Совершенствование методики преподавания темы 'Арифметическая и геометрическая прогрессии' с позиции активизации познавательной деятельности учащихся

Совершенствование методики преподавания темы 'Арифметическая и геометрическая прогрессии' с позиции активизации познавательной деятельности учащихся

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СЛАВЯНСКИЙ-НА-КУБАНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

факультет математики и информатики

специальность: 032100 - математика; 030100 - информатика

кафедра математики и МПМ

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Совершенствование методики преподавания темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» с позиции активизации познавательной деятельности учащихся

Выполнила

студентка 5 курса, гр. 2000-М

факультета математики и информатики

Тихая Наталья Анатольевна

 

Проверила

старший преподаватель

кафедры математики и МПМ

Генералова Татьяна Валентиновна

Славянск-на-Кубани

2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

урок математика прогрессия познавательная

Введение

Глава 1. Теоретические основы изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе математики средней общеобразовательной школы

§1. Арифметическая прогрессия

§2. Геометрическая прогрессия

Глава 2. Методические рекомендации к изучению темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе математики средней общеобразовательной школы

§1. Психолого-педагогические основы активизации познавательной деятельности учащихся при изучении прогрессий

§2. Примерное тематическое планирование темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

§3. Методические рекомендации к изучению теоретического материала темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

§4. Методические рекомендации к урокам решения задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

§5. Методические рекомендации к урокам повторения, обобщения и систематизации знаний по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

§6. Методические рекомендации к урокам проверки знаний, умений и навыков учащихся по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

§7. Внеклассная работа по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Заключение

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Активизация познавательной деятельности учащихся была и остается одной из вечных проблем педагогики. Еще К.Д. Ушинский в своих трудах подчеркивал, что «не с курьезами и диковинками науки должно в школе занимать дитя, а, напротив - приучить его находить занимательное в том, что его беспрестанно и повсюду окружает». И в настоящее время этот вопрос остается актуальным для всех поколений педагогов и учащихся.

Что же представляет собой познавательная активность?

А.К. Маркова под проявлением познавательной активности понимает «Все виды активного отношения к учению как познанию: наличие смысла, значимости для ребенка учения как познания, все виды познавательных мотивов…» Признавая за учащимися активное начало в познавательном процессе, она утверждает, что на основе этого школьник формируется как субъект учебной деятельности [21].

П.М. Лебедев указывает, что «познавательная активность - это инициативное отношение учащихся к усвоению знаний, а также проявления интереса, самостоятельности и волевых усилий в обучении» [15].

Т.И. Шамова высказала следующее: «Активность в учении… не просто деятельностное состояние школьника, а … качество этой деятельности, в которой проявляется личность ученика с его отношением к содержанию, характеру деятельности и стремлением мобилизовать свои нравственно-волевые усилия на достижение учебно-познавательной цели» [21].

Обращает на себя внимание направленность перечисленных выше определений: они все характеризуют позицию учащегося, поскольку речь идет о его познавательной активности. Между тем активизация познавательной деятельности - это двусторонний процесс. Условия, активизирующие процесс познания, создает прежде всего учитель, а демонстрирует результат этих условий - собственно познавательную активность - ученик.

Сам процесс познания обычно представляют как последовательную цепь: восприятие ð запоминание ð сохранение ð воспроизведение ð интерпретация полученных знаний. Очевидно, что активизация познания может осуществляться на всех последовательных этапах. Но состояние активности как ответной реакции ученика на условия, созданные педагогом, может проявиться и на каком-либо одном из этапов [21].

Итак, познавательную активность можно определить как личностное свойство, которое приобретается, закрепляется и развивается в особым образом организованном процессе познания с учетом индивидуальных и возрастных особенностей учащихся.

Показателями познавательной активности можно назвать стабильность, прилежание, осознанность учения, творческие проявления, поведение в нестандартных учебных ситуациях, самостоятельность при решении учебных задач и т.д.

Степень включенности в учебный процесс и проявления активности учащегося - это динамический, изменяющийся показатель. В силах учителя помочь учащемуся перейти с нулевого уровня на ситуативно активный, а с него на активно исполнительский. И во многом именно от педагога зависит, дойдет ли воспитанник до творческого уровня или предпочтет отсидеться на «камчатке».

Тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе алгебры средней школы изучается обособленно, лишь в девятом классе, мало перекликаясь с другими разделами школьной программы. Но несмотря на это задачи, для решения которых необходимо знать не только формулы п-го члена и суммы первых п членов, но и свойства арифметической и геометрической прогрессий, предлагаются на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы. А для того, чтобы знания ученика были на достаточно высоком уровне, необходимо активизировать его познавательную деятельность при изучении прогрессий. Поэтому теоретические и практические исследования по данной теме представляются актуальными в настоящее время и обусловлены насущными потребностями средних школ различного уровня: как общеобразовательных, так и с математическим уклоном.

В выпускной квалификационной работе объектом исследования является процесс обучения алгебре в средней школе.

Предметом исследования выступает методика изучения прогрессий и ее применение в средней общеобразовательной школе.

Цель данной работы состоит в совершенствовании методики преподавания темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» с позиции активизации познавательной деятельности учащихся.

Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных задач.

1.      Совершенствовать методику изучения прогрессий на основе активизации познавательной деятельности учеников.

2.      Изучить существующие в настоящее время определения, формулы и свойства арифметической и геометрической прогрессий.

.        Создать целостную теоретическую базу по изучению темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

4.      Провести практическую проверку с целью установления эффективности предложенной методики.

Для того чтобы решить поставленные задачи, использовались следующие методы.

.        Анализ научной и методической литературы, а также учебных пособий.

2.      Тщательное изучение и проработка подобранного теоретического и практического материала.

.        Решение задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

.        Изучение и обобщение имеющегося опыта преподавания темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Практическая значимость выпускной квалификационной работы определяется тем, что она может быть использована в качестве научно-методического пособия, которое поможет в преподавании темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе алгебры средней общеобразовательной школы, а также в подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ и вступительных экзаменов в вузы.

ГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

§1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6 и т.д. Получим последовательность 2, 4, 6, … .

Очевидно, что на четвертом месте этой последовательности будет число 8, на десятом - число 20 и т.д. Вообще для любого номера n можно указать соответствующее ему положительное четное число, оно равно 2n.

Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

.

Для любого номера n мы можем узнать соответствующую ему дробь; она равна .

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например,  и т.д. (читают: “ первое,  второе,  третье ” и т.д.). Вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают . Саму последовательность будем обозначать так: ().

Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае её называют конечной. Примером конечной последовательности служит последовательность двухзначных чисел: 10; 11; 12; 13; ...; 98; 99.

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы, выражающей её n-й член как функцию номера n. Такую формулу называют формулой n-го члена последовательности. Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой , а последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, - формулой .

Пример 1. Пусть последовательность задана формулой . Вычислим первые пять её членов.

Подставляя вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, получаем: ,

Пример 2. Пусть первый член последовательности () равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего, т.е.

С помощью формулы  можно по известному первому члену последовательности вычислить второй, затем по известному второму найти третий и т.д. Получим последовательность 3, 9, 81, 6561, … .

Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro - возвращаться) [25].

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21; … . Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Иначе говоря, последовательность () - арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие:

 

, (1)

где d - некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т.е. при любом натуральном n верно равенство: .

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать первый её член и разность.

Приведем примеры.

Пример 1. Если  и d = 1, то получим арифметическую прогрессию: 1; 2; 3; 4; 5; … , члены которой - последовательные натуральные числа.

Пример 2. Если  и d = 2, то получим арифметическую прогрессию: 1; 3; 5; 7; 9; … , которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

Пример 3. Если  и , то заданная арифметическая прогрессия: - 2; - 4; 0; 8; 10; … является последовательностью отрицательных четных чисел.

Пример 4. Если  и , то имеем арифметическую прогрессию: 7; 7; 7; … , все члены которой равны между собой.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т. д. члены. Но для нахождения члена прогрессии с больший номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии

Точно так же находим, что , и вообще, чтобы найти  нужно к  прибавить (n - 1)d, т. е.

(2)

Мы получили формулу n-го члена арифметической прогрессии. Докажем ее методом математической индукции.

1.      При  эта формула верна: .

.        Предположим, что формула (2) верна при , , т.е.

.        По определению арифметической прогрессии . Подставляя сюда выражение для k-го члена, получим , а это есть формула (2) при .

Из принципа математической индукции следует, что формула (2) верна для любого натурального п.

Что и требовалось доказать.

Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

Пример 1. Последовательность  - арифметическая прогрессия, в которой  и . Найдем десятый и сотый член этой прогрессии.

Имеем:

Пример 2. Выясним, является ли число 71 членом арифметической прогрессии : - 10; - 5,5; - 1; 3,5; ... .

В данной арифметической прогрессии  и , . Запишем формулу n-го члена прогрессии:

, т.е. .

Число 71 является членом арифметической прогрессии , если существует такое натуральное числи n, при котором значение выражения (4,5n - 14,5) равно 71. Решим уравнение 4,5n - 14,5 = 71.

Получим: 4,5n = 85,5, п=19.

Значит, число 71 является членом данной арифметической прогрессии.

Формулу n-го члена арифметической прогрессии  можно записать иначе:

Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида , где k и b - некоторые числа.

Верно и обратное: последовательностъ , заданная формулой вида , где k и b - некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Действительно, найдем разность (n+1)-го и n-го членов последовательности :

Значит, при любом n справедливо равенство , и по определению последовательность  является арифметической прогрессией. Заметим, что разность этой прогрессии равна k.

Свойства арифметической прогрессии.

. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т.е. при  верной является формула

 (3)

Действительно, при  имеем  и . Складывая почленно эти равенства, получим , откуда следует (3).

. У конечной арифметической прогрессии  сумма членов, равноотстоящих от ее концов, равна сумме крайних членов, т.е. для  верной является формула

 

 (4)

Действительно, в конечной арифметической прогрессии  члены  и  равноотстоят от концов. По формуле (2)  и  Сумма этих членов равна  и равна сумме крайних членов .

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Покажем, как можно решить, эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.

Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором - в порядке убывания: S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100,

S = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1.

Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, в сумме дает 101. Число таких пар равно 100. Поэтому, сложив равенства почленно, получим:

Итак, 1+ 2 + 3 + …+ 99 + 100 = 5050.

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии.

Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число членов, т.е. если , то

 (5)

Действительно, если , то

.

Складывая почленно эти равенства и используя свойство 2, получаем , откуда следует формула (5) [25].

Приведем примеры.

Пример 1. Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 1; 3,5; ... .

В данной арифметической прогрессии . По формуле n-го члена найдем двадцатый член прогрессии:

Теперь вычислим сумму первых двадцати членов:

.

Заметим, что если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, представленной в другом виде. Подставим в формулу (5) вместо  выражение  получим:  т.е.

 (6)

Если для решения рассмотренной задачи воспользоваться формулой (6), то вычисления будут выглядеть так:

.

Пример 2. Найдем сумму первых тридцати членов последовательности , заданной формулой .

Последовательность  является арифметической прогрессией, так как она задана формулой вида , где k = 5 и .

Найдем первый и тридцатый члены этой арифметической прогрессии:

Теперь по формуле (5) вычислим :

Пример 3. Найдем сумму 1 + 2 + 3 + … + п, слагаемыми в которой являются все натуральные числа от 1 до п .

Применив формулу (5) к арифметической прогрессии 1; 2; 3; ..., получим, что

Пример 4. Найдем сумму всех натуральных чисел, кратных шести и не превосходящих 250.

Натуральные числа, кратные шести, образуют арифметическую прогрессию, которую можно задать формулой . Чтобы выяснить, сколько членов этой прогрессии не превосходит 250, решим неравенство . Получим .

Значит, число членов прогрессии, сумму которых надо найти, равно 41.

Имеем: ,  

§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями: 2; ; ; ; … .

Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.

Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Иначе говоря, последовательность  - геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия:

 и , (1)

где q - некоторое число. Обозначим, например, через  последовaтeльность натуральных степеней числа 2. В этом случае для любого натурального n верно равенство ; здесь .

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любой натуральном n верно равенство:

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Очевидно, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и знаменатель.

Приведем примеры.

Пример 1. Если  и q= 0,1, то получим геометрическую прогрессию: 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ....

Пример 2. Условиями  и q = 3 задается геометрическая прогрессия - 2; - 6; ; - 54; - 162; ... .

Пример 3. Если  и , то имеем прогрессию: 4; - 12; 36; - 103; 324; … .

Пример 4. Если  и q = 1, то получим геометрическую прогрессию 8; 8; 8; … .

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий, а также любой её член:

Точно так же находим, что  и т. д. Вообще, чтобы найти , мы должны b1 умножить на , т. е.

 (2)

Мы получили формулу n-го члена геометрической прогрессии. Докажем ее методом математической индукции.

. Формула (2), очевидно, верна при .

2. Предположим, что она верна и при , т.е.

. Из (1) следует , то есть формула (2) верна и при .

Из принципа математической индукции следует, что формула (2) справедлива для любого натурального п.

Что и требовалось доказать.

Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

Пример 1. В геометрической прогрессии  и . Найдем .

По формуле n -го члена геометрической прогрессии

Пример 2. Найдем восьмой член геометрической прогрессии ,

если  и .

Зная первый и третий члены геометрической прогрессии, можно найти ее знаменатель. Так как ,то

Решив уравнение  найдем, что  или .

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Если , то

Если , то

Задача имеет два решения:  или .

Пример 3. После каждого, движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначальное давление было 750 мм рт. ст.

Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха, то остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения поршня, нужно давление после предыдущего движения поршня умножить на 0,8.

Мы имеем геометрическую прогрессию, первый член которой равен 760, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде ( в мм рт. ст.) после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно .

Произведя вычисления, получим:  (мм рт. ст.).

Свойства геометрической прогрессии.

1. Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних членов, то есть при  верной является формула

 

. (3)

Если все члены геометрической прогрессии положительны, то это свойство формулируется так: каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому его соседних членов, т.е. .

Действительно, при  имеем  и . Перемножая почленно эти равенства, получим . А это и есть равенство (3).

. У конечной геометрической прогрессии  произведение членов, равноотстоящих от ее концов, равно произведению крайних членов, т.е.

 (4)

Действительно, в конечной геометрической прогрессии  члены  и  равноотстоят от концов. По формуле (2)  и . Произведение этих членов  и равно произведению крайних членов . Значит, . А это и есть равенство (4).

Древняя индийская легенда рассказывает, что изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую - в два раза больше, т. е. 2 зерна, на третью - еще в два раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель шахмат?

Число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S:

.

Умножим обе части записанного равенства на знаменатель прогрессии, получим: .

Вычтем из второго равенства первое и проведем упрощения:

, .

Масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма S.

Пусть дана геометрическая прогрессия . Обозначим сумму n первых ее членов через :

 (5)

Умножим обе части этого равенства на q:

Учитывая, что  получим:

 (6)

Вычтем почленно из равенства (6) равенство (5) и приведем подобные члены:

 

Пусть , тогда  (7)

Мы получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой . Если , то все члены прогрессии равны первому члену и  [25].

Заметим, что при решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (7) вместо bn выражение  . Получим:

 если . (8)

Пример 1. Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии , в которой  и .

Так как известны первый член и знаменатель прогрессии, то для решения задачи удобно воспользоваться формулой (8). Получим:

Пример 2. Найдем сумму  , слагаемые которой являются последовательными членами геометрической прогрессии 1; x; ; … .

Первый член прогрессии равен 1, а знаменатель ранен х. Так как  является членом этой прогрессии с номером n, то задача состоит в нахождении суммы n первых её членов. Воспользуемся формулой (7):

Таким oбразом,

Умножим левую и правую части последнего равенства на . Получим тождество

В частности, при  и  приходим к известным формулам:

Пример 3. Найдем сумму шести первым членов геометрической прогрессии , если известно, что  и .

Зная  и , можно найти знаменатель прогрессии q.

Так как  то

Значит,  или

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Если , то  и

Если , то  и

Мы знаем, что число  обращается в бесконечную десятичную периодическую дробь 0,3333... .

Если по аналогии с конечной десятичной дробью разложить бесконечную десятичную дробь 0,3333… по разрядам, то получим сумму с бесконечным числом слагаемых: 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... .

Слагаемые в этой сумме являются членами геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ..., у которой .

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии имеем:

При неограниченном увеличении числа слагаемых n выражение  становится сколь угодно близким к нулю, а значит, и вся дробь  неограниченно приближается к нулю.

Действительно, если n = 2, то  если n = 3, то  если n = 4, то  если n = 5, то  и т.д.

Поэтому при неограниченном увеличении n разность  становится сколь угодно близкой к числу  или, как говорят, стремится к числу .

Таким образом, сумма n первых членов геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ... при неограниченном увеличении п стремится к числу . Это утверждение записывают в виде равенства

.

Число  называют суммой бесконечной геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ... .

Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию  у которой

Запишем формулу суммы п первых членов прогрессии:

Преобразуем выражение в правой части равенства:

Значит,

Можно доказать, что если , то при неограниченном увеличении п множитель  стремится к нулю, а значит, стремится к нулю и произведение  . Поэтому при неограниченном увеличении п сумма S, стремится к числу  .

