Статика текучего тела

Статика текучего тела

Введение

Гидростатика - раздел гидрогазодинамики, который изучает законы равновесия жидкостей под действием приложенных сил, а также действие жидкости, находящейся в состоянии покоя, на погруженные тела и ограничивающие стенки.

Гидростатика капельных и газообразных жидкостей рассматривает жидкости, находящиеся в состоянии равновесия.

Покой жидкости может быть абсолютным и относительным.

Равновесным называется такое механическое состояние массы жидкости, при котором на неё не действовали и не действуют внешние силы и каждая частица этой массы или остаётся неподвижной относительно данной системы координат, или движется с одинаковой для всех частиц скорость, так что взаимное расположение частиц этой массы остаётся неизменным.

Для равновесия массы жидкости необходимо, чтобы сумма всех внешних сил, или их проекций на координатные оси равнялась нулю.

1. Гидростатическое давление и его свойства

Рассмотрим произвольный объём жидкости, находящийся в равновесии под действием внешних сил. Рассечём этот объём какой-либо плоскостью и мысленно отбросим часть, находящуюся с одной стороны от этой плоскости. Для сохранения условия равновесия её действие на оставшуюся часть заменим какой-то равнодействующей силой F. Если на секущей плоскости выделить элементарную площадку Dw, то на неё будет действовать часть равнодействующей силы DF. При уменьшении площади Dw до нуля предел отношения  называется гидростатическим давление р в данной точке жидкости.

Сжимающее напряжение в покоящейся жидкости называется гидростатическим давлением:

р =

или

р = .

Гидростатическое давление характеризуется тремя основными свойствами.

Гидростатическое давление направлено нормально к поверхности, на которую оно действует и создаёт только сжимающие напряжения.

Действительно, в жидкости практически не возникают растягивающие напряжения, а если она находится в покое, то в ней нет и касательных напряжений. Не может давление действовать и на площадку под углом, отличающимся от 90⁰. В этом случае давление можно было бы разложить на нормальное и касательное. А касательные напряжения могут возникнуть только при движении жидкости. Поэтому в рассматриваемом случае давление может быть только нормальным к площадке и создавать только сжимающие напряжения.

. В любой точке жидкости гидростатическое давление одинаково по всем направлениям р_x = р_y = р_z = р_n.

Для доказательства этого свойства выделим в рассматриваемом объёме жидкости призму с основанием в виде треугольника АВС и заменим действие объёма жидкости вне призмы на её боковые грани соответствующими силами. Так как призма находится в равновесии, то многоугольник этих сил замкнут. Треугольник сил подобен треугольнику АВС и из закона подобия следует, что

 =  = .

Разделим все члены этого равенства на длину призмы Dl:

 =  = .

Произведения в знаменателях этого выражения представляют площади соответствующих граней призмы. Если размеры АВ, ВС, СА и Dl будут стремиться к нулю, то в соответствии выражением получим р_АВ = р_ВС = р_СА = р.

Так как ориентация граней призмы была принята произвольно, то следует считать доказанным положение о равенстве давления в одной точке по всем направлениям р_x = р_y = р_z = р_n.

Выражением второго свойства гидростатического давления является закон Паскаля: давление на свободную поверхность передаётся во все точки покоящейся жидкости без изменений.

. Гидростатическое давление в точке зависит только от её положения в пространстве р = f.

Давление является скалярной величиной, а сила давления - вектор.

В единицах SI давление измеряется в паскалях: 1 Па = 1 .

Паскаль связан с другими единицами измерения давления следующими соотношениями:

атм. = 101325 Па = 760 мм рт. ст.;

ат = 1  = 9,81 × 10⁴ Па;

бар = 1 × 10⁵ Па;

мм вод. ст. = 1  = 9,81 Па;

мм рт. ст. = 1 Торр = 133,3224 Па.

2. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости

Выберем внутри покоящейся жидкости параллелепипед с рёбрами, параллельными координатным осям 0x, 0y, 0z и равными соответственно dx, dy и dz.

Составим уравнения равновесия этого параллелепипеда в виде уравнений проекций сил на координатные оси:

å F_x = 0; å F_y = 0; å F_z = 0

Проектируя силы на ось 0x имеем:

å F_x = dF - dF¢ + dG×cosa = 0,

где dG - равнодействующая массовая сила;

a, b, g - углы, образованные равнодействующей массовой силой dG с координатными осями 0x, 0y и 0z соответственно;

dF и dF¢ - поверхностные силы, действующие на грани ABCD и A¢B¢C¢D¢.

