Информатика и прикладные программы в ЭВМ в управлении экономикой фирмы

Информатика и прикладные программы в ЭВМ в управлении экономикой фирмы

Информатика и прикладные программы в ЭВМ в управлении экономикой фирмы

Введение

Для решения многих нелинейных уравнений чаще всего используют Методы: простой итерации, половинного деления, Ньютона. Нелинейные решения нужны современному инженеру, ученому, экономисту в его профессиональной деятельности. Например, экономист с помощью таких уравнений может находить прибыль предприятия и просчитывать его на К лет.

Таким образом, развитие этих методов получает широкое развитие в мире.

Теоретические сведения

Методы решения

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры нам известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако встречающиеся на практике уравнения не удаётся решить такими простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов: а) отыскания приближённого значения корня или содержащего его отрезка; б) уточнения приближённого значения до некоторой заданной степени точности.

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения Хо. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближённых значений корня Х1, Х2,…, X_n - Если эти значения с ростом n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.

А теперь рассмотрим 3 итерационных метода решения трансцендентных, алгебраических уравнений. Метод деления отрезка пополам, Ньютона, простой итерации.

Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии)

Пусть действительный корень уравнения  отделен и функция  непрерывна на интервале  отделения корня. Построим процесс сужения интервала  так, чтобы искомый корень всегда находился внутри суженного интервала. Очевидно, что в этом случае погрешность приближённого значения корня не превышает , где ,  − граничные точки интервала на -ой итерации. Найдём середину отрезка  и вычислим . Составим произведения  и . Из двух половин отрезков выберем тот, в котором произведение является отрицательной величиной, и обозначим новые границы отрезка через , . Затем новый отрезок разделим пополам, вновь составим аналогичные произведения и выберем тот из отрезков, в котором произведение − величина отрицательная.

Погрешность метода половинного деления, который также называется методом дихотомии, определяется достаточно очевидным соотношением (которое, впрочем, может быть строго доказано) , которое указывает на скорость сходимости метода: с увеличением  погрешность стремиться к нулю не медленнее геометрической прогрессии со знаменателем . Метод дихотомии прост и надёжен, всегда сходиться, хотя и медленно, устойчив к ошибкам округления.

Метод простой итерации

С начало приводим нелинейное уравнение  к виду, удобному для итерации . Для этого умножим исходное уравнение на  и прибавим к обеим частям уравнения :

.       (1)

В качестве начального приближения  можно выбрать любое . Итерационный процесс

заканчивается при выполнении условия

.

Недостатком метода является малая скорость сходимости приближённого решения к точному. К достоинствам метода относятся более широкая область сходимости и простота по сравнению с методами Ньютона, хорд и секущих. На рис. 1 приводиться блок-схема алгоритма метода. Она проста, алгоритм полностью совпадает с приведённым выше в тексте. Обозначения переменных ясных из текста.

Найти корни уравнения методом простой итерации можно с помощью электронных таблиц. В столбце  вычисляются последовательные приближения к корню.

Метод Ньютона

Рассмотрим в точке  касательную к кривой , задаваемую уравнением

.

Положив , находим точку  пересечения касательной с осью абсцисс:

.

Функция  на отрезке  (рис. 2) заменяется прямой и  является приближённым значением корня . Построив касательную в точке  получим точку пересечения  этой касательной с осью , таким же способом получаем любую точку :

.

Последовательность значений  сходиться к точному решению (корню) значительно быстрее, чем в методе половинного деления. Итерации можно прекратить, если .

Теорема. Если , причём  и  отличны от нуля и сохраняют определённые знаки на , то исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству: , можно вычислить методом Ньютона единственный корень уравнения  с любой точностью.

Существование решения следует из непрерывности  на  и условия . Единственность решения следует из монотонности  на (так как  сохраняет знак).

После ввода начальной точки , точности  и предельного числа итераций  следует обнуления счётчика итераций. Затем следует итерационный цикл: вычисление приближённого значения корня по формуле Ньютона и сравнение погрешности решения с заданной точностью. Если погрешность  или число итераций , то на экран (принтер) выводиться приближённое значение корня и числа итераций. На этом вычисление заканчиваются. Если погрешность вычисления корня больше заданной, то итерация продолжается: вычисляются новое приближённое значения корня, его погрешность сравнивается с заданной так далее.

Для уточнения корня методом Ньютона можно использовать электронные таблицы. В столбец  записываем формулу Ньютона,

в ,

в ,

затем копируем выражение из  в клетки . В этих клетках появляются значения выражений.

