Исследование плоского напряженного состояния
Задача 1. Анализ
плоского напряженного состояния
Стальной кубик находится под
действием сил, создающих плоское деформированное состояние.
Общие данные: Е = 2 ·105
МПа, σz
= 0.
Вариант 78: σx
= 160 МПа, σу
= 70 МПа,
τy
= τх
= 80 МПа, μ = 0,29.
Найти:
1. Вычертить схему элемента.
2. Определить главные
напряжения и направление главных площадок.
. Вычислить величину
наибольших касательных напряжений.
. Вычислить
относительные линейные деформации.
. Вычислить относительное
изменение объема.
. Определить удельную
потенциальную энергию деформации.
Решение:
Рис. 1. Нормальные и касательные напряжения по
граням кубика:
а - направления напряжений для исследуемого
напряженного состояния;
б - положительные направления напряжений
Прежде всего, установим знаки
нормальных и касательных напряжений, показанных на рис. 1, а. Положительные
направления нормальных напряжений σx,
σy
и касательных напряжений τx
= τy
показаны на рис. 1, б. Нормальные растягивающие напряжения принято брать со
знаком плюс, а сжимающие - со знаком минус. Следовательно, σx
=
160 МПа и σy
= -70 МПа, τy
= τх
= 80 МПа.
Определение главных напряжений.
Определяем наибольшее и наименьшее главные напряжения.
Наибольшее σ1:
наименьшее из главных напряжений σ3:
Определение направления главных площадок. Угол
наклона нормали главной площадки к оси X
определяется по формуле
Знак касательных напряжений и
угла α
можно не устанавливать, если пользоваться следующим правилом для
определения ориентации главных площадок.
Главные площадки, на которых
действует наибольшее из главных напряжений σ1,
получаются поворотом на угол α
тех из исходных площадок, на которых действует большее (по
алгебраической величине) из исходных напряжений σx,
σy.
В нашем примере такими исходными площадками будут площадки, где действует
нормальное напряжение σх,
так как σх
> σу.
Направление поворота указывает
стрелка касательного напряжения на исходной площадке (рис. 2). Вторая пара
главных площадок перпендикулярна найденным.
Определение максимальных касательных напряжений:
Эти напряжения действуют на
площадках, наклоненных под углом 45° к главным, и направлены в сторону σ1 (см. рис.
2).
Рис. 2. Расположение главных
площадок
сила
напряженный состояние деформация
Определение относительных деформаций εx,
εy,
εz:
Обратите внимание на то, что при σz
= 0 εz
≠
0 , т.е. при отсутствии напряжения по оси Z
деформация в этом направлении имеет место.
Определение относительного изменения объема θ:
Определение удельной потенциальной
энергии деформаций. Потенциальная энергия изменения объема Uоб:
Потенциальная энергия изменения
формы Uф:
Полная энергия U:
U = Uоб + Uф = 2,83·10-3
+89,65·10-3 = 92,48·10-3 МПа (Н/мм2).