Приложения дифференциальных уравнений в естествознании
Курсовая
работа
Приложения
дифференциальных уравнений в естествознании.
Оглавление
Введение
. Дифференциальные
уравнения
. Линейные
дифференциальные уравнения
. Приложения
дифференциальных уравнений в естествознании
. Простейшая
модель однородных популяций
4.1 Модель
нормального размножения или мальтузианская модель
5. Нелинейные
модели
5.1 Логистическая
модель
6. Задача
о квоте
6.1 Отлов
с постоянной квотой
6.2 Отлов
с относительной квотой
Заключение
Список
литературы
Введение
Искусство математического моделирования состоит
в умении адекватно перевести реальную задачу на математический язык, не теряя
при этом основных свойств оригинала. Математические модели дают возможность
установить качественные и количественные характеристики состояния процесса,
увидеть общность процессов различной природы.
В данной работе будет показано, как с помощью
дифференциальных уравнений можно решать задачи из различных областей знаний, а
именно - задачи естествознания.
1. Дифференциальные уравнения
В ходе решения задач естествознания часто
возникают соотношения, связывающие производные некоторой функции (первую,
вторую и т. д.) саму эту функцию и независимую переменную.
Например, согласно второму закону Ньютона при
движении по прямой материальной точки постоянной массы m справедлива формула F=
ma, где F - сила, вызывающая движение, а- ускорение точки. Пусть F зависит
только от времени t, т.е. F= F(t) . Вспоминая, что ускорение есть вторая
производная координаты по времени ( a(t) =
),
получаем дифференциальное уравнение относительно функции x(t):
,
для решения которого сначала находим 
как
первообразную функции 
, а затем и 
как
первообразную функцию v(t) = . Общее решение
зависит от двух произвольных постоянных. Для того чтобы их найти, обычно задают
координату и скорость в какой-то момент времени t.
Определение. Уравнение вида 
,
(1) где у = у(х) - искомая функция, называется дифференциальным уравнением n-го
порядка.
Любая функция y = 
,
обращающая уравнение (1) в тождество, называется решением этого уравнения.
Если в обычных уравнениях, решаемых в школе, требуется
найти численные значения некоторой переменной, то в дифференциальном уравнении
искомой является функция, причём в уравнение входит производная этой функции.
Простейшими являются уравнения показательного роста (или убывания)
= ky, (2)
где у = у(х) - неизвестная функция, k≠ 0 -
заданная постоянная, и уравнение гармонических колебаний
, (3)
где у - опять неизвестная функция, 
>0
- постоянная.
В различных областях человеческой деятельности
возникают задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям. Характер этих задач
и методику их решения можно описать примерно так . Изучается какой-нибудь процесс
- физический, биологический и т. д. Нас интересует изменение во времени
какой-то характеристики этого процесса, то есть некоторой величины
(температуры, давления, массы и т. п.). Если у нас имеется достаточно много
сведений о течении этого процесса, мы можем попытаться построить его
математическую модель. Во многих случаях из экспериментальных данных или из
физических и прочих законов удаётся получить информацию о скорости изменения
величины у = у(t) в зависимости от времени t, то есть от производной 
.
Эта информация обычно может быть записана в виде дифференциального уравнения с
неизвестной функцией у = у(t). Получающееся уравнение как раз и описывает наш
процесс с точки зрения его характеристики у. Отыскав все решения
дифференциального уравнения - само по себе это уже чисто математическая задача,
мы находим все возможные варианты изменения величины у. Отметим, что при
математическом описании всегда приходится делать некоторые упрощающие
предположения, пренебрегать теми или иными побочными явлениями, принимать
«идеальные условия» - одним словом, абстрагироваться от конкретных деталей. Это
приводит к известным ограничениям в применимости построенной модели.
Опыт развития различных наук показывает, что
многие далёкие друг от друга по содержанию задачи приводят к одинаковым или
сходным дифференциальным уравнениям. Поэтому естественно разработать методы
решения таких уравнений безотносительно к тем задачам, которые привели или
могут привести к ним. Этим как раз и занимается математическая теория
дифференциальных уравнений.
