Расчет вероятности событий

Расчет вероятности событий

Задание 1.

Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятности срабатывания устройств при аварии соответственно равны 0,9, 0,7 и 0,4. Найти вероятность того, что при аварии:

А) сработает хотя бы одно устройство;

Б) сработает не менее двух устройств.

РЕШЕНИЕ:

События:

А₁ - сработает устройство №1;

А₂ - сработает устройство №2;

А₃ - сработает устройство №3.

Тогда вероятности р(А₁) = 0,9; р(А₂) = 0,7; р(А₃) = 0,3 (по условию задачи).

Вероятности противоположных событий (устройство не сработает):

р() = 1 - 0,9 = 0,1; р() = 1 - 0,7 = 0,3; р() = 1 - 0,3 = 0,7.

А) Событие «сработает хотя бы одно устройство» - это сумма событий А₁, А₂ и А₃. Противоположным для него будет событие о том, что ни одно устройство не сработало. Тогда по теореме о вероятности произведения независимых событий получим:

р(р() р() р() = 1 - 0,1*0,3*0,7 = 0,979.

Б) Событие «сработает не менее двух устройств» означает, что только одно устройство (1-е, 2-е или 3-е) останется не работающим. В символьной записи вероятность данного события будет вычисляться так:

р(А) = р() р() р() + р() р() р() + р() р() р() =

= 0,1*0,7*0,3 + 0,9*0,3*0,7 + 0,9*0,7*0,7 = 0,651.

ОТВЕТ: А) 0,979; Б) 0,651.

Задание 2.

Дискретная случайная величина задана рядом распределения

Найти: 1) Р₃;

) математическое ожидание М(Х);

) дисперсию D(X);

) функцию распределения F(x) и построить ее график.

РЕШЕНИЕ:

1) Для закона распределения дискретной случайной величины должно выполняться условие. Тогда Р₃ = 1 - (0,5 + 0,3) = 0,2.

) Математическое ожидание М(Х) ищем по формуле:

.

) Дисперсию D(X) ищем по формуле:

.

4) Функция распределения F(x) примет вид:

Строим ее график:

Задание 3.

Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х:

Найти: 1) коэффициент а;

) М(Х);

).

РЕШЕНИЕ:

Находим функцию плотности распределения:

)        Коэффициент а находим, используя свойство нормированности функции плотности распределения вероятностей: .

Для нашего случая получим:

Тогда .

 и

2)      Математическое ожидание М(Х) ищем по формуле:

3) Для нахождения вероятности попадания случайной величины Х в интервал воспользуемся формулой:

.

ОТВЕТ: 1) ; 2) ; 3) .

Задание 4.

В результате контроля поступившей на склад продукции получены данные, записанные в виде статистического ряда:

вероятность интервальный дисперсия распределение

Требуется:

) составить интервальный статистический ряд распределения значений статистических данных;

) построить полигон и гистограмму относительных частот;

) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

4) вычислить числовые характеристики выборки (выборочную среднюю , выборочное среднее квадратичное отклонение ).

РЕШЕНИЕ:

1)      Разобьем интервал измерения случайной величины на m частичных интервалов равной длины и подсчитаем частоту попадания значения случайной величины в каждый из интервалов.

Значение m находится по формуле: , где 50 - кол-во элементов в выборке.

 - длина интервала.

Начало первого интервала принимаем равным .

Шкалу и группировку статистических данных представим в виде таблицы:

Мы построили интервальный статистически ряд распределения значений статистических данных.

)        Эмпирическая функция распределения строится по ряду накопленных частот:

3)     
Ищем числовые характеристики выборки

Задание 5.