Число  называют суммой бесконечной геометрической прогрессии , у которой .

Это записывают так:

Обозначив сумму прогрессии  буквой S, получим формулу

 (9)

Заметим, что если  то сумма п первых членов геометрической прогрессии Sn при неограниченной увеличении п не стремится ни к какому числу. Бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму только при .

Пример 1. Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии 12; - 4; ; ….

У этой прогрессии . Значит, условие  выполняется. По формуле (9) получим:

Пример 2. Дан квадрат, сторона которого равна 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. Найдем сумму площадей всех квадратов.

Из геометрических соображений ясно, что площадь каждого следующего квадрата равна половине площади предыдущего. Таким образом, последовательность площадей квадратов является геометрической прогрессией, первый член которой равен 16, а знаменатель равен . Найдем сумму этой геометрической прогрессии:

Значит, сумма площадей всех квадратов равна 32 см2.

Пример 3. Представим бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(18) в виде обыкновенной дроби.

Запишем число 0,(18) в виде суммы: .

Слагаемые в правой части равенства - члены геометрической прогрессии, у которой первый член равен 0,18, а знаменатель равен 0,01, т.е. . Найдем сумму этой прогрессии:

Значит,

Заметим, что аналогичным образом можно представить в виде обыкновенной дроби любую бесконечную десятичную периодическую дробь [25].

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ» В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

§1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АКТИВИЗАЦИИ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПРОГРЕССИЙ

Изучение прогрессий в средней общеобразовательной школе происходит в 9 классе. В соответствии с возрастной периодизацией - это дети подросткового и раннего юношеского возраста. В 9 классе средней общеобразовательной школы развитие познавательных процессов детей достигает такого уровня, что они оказываются практически готовыми к выполнению всех видов умственной работы взрослого человека, включая самые сложные. Познавательные процессы школьников приобретают такие качества, которые делают их совершенными и гибкими, причем развитие средств познания несколько опережает собственно личностное развитие детей [27].

В подростковом и юношеском возрасте активно идет процесс познавательного развития. В это время оно происходит в основном в формах, мало заметных как для самого ребенка, так и для внешнего наблюдателя.

Подростки и юноши уже могут мыслить логически, заниматься теоретическими рассуждениями и самоанализом. У девятиклассников уже отмечается способность делать общие выводы на основе частных посылок и, напротив, переходить к частным умозаключениям на базе общих посылок, т.е. способность к индукции и дедукции. Именно поэтому при изучении формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий, а также формул суммы п первых членов прогрессий, для их доказательства нужно использовать метод математической индукции.

К этому возрасту дети усваивают многие научные понятия, обучаются пользоваться ими в процессе решения различных задач. Это означает сформированность у них теоретического или словесно-логического познавательных процессов. Поэтому изложение темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» преподается на достаточно высоком уровне абстракции.

Особенно заметным в эти годы становится рост сознания и самосознания детей, представляющий собой существенное расширение сферы осознаваемого и углубление знаний о себе, о людях, об окружающем мире. Развитие самосознания ребенка находит свое выражение в изменении мотивации основных видов деятельности: учения, общения и труда. Прежние «детские» мотивы, характерные для младшего школьного возраста, теряют свою побудительную силу. На месте их возникают и закрепляются новые, «взрослые» мотивы, приводящие к переосмыслению содержания, целей и задач деятельности. Хотя игра и является «детским» мотивом, но при изучении прогрессий она способствует активизации познавательной деятельности учащихся, способствует увеличению заинтересованности учеников в результатах своей деятельности по усвоению материала.

В подростковом возрасте активно совершенствуется самоконтроль деятельности, являясь вначале контролем по результату или заданному образцу, а затем - процессуальным контролем, т.е. способностью выбирать и избирательно контролировать любой момент или шаг в деятельности, что можно использовать при организации проверки знаний учащихся по вопросам прогрессий. Вплоть до юношеского возраста у многих детей еще отсутствует способность к предварительному планированию деятельности, но вместе с тем налицо стремление к саморегуляции. Оно, в частности, проявляется в том, что на интересной, интеллектуально захватывающей деятельности или на такой работе, которая мотивирована соображениями престижности, подростки могут длительное время удерживать внимание, быть в состоянии переключать или распределять его между несколькими действиями и поддерживать довольно высокий темп работы. Именно поэтому при изучении темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в девятом классе необходимо использовать методы активизации познавательной деятельности учащихся, рекомендовать творческие задания, подготовку рефератов, докладов, проведение исследовательской работы по данной теме. Например, на уроках решения задач на прогрессии можно использовать нестандартные задачи (практического, экономического или исторического характера, а также в виде кросснамберов).

В подростковом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Активно начинает развиваться логическая память, и скоро она достигает такого уровня, что ребенок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредствованной памяти. Как реакция на более частое практическое употребление в жизни логической памяти замедляется развитие механической памяти. У подростков возникают проблемы с запоминанием, и жалобы на плохую память намного чаще, чем у младших школьников. Наряду с этим появляется интерес подростков к способам улучшения запоминания. Поэтому при рассмотрении теоретического материала по прогрессиям необходимо использовать схемы, позволяющие облегчить процесс запоминания теоретических аспектов изучения темы.

А.Н.Леонтьев исследовал, как идет развитие двух основных видов памяти - непосредственной и опосредственной - в течение детства и установил особенности их преобразования в старшем школьном возрасте. Он показал, что с увеличением возраста идет постепенное улучшение непосредственного запоминания, причем быстрее, чем опосредствованного. Одновременно с этим от дошкольного к младшему школьному возрасту увеличивается разрыв, существующий между продуктивностью непосредственного и опосредствованного запоминания. Затем - уже в подростковом и юношеском возрасте - прирост продуктивности непосредственного запоминания замедляется, и одновременно с этим увеличивается продуктивность опосредствованного запоминания [28].

С возрастом меняются и отношения между памятью и мышлением. В раннем детском возрасте память является одной из основных психических функций, и в зависимости от нее строятся все остальные психические процессы. Мышление ребенка в этом возраста во многом определяется его памятью: мыслить - значит вспоминать. В младшем школьном возрасте мышление обнаруживает высокую корреляцию с памятью и развивается в непосредственной зависимости от нее. Решающий сдвиг в отношениях между памятью и другими психическими функциями происходит в подростковом возрасте. Исследования памяти детей данного возраста показали, что для подростка вспоминать - значить мыслить. Его процесс запоминания сводится к мышлению, к установлению логических отношений внутри запоминаемого материала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этим отношениям, поэтому при изучении формул, свойств важно, чтобы ученики понимали идею, смысл, логику их получения.

Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причем как в практическом плане (трудовые умения и навыки), так и в теоретическом (умение мыслить, рассуждать, пользоваться понятиями). Еще одной чертой, которая впервые полностью раскрывается именно в подростковом возрасте, является склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании все принимать на веру. Подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением все самостоятельно перепроверить, лично удостовериться в истинности. К началу юношеского возраста такое желание несколько уменьшается, и вместо него появляется больше доверия к чужому опыту, основанного на разумном отношении к его источнику. Следовательно, при изучении прогрессий с сильными учениками полезна исследовательская работа, успешно рассматривается поиск применения прогрессий к решению текстовых задач практического характера.

Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны. В этой связи подростки на людях стремятся брать на себя наиболее сложные и престижные задачи, нередко проявляют не только высокоразвитый интеллект, но и незаурядные способности. Для них характерна эмоционально-отрицательная аффективная реакция на слишком простые задачи. Такие задачи их не привлекают, и они отказываются их выполнять из-за соображений престижности. Именно поэтому на уроках, посвященных решению задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», необходимо использовать нестандартные задачи: исторического и практического характера, повышенной трудности, из сборников по подготовке к ЕГЭ.

В основе повышенной интеллектуальной и трудовой активности подростков лежат не только указанные выше мотивы. За всем этим можно усмотреть и естественный интерес, повышенную любознательность детей данного возраста. Вопросы, которые задает подросток взрослым детям, учителям и родителям, нередко достаточно глубоки и касаются самой сути вещей [28].

Подростки могут формулировать гипотезы, рассуждать предположительно, исследовать и сравнивать между собой различные альтернативы при решении одних и тех же задач, поэтому при изучении прогрессий целесообразно применение методов проблемного обучения (эвристический, исследовательский, проблемного изложения). Сфера познавательных, в том числе учебных, интересов подростков выходит за пределы школы и приобретает форму познавательной самодеятельности - стремления к поиску и приобретению знаний, к формированию полезных умений и навыков. Подростки находят занятия и книги, соответствующие их интересам, способные дать интеллектуальное удовлетворение. Стремление к самообразованию - характерная особенность и подросткового, и раннего юношеского возраста.

Самостоятельность мышления проявляется в независимости выбора способа поведения. Подростки и особенно юноши принимают лишь то, что лично им кажется разумным, целесообразным и полезным. Именно поэтому можно давать учащимся задания, углубляющие и расширяющие тему с использованием современных средств обучения таких, например, Internet.

В подростковом и раннем юношеском возрасте завершается формирование мышления. В эти годы мысль окончательно соединяется со словом, в результате чего образуется внутренняя речь как основное средство организации мышления и регуляции других познавательных процессов. Интеллект, в своих высших проявлениях, становится речевым, а речь - интеллектуализированной. Возникает полноценное теоретическое мышление. Наряду с этим идет активный процесс формирования научных понятий, содержащих в себе основы научного мировоззрения человека в рамках тех наук, которые изучаются в школе. Приобретают окончательные формы умственные действия и операции с понятиями, опирающиеся на логику рассуждений и отличающие словесно-логическое, абстрактное мышление от наглядно-действенного и наглядно-образного [28].

Ускоренного формирования понятий по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» можно добиться на уроках алгебры, где соответствующие понятия вводятся и изучаются. При представлении учащемуся любого из этих понятий важно обратить внимание на следующие моменты:

а)      почти каждое понятие имеет несколько значений;

б)      обычные слова из повседневно используемого языка, который употребляется и для определения научных понятий, многозначны и недостаточно точны для того, чтобы определить объем и содержание научного понятия. Поэтому любые определения понятий через слова обыденного языка могут быть только приблизительными;

в)      отмеченные свойства допускают как вполне нормальное явление существование различных определений одних и тех же понятий, не полностью совпадающих друг с другом;

г)       для одного и того же человека по мере его развития, а также для науки и представляющих ее ученых по мере их проникновения в суть изучаемых явлений объем и содержание понятий, естественно, меняются. Произнося одни и те же слова через значительный период времени, мы обычно вкладываем в них несколько различный, со временем меняющийся смысл.

Из этого следует, что учащиеся не должны механически учить и повторять застывшие определения научных понятий. Необходимо добиваться того, чтобы сами учащиеся находили и давали определения этих понятий. Это, несомненно, ускорит процесс развития понятийной структуры мышления у девятиклассников, что мы наблюдаем в процессе изучения прогрессий.

Становлению внутреннего плана действий могут помочь специальные упражнения, направленные на то, чтобы одни и те же действия как можно чаще совершались не с реальными, а с воображаемыми предметами, т.е. в уме. Например, при решении задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» следует побуждать учащихся к тому, чтобы они больше считали не на бумаге или с помощью калькулятора, а про себя, находили и четко формулировали принцип и последовательные шаги в решении задачи прежде, чем практически приступят к реализации найденного решения. Надо придерживаться правила: до тех, пор, пока решение до конца не продумано в уме, пока не составлен план включенных в него действий и пока он не выверен на логичность, к практическому осуществлению решения не следует приступать. Этими принципами и правилами необходимо пользоваться на уроках математики, тогда и внутренний план действий будет формироваться у учащихся быстрее.

Три представленных основных направления ускоренного развития теоретического интеллекта, конечно, не существуют независимо друг от друга, и формировать каждое из них в отдельности вне связи с остальными нельзя. Развитие речевого мышления так или иначе сказывается на развитии понятий и внутреннего плана действий. Изменения, происходящие во внутреннем плане действий, связаны с развитием внутренней речи, положительно влияют на речевое мышление и на формирование понятий. И так далее. Поэтому всю работу по интеллектуальному развитию подростков и юношей необходимо вести комплексно, подбирая упражнения и рассчитывая предлагаемые задания таким образом, чтобы они развивали интеллект по всем его важнейшим направлениям.

У практического интеллекта, кроме связанной с этим названием способности решать практические задачи, есть и другие атрибуты: здравый смысл, смекалка, «золотые руки», интуиция. Долгое время развитием этих сторон интеллекта ребенка школа относительно пренебрегала или сводила их главным образом к приобретению учащимися элементарных трудовых умений и навыков, относящихся к малоквалифицированной работе. В условиях перехода к рыночным отношениям и самостоятельной экономической деятельности людей значение практического интеллекта особенно возрастает, так как каждому человеку теперь необходимо вести расчетливый и продуманный образ жизни [28].

В структуру практического интеллекта входят следующие качества ума: предприимчивость, экономность, расчетливость, умение быстро и оперативно решать возникающие задачи. Предприимчивость на уроках математики проявляется в том, что при решении сложной, нестандартной задачи ученик способен находить несколько ее решений, а главное - в том, что какая бы задача перед ним ни возникла, он всегда способен отыскать ее оптимальное решение [7].

Экономность как качество практического ума состоит в том, что обладающий этим качеством человек в состоянии найти такой способ действия, который в сложившейся ситуации с наименьшими затратами и издержками приведет к нужному результату.

Расчетливость проявляется в умении заглядывать далеко вперед, предвидя последствия тех или иных решений и действий, точно определять их результат и оценивать, чего он может стоить.

Наконец, умение оперативно решать поставленные задачи - это динамическая характеристика практического интеллекта, проявляющаяся в количестве времени, которое проходит с момента возникновения задачи до ее практического решения.

Развитым можно считать такое практическое мышление, которое обладает всеми указанными свойствами. Насколько развит этот вид мышления можно проверить во время нестандартных уроков, проводимых, например, в виде дидактической игры «Восхождение на пик Знаний», описанной далее в §5.

Подростковый и ранний юношеский возраст характеризуется продолжающимся развитием общих и специальных способностей детей на базе основных ведущих видов деятельности: учения, общения и труда. В учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Это происходит за счет усвоения понятий, совершенствования умения пользоваться ими, рассуждать логически и абстрактно. Значительный прирост предметных знаний создает хорошую базу для последующего развития умений и навыков в тех видах деятельности, где эти знания практически необходимы. Таким образом, учителю при изучении прогрессий нужно четко знать указанные ориентиры и использовать упомянутые возможности при обучении школьников [28].

В труде подростков идет активный процесс становления тех практических умений и навыков, которые в будущем могут понадобиться для совершенствования профессиональных способностей [20].

Подростковый и ранний юношеский возраст является достаточно сензитивным для развития всего комплекса разнообразных способностей, и степень практического использования имеющихся здесь возможностей влияет на индивидуальные различия, которые к концу этого возраста, как правило, увеличиваются.

Подростковый и ранний юношеский возраст - это время профессионального самоопределения. Очень важно именно в эти годы окончательно выявить и по мере возможностей развить те способности, на основе которых юноше можно было бы разумно и правильно осуществить выбор профессии. Общие положения, лежащие в основе развития способностей в эти годы, следующие.

. За предшествующие годы жизни организм ребенка физически окреп и созрел. Из этого с учетом длительного опыта обучения и участия ребенка в различных видах деятельности следует, что имеющиеся у него задатки так или иначе уже могли проявиться, и вся дальнейшая его судьба в основном будет зависеть от их эффективного использования.

2. Осознание имеющихся задатков и способностей предполагает их специальное исследование. Такое обследование должен пройти каждый ребенок не позже шестого-седьмого класса школы.

3. Использование имеющихся задатков и уже проявивших себя способностей означает необходимость их развития в процессе специальным образом организованного обучения. Начиная со средних классов школы наряду с общеобразовательным должно быть организовано и специальное обучение детей, профессионально ориентирующее их в соответствии с имеющимися задатками и способностями на выбор вида и рода занятий, причем на добровольной основе.

Это не означает, что необходимо уменьшать или сокращать количество часов, отводимых на изучение общеобразовательных предметов. Без них не будут должным образом развиваться общие интеллектуальные способности как одна из основ будущей любой профессиональной работы. Это означает лишь то, что профессионализация обучения с одновременной его дифференциацией по способностям должна вводиться параллельно и в дополнение к общеобразовательной программе.

§2. ПРИМЕРНОЕ ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ТЕМЫ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТИРЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ»

Тематическое планирование, предлагаемое в основной части работы, составлено по учебнику Макарычева Ю.Н. и др. «Алгебра» для 9 класса общеобразовательных учреждений под редакцией Теляковского С.А. Уроки алгебры в 9 классе проводятся 3 часа в неделю. Всего на тему «Арифметическая и геометрическая прогрессии» отводится 14 часов из 30 часов в третьей четверти [33].