Поверхностные силы dF и dF¢ равны:

dF = р × dy × dz;¢ =р¢ × dy × dz,

где р и р¢ - средние гидростатические давления на площадки ABCD и A¢B¢C¢D¢ соответственно.

Гидростатическое давление является функцией координат и при переходе от грани ABCD к грани A¢B¢C¢D¢ изменяется только координата x. Следовательно, можем записать:

р¢ = р +  × dx,

и сила dF¢ равна

dF¢ = × dy × dz.

Проекция массовой силы равна:

dG × cosa = dm × j × cosa = r × dV × j × cosa = r × dx × dy × dz × j × cosa,

где j - ускорение массовой силы.

Обозначим проекции ускорения внешней массовой силы на координатные оси 0x, 0y и 0z:

X = j × cosa;= j × cosb; = j × cosg.

Проекция массовой силы равна:

dG × cosa = r × dx × dy × dz × X.

Подставляя в уравнение уравнения, и, запишем:

р × dy × dz - × dy × dz + r × X × dx × dy × dz = 0.

Получаем уравнение проекций сил на ось 0x в виде:

 + r × X = 0.

Аналогично можно получить и уравнения проекций сил на оси 0y и 0z. Система уравнений равновесия жидкости запишется в виде:

 + r × X = 0;

 + r × Y = 0;

 + r × Z = 0.

Таким образом, для равновесия массы жидкости необходимо, чтобы сумма всех внешних поверхностных и массовых сил, или их проекций на координатные оси равнялась нулю.

Умножив каждое из уравнений соответственно на dx, dy и dz и сложив, получим:

 × dx +  × dy +  × dz = r × X × dx + r × Y × dy + r × Z × dz.

Так как давление р зависит только от трёх независимых переменных координат x, y, z, левая часть последнего уравнения представляет собой полный дифференциал функции р = f:

dp =  × dx +  × dy +  × dz.

Тогда dp = r ×.

3. Поверхность уровня

Поверхностью уровня называется такая поверхность, все точки которой имеют одно и то же значение рассматриваемой функции: например, поверхность равной температуры, поверхность равного потенциала и т.д. Для рассмотрения задач гидрогазодинамики особое значение имеет поверхность равного давления, которую кратко будем называть поверхностью уровня.

Поверхность, во всех точках которой давление жидкости одинаково называется поверхностью равного давления.

Так как во всех точках поверхности уровня гидростатическое давление одинаково р = const, то изменение давления dp = 0. Из основного уравнения гидростатики dp = r × получим r × = 0.

Так как плотность r ¹ 0, то

X × dx + Y × dy + Z × dz = 0.

где X, Y и Z - проекции ускорения массовой силы на координатные оси.

Уравнение представляет собой дифференциальное уравнение поверхности равного давления, то есть уравнение поверхности уровня.

Свойства поверхности уровня

. Две поверхности уровня не пересекаются между собой.

Действительно, допустим, что поверхность давления р₁ пересекается с поверхностью давления р₂. Тогда в точках линии пересечения этих поверхностей давление должно быть одновременно равным и р₁ и р₂, что невозможно, так как р₁ ¹ р₂. Следовательно, пересечение этих поверхностей невозможно.

. Внешние массовые силы направлены нормально к поверхности уровня.

Доказать это положение можно следующим образом. Работа силы dF на элементарном пути dl равна: dА = r ×. Но для поверхности уровня трёхчлен в скобках равен нулю, поэтому работа силы dF на пути dl вдоль поверхности уровня равна нулю.

С другой стороны, согласно рис. 8 работа силы dF равна dА = dF × cosQ × dl. Поскольку dА = 0, а dF ¹ 0 и dl = 0, то cosQ должен быть равен нулю, то есть угол Q = .

Рассмотрим равновесие капельной и газообразной жидкости в поле земного тяготения в пределах небольшой ограниченной области. Ускорения свободного падения в различных точках этого пространства будут параллельны и направлены вертикально вниз. Расположим координатную ось 0z вертикально вверх. При этом ускорение свободного падения g = 9,81 м/с² будет направлено параллельно оси 0z.