Если какая-нибудь задача сводится к
дифференциальному уравнению, методы решения которого уже известны, то эту
задачу можно считать решённой. В этом случае творческая часть решения
заканчивается составлением дифференциального уравнения, второй же этап -
отыскание решений уравнения - будет представлять собой хотя и важную, но чисто
техническую задачу.
Начнём наше знакомство с самых простых
дифференциальных уравнений - линейных.
дифференциальное уравнение популяция
естествознание
2. Линейные дифференциальные уравнения
Уравнение =
ky называется линейным, поскольку неизвестная функция у и её производная входят
в него линейным образом. Известно, что любое решение этого уравнения
записывается в виде
, (4)
где А - произвольная постоянная.
Оказывается, если на координатной плоскости
изобразить графики этих решений при всевозможных А, то они покроют всю
плоскость, причем через каждую точку плоскости пройдет в точности один из
графиков. Плоскость оказывается как бы «сотканной» из графиков.
(рис. 1)
Рис. 1
Докажем это, для чего найдём среди функций вида
(4) все те, графики которых проходят через данную точку 
координатной
плоскости. Для определения постоянной А получаем уравнение 
,
которое имеет единственное решение 
.
Следовательно, через нашу точку проходит один и
только один из графиков (4) - это
(5)
Полученный нами факт часто формулируют следующим
образом: дифференциальное уравнение =
ky имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию 
,
это решение задается формулой (5).
Более общее линейное дифференциальное уравнение
записывается в виде
= ky+а (6)
где а (как и k) - постоянная. Уравнение (6)
легко сводится к уже исследованному уравнению (2):
если правую часть записать в виде
(напомним, что мы считаем k≠ 0) и
обозначить функцию 
через z, то
.
Таким образом, функция z(x) = y(x) + a/k
удовлетворяет уравнению 
, поэтому 
,
то есть =
,
откуда
у(х) = 
+.
(7)
Значение постоянной опять-таки однозначно
определяется, если задано начальное условие .
Определение. Линейное дифференциальное уравнение
y' = f(x, у) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно
представить виде
' = f1(x)∙f2(у) (8)
где f1(x)и f2(у) - непрерывные функции.
Предположим, что f2(у)≠0. Тогда уравнение
(8) можно записать так:
. (9)
Интегрируя почленно уравнение (9), получим общее
решение уравнения (8):
.
При решении дифференциальных уравнений с
разделяющимися переменными можно использовать алгоритм:
1. разделить переменные;
2. интегрируя уравнение с разделёнными
переменными, найти общее решение данного уравнения;
. если заданы начальные условия, найти
частное решение, удовлетворяющее данным условиям.
Пример. Решить уравнение 5х3-у′=0.
у′=-5х3.
Разделив переменные, получаем:
=5x3dx.
Проинтегрируем полученное уравнение:
Общее решение уравнения : 
Ответ:
.
3. Приложения линейных дифференциальных
уравнений в естествознании
Рассмотрим процесс, исследование которого
сводится к линейному дифференциальному уравнению, то есть к применению
вышеизложенной теории.
М о д е л ь р о с т а п о п у л я ц и й б а к т
е р и й .
Пусть N(t) -численность размножающейся популяции
бактерий в момент времени t. При идеальных условиях приращение численности ∆N(t)
= N(t + ∆t) - N(t) за время от t до t - ∆t для многих видов
бактерий можно считать примерно пропорциональным количеству имеющихся в момент
времени t бактерий; кроме того, при малых ∆t приращение ∆N(t)
должно быть примерно пропорциональным ∆t. Таким образом, при сделанных
допущениях можно записать
∆N(t) ≈ kN(t) ∆t,
где k>0 - коэффициент, зависящий от вида
бактерий. Итак,
.
Отвлекаясь от того, что численность может
измеряться только целыми числами, будем считать, что N(t) изменяется во времени
непрерывно. Учитывая, что последнее равенство должно быть тем точнее, чем
меньше ∆t, после перехода в нем к пределу при ∆t→0, получим
дифференциальное уравнение вида (2):
.
Следовательно, N(t)= 
.
Так что, численность популяции возрастает по показательному закону. Если при
этом известна начальная численность популяции, то есть начальное условие
(0) = 
,
то, следуя формуле (5), можно записать(t)= 
.