№ урока	Тема и содержание урока
1	Последовательности: введение понятия, члены и способы задания рассматриваются на конкретных примерах
2	Урок-лекция «Сравнение арифметической и геометрической прогрессий» (определение, формула п-го члена с выводом, характеристическое свойство)
3	Формула суммы п первых членов арифметической прогрессии (два варианта формулы). Вычисление конечных сумм
4	Решение задач с использованием формул арифметической прогрессии (с использованием работы в парах переменного состава)
5	Урок-игра «Арифметическая прогрессия» (применение знаний и умений, повторение и обобщение)
6	Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии. Вычисление конечных сумм
7	Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии при
8	Решение задач с использованием формул геометрической прогрессии
9	Урок-улей «Геометрическая прогрессия» (применение знаний и умений, повторение и обобщение)
10	Решение задач с практическим содержанием на прогрессии
11	Решение нестандартных задач на прогрессии
12, 13	Арифметическая и геометрическая прогрессии (обобщение и систематизация)
14	Контрольная работа по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Данное примерное тематическое планирование предлагается для думающего, интересующегося математикой класса. Его главным отличием от общепринятого является то, что изучение арифметической и геометрической прогрессий предлагается параллельно, а это, учитывая возрастные особенности учащихся, способствует активизации их познавательной деятельности.

§3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ТЕМЫ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ»

Учение о прогрессиях является существенной, хотя и несколько изолированной от остальных разделов, частью курса алгебры.

Знакомство учащихся с прогрессиями происходит в курсе алгебры девятого класса в теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». На эту тему по программе общеобразовательных классов отводится 14 часов. Для изучения арифметической прогрессии отводится 6 часов, геометрической - 7 часов, но соотношение часов может варьироваться по усмотрению учителя [33].

Основная цель этой темы - дать понятие об арифметической и геометрической прогрессиях как числовых последовательностях особого вида.

Для сильного, думающего, увлеченного математикой класса, обучающегося в обычной школе, можно провести изучение арифметической

и геометрической прогрессий параллельно, основываясь на примерном тематическом планировании, предложенном в §2.

На первом уроке темы необходимо разъяснить смысл понятий последовательность, п-й член последовательности, выработать умение использовать индексные обозначения.

Для более сильных учащихся можно ввести строгое определение последовательности как функции натурального аргумента, понятие области определения и области значений такой функции, графическое изображение последовательности. На этом же уроке уместно показать различные способы задания последовательности, используя задания типа №329,334,336,337 учебника «Алгебра, 9» Макарычева Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. под редакцией Теляковского С.А. [25].

№329. Выпишите несколько первых членов последовательности натуральных чисел, кратных 3. Укажите ее первый, пятый, десятый, сотый и п-й члены.

Решение. Формула общего члена данной последовательности имеет вид: , где п - натуральные числа. Значит, , , , а п-й член указан ранее.

Ответ: 3, 15, 30, .

№334 (а). Найдите первые шесть членов последовательности, заданной формулой п-го члена: .

Ответ: 1, 3, 5, 7, 9, 11.

№336 (а). Вычислите второй, третий, четвертый и пятый члены последовательности , если известно, что первый член равен 10, а каждый следующий на 3 больше предыдущего, т.е.  и .

Решение. Учитывая данные условия, получаем: , , , .

Ответ: 13, 16, 19, 22.

№337 (а). Выпишите первые пять членов последовательности , если , .

Решение. Используя заданные условия, получаем: , , , . Значит, первые пять членов заданной последовательности имеют вид: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

Сведения, полученные учащимися на первом уроке темы, используются при введении понятия арифметическая и геометрическая прогрессия, выводе формул п-го члена и суммы п членов для каждой из прогрессий.

Прогрессии (арифметическая и геометрическая) являются простейшими примерами последовательностей, заданных рекуррентным способом. На это обстоятельство сразу следует обратить внимание учащихся и использовать его, формулируя определение прогрессий.

Так, арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением .

Если последовательность вводится рекуррентным способом, то, как известно, для полного ее задания нужно указать начальные члены; в частности, для арифметической прогрессии нужно задать первый ее член. Итак, арифметическая прогрессия будет определена полностью, если заданы ее первый член и разность. Арифметическая прогрессия с первым членом  и разностью d определяется индуктивно условиями:  и .

Полезно обратить внимание учащихся на то, что натуральные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 1 и : 1, 2, 3, 4 ... .

Геометрическая прогрессия по определению также представляет собой последовательность, задаваемую следующим рекуррентным соотношением: , т.е. задается условиями:  и .

Первое знакомство учащихся с прогрессиями (как арифметической, так и геометрической) можно начать с конкретных примеров нескольких последовательностей, среди которых имеются, например, арифметические прогрессии. Рассматривая эти примеры, учащиеся могут выявить характеристические свойства последовательностей некоторого вида, которые учитель затем называет арифметическими прогрессиями и предлагает учащимся самостоятельно сформулировать определение такой прогрессии.

Следует указать учащимся, что любую постоянную последовательность, каждый член которой принимает значение, равное числу с, можно рассматривать и как арифметическую прогрессию с разностью , и как геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1.

В зависимости от значения разности прогрессии d (или знаменателя прогрессии q) характер поведения членов прогрессии различен. Так, арифметическая прогрессия будет возрастающей, если , и будет убывающей, если d < 0.

Несколько сложнее обстоит дело с геометрической прогрессией. Поэтому характер поведения геометрической прогрессии в зависимости от значений q следует разобрать с учащимися более детально, например, по такому плану:

) Пусть q > 1, тогда члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и возрастают по модулю.

Пример 1. 1, 3, 9, 27, 81, ... (т. е. , q = 3), или - 2, - 8, - 32, ... (т. е.  ).

) Если , то члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и убывают по модулю.

Пример 2.  , или  .

) Пусть , тогда члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, возрастающие по модулю,

Пример 3. - 3, 6, - 12, 24, ... .

) Если , то члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, убывающие по модулю.

Пример 4. - 8, 1, .

) При q = 1 все члены геометрической прогрессии одинаковы, т. е. , а при  все члены геометрической прогрессии отличаются друг от друга лишь знаками, т.е.  [17].

Остановимся теперь на выводе формулы общего члена прогрессии. Опыт работы преподавателей показывает, что вывод формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий не вызывает затруднений у учащихся, поэтому в классе работу по выводу формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий можно провести на уроке-лекции по введению и самостоятельному приобретению новых знаний «Сравнение арифметической и геометрической прогрессий» самостоятельно по вариантам, а затем сделать вывод и записать формулы  и . На этом же уроке учитель подводит учащихся к характеристическим свойствам прогрессий с помощью трех заданий, предлагаемых ученикам последовательно.

) Найти среднее арифметическое (геометрическое) чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными в порядке возрастания. Образуют ли эти числа арифметическую (геометрическую) прогрессию?

) Справедлива ли эта зависимость для трех последовательных членов рассматриваемых последовательностей?

а)  (для арифметической прогрессии);

б)  (для геометрической прогрессии).

) Доказать, что для членов прогрессий справедлива закономерность:

а)  (для арифметической прогрессии);

б) ,  (для геометрической прогрессии).

Вывод суммы первых n членов арифметической или геометрической прогрессий способом, предложенным в учебном пособии Макарычева, не вызывает у учащихся затруднений, но чтобы эта работа заинтересовала учащихся, им можно рассказать предание о маленьком Карле Гауссе, будущем немецком короле математики, решившим в десятилетнем возрасте очень быстро задачу о нахождении суммы первых ста натуральных чисел, а затем поставить перед учениками проблему: «Как смог найти сумму ста натуральных чисел десятилетний мальчик?». Далее необходимо отметить, что с помощью рассуждений, аналогичных проведенным при решении выше указанной проблемы, можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии. После этого следует приступить к выводу формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии. Для хорошо успевающего по математике класса эту работу можно дать в форме задачи, а затем обсудить полученные результаты в виде двух вариантов формулы и сделать вывод. При изучении формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии сначала можно рассказать древнюю индийскую легенду об изобретателе шахмат Сете, затем рекомендуется поставить проблему перед учащимися следующего содержания: «Сколько зерен должен был получить Сета за свое изобретение?» Дальнейшая работа по выводу формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии проводится аналогично работе с формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Необходимым условием приобретения умений решать задачи и примеры с прогрессиями является знание всех формул из этой темы и наличие навыков их преобразования. Поэтому на практике необходимо уделять особое внимание приемам, позволяющим повышать эффективность усвоения учащимися формул и выражать из них неизвестные величины.

Рассмотрим некоторые формы отработки знаний формул темы «Прогрессии», позволяющие активизировать познавательную деятельность учащихся.

1. Дидактическая карточка «Эстафета формул»

При изучении нескольких формул темы «Прогрессии» целесообразно применение дидактических карточек «Эстафета формул». На листе бумаги в столбик записаны формулы, в которых вместо какой-либо величины вырезан круг. Карточку удобно оформлять в виде перфокарты со сменной бумажной полоской-подложкой. Заполняется карточка так: вписывая в первую формулу недостающую величину, её же записывают во вторую формулу, туда, куда показывает стрелка. Процедура продолжается, пока не будут заполнены все пропуски. Так, например, на рис. 3.1 представлена карточка «Эстафета формул», применяемая при изучении арифметической прогрессии.

Правильность заполнения карточки проверяется с помощью заготовленной подложки-ключа. Для описанной карточки подложка-ключ представлена на рис. 3.2.

       

Рис. 3.1                                  Рис. 3.2

Достоинств у дидактических карточек «Эстафеты формул» несколько. Во-первых, это нетрадиционный способ работы с формулами, что, несомненно, привлекает внимание учащихся. Во-вторых, формы работы с карточками «Эстафета формул» могут быть разнообразны. Возможно заполнение карточки одним учеником, при этом проверяется знание им формул данной темы. Приемлема организация групповой работы, когда учащиеся поочередно записывают пропущенные величины в формулы, связанные в общую цепочку. В этом случае у учащихся возникает чувство ответственности перед товарищами за выполнение своего задания, потому что от правильности записи одной формулы зависит верность заполнения дальнейших пропусков. В-третьих, проверка выполнения заданий очень проста и оперативна, поэтому она может быть осуществлена даже учащимися.

В приложении 1 приводятся примеры еще трех карточек этого вида.

2. «Математическая электровикторина»

Отработка знания формул и умения работать с ними может быть осуществлена с помощью математической электровикторины.

Электровикторина представляет собой коробку, внутри которой собрана электрическая схема (рис. 3.3). Передняя панель (рис. 3.4) имеет ряды гнезд, съёмные карточки с формулами, изучаемыми в теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»; справа расположена лампочка, соединённая внутри коробки с гальваническим элементом. От этой цепи лампочка- гальванический элемент отходят длинные мягкие провода, оканчивающиеся металлическими контактами. Слева на карточках расположены вопросы, справа в беспорядке, но в соответствии со схемой, - ответы на них.

Работа с математической электровикториной обычно организуется в парах. При этом учащиеся выполняют задания и контролируют правильность выполнения. Правила следующие: учащийся вставляет один штырь в левое гнездо, читает вопрос, ищет справа ответ и вставляет в его гнездо второй штырь от провода. Если ответ выбран правильно, то лампочка загорится. Другой ученик по количеству верных ответов выставляет оценку отвечающему. Затем ребята меняются ролями.

В таблице 3.1 приводится содержание карточки «Математическая электровикторина» по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», которая может быть использована на уроках после изучения всего теоретического материала темы.

Рис. 3.3                                            Рис. 3.4

Таблица 3.1

п-й член арифметической прогрессии

разность арифметической прогрессии

сумма первых п членов арифметической прогрессии  

сумма бесконечной геометрической прогрессии , при

характеристическое свойство арифметической прогрессии

характеристическое свойство геометрической прогрессии

(п-1)-й член геометрической прогрессии

п-й член геометрической прогрессии

знаменатель геометрической прогрессии

сумма первых п членов геометрической прогрессии

Данные формы отработки знания формул и умения работать с ними могут быть использованы также при изучении других тем школьного курса математики.

§4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К УРОКАМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ»

Не будет большим преувеличением утверждение о том, что жизненная деятельность человека и всего общества состоит из каждодневного решения различных задач во всем многообразии их содержания, роли и применяемых методов решения. Большинство из этих поставленных задач решается человеком и всем обществом в процессе целенаправленной деятельности. Некоторые из этих задач возникают случайно и требуют от человека принятия решения в незапланированном порядке, вне зависимости от готовности и умения отдельного индивидуума решать их направленно. Решение многих задач требует от человека хорошо развитой способности к творческой деятельности или, по крайней мере, способности и умения отыскать в данных условиях более или менее оптимальное решение. Поэтому неудивительно то, что большое значение, которое современная наука придает изучению процесса человеческой деятельности как в сфере производства, так и в обучении.

Если понятие математической задачи трактуется достаточно широко, то решение задач является единственной возможностью для математической деятельности учащихся. Умение решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой состояния математического мышления учащихся, уровня их математического образования.

Если сравнивать обучение решению математических задач в школе с обучением какому-либо мастерству, то можно легко обнаружить, что в период обучения профессиональному мастерству работа учащегося носит явно учебный характер: ученик учится обращению с инструментом при изготовлении учебных деталей. Каждая изготовленная им деталь подвергается критическому осмотру мастера, который указывает на допущенные дефекты иобъясняет, как следует обращаться с инструментом, чтобы не допускать их в дальнейшем. Самое главное заключается в том, что ученик полностью сознает учебный характер своей деятельности, старается усвоить именно те приемы работы и овладеть лучше именно тем инструментом, которые ему будут особенно необходимы в самостоятельной деятельности.

Но при обучении учащихся математической деятельности почти все учащиеся средней общеобразовательной школы считают, что если предложенная им математическая задача решена верно, если полученный ответ совпадает с ответом, данным в учебнике, или одобрен учителем, то работа их окончена, о решенной задаче можно и нужно забыть.

Таким образом, учащиеся забывают об обучающем характере каждой задачи, решаемой в процессе обучения, о том, что всякая задача должна учить их умению ориентироваться в различных проблемных ситуациях, обогащать их знания и опыт, учить их математической деятельности.

Естественно, что в процессе решения задач учащиеся накапливают определенные сведения, относящиеся к конкретным проблемным ситуациям или приемам решения. Однако для эффективной работы над решением новой задачи, в новых условиях необходимо, чтобы полученный ими ранее опыт был должным образом упорядочен. Необходимо, чтобы информация различного рода, получаемая учащимися в процессе решения задачи, критически ими оценивалась, чтобы подводился своеобразный итог после каждой решенной задачи.

Важно отметить, что такого рода деятельность выступает как одна из характеристик полноценного мышления. Так, известный психолог С.Л.Рубинштейн считал, что мышление - это актуализация и применение знаний, которые являются единым процессом актуализации. Под процессом актуализации понимается выбор из прошлого опыта нужных сведений и методов и использование их в новых условиях.

Итак, проявляя в традиционной методике обучения решению задач значительную заботу о применении математических знаний при решении задач и не обращая внимания на процесс актуализации этих знаний, учителя нарушают единство процесса математического мышления и поэтому не могут обеспечить его должного развития у учащихся.

Подавляющее большинство задач традиционного школьного курса математики были шаблонными упражнениями тренировочного характера, которые по существу не имеют право на название «задача».

Д.Пойа справедливо писал: «Есть задачи и задачи, и всевозможные различия между ними. Но наиболее важное для учителя отличие - это различие между шаблонными и нешаблонными задачами».

Выделяя два основных типа шаблонных задач - «задачи по одному правилу под носом» и «словарные задачи», Д.Пойа говорил: «Шаблонные задачи, даже двух только что описанных типов, могут быть полезными и даже необходимыми, если они даны в правильное время и в правильной дозе…»

К числу недостатков в постановке задач, характерных для традиционного обучения математике, можно отнести, например, следующие:

1)      излишняя стандартизация содержания и методов решения задач в традиционном обучении;

2)      увеличение числа решаемых школьниками стандартных задач в ущерб их обучающему качеству;

)        излишне узкое понимание роли и целевого назначения математической задачи в процессе обучения;

)        несовершенство методики обучения через задачи;

)        несоответствие постановки задач и их решений в школе закономерностям развивающего мышления;

)        увеличение обучением решению таких задач или таких упражнений, которые в дальнейшем практически не находят приложений ни в процессе изучения основ наук, ни в практике;

)        обучение школьников через задачи таким умениям и навыкам, которые в современной практической деятельности почти не применяются;

)        отсутствие в школьном курсе математики задач, решение которых могло бы подготовить школьника к деятельности, характерной для современного производства;

)        отсутствие четких критериев учебной значимости каждой задачи, поставленной в процессе обучения, критерия, способного установить необходимое число задач какого-либо типа для достижения реализуемой через них цели обучения, и т.д. [18].

Таким образом, явно видны методический и психологический аспекты проблемы постановки задач в процессе обучения математике.

Как правило, традиционные школьные математические задачи таковы, что требуют для своего решения определенных знаний, умений или навыков по узкому вопросу программного материала. Поэтому роль и значение их исчерпывается в течение того непродолжительного времени, которое отводится на изучение этого вопроса программы. При этом вспомогательная роль таких задач в процессе обучения не является секретом ни для учащихся, ни для учителя: проиллюстрировать изучаемый теоретический вопрос, разъяснить его смысл, помочь усвоить изучаемый факт через простейшие упражнения, выполняемые по образцу, продиктованному теорией, и только.