Составим уравнение поверхности уровня, учитывая, что для данного случая равновесия жидкости величины X, Y и Z будут равны соответственно:

X = g_x = 0; Y = g_y = 0; Z = g_z = - g,

где g_x, g_y и g_z - проекции ускорения g по координатным осям.

Подставляя эти значения в дифференциальное уравнение поверхности уровня X × dx + Y × dy + Z × dz = 0 получим дифференциальное уравнение поверхности уровня для рассматриваемых условий:

g × dz = 0 или dz = 0.

Интегрируя это уравнение, находим

- g × z = const

или= const = С.

Так как С = const - произвольная постоянная, то это уравнение будет уравнением семейства горизонтальных плоскостей, параллельным осям 0x и 0y,

Итак, ели на жидкость действует только сила тяжести, поверхность уровня есть горизонтальная плоскость.

Следовательно, в пределах любой горизонтальной плоскости, проведенной через область, занятую покоящимся газом, давление остаётся неизменным. При равновесии газа гидростатическое давление в точке р изменяется только с высотой расположения этой точки р = f.

Если закрытый резервуар заполнен капельной жидкостью, то во всех точках свободной поверхности гидростатическое давление одинаково р₀. Свободная поверхность воды в открытом резервуаре испытывает одно и то же атмосферное давление р_бар. Свободная поверхность в этих случаях является поверхностью уровня и, следовательно, горизонтальной плоскостью. В условиях равновесия поверхность уровня неподвижна.

Волновая поверхность водоёма также есть поверхность уровня р_бар, но волновая поверхность изменяется во времени, то есть подвижна.

Проведём произвольную горизонтальную плоскость n - n. Эта плоскость также будет поверхностью уровня. Во всех точках этой плоскости давление будет одинаковым.

Так как плоскости n - n и свободной поверхности параллельны между собой, то все точки плоскости n - n находятся на одной и той же глубине. Следовательно, величина гидростатического давления зависит только от глубины погружения точки под уровень свободной поверхности и на одинаковой глубине гидростатическое давление в любой точке будет одним и тем же.

Этот вывод является выражением следствия из закона Паскаля.

Следствие из закона Паскаля: на данном горизонтальном уровне внутри покоящейся жидкости давление во всех точках одинаково.

4. Распределение гидростатического давления

В случае равновесия несжимаемой жидкости в поле земного тяготения проекции ускорения массовой силы X, Y и Z на координатные оси 0x, 0y и 0z равны соответственно:

X = g_x = 0; Y = g_y = 0; Z = g_z = - g,

где g_x, g_y и g_z - проекции ускорения g по координатным осям.

Тогда из основного дифференциального уравнения гидростатики имеем:

dp = - r × g × dz

или

 + dz = 0.

Интегрируя при r = const, имеем

 + z = С,

где С - постоянная интегрирования.

Для определения постоянной интегрирования С рассмотрим резервуар, заполненный жидкостью.

Для точки m, лежащей на свободной поверхности жидкости р = р_св и z = z₀. Подставляя эти значения в находим, что

С =  + z₀.

Тогда

 + z =  + z₀

или

р = р_св + r × g ×.

Обозначим = h,

где h - глубина погружения рассматриваемой точки под уровень свободной поверхности жидкости.

Окончательно основное уравнение гидростатики имеет вид:

р = р_св + r × g × h,

где р - полное давление в рассматриваемой точке;

р_св - давление на свободную поверхность жидкости. Часто обозначается р₀;

r × g × h - относительное давление. Эта величина равна весу столба жидкости при единичной площади и высоте h.

Общий гидростатический закон может быть сформулирован следующим образом: давление в любой точке покоящейся жидкости равно внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки с площадью основания, равной единице.

Если абсолютное давление в рассматриваемой точке р больше атмосферного р_бар, то разность представляет собой превышение полного давления над атмосферным и называется манометрическим или избыточным давлением в данной точке:

р_изб = р_ман = р_св + r × g × h - р_бар.

Если давление на свободной поверхности жидкости равно атмосферному, то

р_изб = р_ман = r × g × h.

В этом случае избыточное и весовое давление совпадают.

5. Приборы для измерения давления

Приборы для измерения давления весьма разнообразны. Они классифицируются по различным признакам.

