соотношений:

где . Если значения  и откладывать по двум взаимно перпендикулярным осям, считая, например,  - абсциссой, а  - ординатой (при правой ориентации осей), то каждой точке полуплоскости  по указанным формулам отвечает одна определенная точка на плоскости  [1].

В этом случае координатные линии имеют вид: прямым , отвечают круги радиуса  с центром в начале координат, а прямым  отвечают лучи, исходящие из начала координат под углом  к оси .

Однако в данном случае формулы преобразования, вообще, не будут однозначно разрешимы: изменение величины угла  на  (где  - целое) не отразится на значениях  и . Для того, чтобы получить все точки плоскости , достаточно ограничиться значениями ,  [1].

Каждой точке , отличной от начала, отвечает одно значение  и одно значение  в указанных пределах. Но неустранимое нарушение однозначности соответствия связано с началом координат: точке  отвечает на плоскости  вся ось  (или ее отрезок от  до ).

Рассмотрим на плоскости  замкнутый прямоугольник  или  (рис. 22); легко видеть, что на плоскости  ему отвечает замкнутый круг, описанный вокруг начала 0 радиусом R=OA. Но весь контур этого круга отвечает одной лишь стороне  упомянутого прямоугольника; сторонам  и  (обеим!) отвечает один и тот же радиус ОА круга; наконец, всей стороне  отвечает лишь точка О. Здесь явно не соблюдены указанные в предыдущем пункте условия. (радиуса ) и отрезок ОА

Однако если сдвинуть сторону  на малую величину , а сторону  на , то новому прямоугольнику  будет отвечать на плоскости  фигура , полученная из круга удалением малого круга радиусом  и сектора с центральным углом , с соблюдением уже всех требований. При перемещении точки на плоскости  по отрезкам  соответствующая точка на плоскости Oxy опишет по порядку неполную окружность C’O (радиуса r) и отрезок ОА.

Найдем первые частные производные функций :

.

Найдем якобиан: , т.е. Якобиан сохраняет положительный знак [1].

Прямые уравнения, связывающие прямоугольную декартову систему координат с полярной системой координат, имеют вид: .

Обратные уравнения, связывающие полярную систему координат с прямоугольной декартовой системой координат, имеют вид:

 [1].

Замена переменных в двойном интеграле

1. Пусть функция  непрерывна в замкнутой области  с кусочно-гладкой границей.

. Пусть поле  осуществляет преобразование области  в область ,  имеет кусочно-гладкую границу.

. Пусть области  и  являются ограниченными.

4. Так как  и  имеют непрерывные границы, то они измеримы, а, следовательно, имеют площадь, т.е. квадратируемы.

5. Пусть поле  задано двумя функциями: . Смешанные производные  непрерывны в , т.е. на  выполняется равенство . При всех указанных условиях справедлива следующая формула:

.                           (5)

Доказательство. Изобразим области  и  (рис. 23).

Разобьем область  сетью кусочно-гладких кривых на частичные области , , причем каждая область  имеет кусочно-гладкую границу [25].

Преобразование  порождает разбиение области  на частичные подобласти  с помощью конечного числа кусочно-гладких кривых  [25].

Между областями  и  существует простая связь:

а) они имеют кусочно-гладкие границы, следовательно, границы непрерывны и области измеримы;

б) частичные области имеют площади, т.е. они квадратируемы и

 [25].

Это равенство будет получено при рассмотрении криволинейного интеграла и доказано. Площадь криволинейного частичного прямоугольника равна площади прямоугольника, умноженной на якобиан.

При исследовании определенного интеграла составляли интегральную сумму. Составим и в данном случае сумму вида

.              (6)

Так как точка  выбрана произвольно в области , то можно принять, что .

При таком условии правая часть интегральной суммы примет вид:

.

Если меру площади  устремить к 0, то в пределе получим двойной интеграл по области :. Переходя к пределу в левой части выражения (6) при , получим двойной интеграл  [25].

Значит, справедливость формулы (5) доказана. Существует предел от левой и правой частей интегральной суммы, так как функция  непрерывна по области  и непрерывным является каждый из сомножителей  и  в .

Замечание. Устремление меры площади к 0 приводит к устремлению к 0 наибольшего диаметра частичных областей, т.е. ,  - наибольший диаметр частичной области  и , -наибольший диаметр частичной области [25].

Заключение

Результатом выпускной квалификационной работы являются разработанные методические рекомендации к проведению лекционных и практических занятий по теме «Двойной интеграл», конспект фондовых лекций, обучающе-контролирующая программа.

При разработке лекционных и практических занятий соблюдались основные принципы дидактики: принцип наглядности, принцип научности, принцип систематичности и последовательности, принцип доступности, принцип связи теории с практикой.

Разработанные методики были апробированы на втором курсе факультета математики и информатики СГПИ в феврале - марте 2003-2004 учебного года. Также с целью выявления направленности учебной мотивации было проведено анкетирование, результаты которого учитывались при апробации. Результаты апробации показали, что новые образовательные технологии (в данном случае, педагогика сотрудничества и информационные технологии) целесообразно применять на занятиях по математическому анализу.

При разработке практических занятий и создании компьютерной программы учитывались психологические особенности студенческого возраста.