Память учащихся, как и память любого другого человека, обладает спонтанной избирательностью, и потому то, что было явно второстепенно, забывается в первую очередь.

Итак, несмотря на значительные затраты учебного труда и времени на решение таких задач в школе, не достигаются ожидаемые результаты у значительного числа выпускников средней общеобразовательной школы.

Если провести весьма несложные вычисления, то нетрудно убедиться в том, что за время обучения в школе учащийся решает около 15 000 задач и упражнений. И, несмотря на это, при поступлении в любой институт около половины выпускников не справляются с решением экзаменационных задач, являющихся почти точной копией тех, которые они решали во время обучения в школе [18].

Нередко бывает и так, что тот математический факт, который обслуживается данным циклом задач и упражнений, теряется среди обилия искусственно придуманных задач. Больше того, иногда тот или иной цикл задач вырождался в некоторую самостоятельную учебную единицу и даже вытеснял из программы те или иные теоретические вопросы немалой познавательной ценности. Простейшим примером тому являлись до недавнего времени типовые арифметические задачи.

Отрицательная обучающая роль многих типовых арифметических задач признана сейчас всеми, кто занимается обучением математике. Как ни странно, но именно нестандартные (весьма трудные для решения в школе) задачи, которые теперь почти исключены из практики обучения, имеют все же практический смысл [5].

Не вдаваясь здесь в детализацию целей обучения решению задач и обучения через задачи в школьном курсе математики, укажем лишь на два связанных с ними аспекта.

Прежде всего, совершенно ясно, что в школьном обучении должны быть представлены (они и представлены) в достаточном числе такие задачи и упражнения, решения которых способствуют глубокому пониманию и прочному усвоению школьниками той системы математических знаний и умений, которые предусмотрены программой. Понятно, что в школьном курсе математики должны быть в достаточном объеме представлены и упражнения, направленные на формирование тех или иных математических навыков.

Однако место, которое эти задачи и упражнения должны занимать в обучении математике, должно быть соразмерно с желаемым результатом обучения и его значимостью во всей системе школьного математического образования.

То учебное время и та «учебная энергия» школьников, которые высвободятся в результате построения системы-минимума традиционных задач и упражнений, могут быть использованы с большой пользой на другие цели; в частности, на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического характера, на возбуждение и развитие у школьников интереса к такого рода деятельности, на формирование у школьников в процессе этой деятельности способностей к самостоятельному изучению математики, способностей к самообучению.

При реализации этой цели содержание задачи или ее соответствие определенному разделу теории отступает как бы на второй план. Основным становится формирование у школьника умения ориентироваться в новых задачных ситуациях, накапливать информацию, полезную для решения других задач или изучения новых разделов математики, обучение учащихся разнообразным математическим методам познания реальной действительности и т. д.

Именно этот аспект обучения математике отражен в следующем кратком перечне целей обучения через задачи:

) заинтересовать или мотивировать;

) приводить к открытию процессов или пониманию соотношений;

) развивать и практиковать «технику решения задач»;

) формировать понятие математической модели.

Говоря о роли математических задач в развитии у школьников способностей к самостоятельной познавательной деятельности творческого характера, т.е. в активизации познавательной деятельности учащихся при изучении прогрессий в средней общеобразовательной школе, отметим полезность постановки в школьном обучении математических нестандартных задач, т. е. исторических задач, задач проблемного характера или с практическим применением.

Понятие прогрессии следует закрепить, решая задачи различных видов.

. Используя формулы общих членов прогрессий и суммы первых членов прогрессий, а также суммы бесконечной убывающей по модулю геометрической прогрессии, находят один из компонентов этих формул, если остальные известны.

Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.

Задача 1. Дано: . Найти .

Решение. .

Ответ:  [25].

Задача 2. Дано: , . Найти .

Решение. ; ;

.

Ответ: 205,9 [25].

Упражнений такого вида достаточно в учебных пособиях для девятого класса. Они являются самыми простыми и рассматриваются на первых уроках решения задач на прогрессии.

. Задачи, в которых по заданной зависимости между членами арифметической и геометрической прогрессий (или одной из них), требуется найти сами прогрессии.

Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.

Задача 1. В арифметической прогрессии  выполняется , . Найдите  и .

Решение:

Ответ: ,  [1].

Задача 2. Дано:  - арифметическая прогрессия,  Найдите  и d.

Решение.

Ответ: ,  [25].

При решении задач этого вида полезно разнообразить содержание, рассмотрев, например, случай, когда разность (знаменатель) прогрессии есть иррациональные числа. Часто очень помогает решению задач использование характеристических свойств прогрессий, доказательство которых само по себе составляет прекрасную задачу.

. Задачи с практическим и экономическим содержанием на прогрессии.

Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.

Задача 1. В сберегательный банк внесли вклад в 10000 руб. с доходом 2% годовых. Какую сумму выплатит сберегательный банк вкладчику через 4 года?

Решение. Сбербанк за один год выплатит , где  - вклад, q - процентная ставка. За 2 года , но , следовательно, .

Легко убедиться, что за 3 года , …, за n лет .

По этой формуле определим сумму, которую сбербанк выплатит вкладчику по истечении четырех лет:

.

Ответ:  [36].

Задача 2. Бегун за первую минуту бега пробежал 400 м, а в каждую следующую минуту пробежал на 5 м меньше, чем в предыдущую. Какой путь пробежал он за 1 ч?

Решение. За первую минуту бегун пробежал 400 м, за вторую - 395 м, за третью - 390 м и т. д. Числа 400, 395, 390, … образуют арифметическую прогрессию, у которой , . Путь за 1 ч, т. е. за 60 мин, равен сумме первых шестидесяти членов прогрессии. Увидев формулу , получим: .

Итак, за 1 ч бегун пробежал 15 км 150 м.

Ответ: 15 км 150 м [2].

Другие примеры задач этого типа предложены в §7 приложении 4.

4.Нестандартные задачи на прогрессии.

Учащиеся затрудняются в решении задач на прогрессии с буквенными данными. Но эти задачи часто встречаются на вступительных экзаменах в вузы. Поэтому школьников следует учить решению таких задач не только на внеклассных занятиях, но и на уроках, что, естественно, способствует активизации деятельности учащихся на уроках-практикумах. Осуществить такое обучение легче всего с помощью целой подборки заданий. Далее предлагается такая подборка.

Задача 1. Найдите сумму  членов арифметической прогрессии, если сумма первых  членов этой прогрессии равна .

Решение. Преобразуем искомую сумму:

По условию , отсюда .

Ранее мы доказали, что .

Из последних двух равенств следует: .

Ответ:  [26].

Задача 2. В арифметической прогрессии . Найдите отношение  к .

Решение. По условию .

Из последнего равенства получаем:

, так как .

Дальнейшие преобразования приводят к уравнению

, или .

Если , то  и .

Пусть , тогда , причем из условия ясно, что . Найдем требуемое отношение: .

Ответ:  [26].

Другие примеры нестандартных задач предложены в §7.

На уроках решения задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» полезно рассмотреть старинные задачи, которые также способствуют активизации познавательной деятельности учащихся и являются бесспорным украшением этих уроков. Примеры таких задач предложены в §7.

§5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К УРОКАМ ПОВТОРЕНИЯ, ОБОБЩЕНИЯ И СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ ПО ТЕМЕ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ»

Массовый многолетний психолого-педагогический эксперимент В.В.Давыдова, Л.В.Занкова и других психологов убедительно доказывают, что даже младшие школьники в состоянии усваивать - причем в обобщенной форме - гораздо более сложный материал, чем это представлялось ранее. Мышление школьников, несомненно, имеет еще очень большие и недостаточно используемые резервы и возможности, которые необходимо до конца вскрыть и на их основе сделать обучение более эффективным и творческим [10].

Поэтому очень важно правильно найти способы и приемы отбора, организации, ограничения, упрощения или усложнения научного содержания урока, то есть расчленения учебного материала на составные элементы, в своей совокупности образующие нечто целое, легко поддающееся усвоению.

Исследованием проблемы обобщений давно занимаются философия, педагогика, психология, уделяя ей большое значение. Так исследователи, работающие в области психологии усвоения математических знаний, Н.А.Менчинская, В.В.Давыдов, М.Д.Брейтерман и другие подчеркивают важную роль обобщений в развитии математического мышления, но проблема реализации этих обобщений на уроках повторения, обобщения и систематизации знаний по конкретной теме, методика проведения и структура этих уроков является актуальной и требует больших исследований.

Проведение уроков повторения, обобщения и систематизации знаний по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» является целесообразным, так как они помогают учащимся углубить изучаемые понятия, связи между ними и раскрыть какие-то новые стороны этих связей и, таким образом, привести все полученные школьниками знания в систему, а также разобраться во взаимосвязи этих знаний, почувствовать необходимость их изучения. При подготовке таких уроков нужен творческий подход к выбору логических путей (индукции, дедукции или их сочетания) и методических приемов обобщений (использование наглядности, применение эвристической беседы, логических схем и т.д.).

Процессы активной познавательной деятельности зависят и от того, какими методами осуществляется весь процесс учения. Учитывая цели обобщающих уроков по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», в процессе учения необходим исследовательский подход, поисковая и творческая деятельность учащихся, ведь тогда создаются предпосылки для успешных уроков повторения, обобщения и систематизации.

Рассматривая структуру уроков повторения, обобщения и систематизации знаний, по методике необходимо сказать, что здесь очень важно учитывать сочетание методов, которые применяются на этих уроках: применение беседы с использованием различных средств наглядности; приемы проблемного обучения (создать проблемную ситуацию и направить проблемное мышление учащихся). Относительно содержания, обобщение опирается на повторение, но не в той последовательности, как рассматривался материал при изучении темы, а происходит некоторое изменение порядка в целях обобщения и более глубокого понимания связей. Что касается активности учащихся, такие уроки требуют активной самостоятельной мыслительной работы, поэтому вызывают большой интерес у учащихся [19].

Уроки повторения, обобщения и систематизации знаний по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» требуют четкого логического мышления, строятся на более высоком его уровне. Оно сложнее и труднее для учеников, но полезнее для их развития. Такие уроки доставляют интеллектуальное удовлетворение учащимся, так как они проверяют здесь свои способности; чувствуют, что уроки повторения, обобщения и систематизации знаний развивают их ум.

Поэтому принцип активизации познавательной деятельности учащихся с наибольшей глубиной выражается на уроках повторения, обобщения и систематизации знаний. Конечно, не все учащиеся бывают удовлетворены этими уроками, так как не все оказываются на том уровне развития, который требует этот урок. Поэтому подготовка урока должна строиться с учетом индивидуальных способностей учащихся и уровня развития их логического мышления.

Такие уроки повышают интерес к прогрессиям и к тому значению, какое они имеет в практической жизни. Их ценность и в воспитательном плане больше, чем у обычных уроков. Обобщения знаний позволяют выделить ведущие мировоззренческие идеи урока. Через обобщения идейный, философский смысл знаний выступает более отчетливо.

Таким образом, повторение пройденного должно проходить на каждом уроке. Задача повторения заключается не только в закреплении знаний и умений, но и в пополнении, углублении и систематизации их.

Целью уроков повторения, обобщения и систематизации знаний по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» является восстановление, закрепление и систематизация накопленных учениками знаний.

Примерная структура стандартных таких уроков имеет следующий вид.

1.      Проверка домашнего задания.

2.      Ознакомление учеников с планом повторения, записанным на доске.

.        Повторение по намеченному плану.

.        Постановка домашнего задания.

.        В конце урока, после просмотра всех вычислений, выполненных на уроке, повторяются определения, формулы и свойства, изученные в теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Итак, уроки повторения, обобщения и систематизации знаний призваны подготовить учащихся к контрольной работе по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». В этом заключается их значимость в процессе обучения.

Рассмотрим один из таких уроков, который проводится с использованием дидактической игры «Восхождение на пик Знаний».

Особенностью игры является её многоцелевой характер, поскольку в ней реализуется комплекс дидактических задач, и постоянно присутствует дух соревнования - ведь никому не хочется в глазах одноклассников оказаться несостоятельным и показать им своё незнание или неумение. Организуя подобные уроки, учителю необходимо стремиться полнее учитывать возрастные особенности школьников и, в частности, удовлетворять их естественную тягу к играм и разнообразить виды учебной деятельности, так как известно, что подростки любят играть и занимаются этим с большим желанием и удовольствием. Игра - это вид деятельности, которому можно придать обучающий, развивающий и воспитывающий характер.

При проведении подобного урока ставятся следующие задачи:

-       повторить учебный материал темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»;

-       отработать умения решать задачи по данной теме и показать практическую значимость приобретённых умений;

-       прививать учащимся интерес к решению задач, используя при этом нестандартные формы и методы;

-       воспитывать у школьников чувства коллективизма, личной ответственности перед товарищами по команде и перед общим делом;

-       способствовать формированию эстетических вкусов школьников, развивать их творческую деятельность.

Для организации работы необходимо обеспечить следующее оборудование:

-       планшет с изображением горного пейзажа и нанесенными на него маршрутом восхождения и пронумерованными десятью привалами, по сторонам которого размещено десять пронумерованных карманов для заданий к привалам (рис. 5.5);

-       два съёмных флажка: жёлтый и синий;

-       игровой кубик, на шести гранях которого расположено шесть заданий, получающиеся ответы к ним представляют собой ряд чисел от 1 до 6 .

Ребят необходимо заранее разделить на две команды, примерно равные по силам, стараясь полнее учесть пожелания учеников. Каждая команда выбирает себе название и капитана. Кроме того, вместе с ребятами учитель выбирает жюри из двух человек. На их плечи возлагается подготовительная работа и непосредственное участие и контроль за правильностью выполнения учебных заданий в ходе урока.

В начале урока ребятам необходимо сообщить правила игры и то, что во время игры будет учитываться активность каждого участника и всей команды в целом.

Рис. 5.5

Капитан команды, которому по жребию выпало начинать игру, бросает игровой кубик (далее капитаны бросают кубик по очереди). Команда выполняет задание, оказавшееся на верхней грани кубика, и получает число, указывающее номер привала, на который может перейти команда в случае правильного выполнения задания. Задание команда берет из соответствующего кармана (например, на привале 3 - из кармана 3). Дождавшись вновь своей очереди, команда имеет право на следующий бросок кубика.

Выигрывает та команда, которая раньше другой достигает пика Знаний и устанавливает на нём свой флажок (цветные флажки в ходе игры отмечают продвижение команды по маршруту).

Привалы могут быть организованы следующим образом.

Привал №1 - «Математические определения»

Здесь проверяют знание формулировок темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» и умение красиво их произносить.

Привал №2 - «Составь формулу»

Команде вручают пакет, в котором на плотных листах написаны обозначения математических величин из данной темы и арифметические знаки. Используя этот набор, ребята должны составить формулы.

Привал №3 - «Кроссворд»

Команде выдают лист с сеткой кроссворда и вопросами, в которых зашифрованы понятия темы и имена людей, связанных с историей развития прогрессий.

Привал №4 - «Третий лишний»

Здесь проверяются умения учащихся составлять аналогии, выделять признаки, по которым можно судить о принадлежности данного числа к тому или иному ряду чисел, образующему арифметическую или геометрическую прогрессию.

Привал №5 - «История прогрессий»

На этом привале у команды отдых, умственная разрядка, снятие усталости. В тоже время ребята могут проявить свои творческие способности для интересного представления истории развития темы.

Привал №6 - «Капитаны, вперёд!»

На этом привале капитанам команд предоставляется возможность подтвердить своё высокое звание. Для этого им предлагается решить задачу достаточно высокого уровня по теме.

Привал №7 - «Математическая эстафета»

Эстафета посвящена основным формулам темы (пример такой эстафеты и методика работы с ней описаны в §3), но здесь учащиеся поочерёдно записывают пропущенные величины в формулы, связанные в общую цепочку.

Привал №8 - «Ромашка»

Здесь ученикам предлагается решить несколько задач по теме, записанных на обратной стороне лепестков ромашки. Каждый член команды отрывает лепесток и решает задачу.

Привал № 9 - «Математическая электровикторина»

Электровикторина посвящена основным формулам темы (пример такой электровикторины и методика работы с ней описаны в §3), но здесь учащиеся поочерёдно читают вопросы и отвечают на них.

Привал №10 - «Составьте прогрессию»

На данном привале проверяются умения учащихся самостоятельно составлять арифметическую и геометрическую прогрессии.

После того как выявился победитель игры, ребята отдыхают. В это время учитель может предложить учащимся отгадать несколько ребусов, в которых зашифрованы математические понятия.

В конце урока учитель должен отметить особо активных учащихся, оценить их старания, выставляя отметки в классный журнал и дневники.

Другая форма проведения урока обобщения и систематизации знаний представлена в приложении 2 в виде урока «Совет мудрецов».