Для изготовления 4-х видов продукции используются 3 вида сырья. Количество сырья каждого из видов, необходимое для изготовления единицы продукции каждого из видов, а также запасы сырья и прибыль от реализации продукции единицы продукции каждого из видов заданы матрицей:

Требуется:

1)      Составить экономико-математическую модель задачи, пользуясь которой можно найти план выпуска продукции, при котором общая прибыль Z будет наибольшей;

)        Симплексным методом найти оптимальный план выпуска продукции и максимальную величину прибыли;

)        Составить двойственную задачу к исходной и пояснить ее экономическую суть. Используя теорию двойственности установить соответствие между переменными прямой и двойственной задач, найти двойственные оценки;

)        С помощью двойственных оценок исследовать:

А) степень полезности отдельных видов ресурсов в условиях производства;

Б) величину финансовых потерь в расчете на единицу продукции в случае, если предприятие вынуждено будет производить невыгодные ему виды продукции. При необходимости такого производства обосновать цены на готовую продукцию.

РЕШЕНИЕ:

1)      Составляем экономико-математическую модель задачи.

Обозначим количество единиц каждого из 4-х видов продукции переменными Х₁, Х₂, Х₃, Х₄ соответственно.

Прибыль от реализации продукции выражается формулой:

Z = 6Х₁ + 4Х₂ + 6Х₃ + 8Х_4.

По условию задачи переменные должны удовлетворять ограничениям, которые накладываются на расход предприятием каждого из трех видов сырья.

Математическая модель задачи примет вид:

Переводим задачу в канонический вид, введя дополнительные (балансовые) переменные, получим:

2)      Решаем полученную задачу линейного программирования симплексным методом.

Составляем первую симплекс-таблицу:

Полученный план является опорным, но не является оптимальным, так как в индексной строке есть отрицательные элементы.

Наибольший по модулю отрицательный элемент в индексной строке равен «-6», значит, новая базисная переменная - Х₁ (и это разрешающий столбец).

Θ = А_о, деленные на элементы выбранного столбца.

Min Θ = min {7,5; 13, (3); 20} = 7,5.

Значит, Х₅ выводится из числа базисных переменных (это разрешающая строка).

На пересечении разрешающих столбца и строки - разрешающий элемент.

Преобразуем симплексную таблицу и получаем:

Полученный план является опорным, но не является оптимальным, так как в индексной строке есть отрицательные элементы.

Вводим переменную Х₂, выводим - Х₆.

Преобразуем симплексную таблицу и получаем:

Полученный план (7,5; 3; 0; 0; 0; 47) является опорным и оптимальным, так как в индексной строке нет отрицательных элементов, однако, он не является единственным, так как не все свободные переменные оценки отличны от нуля.

Максимальная прибыль составит 57 ден. ед., если будет выпущено 7,5 весовых единиц товара первого вида и 3 весовые единицы товара второго вида. Товары третьего и четвертого вида выпускаться не будет. 47 весовых единиц сырья останутся не расходованными.

)        Составляем модель двойственной задачи.

По теореме о двойственности следует, что если решена одна из пары двойственных задач, то решена и вторая.

Запишем двойственную задачу в каноническом виде.

,

где - новые балансовые переменные.

Соответствие между переменными прямых и двойственных задач имеет вид:

Компоненты оптимального плана двойственной задачи берутся из индексной строки последней симплексной таблицы.

Y^* = (1,2; 0,4; 0; 0; 0; 1,6; 2,4).

4)      Оценки 1-го и 2-го видов сырья положительные, это значит, что они расходуются полностью. 3-й вид сырья не будет расходован, так как его оценка равна нулю.

Увеличение объема сырья 1-го вида на 1 весовую единицу позволяет увеличить максимальный доход на 1,2 ден. ед., 2-го вида - на 0,4 ден. ед.

Дополнительные двойственные переменные являются мерой убыточности продукции, которую согласно оптимальному плану нецелесообразно выпускать.

Например, Y₆ = 1,6. Это значит, что стоимость ресурсов, расходуемых на производство одной единицы продукции третьего вида, превышает стоимость единицы этой продукции (6 ден. ед.) на 1,6 ден. ед. Аналогично для товара четвертого вида (8 ден. ед.) - на 2,4 ден. ед. То есть, в случае необходимости производства цена товара 3-го вида должна быть не менее 7,6 ден. ед., 4-го вида - не менее 10,4 ден. ед.