Во второй строке в результате подстановки в формулу Ньютона нулевого приближения  появляется первое приближение корня . В третьей строке в результате подстановки в формулу Ньютона приближения  появиться второе приближение корня и так далее.

Установлено, что прибыль учебного заведения вычисляется по формуле Z. При этом прибыль связана нелинейной зависимостью с количеством студентов, принимаемых по контракту. Дать прогноз на К лет о количестве принимаемых студентов по контракту для обеспечения изменения прибыли на Pr%.

K=20, Pr= 30%

Решение задачи сделать следующим образом:

1.      Переменную из формулы Z подобрать с помощью двух вариантов:

1.            Программно, используя методы простой итерации, половинного деления, Ньютона

2.      Результаты работы представить в PowerPoint.

·        В качестве переменной использовать любую переменную из заданных в выражении (выбирать необходимо нелинейную зависимость, а значения остальных переменных выбрать произвольно). Количество точек построения равно K, а интервал изменения переменной подобрать так, чтобы величина изменения функции при изменении переменной составляла Pr%.

·        Из найденного решения по п. 1.1 и 1.2 построить график функции по формуле Z (Таблица 1.1). Для построения графика использовать электронную таблицу Excel из офисного программного обеспечения со сформированными данными из Раscal на диске. Результаты работы сохранить в виде файлов *.pas, *.dat, *.xls. Вид формулы Z, величины Рr, K взять из вариантов по заданию преподавателя

·        Переменные необходимо задать на стадии выполнения программы вводом с клавиатуры или дискового устройства.

·        В программе предусмотреть выходы из возможных некорректных программных прерываний типа (1/0, ln(-2) и т.п.

·        Исходный текст программы и результаты расчетов и построений продублировать на бумажном носителе, оформив их в Word, а график функции в Excel.

Фиксируем левую границу интервала: x₀=4.71; y=1 - const. Для нахождения правой границы необходимо решить уравнение: z(x)=1.3z(x₀) или f=z(x) - 1.3z(x₀)=0. Уравнение решаем в цикле К раз. Решение на каждом шаге является левой границей интервала x₀ для следующего шага.

program d;lambda=-0.01;=0.0000001;=30;=20;=1;t: text;:real;:integer;z (x:real):real;(1+abs (y-sin(x)/cos(x))*x*x=0) then begin('Error');;(n);;:=(3+exp (y-1))/(1+x*x*abs (y-sin(x)/cos(x)));;f (x:real): real;:=z(x) - (1+Pr/100)*z(x0);;df (x:real): real;:=(f (x+0.00001) - f(x))/0.00001;;

{Metod polovinnogo deleniyaя}delenie;a1, b1, x, c: real;: integer;(t, 'C:\20\delenie.txt');(t);(t, ' x ', ' z(x) ');i:=1 to k do begin(t, x0:2:4,' ', z(x0):3:4);:=x0;:=a1*0.9;abs (b1-a1)>=e do begin:=(a1+b1)/2;f(a1)*f(c)<0 then b1:=ca1:=c;;:=c;;(t);;

{Metod Nyutona}newton;x, x1, b:real;:integer;(t, 'C:\20\newton.txt');(t);(t, ' x ', ' z(x) ');i:=1 to k do begin(t, x0:2:4,' ', z(x0):3:4);:=0.9*x0;

x1:=x;:=x1-f(x1)/df(x1);abs (x-x1)<=e;

:=x;;(t);;

{Metod prostoy iteracii}iterac;x, x1, b: real;:integer;(t, 'C:\20\iterac.txt');(t);(t, ' x ', ' z(x) ');i:=1 to k do begin(t, x0:2:4,' ', z(x0):3:4);:=0.9*x0;:=x;:=x1-f(x1)*lambda;abs (x-x1)<=e;:=x;;(t);;

нелинейный уравнение итерация трансцендентный

begin:=4.71; delenie;:=4.71; newton;:=4.71; iterac;.

Вывод

Таблица решений по каждому из методов записана в соответствующие текстовые файлы (delenie.txt, newton.txt, iterac.txt). Все методы сходятся к одним и тем же значениям. Видно, что z(x) на следующем шаге на 30% больше значения на текущем шаге.

Решение на Microsoft Excel.

Задаем x0=4,71. Запишем формулу  и вычислим z(x0). Затем найдем z(x) увеличивая каждое последующее z на 30%. Теперь будем подбирать x с помощью «подбор параметра».

Когда все x и z найдены построим график.

Видно, что задача, решенная четырьмя методами, дает одно и тоже решение. Следовательно, можно предполагать, что она выполнена правильно.