§6. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К УРОКАМ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ УЧАЩИХСЯ ПО ТЕМЕ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ»

Проверка знаний, умений и навыков учащихся является важным процессом, определяющим результативность и эффективность обучения. Она имеет не только обучающее, но и воспитательное значение. В процессе проверки перед учителем открываются возможности для совершенствования процесса обучения, потому что она - действенное средство борьбы за прочные знания учащихся, позволяющее лучше изучить индивидуальные способности учеников, выявить уровень успеваемости, степень усвоения (полноту, глубину) учебного материала, плотность знаний на разных этапах обучения, провести диагностику и коррекцию знаний, а также получить нужную информацию для того, чтобы убрать пробелы в них. Проверка знаний, умений и навыков учащихся способствует активизации их интереса к учению. Это сложный методический процесс. Для школьников она является источником глубоких переживаний: он либо ощущает удовлетворение, гордость за себя и свои возможности, либо теряет в себе уверенность, интерес к учению. Проверка знаний, умений и навыков учащихся повышает дисциплинированность, побуждает к активизации умственной деятельности по усвоению материала, способствует выработке сознательного отношения к регулярному труду [18].

Целями проверки являются диагностика и коррекция знаний; учет результативности отдельного этапа процесса обучения; определение итоговых результатов обучения.

Обратимся к вопросу об активизации познавательной деятельности учащихся при выполнении самостоятельных работ по математике. Эффективность процесса обучения математике определяется многими факторами. Важную роль при этом играет активная позиция каждого из учащихся. Практика показала, что опытные учителя уделяют первостепенное внимание воспитанию такой позиции.

Одним из признаков активности школьников является их положительное отношение, их интерес к предмету, к изучаемому материалу, к содержанию заданий, к способам выполнения.

Учитывая особенности стимуляции познавательных интересов учащихся при помощи содержания учебного материала по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» к индивидуальным самостоятельным работам, способствующим формированию познавательного интереса к этому материалу, можно отнести следующие задания:

. Задания, содержание которых показывает роль прогрессий, их свойств в практической, технической, экономической деятельности людей.

. Задания, которые показывают связь математики с другими учебными предметами.

. Задания на обновление усвоенных ранее знаний.

. Задания, содержащие элементы занимательности.

. Задания, содержащие исторический материал.

Такие задания можно использовать в качестве индивидуальных самостоятельных работ для учащихся с целью привлечь их к занятиям математикой и, в частности, к изучению прогрессий.

В каждом классе есть ученики, которые испытывают симпатию к какому-либо учебному предмету. В этом случае учитель может использовать имеющиеся интересы ребят к определенным предметам для того, чтобы активизировать их деятельность на уроках математики. С этой целью могут быть применены задания, содержание которых отражает связи математики с другими учебными предметами.

Применяя в процессе обучения самостоятельные работы, содержание которых показывает связь математики с другими учебными предметами, учитель в процессе обучения создает условия для стимулирования познавательной деятельности на уроках математики отдельных учащихся. Интерес ученика и является основой для подбора содержания индивидуальной работы с целью активизации его самостоятельной деятельности на уроках математики.

Так, при изучении прогрессий могут быть применены задания, которые по своему содержанию связаны практически с любой областью знаний, например, с физикой. Одной из задач, связывающих арифметическую прогрессию и равноускоренное прямолинейное движение, является следующая: «Поезд, отходя от станции, равномерно увеличивает скорость так, что тринадцатую минуту движения идет со средней скоростью 30 км/ч. Какое расстояние проходит поезд за первые 13 минут движения?».

Знакомясь с содержанием задачи, ученик углубляет свои знания в той области знаний, которая используется в данном задании. Таким образом, связи между предметами здесь идут целенаправленно от биологии, химии, физики, астрономии и др. к математике. Но эти связи не являются односторонними. Решение таких задач на уроках математики усиливает интерес ученика к другим предметам, на связь с которыми указывает содержание решаемых задач.

Таким образом, самостоятельные работы, содержание которых отражает межпредметные связи, делают изучаемый материал более доступным, так как позволяют более полно использовать учебный опыт ученика и способствуют систематизации и углублению знаний.

Самостоятельные работы данного вида представляют интерес для учащихся еще и потому, что в своем содержании они имеют сведения, которые дополняют, обновляют их знания, усвоенные ранее. Обновление ранее усвоенных знаний учащихся, стимулирует познавательный интерес к предмету.

«Чтобы возбудить интерес, - писал К.Д.Ушинский, - предмет должен быть лишь отчасти нов, а отчасти знаком ученикам» [8].

Формированию положительного отношения к изучению математики, развитию познавательного интереса способствуют индивидуальные самостоятельные работы, содержащие элементы занимательности.

Занимательность понимают как такую особенность содержания самостоятельной работы, которая возбуждает познавательный интерес ученика к выполнению задания, к изучению математики.

В качестве самостоятельных работ, содержащих элементы занимательности, можно использовать старинные задачи, а также задачи и примеры из учебников.

Вызывают интерес и такие задания, в которых от учащихся требуется найти ошибки, допущенные в предлагаемых определениях, свойствах, условиях задачи, примере и т.д. Так, при изучении прогрессий можно предложить задачу: «В чем ошибка определения? «Геометрической прогрессией называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом».

Самостоятельные работы, содержащие элементы занимательности, историзма, показывающие значение изучаемого материала в науке, практике являются механизмом воздействия в процессе обучения на чувства школьника. При решении математической задачи некоторые ее данные, имеющие второстепенное значение по сравнению с математической ее структурой, интересуют учащихся. Компоненты, вводимые в содержание самостоятельных работ (занимательность, историзм и др.), способствуют созданию условий для развития познавательных интересов учащихся в процессе обучения математике.

Именно в подростковом возрасте благодаря немалому жизненному и учебному опыту познавательный интерес принимает все более устойчивый характер, а умственные способности в той или иной деятельности проявляются более ярко.

Рассмотренные выше виды самостоятельных работ могут быть применены на любом этапе урока, как при подготовке учащихся к усвоению нового материала, так и при закреплении и повторении изучаемого ранее с целью наиболее успешного усвоения учащимися знаний.

Одним из видов самостоятельных работ, позволяющих активизировать деятельность учащихся по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», являются управляемые самостоятельные работы.

В процессе обучения всегда присутствуют два вида связи: прямая - от учителя к ученику и обратная - от ученика к учителю. Обратная связь способствует выявлению степени и характера усвоения школьниками учебного материала, что обеспечивается контролем за ходом, а также результатами учебной деятельности. Особенно важно иметь систематическую информацию о степени усвоения изучаемого материала при обучении математике.

В поиске перехода к более высоким ступеням обучения использование обратной связи усложняется, поэтому ряд ученых и передовых учителей ведут поиски средств, методов, приемов, которые смогут облегчить осуществление обратной связи в процессе обучения школьников. При этом рассматривается не только внешняя обратная связь, когда учитель получает сведения о ходе и результатах работы школьников, но и внутренняя обратная связь, дающая возможность ученику в процессе индивидуальной работы (без обращения к учителю) получить информацию о своей деятельности. Примерами тому являются создание программированных учебников и пособий, использование различных средств и приемов контроля за усвоением учащимися учебного материала.

Большое значение в практике обучения математике играют так называемые управляемые самостоятельные работы, позволяющие ученикам осуществлять самоконтроль в процессе их выполнения, а значит, активизировать мыслительную деятельность учащихся. В таких работах задания составляются так, чтобы ответ предыдущего задания включался в следующее за ним. К таким заданиям предлагается список ответов для самоконтроля. Для того, чтобы учитель мог быстро проконтролировать выполнение заданий учениками, рядом с ответом дается его код.

Рассмотрим пример управляемых самостоятельных работ по теме «Арифметическая прогрессия».

Задача 1. Известно, что пятый член арифметической прогрессии равен 7, а шестой член равен 16. Найти разность этой прогрессии .

Задача 2. Зная, что  и разность равна - 2, найти второй член прогрессии .

Задача 3. Найти третий член прогрессии, если первый равен , а второй член равен 8,5 .

Задача 4. Найти член прогрессии под номером , если дана следующая прогрессия: 56, 51, 46, … .

Задача 5. Известно, что . Найти первый член прогрессии .

Задача 6. Известны  и . Найти первый член .

Задача 7. Найти , если пятый член равен , а сороковой равен 117 .

Задача 8. Не находя первого члена прогрессии и ее разности, вычислить , если  .

Задача 9. Зная, что пятый член равен 12, третий член равен , найти кратчайшим путем  .

Задача 10. Зная, что , найти  .

Задача 11. Первый член прогрессии равен 3, ее разность равна . Найти сумму сорока членов этой прогрессии .

Задача 12. Найти первый член прогрессии, если , сумма сорока первых членов равна  .

Задача 13. Определить число членов прогрессии 3, 5, 7, …, если известно, что их сумма равна  .

В заданиях члены арифметической прогрессии обозначены , где п - порядковый номер члена; ответы задач - буквой , где п - порядковый номер задачи.

Для самоконтроля учащимся даются ответы к задачам. Ответы кодируются:

Ответы для самоконтроля	-23	-5	4	7	9	10	11	18	20	41	360	3240
Код ответа	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

Эти задания можно разделить на три самостоятельные работы:

1)      Задачи 1-7. Тема: «Формула п-го члена арифметической прогрессии».

2)      Задачи 8-10. Тема: «Свойства членов арифметической прогрессии».

)        Задачи 11-13. Тема: «Сумма п первых членов арифметической прогрессии».

Для темы «Геометрическая прогрессия» задания составляются аналогично рассмотренным выше.

Рассмотрим уроки проверки знаний, умений и навыков учащихся.

Наряду с проверкой знаний, умений и навыков на каждом уроке по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» (на каждом этапе урока) имеется необходимость в специальных уроках, посвященных этой цели. В самом названии урока этого вида содержится прямое указание на его основную дидактическую цель. Однако задачу такого урока не следует ограничивать только осуществлением функций контроля, урок должен и обучать учащихся - совершенствовать их знания, умения и навыки, развивать технику приемов умственной деятельности, логического мышления, познавательный интерес к материалу.

Проверке подвергается основное из пройденного по части темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии», а также по учебной теме в целом. При этом контроль не должен быть односторонним - проверять следует не только сами знания, но и умения их применять. Лучших результатов достигают те учителя, которые ориентируются в первую очередь на проверку уровня развития учащихся, а не а проверку их памяти.

Существует две разновидности уроков проверки знаний, умений и навыков учащихся: урок устного опроса и урок - контрольная работа, но можно также проводить уроки, сочетающие в себе и устный опрос, и письменную работу контролирующего характера. О времени проведения таких уроков и о содержании проверяемого учебного материала учащиеся обычно извещаются заранее [18].

В случае устного опроса важно, чтобы все учащиеся класса были заняты полезной работой. Если беседа с учеником у доски не представляет особого интереса для других учащихся, то на это время классу предлагается самостоятельная работа. В противном случае внимание всех учеников привлекается к ответу ученика у доски. В обеих ситуациях опрос отдельных учащихся не должен быть продолжительным. Учитель заранее продумывает, кого спрашивать на уроке и что именно спрашивать.

Более распространенной при обучении математике является проверка знаний учащихся в форме письменных контрольных работ. Они могут быть рассчитаны на часть урока, на целый урок или на два урока в зависимости от объема проверяемого материала.

Для обеспечения самостоятельности выполнения работы учащимися учитель предлагает классу два или четыре варианта заданий, одинаковых по уровню сложности. Каждый из них состоит из обязательной части и дополнительной - для наиболее успевающих учеников. Варианты работы заимствуются из пособий типа «Дидактические материалы по алгебре для 9 класса» или разрабатываются по образцам, публикуемым в журнале «Математика в школе». Во всех случаях варианты заранее до урока решаются и анализируются учителем. Тексты заданий выписываются на карточки и размножаются по числу учащихся класса.

На самом уроке учитель делает необходимые разъяснения классу по содержанию предстоящей работы и ее оформлению, вручает каждому ученику текст задания. Не переписывая условий задач, учащиеся самостоятельно выполняют задание в специальных тетрадях для контрольных работ. В это время учитель наблюдает за работой класса, отвечает на возникающие вопросы. В конце урока, независимо от исхода работы, все учащиеся сдают тетради учителю на проверку. Имеет смысл вменить в обязанность ученика выполнить свой вариант дома к следующему уроку, разобраться в допущенных ошибках.

Часть следующего урока посвящается анализу контрольной работы. Учитель сообщает и комментирует общие итоги, отмечает наиболее распространенные ошибки и недочеты, их причины, высказывает рекомендации учащимся на дальнейшую деятельность. Некоторые из ошибок анализируются у доски. Учащимся, не справившимся с заданием, назначается время для повторного выполнения по запасному варианту.

Проверка и контроль деятельности учеников и процесса обучения производится по следующим уровням.

1 уровень (низкий) - воспроизведение знаний учеником осуществляется с подсказкой учителя; он осознал, запомнил и воспроизвел материал; возможна совместная деятельность учителя и ученика.

2 уровень - воспроизведение знаний учеником производится по образцу в знакомой ситуации самостоятельно; знания соответствуют ОРО по данной теме; умеет решать несложные задачи без ошибок. Знания ученика оцениваются на «3».

3 уровень - ученик способен применять знания в незнакомой ситуации без предъявления алгоритма, выполнять упражнения из основного задачного материала, рассматривающиеся на уроках, но не являющиеся настолько простыми и важными, чтобы их мог решать каждый ученик. Выполнение этой части работы обеспечивает ученику получение оценки «4».

4 уровень (продвинутый, повышенный) - ученик выполняет действия, для которых характерна творческая деятельность, рождение новой объективной информации, например, учащийся решает дополнительные задачи (повышенной трудности, прикладного характера) по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Для решения таких задач требуется применять знания в новой обстановке, при непривычном сочетании данных, они не рассматриваются на уроках, а только лишь на внеклассных занятиях. При достижении этого уровня знания ученика можно оценить на «5» [18].

Важно заметить, что итоги проверки знаний, умений и навыков следует рассматривать не только как результат деятельности учащихся. Не в меньшей мере они характеризуют и деятельность самого учителя. Необходимо поэтому каждый раз делать выводы и в свой адрес.

Урок проверки знаний, умений и навыков учащихся по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» можно провести не только в форме контрольной работы или устного опроса, являющимися привычными для учащихся средних общеобразовательных школ, но и в виде релейного зачета с тестовыми заданиями, который, несомненно, привлечет учащихся и разнообразит процесс обучения.

Слово «реле» происходит от французского relais - сменить, заменить. Так называются зачеты, на которых учащимся предлагаются не все задания сразу, а постепенно. Закончив одно задание, ученик переключается на другое, но переключение это идет в строгой последовательности, т.е. нельзя получить, например, третье задание, не выполнив первое и второе. Релейный зачет позволяет учащимся самим избрать уровень сложности заданий, перейти от простого уровня к сложному или, наоборот, от сложного к простому.

Подготовка к зачету начинается за две недели: учитель вывешивает в классе плакат с вопросами, списки задач, подобранных по уровням сложности, сообщает учащимся нормы оценок и образцы решения задач. При необходимости проводит консультации.

Материал, проверяемый на зачете, разбивается на пять параграфов.

§1. Определение арифметической профессии. Формула п-го члена.

§2. Формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.

§3. Определение геометрической прогрессии. Формула п-го члена.

§4. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при .

§5. Задачи повышенной трудности.

Учащиеся должны выполнить хотя бы по одному заданию из каждого параграфа. А на карточках учитель помещает по два задания, чтобы иметь больше возможностей верно оценить ответ учащегося.

Количество карточек по §§1-4 должно быть больше, чем учащихся в классе, а по §5 - больше, чем хорошистов и отличников, т.е. тех, которые наверняка преодолеют трудности заданий первых четырех групп и доберутся до пятой группы. Этим гарантируется строгая индивидуальность заданий и возможность заменить одну карточку другой, если первая будет случайно испорчена.

Обычно составляются карточки четырех групп. Они получают условные обозначения А, Б, В и ЗПТ (задачи повышенной трудности).

Группа А

Содержание карточек группы А определяется стандартом математического образования. Ниже приведены примеры таких карточек. На них, как и на всех следующих, задания напечатаны жирным шрифтом и помечены буквами а) и б). Наборы ответов даны обычным шрифтом. Приняты сокращения: а.п. - арифметическая прогрессия, г.п. - геометрическая прогрессия, б.г.п. - бесконечная геометрическая прогрессия, у которой знаменатель по модулю меньше 1.

Вообще для всех карточек характерна лаконичность записи. Иначе учитель просто не успел бы подготовить их в нужном количестве.

 

Группа Б

Карточки группы Б содержат задания хотя и более высокого уровня, но все еще только репродуктивного, т.е. предъявляются только такие вопросы, ответы на которые учащимся подробно разъяснялись. В билетах группы А были сходные вопросы, но только по одному на задание. Например, требовалось найти только a1 или только d и т.д. В билетах группы Б встречаются или два вопроса (найти а1 и d), или вопрос один, но требующий уже не одного уравнения, как ранее, а системы двух уравнений.

Группа В

 

Карточки группы В содержат задачи повышенного уровня.