Дифференциальные уравнения являются одним из
самых мощных средств математического решения практических задач. Особенно
широко они используются для решения задач естественнонаучного цикла: физики,
химии, биологии, экологии.
Рассмотрим конкретный пример.
Определить во сколько раз увеличится количество
бактерий за 9 часов, если в течение 3 часов их количество изменилось от 100 до
200.
Решение.
Как уже было сказано выше, скорость размножения бактерий, если для них имеется
достаточный запас пищи и созданы другие необходимые внешние условия (например,
отсутствие подавления бактерий другими видами), пропорциональна их количеству.
Пусть х - количество бактерий в данный момент,
тогда скорость изменения их количества равна производной 
.
Так как скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, то
существует k, что 
Разделяем в
дифференциальном уравнении переменные: 
Интегрируя,
получаем:
что после потенцирования даёт 
Для нахождения С используем начальное условие: при
t=0, х=100. Имеем:Се=100, С=100, и, значит, х=100 
.
Коэффициент 
находим из условия:
приt=3, х=200: 
Искомая функция: 
.
При t=9, х=800.
Ответ: количество
бактерий за 9 часов увеличится в 8 раз.
4. Простейшая модель однородных популяций
Рассмотрим водоем, в котором при
обычных природных условиях может проживать некоторое известное количество
карасей. Пусть в начальный момент времени 
оно равно 
. Необходимо определить функцию
y=y(t), описывающую число карасей в момент времени t.
Выберем систему отсчета так, чтобы
количество рыбы, находящееся в водоеме, при отсутствии промышленного отлова,
было равно 1. Тогда начальное количество может быть больше единицы, меньше
единицы или же равно ей.
Рассмотрим некоторые возможные
модели. Сначала изучим случай, когда промышленный отлов рыбы отсутствует.
.1 Модель нормального размножения
или мальтузианская модель
Это простейшая модель, когда караси
не мешают друг другу, корма хватит всем. В этом случае скорость прироста
карасей пропорциональна количеству особей, то есть 
, где k -
коэффициент пропорциональности, k>0. Общее решение этого уравнения имеет вид
.
Поле направлений и интегральные
кривые для уравнения нормального размножения изображены на графике. Однако
через некоторое время карасей станет настолько много, что им станет тесно и не
будет хватать корма. Дальнейший прирост популяции уже не будет удовлетворять
уравнению (*), и мы приходим к нелинейному случаю.
5. Нелинейные модели
.1 Логистическая модель
Если водоем с карасями невелик, или
если число карасей в большом водоеме сильно возросло, то конкуренция из-за пищи
приводит к уменьшению скорости прироста. Простейшее предположение состоит в
том, что коэффициент k линейно зависит от числа карасей, то есть k(y)= m-by.
Таким образом, приходим к уравнению размножения с учетом конкуренции, или так
называемому логистическому уравнению:
(**)
Его общее решение имеет вид:
.
Если скорость прироста карасей равна
нулю, то их численность в пруду с течением времени не меняется. Такое состояние
называется равновесным или стационарным состоянием. Оно соответствует точке
покоя уравнения (**). В данной модели ненулевое стационарное состояние 
где 
. Стационарное состояние может быть
устойчивым и неустойчивым. Если малейшие колебания системы выводят систему из
равновесного состояния, то такое состояние будет неустойчивым, если же со
временем система возвращается в положение равновесия, то такое состояние будет
устойчивым. То есть если интегральные кривые, соответствующие условиям y(0),
которые меньше или больше стационарного состояния , с течением времени приближаются к
стационарному состоянию, то стационарное состояние будет устойчивым
(равновесным).
Поле направлений и интегральные
кривые для логистического уравнения изображены на рисунке. Видно, что процесс
имеет два стационарных состояния: 
. Стационарное состояние y=0
неустойчивое, а стационарное состояние 
устойчивое. Каким бы ни было
начальное число карасей, с течением времени процесс выходит к устойчивому
состоянию равновесия .
6. Задача о квоте
До сих пор мы рассматривали
свободную популяцию карасей, развивающуюся по своим внутренним законам.