Задание 6.

Имеется три поставщика и пять потребителей некоторой продукции. Количество груза, которое может отгрузить поставщик, и стоимость перевозки из одного пункта в другой единицы груза заданы матрицей:

Составить экономико-математическую модель задачи и найти методом потенциалов оптимальный план перевозки продукции (при котором общие транспортные затраты будут наименьшими).

РЕШЕНИЕ:

Строим математическую модель задачи. Переменными Х_ij обозначим объем продукции, который поставляется от поставщика А_i потребителю B_j, где i=1,2,3, j=1,2,3,4,5.

Сумма количества продукции, которую могут отгрузить все поставщики:

А = 300 + 280 + 320 = 900.

Сумма потребностей потребителей:

В = 140 + 190 + 180 + 170 + 220 = 900.

Полученные величины равны, значит, данная задача закрытого типа и имеет решение без дополнительных преобразований.

Математическая модель задачи имеет вид:

Строим начальную распределительную таблицу по методу северо-западного угла.

Проверяем полученный опорный план на оптимальность, построив систему для потенциалов загруженных клеток (полагаем, что U₁ = 0) и находя оценки свободных клеток:

Так как некоторые оценки отрицательны, то построенный план не является оптимальным. Для построения цикла перераспределения выбираем максимальную по модулю отрицательную оценку, то есть ∆₁₃ = -4. Тогда в базис вводим переменную Х₁₃ и строим замкнутый контур с вершинами в загруженных клетках.

Начиная с Х₁₃ проставляем поочередно по часовой стрелке знаки «+» и «-», из двух клеток с «-» выбираем минимальную загрузку и направляем ее в клетки с «+», вычитая из клеток с «-». Проверяем, не ошиблись ли мы в распределении суммарных грузов. Получаем новую таблицу:

Проверяем полученный опорный план на оптимальность, построив систему для потенциалов загруженных клеток (полагаем, что U₁ = 0) и находя оценки свободных клеток:

Так как некоторые оценки отрицательны, то построенный план не является оптимальным. Для построения цикла перераспределения выбираем максимальную по модулю отрицательную оценку, то есть ∆₃₁ = -4. Тогда в базис вводим переменную Х₃₁ и строим замкнутый контур с вершинами в загруженных клетках.

Получаем новую таблицу:

Проверяем полученный опорный план на оптимальность, построив систему для потенциалов загруженных клеток (полагаем, что U₁ = 0) и находя оценки свободных клеток:

Так как некоторые оценки отрицательны, то построенный план не является оптимальным. Для построения цикла перераспределения выбираем максимальную по модулю отрицательную оценку, то есть ∆₂₁ = -1. Тогда в базис вводим переменную Х₃₁ и строим замкнутый контур с вершинами в загруженных клетках.

Получаем новую таблицу:

Проверяем полученный опорный план на оптимальность, построив систему для потенциалов загруженных клеток (полагаем, что U₁ = 0) и находя оценки свободных клеток:

вероятность интервальный дисперсия распределение

Все оценки неотрицательны, значит, найденный план оптимальный.

По нему видно, что

)        Первый поставщик привозит 1-му потребителю 40 ед. товара, 3-му - 60 ед., 4-му - 100 ед.

)        Второй поставщик привозит 1-му потребителю 100 ед. товара, 2-му - 90 ед., 3-му - 20 ед., 4-му - 70 ед.

)        Третий поставщик привозит 2-му потребителю 100 ед. товара, 5-му - 220 ед.

Найдем общую сумму затрат на перевозку:

Z = 40*2 + 160*3 + 100*2 + 100*6 + 90*5 + 20*8 + 70*4 + 100*6 + 220*3 = 3510 ден. ед.