Задачи повышенной трудности не делятся по уровням. Учитель просто подбирает систему задач по теме зачета и записывает их по одной на карточке. Приведем три примера.

№1. В арифметической прогрессии , , …, , …, , … сумма т членов равна , а сумма п членов - , причем . Чему равно ?

№2. Найдите сумму первых  членов арифметической прогрессии, если сумма ее первых  членов равна , а сумма первых ее  членов равна .

№3. Сумма членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 1, а знаменатель  положителен, равна , а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый - со знаком «плюс», а второй - со знаком «минус» и т.д.) равна . Найдите .

В качестве задач повышенной трудности можно использовать нестандартные задачи, приведенные в §4 и §7 данной работы.

В начале зачета часть карточек учитель вручает учащимся (каждому по одной), а остальные раскладывает на своем столе тыльной стороной вверх. На тыльной стороне записан номер карточки, номер параграфа и шифр уровня, причем для наглядности шифры выделены цветом: уровень А - зеленым, Б - синим, В - красным.

На столе учителя лежит заранее составленная таблица ответов, фрагмент которой приведен в таблице 6.1. По этой таблице учащиеся, выполнившие задание, проверяют свои ответы. На обратной стороне использованной карточки учащиеся записывают свою фамилию и свой результат: + (найдены ответы на оба вопроса), - (ни один ответ не найден),  или ± (на первый или на второй вопрос не получен верный ответ).

Затем учащийся берет со стола учителя новую карточку того уровня сложности, который ему кажется предпочтительным. Ученик обязан следить за тем, чтобы за время зачета ответить хотя бы по одному вопросу из каждого параграфа, т.е. он должен поработать по крайней мере с четырьмя карточками.

В ходе зачета учитель постепенно заполняет так называемую накопительную ведомость. В ней помечается и уровень вопроса, на который ответил учащийся, и тот параграф, по которому дан ответ. Накопительная ведомость учителя может быть вывешена в классе еще до зачета. Примерный вид ведомости показан в таблице 6.2.

Таблица 6.1

Номера ответов
	§ а) б)	1 а) б)	2 а) б)	3 а) б)	4 а) б)	…
А	1 2 3  4	-12 301	2700 199,5	-32; - 3 и 3	…

Б               9 10 11     12     -100;6,2 -1;2        55 610                или15625

или

…

В               13  14 15   16   -666 69или 8712 или

4; 12; 36; 108 7       …

Таблица 6.2

Фамилия учащегося

Параграфы

1

2

3

4

5

Итоговая оценка

А

Б

В

А

Б

В

А

Б

В

А

Б

В

М

+

+

+

+

3

Н

+

+

+

+

+

+

+

+

4

П

+

+

+

+

+

+

+

5

Ребятам интересно самим ее заполнять с разрешения учителя и под его контролем. По ходу дела они следят, у кого появляется больше плюсов, и это придает зачету состязательный элемент. По такой ведомости в конце зачета интересно обсудить с учащимися нормы оценок. Когда ребята видят, что получил «пятерку» только тот, кто действительно больше сделал, или тот, кто выбирал задания посложнее и справлялся с ними, у них не бывает возражений по поводу оценок [13].

§7. ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ»

Требования, предъявляемые программой по математике школьными учебниками и сложившейся методикой обучения, рассчитаны на так называемого «среднего» ученика. Однако уже с начальных классов начинается резкое расслоение коллектива учащихся: на тех, кто легко и с интересом усваивает программный материал по математике, на тех, кто добивается при изучении математики лишь удовлетворительных результатов, и тех, кому успешное изучение математики дается с большим трудом.

Все это приводит к необходимости индивидуализации обучения математике, одной из форм которой является внеклассная работа.

Под внеклассной работой по математике понимаются необязательные систематические занятия учащихся с преподавателем во внеурочное время.

Следует различать два вида внеклассной работы по математике.

1.      Работа с учащимися, отстающими от других в изучении программного материала (дополнительные внеклассные занятия).

2.      Работа с учащимися, проявляющими к изучению математики повышенный, по сравнению с другими, интерес и способности (собственно внеклассная работа в традиционном понимании смысла этого термина).

Говоря о первом направлении внеклассной работы, отметим следующее.

Этот вид внеклассной работы с учащимися по математике в настоящее время имеет место в каждой школе. Вместе с тем повышение эффективности обучения математике без сомнения должно привести к снижению значения дополнительной учебной работы с отстающими. В идеальном случае первый вид внеклассной работы должен иметь ярко выраженный индивидуальный характер и проявляться лишь в исключительных случаях (например, в случае продолжительной болезни учащегося, перехода из школы другого типа и т. п.). Однако в настоящее время эта работа требует еще значительного внимания со стороны учителя математики.

Основной целью ее является своевременная ликвидация и предупреждение имеющихся у учащихся пробелов в знаниях и умениях по курсу математики [18].

Передовой опыт работы учителей математики свидетельствует об эффективности следующих положений, связанных с организацией и проведением внеклассной работы с отстающими.

1.      Дополнительные (внеклассные) занятия по математике целесообразно проводить с небольшими группами отстающих (по 3-4 человека в каждой); эти группы учащихся должны быть достаточно однородны, как с точки зрения имеющихся у школьников пробелов в знаниях, так и с точки зрения способностей к учению.

2.      Следует максимально индивидуализировать эти занятия (например, предлагая каждому из таких учащихся заранее подготовленное индивидуальное задание по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» и оказывая в процессе его выполнения конкретную помощь каждому).

.        Занятия с отстающими в школе целесообразно проводить не чаще одного раза в неделю, сочетая эту форму занятий с домашней работой учащихся по индивидуальному плану.

.        После повторного изучения того или иного раздела математики на дополнительных занятиях необходимо провести итоговый контроль с выставлением оценки по теме.

.        Дополнительные занятия по математике, как правило, должны иметь обучающий характер; при проведении занятий полезно использовать соответствующие варианты самостоятельных или контрольных работ из «Дидактических материалов по алгебре для 9 класса», а также учебные пособия и задания программированного типа.

.        Учителю математики необходимо постоянно анализировать причины отставания отдельных учащихся при изучении ими математики, изучать типичные ошибки, допускаемые учащимися при изучении данной темы. Это делает дополнительные занятия по математике более эффективными.

Второе из указанных выше направлений внеклассной работы по математике - занятия с учащимися, проявляющими к ее изучению повышенный интерес, отвечает следующим основным целям:

1.      Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям.

2.      Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу.

.        Оптимальное развитие математических способностей у учащихся и привитие учащимся определенных навыков научно-исследовательского характера.

.        Воспитание высокой культуры математического мышления.

.        Развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой.

.        Расширение и углубление представлений учащихся о практическом значении математических знаний о прогрессиях.

.        Расширение и углубление представлений учащихся о культурно-исторической ценности математики.

.        Воспитание у учащихся чувства коллективизма и умения сочетать индивидуальную работу с коллективной.

.        Установление более тесных деловых контактов между учителем математики и учащимися и на этой основе более глубокое изучение познавательных интересов и запросов школьников.

10.    Создание актива, способного оказать учителю математики помощь в организации эффективного обучения математике всего коллектива данного класса (помощь в изготовлении наглядных пособий, занятиях с отстающими, в пропаганде математических знаний среди других учащихся).

Предполагается, что реализация этих целей частично осуществляется на уроках. Однако в процессе классных занятий, ограниченных рамками учебного времени и программы, это не удается сделать с достаточной полнотой. Поэтому окончательная и полная реализация этих целей переносится на внеклассные занятия этого вида.

Вместе с тем между учебно-воспитательной работой, проводимой на уроках, и внеклассной работой существует тесная взаимосвязь: учебные занятия, развивая у учащихся интерес к знаниям, содействуют развертыванию внеклассной работы, и, наоборот, внеклассные занятия, позволяющие учащимся применить знания на практике, расширить и углубить их, повышают успеваемость учащихся и их интерес к учению. Однако внеклассная работа не должна дублировать учебную работу, иначе она превратится в обычные дополнительные занятия.

Что же касается содержания внеклассной работы с учащимися, интересующимися математикой, то на таких внеклассных занятиях по алгебре по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» можно рассмотреть историю возникновения прогрессий и пополнения знаний о них, нестандартные задачи: повышенной трудности, с практическим применением, старинные, в форме кросснамберов и т. д. (подборки таких задач представлены в приложении 4 и далее в §7). На таких занятиях, учитывая актуальные для нашего времени требования, также необходимо вести подготовку к ЕГЭ.

Одним из видов внеклассной работы по математике являются факультативные занятия. Главной целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, в частности, по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие ученикам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Программа основного курса алгебры вместе с программой факультативных занятий по алгебре для средней общеобразовательной школы составляет программу повышенного уровня по алгебре для 9 класса.

Программа факультативных занятий по математике составлена так, что прогрессии изучаются синхронно с изучением основного курса алгебры в средней общеобразовательной школе. В тех случаях, когда в данном классе основной курс алгебры ведет один учитель, а факультативный - другой, изучение прогрессий может проводиться независимо от основного курса программы, в этом случае их изучение можно проводить с некоторым запозданием по отношению к основному курсу программы.

Для того чтобы факультативные занятия по математике были эффективными, необходимо их организовать там, где есть:

1)      высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно-методическом уровне;

2)      не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Если школа имеет классы с небольшой наполняемостью (что особенно характерно для некоторых сельских школ), то группы учащихся для факультативных занятий можно комплектовать по параллелям или из учащихся смежных классов (9-10 классы, 10-11 классы и т. п.).

Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах в соответствии с их интересами. Не следует принуждать школьников обязательно изучать факультативные предметы. Особенно внимательно следует относиться к тем учащимся, которые встречают трудности в изучении математики или совмещают обучение в школе с другими видами занятий (спорт, музыка и т. д.).

По окончании факультативного курса учащиеся сдают зачет (с оценкой), о чем делается отметка в аттестате.

Учитель математики несет полную ответственность за качество факультативных занятий; факультативные занятия вносятся в расписание и оплачиваются учителю.

Проведение факультативных занятий по математике не означает отказа от других форм внеклассной работы (математические кружки, вечера, олимпиады и т. д.). Они должны дополнять эти формы работы с учащимися, которые интересуются математикой.

Возможность дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенные интерес и способности к математике, представляет собой одно из проявлений такой формы обучения математике как дифференцированное обучение.

По существу факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения.

В какой бы форме и какими бы методами не проводились факультативные занятия по алгебре по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», они должны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету. Известный французский физик Луи де Бройль писал, что современная наука - «дочь удивления и любопытства, которые всегда являются ее скрытыми движущими силами, обеспечивающими ее непрерывное развитие».

Основными формами проведения факультативных занятий по математике являются в настоящее время изложение узловых вопросов данного факультативного курса учителем (лекционным методом), семинары, собеседования (дискуссии), решение задач, рефераты учащихся (как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач), математические сочинения, доклады учащихся и т. д.

Однако учителю не следует отдавать предпочтение какой-либо одной форме или методу изложения. Помня о том, что на факультативных занятиях по математике самостоятельная работа учащихся должна занять ведущее положение, следует все же чаще применять решение нестандартных задач (повышенной трудности, исторических, с практическим применением, занимательных), рефераты, доклады, семинары-дискуссии, чтение учебной и научно-популярной литературы и т. п. по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Одной из возможных форм ведения факультативных занятий по математике является разделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся заданиями теоретического и практического характера. По окончании этой части занятия учащимся предлагается домашнее задание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению нестандартных задач (повышенной трудности, исторических, с практическим применением, занимательных, которые представлены в приложении 4 и далее в параграфе) и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач. Эта форма проведения факультативных занятий может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.

Полезно также широко использовать задачи проблемного характера.

Так как в 9 классе на факультативные занятия по математике отводится 2 часа в неделю, что составляет 68 часов или 34 занятия в учебном году [33], и изучается, кроме прогрессий, еще пять основных линий, то целесообразно посвятить теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» 4 занятия, из которых 3 занятия - решению нестандартных задач, связанных с практическим и экономическим применением теоретического материала по прогрессиям, а также занимательных задач, и 1 занятие - проверочной работе, которая может быть проведена в форме математической электровикторины, принципы организации которой указаны в §3, отличие состоит лишь в том, что теоретические вопросы заменяются задачами. Эта работа позволяет в интересной для учеников форме определить уровень знаний учащихся, а также эффективность труда учителя, его методов обучения учащихся.

Далее изложен материал, предлагаемый для рассмотрения на факультативных занятиях, и методические рекомендации к нему.

Факультативное занятие №1. Нестандартные задания по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Учащиеся испытывают затруднения при решении нестандартных задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Но именно такие задачи часто предлагаются на вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ. Поэтому школьников следует учить решению таких задач на факультативных занятиях. Осуществить такое обучение легче всего с помощью целой подборки заданий. Далее предлагается такая подборка.

Задача 1. Члены последовательностей определяются формулами:

1) ;4) ;

) ;5) ;

) ;6) .

Имеется ли среди этих членов каждой из последовательностей наибольший член? Наименьший член?

Решение.

)Наименьший член - третий. Он равен 0.

)Наименьшие члены имеют нечетные номера, они равны -1. Наибольшие члены имеют четные номера, каждый из них равен 1.

)Наименьшего члена нет. Наибольшие члены - четвертый и шестой, каждый из них равен 0.

)Наименьший член - второй. Наибольших членов нет.

)Последовательность не имеет ни наибольшего, ни наименьшего члена.

)Наименьшие члены второй и четвертый, равные 0 [4].

Задача 2. Доказать, что если положительные числа a, b, c - соответственно m-й, n-й и p-й члены как арифметической, так и геометрической прогрессии, то .

Решение. Если ввести  и  - соответственно первые члены арифметической прогрессии с разностью  и геометрической прогрессии со знаменателем , то a, b и c придется выразить через , , и .

При составлении разностей ,  и  удобнее пользоваться представлением чисел a, b и c с помощью арифметической прогрессии.

По условию , ,

.

Составим разности: , , .

Подставим в левую часть равенства, которое нужно доказать:

.

После несложных преобразований получим в обоих показателях нули, что и доказывает исходное равенство [4].

Задача 3. Доказать, что если a, b, c образуют геометрическую прогрессию, то , где , a, b, c - различные положительные числа, отличные от 1.

Решение. В левой части удобно перейти к общему основанию .

Воспользуемся тем, что .

Перейдем в левой части равенства к общему основанию  и сделаем некоторые упрощения:

.

В последнем равенстве мы воспользуемся тем, что - знаменатель прогрессии [26].

Задача 4. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех членов вдвое больше суммы первых п членов. Найти произведение первых п членов, если первый член равен .

Решение. Если приравнять выражения для удвоенной суммы п членов прогрессии и суммы всех ее членов, то получим уравнение относительно .

Необходимо записать произведение п первых членов и воспользоваться тем, что .

Из условия следует, что , откуда . Произведение п первых членов прогрессии равно:

.

Ответ:  [39].

Задача 5. Три брата, возраст которых образует геометрическую прогрессию, делят между собой некую сумму денег пропорционально своему возрасту. Если бы они это проделали через три года, когда самый младший окажется вдвое моложе самого старшего, то младший получил бы на 105, а средний на 15 рублей больше, чем сейчас. Сколько лет каждому из братьев?

Решение. Пусть братьям ,  и  лет. Если младший получает х рублей, то остальные два получат  и  рублей. Условия задачи позволяют составить три уравнения.

При решении уравнений нужно иметь в виду, что нас интересуют только  и .

Через три года братьям будет ,  и  лет, причем старшему окажется вдвое больше лет, чем младшему:

. (1)

При дележе через три года младший брат получит , средний . Чтобы узнать, сколько получит старший брат, вычтем эти деньги из всей суммы: .

Так как братья делят деньги пропорционально их возрасту, то получим еще два уравнения: , . (2)

Уравнение (1) позволяет записать второе из уравнений (2) так:

, т.е. . (3)

Если в (1) раскрыть скобки, а затем вынести за скобки а, то

 (1')

Сравним с уравнением (3): .

Первое из уравнений (2) можно переписать так:

.

Раскроем скобки и решим систему, состоящую из уравнения, полученного в результате, и из уравнения (1'):

Из первого уравнения получаем . Подставим во второе. После преобразований получим квадратное уравнение , откуда . Второй корень посторонний, так как тогда всем братьям одинаковое количество лет и никто из них не может через три года стать вдвое старше другого.

Итак, первому брату 12 лет, второму - 18 лет, а третьему - 27 лет.

Ответ: 12, 18, 27 лет [4].

Задача 6. Докажите, что если положительные числа  образуют арифметическую прогрессию, то числа

также образуют арифметическую прогрессию.

Решение. По условию , отсюда . Рассмотрим разности:  

.

Отсюда следует, что разность между вторым и первым членами данной последовательности равна разности между ее третьим и вторым членом, а это и значит, что числа  образуют арифметическую прогрессию.

Что и требовалось доказать [26].

В качестве заданий для индивидуальной работы можно предложить учащимся следующие задачи.

1.      При каких значениях x и y последовательность , , , где , , , является одновременно арифметической и геометрической прогрессией? Отв.  [4].