Предположим теперь, что карасей вылавливают, скорость отлова назовем квотой.
.1 Отлов с постоянной квотой
Сначала рассмотрим случай, когда
квота постоянна. Приходим к дифференциальному уравнению отлова
Величина 
характеризует разрешаемую величину
отлова, то есть квоту.
Выберем масштаб так, чтобы
коэффициенты m=b=1. Получим уравнение Риккати
являющееся уравнением с
разделяющимися переменными
.(***)
В зависимости от значения уравнение (***) имеет различные
решения. Найдем их.
). 0<
<1/4. В этом случае общее решение
имеет вид :
.
Используя начальное условие 
, получим, что
Если в начальный момент времени
число популяции удовлетворяло уравнению 
, то в некоторый момент времени Т
возможно, что популяция исчезнет, то есть y(Т)=0, Т>0. В данном случае
существуют два стационарных режима. Один из них достигается при С=0. Это будет
прямая 
Данное состояние неустойчиво,
меньшая популяция неизбежно погибнет с течением времени. Другое стационарное
состояние
будет устойчивым, это режим, на
который выходит популяция при постоянной квоте отлова 
). 
. В этом случае уравнение имеет вид
и имеет общее решение
.
Используя начальное условие , получаем решение
При условии 
Если 
, то С>0 и y>1/2 в
начальный момент времени t=0. С течением времени количество
особей приближается к ½.
Когда
, имеем С<0 и y<1/2. В этом
случае найдется такой момент времени
,
что численность карасей станет
равной 0, то есть неизбежно произойдет катастрофа - популяция исчезнет .
Если же 
, то имеем y=1/2 - установившийся
режим лова. Эта точка покоя неустойчива, так как при 
верхние гиперболы, соответствующие
случаю , стремятся к 1/2, тогда как нижние
(для 0 < ) уходят в 0.
). 
. Общее решение уравнения (***)
принимает следующий вид
.
Учитывая начальное условие , получаем, что
.
Причем при любой начальной
численности и квоте, удовлетворяющей условию , найдется такой момент времени Т,
что y(T)=0, то есть положений равновесия нет, все караси будут отловлены за
конечное время.
Итак, теоретически возможны любые
квоты 
, вплоть до максимальной, но
практически недопустимы квоты, близкие к ¼, так как в этом случае даже
небольшие отклонения приводят к вымиранию популяции. Именно поэтому данную
жесткую модель лучше заменить более мягкой моделью и организовать отлов так,
чтобы устойчиво получать улов со скоростью . Посмотрим, как это делается.
.2 Отлов с относительной квотой
Вместо абсолютной скорости отлова
возьмем относительную, то есть будем учитывать численность популяции в данный
момент. Фиксируем отлавливаемую за единицу времени долю наличной популяции ky и
получаем
.(****)
Вновь выберем масштаб так, чтобы
m=b=1. Уравнение (****) имеет вид
.
Снова получаем уравнение Риккати,
являющееся уравнением с разделяющимися переменными. Его решение имеет вид
В зависимости от k решение y(t) имеет
различное поведение на бесконечности.
1) При 0<k<1 имеется устойчивое
стационарное состояние y(t)=1-k, популяция стремится к этому состоянию (рис.в)
2) Пусть k>1. В этом случае 
, популяция исчезает (рис.г)
Таким образом, отлов с относительной квотой
экономически выгоднее. Он способен наиболее чувствительно реагировать на
изменение численности особей и тем самым позволяет избежать ее вымирания. Кроме
того, задав определенное значение параметра k, можно вывести численность
популяции на желаемый уровень.
Заключение
В данной работе я показала, что с помощью
дифференциальных уравнений можно рассмотреть рост популяции карасей. В этой
задаче корректно рассмотрены всевозможные условия, что приводит нас к более
точному результату, сводя погрешность к минимуму. Были рассмотрены примеры
решения других некоторых задач естествознания на математическом языке.
Таким образом, решение задач из различных
областей знаний с помощью дифференциальных уравнений дает качественный
результат.
Список литературы
1. Интернет
<http://festival.1september.ru/articles/534688/>
. Половинкина
Ю.С. методичка «Приложения дифференциальных уравнений»:Архангельск,2007.