Материалы выпускной квалификационной работы будут полезны студентам второго курса математического факультета педагогического вуза, желающим расширить и систематизировать свои знания по теме «Двойной интеграл», а также при самостоятельном изучении темы. В разработанных практических занятиях подробно рассматриваются методы решения всех основных типов задач на вычисление двойного интеграла, что позволит студентам лучше разобраться в сложных для них вопросах.

Кроме того, результаты исследования будут полезны преподавателям при подготовке и проведении лекционных занятий, поскольку содержат рекомендации к применению новейших информационных технологий; и практических занятий, так как включают в себя практические рекомендации по использованию метода сотрудничества на занятиях по математическому анализу.

Литература

1.  Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. - СПб: издательство «Лань», 1997.

2.  Баас Р., Фервай М. Delphi 4: полное руководство. - Киев: BHV, 1999 - 850 с.

3.       Басова Н.В. Педагогика и практическая психология. - Ростов н/Д: издательство «Феникс», 1999 - 346 с.

.        Бермант Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1969. - 378 с.

.        Бордовская Н.В., Реан А.А. Педагогика: учебник для вузов. - СПб: издательство «Питер», 2001 -275 с.

.        Бохан Н.А. и др. Курс математического анализа. В 2-х томах-М.: Просвещение, 1965. - 562 с.

.        Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебник для вузов. - 4-е изд., переработка и дополнение. - Ростов н/Д: издательство «Феникс», 1997. - 512 с.

.        Бугров А.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - Ростов н/Д: Феникс, 1997. - 438 с.

.        Задачник по курсу математического анализа. Ч. 2. / Под ред. Н.Я. Виленкина. - М.: Просвещение, 1971.-432 с.

.        Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. - М.: Айрис, 1996.-533 с.

.        Гусак А.А. Высшая математика. Т. 2. - Минск: БГУ, 1976. - 326 с.

.        Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. - М.: Просвещение, 1973. - 376 с.

.        Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т. 1. - М.: высшая школа, 1980.-328 с.

.        Сборник задач и упражнений по матанализу / Под ред. Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1990. - 376 с.

.        Дубовицкая Т.Д. Методика диагностики направленности учебной мотивации. // Психологическая наука и образование // , №2 - 2002 г. - 42-45 с.

.        Зимняя И.А. Педагогическая психология. - М.: Логос, 2001. - 362 с.

.        Зиновьева Л.А. Сборник задач по математическому анализу для студентов второго курса факультета математики-информатики. Ч. 4. - Славянск-на-Кубани: СФАГПИ, 1998. - 48 с.

.        Зиновьева Л.А., Мурашко С.А. Учебная программа курса «Математический анализ» факультет математики и информатики курсы I-II семестры 1 - 4. - Славянск-на-Кубани, 2000. - 22 с.

.        Зиновьева Л.А., Чернышев А.Н. Математический анализ: методические рекомендации к практическим занятиям и самостоятельной работе для студентов педагогических вузов (2 курс, 4 семестр). - Славянск - на - Кубани, 2000 - 12 с.

.        Зорич В.А. Математический анализ. Т.2. - М.: Наука, 1981. - 364 с.

.        Зорич В.А. Математический анализ, Ч. 2, - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 544 с.

.        Игошин В.И. Логика и интуиция в математическом образовании. // Педагогика // , №9 - 2002 г. - 40-46 с.

.        Инструктивное письмо №5 МВ и ССО СССР от 3.04.1981 «О повышении уровня лекций, усилении их значения в подготовке специалистов».

.        Кинелев В.Г. Контуры системы образования XXI в. // Информатика и образование // , №5 - 2000 г. - 5-8 с.

.        Коровкин П.П. Математический анализ. Ч. 2. - М.: Просвещение, 1974. - 452 с.

.        Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа Т.2. - М.: Высшая школа, 1998. - 342 с.

.        Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989. 97 - 104 с.

.        Монахов А.И. И др. Учебный курс «Математический анализ» в педагогическом университете. - М.: издательский центр МГОПУ, 1999. - 160 с.

.        Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. - Ч. 2. СПб.: Лань, 1997. - 328 с.

.        Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1. - М.: Наука, 1973. - 352 с.

.        Полат Е.С. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования: учебное пособие для студентов педагогических вузов и системы повышения квалификации педагогических кадров.-М.: Академия, 2001. - 272 с.

.        Поршнев А.В. Психологические принципы разработки компьютерных программ для обучения студентов французскому языку. // Психологическая наука и образование // , №2 - 2001 г. - 81-85 с.

.        Райков Д.А. Многомерный математический анализ. - М.: Высшая школа, 1989. - 432 с.

.        Самыгин С.И. Педагогика и психология высшей школы: учебное пособие. - Ростов н/Д: издательство «Феникс», 1998. - 517 с.

.        Смирнов С.Д. Педагогика и психология высшего образования: от деятельности к личности: учебное пособие для слушателей факультетов и институтов повышения квалификации преподавателей вузов и аспирантов - М.: АспектПресс, 1995. - 271 с.

.        Стародубцев В.А. Использование информационных технологий на лекциях по естественнонаучным дисциплинам. // Информатика и образование // , №1 - 2003 г. - 14-19 с.