2. Найти трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45. Отв. 135; 630; 765 [39].

3.      Три отличных от нуля действительных числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найти всевозможные знаменатели этой геометрической прогрессии. Отв. 1; ;  [4].

Факультативное занятие №2. Старинные задачи по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Старинные задачи способствуют развитию интереса учащихся к прогрессиям, а также позволяют разнообразить перечень задач, предлагаемых для решения школьникам, в итоге активизировав их познавательную деятельность.

Задача 1. Древнейшая задача на прогрессии - не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце 19 века, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, возможно, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая:

Сто мер хлеба необходимо разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение. Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член х, разность у. Тогда доля первого - х, второго - (х+у), третьего - (х+2у), четвертого - (х+3у), пятого - (х+4у).

На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:

После упрощений первое уравнение получает вид х+2у=20, а второе: 11х=2у. Решив эту систему, получаем: , .

Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части: ,  ,

Ответ: [29].

Задача 2. В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м и шириной 2,5 м. Поливая грядки, огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода, и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки. Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца.

Решение. Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь 14+16+2,5+16+2,5+14=65(м.). При поливке второй он проходит 14+2,5+16+2,5+16+2,5+2,5+14=65+5=70(м.).

Каждая следующая грядка требует пути на 5 м длиннее предыдущей. Имеем прогрессию: 65; 70; 75; …; 65+5×29.

Сумма её членов равна (м.).

Огородник при поливке всего огорода проходит путь в 4,125 км.

Ответ: 4,125 км [29].

Задача 3. Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю - половину оставшихся и еще пол-яблока, третьему - половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось.

Сколько яблок было у садовника?

Решение. Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил , второй - , третий - , …, седьмой покупатель - .

Имеем уравнение  или

.

Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем:  и .

Всего яблок было 127.

Ответ: 127 яблок [32].

Задача 4. В старинной арифметике Магницкого находим следующую забавную задачу, которая приводится здесь, без сохранения языка подлинника.

Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:

Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай всего  коп., за второй -  коп., за третий - 1коп. и т. д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

На сколько покупатель проторговался?

Решение. За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить

 копеек. Сумма эта равна

 (коп.), т. е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

Ответ: около 42 тысяч рублей [3].

Задача 5. Из другого старинного русского учебника математики, носящего пространное заглавие: «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795), заимствована следующая задача.

Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Сколько ран получил воин?

Решение. Составляем уравнение  или  и х=16 - результат, который легко находим путем испытаний.

При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.

Ответ: 16 ран [29].

В качестве заданий для индивидуальной работы можно предложить учащимся следующие задачи.

1.      Задача из папируса Ахмеса. Раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет  меры. Указание: найти члены арифметической прогрессии с разностью  и  [3].

.        Задача Пьера Ферма. Показать, что если  есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии , то  [3].

.        Задача Исаака Ньютона. Даны три последовательных члена геометрической прогрессии. Их сумма равна 19, а сумма их квадратов 133. Определить эти члены. Отв. 9, 6, 4 и 4, 6, 9 [3].

Факультативное занятие №3. Геометрическая прогрессия и ее приложение в экономике

В начале занятия учитель говорит примерно следующее: «Геометрическая прогрессия имеет очень широкие приложения в экономике. С ее помощью банк производит расчеты с вкладчиком, решает, стоит ли вкладывать деньги в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько лет и т.д. На занятии мы рассмотрим только один вопрос: как банки дают кредиты различным фирмам и как система банков может значительно увеличить возможности кредитования фирм?»

Коллектив разбивается на пять групп, каждая из которых представляет один из банков: «Алмаз», «Берилл», «Изумруд», «Сапфир» и «Сердолик».

Представители первых четырех банков напоминают основные определения (табл. 7.1).

Таблица 7.1

Определение геометрической прогрессии  Формула общего члена геометрической прогрессии: Сумма первых п членов геометрической прогрессии:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Смысл ее суммы:

Представитель пятого банка демонстрирует схему - структуру банковской системы России (рис. 7.1) и рассказывает об обязательных и свободных резервах коммерческих банков.

Дело в том, что Центральный банк России (ЦБ) руководит работой всех коммерческих банков, которые принимают деньги у населения, фирм, объединений и т.д., а также выдают кредиты. По закону о банках каждый коммерческий банк обязан часть поступающих к нему денег хранить в ЦБ, который ими распоряжается. Это так называемые обязательные резервы банка. Они устанавливаются как определенный процент от суммы вклада, поступающего в банк. Остальными деньгами - свободными резервами - банк распоряжается самостоятельно: может дать их в кредит, может купить на них ценные бумаги и т.д.

Рис. 7.1

Пример 1. Пусть некоторый вкладчик внес в коммерческий банк сумму, равную 500000 руб., а процентная ставка обязательных резервов установлена на уровне . Найдем обязательные и свободные резервы от этой суммы.

Решение. Обязательные резервы от этой суммы составляют 15%, поэтому они равны 500000 ∙ 0,15 =75000 (руб.). Свободные резервы составляют 85%, т.е. 500000 ∙ 0,85 = 425000 =500000 - 75000 (руб.).

Пяти группам - представителям банков - предлагается найти обязательные и свободные резервы своих банков с учетом условий:

)        в банк «Алмаз» поступило руб., ;

)        в банк «Берилл» поступило руб., ;

)        в банк «Изумруд» поступило руб., ;

)        в банк «Сапфир» поступило руб., ;

)        в банк «Сердолик» поступило руб., .

Результаты вычислений заносим в таблицу 7.2.

Таблица 7.2

№	Банк	Обязательные резервы	Свободные резервы
1	«Алмаз»	20 000 ∙ 0,2 = 4000	20 000 ∙ 0,8 = 16 000
2	«Берилл»	45 000 ∙ 0,15 = 6750	45 000 ∙ 0,85 = 38 250
3	«Изумруд»	90 000 ∙ 0,12 = 10 800	90 000 ∙ 0,88 = 79 200
4	«Сапфир»	10 000 ∙ 0,22 = 2200	10 000 ∙ 0,78 = 7800
5	«Сердолик»	12 000 ∙ 0,18 = 2160	12 000 ∙ 0,82 = 9840

В коллективе обсуждается вопрос: «От чего и как зависят величины свободных и обязательных резервов, и может ли ЦБ влиять на размер кредитов, предоставляемых банками?». Учитель подводит итог дискуссии: существует прямая зависимость величины свободных резервов от суммы вклада в банк, а каждый банк может выдать кредитов на сумму, не превышающую величины его свободных резервов. ЦБ может активно влиять на величину кредитов, предоставляемых коммерческими банками: увеличивая долю обязательных резервов, он уменьшает величину кредитов, предоставляемых каждым банком и наоборот. В заключение учащимся предлагается записать величины обязательных и свободных резервов в общем виде.

Пусть сумма вклада -  руб., процентная ставка обязательных резервов - %. Тогда величина обязательных резервов равна , а свободных резервов - .

Теперь рассмотрим систему, состоящую из перечисленных выше банков. Пусть процентная ставка обязательных резервов равна 20%, и в первый банк «Алмаз» внесен вклад, равный 400000 руб. Сделаем упрощающее предположение: каждый банк все свои свободные резервы целиком выдает в кредит только одному заемщику.

К доске выходит представитель банка «Алмаз» и производит расчеты: 20% от суммы, полученной банком, составляют обязательные резервы 400000 ∙ 0,2 =80000 (руб.), которые перечисляются в ЦБ. Свои свободные резервы в размере 400000 - 80000 = 320000 (руб.) банк выдает клиенту Х. На эти деньги клиент Х приобретает у некоторой фирмы необходимые ему товары. Полученные 320000 руб. фирма переводит в обслуживающий ее банк «Берилл». Изобразим схематически описанную ситуацию (рис. 7.2).

В результате проделанных операций банк «Берилл» получил вклад в размере 320000 руб. и с полученными деньгами он производит те же операции, что и банк «Алмаз».

Рис. 7.2

Ученик - представитель банка «Берилл» - делает необходимые расчеты: 20% от полученной суммы составляют обязательные резервы 320000 ∙ 0,2 = =64000 (руб.) и перечисляются в ЦБ, а оставшиеся 320000 - 64000 = 256000 (руб.) составляют свободные резервы банка, которые он выдает в качестве кредита клиенту У. После торговых сделок клиента эта сумма вкладывается в банк «Изумруд». По такой же схеме свободные резервы банка «Изумруд» уходят в банк «Сапфир», а его - в банк «Сердолик».

Представители банков по очереди производят расчеты своих финансовых операций и в итоге составляют сводную таблицу 7.3.

Таблица 7.3

№	Банк	Сумма вклада	Обязательные резервы	Свободные резервы - кредиты (руб.)
1	«Алмаз»	400 000	80 000	320 000
2	«Берилл»	320 000	64 000	256 000
3	«Изумруд»	256 000	51 200	204 800
4	«Сапфир»	204 800	40 960	163 840
5	«Сердолик»	163 840	32 768	131 072

Вычислим суммарный объем кредитов, выданных рассматриваемой системой банков. Для этого достаточно сложить числа, стоящие в правом столбце таблицы 7.3. Полученная сумма равна 1075712 руб. Учитель ставит задачу: как можно упростить и тем самым ускорить операцию подсчета суммы выданных кредитов. Ученики должны из анализа расчетов финансовых операций каждого банка сделать вывод, что свободные резервы системы банков образуют последовательность 320000; 320000∙0,8; 320000∙(0,8)2; 320000∙(0,8)3; 320000∙(0,8)4, т.е. первые пять членов геометрической прогрессии с первым членом 320000 и знаменателем 0,8. Пользуясь формулой суммы конечного числа первых членов геометрической прогрессии, получаем: (руб.).

Полученная сумма кредитов оказалась в ≈ 3,36 раза больше той суммы, которую мог предоставить один банк «Алмаз»!

У учащихся, естественно, возникает следующий вопрос: «Мы рассмотрели систему, состоящую из пяти банков, а что будет, если число банков станет увеличиваться, и свободные резервы банка «Сердолик» попадут в банк «Лазурит», свободные резервы банка «Лазурит» - в банк «Малахит» и т.д.?» Ясно, что суммарная величина кредитов будет при этом возрастать. Выясним характер этого возрастания. Если система будет содержать п банков, то .

Из этого представления следует, что с увеличением п величина , возрастая, будет оставаться меньше числа 1600000 и по мере увеличения п будет к нему приближаться, никогда не достигая значения 1600000.

Пример 2. Три ученика у доски с помощью калькулятора вычисляют  при  и .

(руб.);

(руб.);

(руб.).

Анализируя результаты решения, ученики еще раз убеждаются в том, что, чем больше число п, тем меньше величина  отличается от постоянного числа 1600000 руб.

Перед учащимися ставится следующая задача: обобщить полученный результат на случай произвольных значений а и . Вызванный к доске ученик записывает общую формулу

Следующие две задачи иллюстрируют ее применение.

Задача 1. Система состоит из трех банков А1, А2 и А3. В первый банк А1 внесен вклад 200000 руб. Процентная ставка обязательных резервов составляет 15%. Какова максимальная сумма кредитов, которую может выдать эта система?

Решение. В этом случае руб., . Обязательные резервы банка А1 составляют 15%, т.е. 200000 ∙ 0,15 = 30000 (руб.). Величина свободных резервов банка составляет 200000 - 30000 = 170000 (руб.). Найдем

(руб.).

Ответ: 43735 руб.

Задача 2. Система состоит из шести банков В1, В2, В3, В4, В5 и В6. В банк В1 внесен вклад 300000 руб., процентная ставка обязательных резервов составляет 10%. На какую максимальную сумму может выдать кредиты эта система банков?

Решение. Пусть руб., . Обязательные резервы банка В1 равны 300000 ∙ 0,1 = 30000 (руб.) и поэтому его свободные резервы составляют 300000 - 30000 = 2700000 (руб.).

Тогда (руб.).

Ответ: 1265109,3 руб.

Далее рассмотрим случай, когда количество банков в системе будет увеличиваться неограниченно. Конечно в конкретной банковской системе так не бывает, но математические методы как раз и сильны тем, что с их помощью можно рассматривать предельные возможности, которые не реализуются ни при каком значении п, т.е. можно заглянуть туда, где бессилен любой опыт. Из формулы  при  следует, что при больших значениях п величина  мала, и ею можно пренебречь. Тогда мы получаем формулу .

Это знакомая ученикам формула для нахождения суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Ее экономический смысл состоит в том, что при фиксированных значениях  и  она указывает границу, предельные возможности системы. Сколько банков мы бы не включали в нее, выдать кредитов на сумму, равную или большую числа  невозможно. Множитель  экономисты называют мультипликатором (от английского слова multiply - умножать). В нашем случае мультипликатор показывает, во сколько раз увеличивается величина начального кредита при рассмотрении бесконечной системы банков. Так, при и  имеем  и - этот результат мы уже получили выше.

Если на занятии осталось время, то можно рассмотреть решение некоторых обратных задач. При его отсутствии такие задачи можно задать на дом.

Задача 3. В первый банк некоторой системы банков внесен вклад размером С руб. Процентная ставка обязательных резервов составляет %. Сколько банков должно быть в системе, чтобы их суммарная возможность кредитования была не менее заданной величины ? Решите задачу при следующих данных:

) руб., руб.;

) руб., руб.;

) руб., руб.;

) руб., руб.

Решение. 1) Искомое число п находим из условия , где   

Решаем неравенство  Отсюда получаем   

Подбором находим, что , т.е. система должна содержать не менее четырех банков.

Подбором находим, что , т.е. система должна содержать не менее пяти банков.

) Число п находим из условия  Отсюда получаем   . Подбором находим, что , т.е. система должна содержать не менее семи банков.

) Попытка действовать по шаблону к решению не приводит. Неравенство сводится к неравенству  которое противоречиво. Это означает, что ни при каком значении п исходное неравенство не справедливо - выдать кредитов на сумму 13000 руб. рассматриваемая система банков не в состоянии. Вычислим ее предельные возможности. В нашем случае (руб.),  и величина

Ответ: не менее 4; 5; 7; такой системы не существует.

В заключение учитель вместе с учениками подводит итог. Он говорит, что на этом занятии они увидели, каким образом приобретенные знания по математике могут быть сразу использованы для решения очень важных задач современной экономики. Оказывается, что такие, на первый взгляд, бесполезные вопросы, как сумма членов геометрической прогрессии, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма, имеют глубокий экономический смысл. Более того, решая задачу о нахождении суммы п членов геометрической прогрессии, фактически нашли возможности суммарного кредитования, предоставляемых системой, состоящей из п банков.

В качестве индивидуального задания на дом каждому ученику предлагается:

1)      сочинить систему, состоящую из шести банков;

2)      назначить сумму, поступившую в первый банк системы;

)        назначить процентную ставку обязательных резервов;

)        составить таблицу, аналогичную таблице 3;

5)      вычислить  - суммарную величину кредитов, которые может предложить Ваша система банков;

)        определить предельные возможности кредитования для построенной Вами системы банков.

Мы предполагали, что вклады производятся в различные банки. Это вовсе необязательно: все вклады могли поступать в один банк, но тогда нужно было бы следить за количеством этих вкладов, что не всегда удобно с методической точки зрения.

Также это наглядно показывает ученику необходимость функционирования сложной системы коммерческих банков. Ведь только с ее помощью некоторая сумма денег может «вырасти» в несколько раз, участвуя во многих сделках. А чем больше кредитов будут выдавать банки, тем больше различных проектов будет осуществлено, тем, в конечном итоге, богаче будет наша страна [12].

Факультативное занятие №4. Математическая электровикторина по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

В ходе этой игры учащиеся делятся на несколько групп. Каждой из этих групп предлагается решить одну или несколько задач (в зависимости от количества групп). Затем, выполнив задание, предложенное учителем, учащиеся подходят к учителю и с помощью математической электровикторины проверяют правильность выполненного задания. Ниже предлагается десять задач с решениями, которые могут быть использованы при проведении занятия. Если оказалось, что задание выполнено учащимися ошибочно, то им можно предложить уже прорешанные задачи, оформленные на отдельных листах, составляющие их задание.

Задача 1. Найти трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45.

Решение. Так как число делится на 45, то оно может оканчиваться либо нулем, либо 5. Рассмотрим эти 2 случая.

Если цифру сотен обозначить через а, а разность прогрессии через , то число делится на 5, когда либо , либо . Оно же делится на 9, если  делится на 9. Остается воспользоваться тем, что ,  и - цифры.

Пусть - цифра сотен, - разность прогрессии. Но поскольку сумма трех цифр может изменяться от 0 до 27, то имеется три возможности:

.

Последнюю возможность отбрасываем, так как число 999 не делится на 5.

Пусть . Если , то , . Получим число 630. Если , то , , что невозможно.

Пусть теперь . Если , то , . Получим число135. Если , то , , что приводит к числу 765.

Так как все возможности исчерпаны, задача решена.

Ответ: 630, 135, 765 [4].

