Определение ускорения, коэффициента трения и скорости движения
Петербургский
государственный университет путей сообщения
Кафедра
«Физика»
Контрольная
работа № 1
Вариант
№8
Выполнил:
Валиахмедов Руслан
Расихович
студент 1 курса ЗО
учебный шифр
11-В-218
Санкт-Петербург,
Вариант 8
Контрольная работа № 1
Свободно падающее тело в последнюю секунду
своего падения проходит половину всего пути. С какой высоты и сколько времени
падало тело?
Ось Oy направим вертикально вниз, точка отсчета
(ноль) расположена на оси Oy на высоте h над поверхностью земли, тогда
уравнение:
(*)
может быть записано в виде:
(1), поскольку 
и
- конечная
координата тела
- ускорение
свободного падения
- время падения
тела с высоты 
На высоте 
скорость,
падающего тела - 
, где 
-
время за которое тело преодолевает вторую половину своего пути. Соответственно,
-
время, за которое тело преодолевает первую половину пути.
В то же время, из уравнения (*) можно записать
выражение для второй половины пути:
(2),
здесь 
.
Подставляя (1) в (2), получим уравнение для :
, преобразуем его:
Первый корень уравнения: 
.
Второй корень уравнения: 
.
Поскольку 
,
второй корень не подходит для решения нашей задачи, т.е. общее время падения
тела не может быть меньше времени движения по второй половине пути. Подставляя
первый корень в (1), находим высоту, с которой падало тело:
размерность 
размерность 
Вычислим значения, сохраняя в результате две
значащие цифры после запятой:
с
м
Ответ: 
м,
с.
Точка двигается по окружности радиусом 4 м.
Закон ее движения выражается уравнением S = A + Bt2, где А = 8 м, В = -2 м/с2.
В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с2?
Найти скорость, тангенциальное и полное ускорения точки для этого момента
времени.
Уравнение для скорости движения по окружности
получается из заданного уравнения движения дифференцированием по времени.
Вторая производная уравнения движения по времени дает выражение для модуля
тангенциального ускорения.
(1), 
(2).
Скорость движения по окружности связана с
нормальным ускорением соотношением:
(3),
подставляя (1) в (3) и разрешая уравнение
относительно времени получим:
, 
размерность
.
Величина нормального ускорения 9 м/с2 будет
достигнута через:
после начала
отсчета времени. Заметим, что знак минус в значении коэффициента B отражает тот
факт, что точка движется по окружности в направлении противоположном
направлению отсчета пути.
В вычисленный момент времени скорость,
тангенциальное и полное ускорения точки находятся соответственно по формулам:
размерность 
Ответ: 
,
,
,
.
Брусок массой 5 кг тянут по горизонтальной
плоскости за веревку, составляющую угол 30° с горизонтом. Сила натяжения
веревки 30 Н. За 10 с, двигаясь равноускоренно, брусок изменил свою скорость от
2 м/с до 12 м/с. Найти коэффициент трения бруска о плоскость.
высота время ускорение трение
скорость
Кинематическое уравнение движения бруска в
проекции на ось Ox:
,
дифференцируя по времени, получаем уравнение для
скорости: 
, здесь a -
ускорение, возникающее под действием результирующей силы.
Зная изменение скорости бруска между двумя
точками и время, за которое произошло это изменение, можем определить
ускорение:
Для определения силы трения и коэффициента
трения воспользуемся их определением и вторым законом Ньютона:
, здесь 
-
коэффициент трения скольжения 
- сила реакции
опоры,
(2-й закон
Ньютона).
Запишем уравнения второго закона Ньютона в
проекциях на оси x и y:
Ось y: 
или
Ось x: 
или
,
выразим из этого уравнения коэффициент трения и подставим выражение для силы
реакции опоры из первого уравнения:
,
в числителе и знаменателе одинаковая
размерность, коэффициент трения величина безразмерная 
.
Подставим численные значения и вычислим
коэффициент трения:
Под действием момента силы 20 Н·м маховик начал
вращаться равноускоренно и, сделав 5 полных оборотов, приобрёл угловую
скорость, соответствующую частоте вращения 10 об/с. Определить момент инерции
этого маховика.
Для описания вращения твердого тела относительно
неподвижной оси с точки зрения кинематики достаточно заменить координату,
скорость и ускорение на их угловые аналоги. С точки зрения динамики силы
заменяются на моменты сил, масса на момент инерции. Таким образом, для решения
задачи будем использовать формулы:
(1) и 
(2),
Где 
-
угловая координата, 
- начальная
угловая координата;
- начальная
угловая скорость;
- угловое
ускорение;
- результирующий
момент сил относительно заданной оси вращения;
- момент инерции
тела относительно заданной оси вращения.
Обозначим n - скорость вращения в оборотах в
секунду, тогда соответствующая угловая скорость 
,
по условию задачи 
.
Из (2) следует: 
(*),
для равноускоренного вращения 
, соответственно
(*) перепишем 
(**).
Время разгона найдем из (1) подставив туда:
- маховик совершил
пять оборотов, 
;
, 
,
получим уравнение:
,
находим 
и
подставляем в (**).
размерность 
Ответ: 
Из пружинного пистолета выстрелили пулькой,
масса которой 5 г. Жёсткость пружины 1,25 Н/м. Пружина была сжата на 8 см.
Определить скорость вылета пульки из пистолета.
Потенциальная энергия сжатой пружины переходит в
кинетическую энергию пульки, для решения данной задачи воспользуемся законом
сохранения энергии.
Выражения для потенциальной энергии сжатой
пружины имеет вид:
,
где 
-
жесткость пружины
- величина
сжатия(удлинения) пружины относительно положения равновесия.
Выражение для кинетической энергии пульки:
, где
- масса пульки
- скорость пульки.
По закону сохранения энергии:
, отсюда 
Размерность: 
.
Ответ: 
816
Шарик массой 50 г, привязанный к концу нити
длиной 1.2 м, вращается, делая 2 об/с, опираясь на горизонтальную плоскость.
Нить укорачивают, приближая шарик к оси вращения до расстояния 0.6 м. Какую
работу совершает внешняя сила, укорачивая нить?
Для данной системы выполняется закон сохранения
момента импульса, соответственно с его помощью мы можем рассчитать изменение
угловой скорости при укорачивании нити:
(векторное
произведение),
в условиях нашей задачи: 
- момент импульса,
-
радиус вращения шарика, 
- импульс шарика,
- тангенциальная
скорость шарика.
Поскольку 
,
перепишем выражение для момента импульса виде:
.
Запишем теперь выражение для закона сохранения
момента импульса:
, отсюда 
.
Кинетическая энергия вращения относительно
центра масс определяется по формуле: 
,
где I -момент инерции системы.
Запишем моменты инерции системы до и после
укорочения нити:
, 
.
Работу, совершаемую при укорочении нити
определим с помощью закона сохранения энергии: 
.
Подставляя ,
окончательно получим: 
.
Размерность: 
Ответ: 
817
Начальная фаза гармонического колебания равна
нулю. При смещении точки от положения равновесия на 2.4 см её скорость равна 3
см/с, а при смещении, равном 2.8 см, её скорость равна 1 см/с. Найти амплитуду
и период этого колебания.
Поскольку полная энергия гармонического
колебания есть величина постоянная, можем записать:
,
где k - коэффициент квазиупругой силы,- масса
материальной точки.
Период гармонического колебания: 
.
Преобразуем выражение для закона сохранения
энергии:
,
отсюда период равен 
.
Размерность: 
Амплитуду определим из соотношения:
Ответ: 
,