Задача 2. Для 31 курицы запасено некоторое количество корма из расчета по декалитру в неделю на каждую курицу. При этом предполагалось, что численность кур меняться не будет. Но так как в действительности число кур убывало на 1, то заготовленного корма хватило на двойной срок. Как велик был запас корма и на сколько времени был он первоначально рассчитан?

Решение. Пусть запасено было х декалитров корма на у недель. Так как корм рассчитан на 31 курицу по 1 декалитру на курицу в неделю, то .

В первую неделю израсходовано было 31 дл, во вторую 30, в третью 29 и т. д. до последней недели всего удвоенного срока, когда израсходовано было: (31-2у+1) дл.

Весь запас составлял, следовательно, х=31у=31+30+29+…+(31-2у+1).

Сумма 2у членов прогрессии, первый член которой 31, а последний 31-2у+1, равна .

Так как у не может быть равен нулю, то мы вправе обе части равенства сократить на этот множитель. Получаем: 31=63-2у и у=16, откуда х=31у=496.

Запасено было 496 декалитров корма на 16 недель.

Ответ: 496 декалитров; на 16 недель [29].

Задача 3. Группе землекопов необходимо вырыть канаву. Если бы группа работала в полном составе, канава была бы вырыта в 24 часа. Но в действительности к работе приступил сначала только один землекоп. Спустя некоторое время присоединился второй; ещё через столько же времени - третий, за ним через такой же промежуток четвертый и так до последнего. При расчете оказалось, что первый работал в 11 раз дольше последнего. Сколько времени работал последний?

Решение. Пусть последний землекоп работал х часов, тогда первый работал 11х часов. Далее, если число рывших канаву было у, то общее число часов работы определится как сумма у членов убывающей прогрессии, первый член которой 11х, а последний х, т. е. .

С другой стороны, известно, что группа из у человек, работая в полном составе, выкопала бы канаву в 24 часа, т. е. что для выполнения работы необходимо 24у рабочих часов.

Следовательно, 6ху=24у.

Число у не может равняться нулю; на этот множитель можно поэтому уравнение сократить, после чего получаем:  и .

Итак, землекоп, приступивший к работе последним, работал 4 часа.

Мы ответили на вопрос задачи; но если бы мы полюбопытствовали узнать, сколько рабочих входило в группу, то не могли бы этого определить, несмотря на то, что в уравнении число это фигурировало (под буквой у). Для решения этого вопроса в задаче не приведено достаточных данных.

Ответ: 4 часа [2].

Задача 4. Два тела, находясь на расстоянии 158 м друг от друга, начали двигаться одновременно навстречу друг другу. Первое тело движется со скоростью 10 м/с, а второе - в первую секунду прошло 3 м, а в каждую последующую - на 5 м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела встретятся?

Решение. Пусть тела встретятся через t секунд. Первое тело движется равномерно, и поэтому путь, пройденный этим телом, вычисляется по формуле . Движение второго совершается по закону арифметической прогрессии, первый член которой равен 3 м, а разность - 5 м. Поэтому из условия задачи получим уравнение  (t - натуральное число), решив которое, получим . Второй корень не удовлетворяет условию задачи, так как время не может быть меньше нуля.

Ответ: 6 секунд [22].

Задача 5. Числа  образуют арифметическую прогрессию с разностью, отличной от нуля. Известно, что  являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите k.

Решение. По условию  - последовательные члены геометрической прогрессии, т.е. имеют место равенства

.(1)

Воспользуемся теперь тем, что  и  являются соответственно вторым, четвертым и k-м членами арифметической прогрессии. Значит,

.

Подставим полученные выражения в равенства (1):

.

Из условия  получаем . (2)

Из равенства  имеем , или

. Поскольку , то . Из уравнения (2) получаем , т.е. .

Поскольку , заключаем: .

Ответ: 8 [4].

Задача 6. Поезд, отходя от станции, равномерно увеличивает скорость так, что тринадцатую минуту движения идет со средней скоростью 30 км/ч. Какое расстояние проходит поезд за первые 13 минут движения?

Решение. Расстояния (в км), которые поезд проходит при равноускоренном движении за каждую из первых 13 минут, составляют арифметическую прогрессию , , , , …, , причем , так как 30км/ч=0,5км/мин.

По формуле общего члена арифметической прогрессии получим уравнение . Так как начальная скорость поезда равна нулю, то численно значение расстояния, пройденного поездом за первую минуту, согласно равенствам  и , равно половине ускорения, т.е. половине разности прогрессии. Получаем второе уравнение: .

Решив систему уравнений:  получим  и . Тогда , т.е. за первые 13 мин поезд прошел 3,38 км.

Ответ: 3,38 км [22].

Задача 7. Пусть  и - корни уравнения , а  и - корни уравнения . Известно, что последовательность , , ,  является возрастающей геометрической прогрессией. Найти  и .

Решение. Удобно ввести в рассмотрение знаменатель прогрессии  и с его помощью записать теорему Виета для обоих уравнений. Это позволит определить  и .

Пусть - знаменатель прогрессии. Тогда по теореме Виета получаем следующее: , , , .

Из первых двух уравнений (подстановкой первого во второе) находим, что .

Так как последовательность по условию является возрастающей, то , откуда , что не противоречит тому, что прогрессия возрастающая.

Из двух вторых уравнений определяем, что  и .

Ответ: ,  [4].

Задача 8. Найти трехзначное число по следующим условиям: его цифры образуют геометрическую прогрессию; если из него вычесть 594, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке; если цифры искомого числа увеличить соответственно на 1, на 2 и на 1, то получится арифметическая прогрессия.

Решение. Если обозначить через  цифру единиц, а через - знаменатель прогрессии, то легко составить два уравнения, отражающих условия задачи:

, .

Первое уравнение можно переписать в виде , а второе - в виде , т.е. . Делением первого уравнения на второе получим , .

Следовательно, . Значит, данное число равно 842.

Однако можно пойти по другому пути: так как цифры числа образуют геометрическую прогрессию, само число больше 594, то в нашем распоряжении только три возможности: 931, 842 и 964. Второе и третье из этих чисел нужно отбросить, т.к.  и . Остается убедиться, что для числа 842 все условия задачи выполнены.

Требование, чтобы числа , ,  образовали арифметическую прогрессию, при таком решении оказывается лишним.

Ответ: 842 [4].

Задача 9. Имеющиеся в совхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за одни сутки. Однако по плану комбайны возвращались с других полей и вступали в работу последовательно: в первый час работал лишь один комбайн, во второй - 2, в третий - 3 и т.д. до тех пор, пока не начали работать все комбайны, после чего в течение нескольких часов перед завершением уборки урожая действовали все комбайны. Время работы по плану можно было сократить на 6 ч, если бы с самого начала уборки постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько было комбайнов в совхозе?

Решение. Всю работу следует принять за 1. Чтобы использовать условия задачи, нужно знать производительность одного комбайна. Однако нам не известно, сколько часов перед завершением работы по плану все комбайны работали вместе. Поскольку удобнее вводить одноименные неизвестные, то эту величину обозначим через , а через  обозначим количество часов, необходимых одному комбайну, чтобы убрать весь урожай. Тогда производительность комбайна будет равна .

В задаче спрашивается, сколько комбайнов было в совхозе. Эту величину обозначим через . Условия задачи позволяют составить три уравнения. При этом левая часть уравнения, соответствующего работе по плану, представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. При решении системы уравнений нужно исключить  и .

Итак, пусть в совхозе было  комбайнов, один смог бы убрать весь урожай за  ч. непрерывной работы, и при работе по плану все комбайны одновременно находились в поле ч. Так как все комбайны могли справиться с уборкой за 24 ч., а производительность одного комбайна , то , т.е. .

Если комбайны работают по плану, то, работая вместе, они сделали  часть всей работы. Кроме этого, первый комбайн работал  ч., второй , а -й работал 1 ч. Учитывая все это, получим уравнение:  или .

Так как , то из этого уравнения можно выразить  через : .

Последнее условие задачи можно записать в виде уравнения . Подставляя вместо  и  их выражения через , придем к квадратному уравнению , т.е. .

Решая это уравнение, найдем, что , . Второй корень не является решением, так как меньше нуля.

Ответ: 25 комбайнов [31].

Задача 10. Найти знаменатель геометрической прогрессии, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме рядом стоящих членов, разделенной на 6.

Решение. Пусть  есть искомая прогрессия, тогда для нахождения знаменателя этой прогрессии, используя условие задачи, составим уравнение .

Исключив тривиальные случаи  и , получим: , откуда .

Таким образом, решением данной задачи является геометрическая прогрессия, знаменатель которой выражается иррациональным числом.

Ответ:  [26].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной выпускной квалификационной работе рассмотрена тема «Активизация познавательной деятельности учащихся при изучении прогрессий в средней общеобразовательной школе».

В результате проведения работы были решены все поставленные задачи, и, тем самым, достигнута основная цель.

В ходе практической проверки эффективности предложенной методики было проведено 14 уроков, на последнем из которых учащиеся выполнили контрольную работу по четырем вариантам, что способствовало объективному оцениванию результатов методики. После проведенной работы можно сделать вывод о том, что уроки, проводимые в нестандартной форме, использующие различные методы научного познания и игровые формы работы, способствовали активизации познавательной деятельности учащихся во время изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». При знакомстве с прогрессиями у некоторых учеников выявились трудности вычислительного характера, например, при нахождении членов или суммы геометрической прогрессии, когда необходимо было перевести десятичную дробь в обыкновенную, также сложности возникали вначале при решении прикладных задач. Посредством проведенной контрольной работы были получены результаты, представленные в таблицах 1 и 2, причем в первой представлены оценочные результаты проведенной контрольной работы № 4 по сравнению с предыдущей контрольной работой № 3.

Таблица 1

№ К/р	Оценки
	5		4		3		2
	шт.	%	шт.	%	шт.	%	шт.	%
3	4	15	10	39	10	39	2	7
4	6	23	15	58	4	15	1	4

Таблица 2

№ задания Работа с заданием	1		2		3		4		5		6
	чел	%	чел	%	чел	%	чел	%	чел	%	чел	%
Приступили к выполнению	26	100	26	100	26	100	26	100	22	85	21	81
Справились	26	100	26	100	25	96	21	81	16	62	17	65

Результаты проведенной контрольной работы выше, чем предыдущей. Основные затруднения вызвали три последние задачи. В четвертой задаче пять учеников не смогли правильно выполнить расчеты, хотя знают все необходимые формулы. В пятой задаче шесть учеников не смогли правильно применить известные им формулы, а четыре ученика не довели до конца вычисления. В шестой задаче семь из девяти учеников не смогли правильно использовать все ограничения, заданные в условии, а оставшиеся - допустили ошибки в вычислениях.

Можно сделать вывод, что предложенная в выпускной квалификационной работе методика изучения прогрессий является успешной и действительно способствует активизации познавательной деятельности учащихся при работе с изучаемым материалом.

Выпускная квалификационная работа предназначена для начинающих учителей средних школ, желающих более детально познакомиться с методикой преподавания темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии», а также для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов, которым предстоит педагогическая практика.

Вниманию читателей в работе предлагаются:

-       примерное тематическое планирование темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»;

-       теоретическая часть, подкрепленная примерами с подробным решением;

-       методические рекомендации к изучению теоретического материала, урокам решения задач, а также к урокам повторения, обобщения, систематизации и проверке знаний по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», позволяющие активизировать познавательную деятельность учеников;

-       методические рекомендации к факультативным занятиям по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Данная выпускная квалификационная работа направлена на совершенствование учебного процесса, на применение на практике новых технологий обучения, основанных на принципах гуманизма, индивидуализации и дифференциации обучения и ориентированных на свободное развитие личности школьника.

Таким образом, познакомившись с выпускной квалификационной работой, начинающий учитель или студент в полной мере почерпнет из нее все необходимые сведения для активизации познавательной деятельности учащихся при изучении прогрессий в средней общеобразовательной школе.

ЛИТЕРАТУРА

1.     Азиев Н. Тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии», 9 кл. // Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете Первое сентября. 2004. № 23. - С. 14-17.

2.      Апанасов П.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием. Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1987. -110 с.

.        Баврин И.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи. Кн. для учащихся. - М.: Просвещение, 1994. - 296 с.

.        Бартенев Ф.А. Нестандартные задачи по алгебре. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1976. - 95 с.

.        Белотченко Е. Методические советы из опыта преподавания // Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете Первое сентября. 2001. № 5. - С. 6, 7.

.        Борчугова З.Г., Батий Ю.Ю. Организация контроля знаний учащихся в обучении математике. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1980. - 96 с.

7.    Буренок И.И., Тубаева Л.И., Цедринский А.Д. Психолого-педагогические аспекты урока математики: учебно-методическое пособие // Под общей ред. проф. С. Г. Манвелова. Армавирский государственный педагогический институт, СФ АГПИ. - Славянск-на-Кубани, 2000. - 72 с.

8.     Буряк В.К. Самостоятельные работы учащихся. Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1984. - 64 с.

9.      Гиршович В.С. Виды самостоятельных работ // Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. 1998. № 3. - М.: ООО Школьная пресса. - С. 37-40.

.        Груднев Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

.        Жохов В.И., Крайнева Л.Б. Уроки алгебры в 9 кл. Пособие для учителей к учебнику «Алгебра, 9» Макарычева Ю.Н. и др. под ред. Теляковского С.А. 2001. - М.: Вербум - М. - 160 с.

.        Инютина Е.В., Симонов А.С. Геометрическая прогрессия в экономике // Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. 2001. № 5. - М.: ООО Школьная пресса. - С. 18-21.

.        Казнев И. Релейный зачет с тестовыми заданиями по теме «Прогрессии» // Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. 2001. № 3. - М.: ООО Школьная пресса. - С. 39-42.

14.   Калашникова Л. Урок «Совет мудрецов» по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» // Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете Первое сентября. 2001. № 5. - С. 30-32.

15.    Касьяненко М.Д. Активизация познавательной деятельности учащхся при изучении математики // Из опыта преподавания математики в сред. шк. Пособие для учителей. Сост. Соколова А.В., Пикан В.В., Оганесян В.А. - М.: Просвещение, 1979. - 192 с.

16.  Клетнюк С.В. Нестандартные формы закрепления знаний // Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. 1993. № 4. - М.: ООО Школьная пресса.- С. 28 - 29.

17.   Колягин Ю.М., Луканкин Г.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. - М.: Просвещение, 1977. - 480 с.

18.    Колягин Ю.М., Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. - М.: Просвещение, 1975. - 462 с.

.        Колягин Ю.М, Сидоров Ю.В. и др. Изучение алгебры в 7 - 9 кл. Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 2002. - 287 с.

20.  Кон И. С. Психология ранней юности. Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1989. - 255 с.

21.   Коротаева Е.В. Обучающие технологии в познавательной деятельности школьников // Библиотека журнала Директор школы. - М.: Сентябрь. 2003. № 2. - С. 114-153.

22.    Кудрявцев С.В. Арифметическая прогрессия и равноускоренное прямолинейное движение // Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. 1976. № 1. - М.: ООО Школьная пресса. - С. 46-48.

.        Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х., Пособие по математике для поступающих в вузы. - 3-е изд., перераб. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 720 с.

.        Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике. Кн. для учащихся. - М.: Просвещение, 1995. - 239 с.

.        Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Короткова Л.М. Дидактические материалы по алгебре для 9 кл. - 7-е изд. - М.: Просвещение, 2002. - 160 с.

.        Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б. Алгебра - 9. Учебник для 9 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 2002. - 347 с.

.        Мещеряков Г.П. Нестандартные задачи на прогрессии // Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. 1998. № 6.- М.: ООО Школьная пресса. - С. 47-49.

.        Мухина В.С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество. Учебник для студентов вузов. - 4-е изд., стереотип. - М.: Издательский центр Академия, 1999. - 456 с.

.        Немов Р.С. Психология. Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений: в 3 кн. - 3-е изд. - М.: Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 2000. - Кн. 2: Психология образования. - 608 с.

.        Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - М.: Наука, 1976. - 200 с.

.        Перельман Я.И. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. - М.: Издательство Русанова, 1994. - 208 с.

.        Петров В.А. Математические задачи из сельскохозяйственной практики. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1980. - 64 с.

.        Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Кн. для учащихся 7-9 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

34.  Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика 5 - 11 классы // Сост. Кузнецова Г.М., Миндюк Н.Г. - 3-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2002. - 320 с.

35.    Реализация идей развивающего обучения Л. В. Занкова в основной школе (5 - 9 классы): сборник материалов. / Сост. В. С. Першович, Г. А. Грачева; под общей ред. В. Г. Гиршович. - М.: Новая школа, 1996. - 176 с.

36.  Рекомендуемое тематическое планирование // Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете Первое сентября. 2002. № 4. - С. 30, 31.

37.  Симонов А.С. Некоторые применения геометрической прогрессии в экономике // Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. 1998. № 3. - М.: ООО Школьная пресса. - С. 27-37.

38.   Смирнова Л. Дидактические игры как средство активизации учебного процесса // Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете Первое сентября. 2004. № 8. - С. 3-5, 8.

39.    Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 96 с.

.        Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1989. - 352 с.

41.   Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе. - М.: Просвещение, 1988. - 304 с.