По характеру измеряемой величины приборы разделяют на такие группы:

1. Приборы для измерения атмосферного давления - барометры.

. Приборы для измерения разности абсолютного и атмосферного

давлений, т.е. избыточного и вакуумметрического давлений:

w манометры - приборы, измеряющие избыточное давление ;

w мановакуумметры - приборы, измеряющие и избыточное давление и вакуум.

4. Приборы для измерения абсолютного давления р - манометры абсолютного давления. Манометры абсолютного давления обычно применяют для измерения малых абсолютных давлений.

. Приборы для измерения разности давлений - дифференциальные манометры.

. Приборы для измерения малого избыточного давления и вакуума - микроманометры.

По принципу действия различают приборы:

· жидкостные;

· пружинные;

· поршневые;

· электрические;

· комбинированные и др.

К жидкостным относятся приборы, основанные на использовании гидростатического закона распределения давления. Принцип действия заключается в том, что измеряемое давление уравновешивается давлением, создаваемым весом столба рабочей жидкости. Высота столба рабочей жидкости служит мерой давления.

Действие пружинных приборов основано на применении закона Гука. Сила давления деформирует упругий элемент прибора. Деформация упругого элемента пропорциональна давлению и служит его мерой. Упругий элемент прибора - пружина может представлять собой мембраны, сильфоны, трубчатые пружины овального сечения.

В поршневых приборах сила измеряемого давления жидкости, приложенная к поршню прибора, уравновешивается внешней силой, величина которой служит мерой давления.

Действие электрических приборов основано на использовании пропорциональности между изменением некоторых электрических свойств материалов и изменением давления. Например, омическое сопротивление некоторых сплавов пропорционально давлению окружающей среды. Это свойство используется для измерения высоких давлений. При измерении быстропеременных давлений используется свойство проводников изменять электрическое сопротивление при деформации. Электрический проволочный датчик наклеивают на упругий элемент, деформирующийся под действием измеряемого давления.

К комбинированным относятся приборы, принцип действия которых носит смешанный характер.

Основными характеристиками приборов, измеряющих давление, являются:

· класс точности;

· диапазон измеряемых давлений;

· чувствительность;

· линейность - линейная зависимость между измеряемой величиной и показанием прибора;

· быстродействие.

Жидкостные приборы

Основными преимуществами жидкостных приборов являются:

· простота устройства;

· стабильность показаний;

· высокая точность измерений.

Основными недостатками жидкостных приборов являются:

§ узость диапазона измеряемых давлений;

§ хрупкость стеклянных трубок;

§ необходимость пользоваться для увеличения диапазона измеряемых давлений ртутью и другими жидкостями, пары которых ядовиты.

С целью уменьшения ошибки из-за капиллярности в приборах используют стеклянные трубки диаметром 10…15 мм для воды и 6…9 мм для ртути.

Ртутный барометр. Основная часть барометра - вертикальная толстостенная стеклянная трубка со шкалой и с запаянным верхним концом, из которой полностью удален воздух. Нижний конец трубки опущен в чашу с ртутью, в которой на свободную поверхность рабочей жидкости действует атмосферное давление.

Следствие из закона Паскаля для горизонтального уровня , совмещенного с поверхностью ртути в чаше, позволяет приравнять атмосферное давление и давление столба ртути в трубке, то есть

р_бар = р_рт = r_р × g × h,

Принципиальная схема жидкостного барометра

Пьезометр. Обычно применяется для измерения избыточного давления в рассматриваемой точке. Представляет собой вертикальную стеклянную трубку со шкалой. Верхний конец трубки открыт в атмосферу. Нижний конец пьезометра соединяется с местом измерения давления. Абсолютное давление в точке С в соответствии с основным гидростатическим законом определяется выражением

р_с = р_бар + r × g × h_c,

где  - плотность жидкости;

 - глубина погружения точки, в которой измеряется давление, относительно уровня жидкости в пьезометрической трубке.

h_c =  = .

где  - плотность рабочей жидкости, ;

 - ускорение свободного падения, ;

 - высота столба ртути в трубке, м.

Высота h является мерой атмосферного давления .

Вакуумметр жидкостной. Представляет собой вертикальную стеклянную трубку со шкалой. Один конец трубки соединяется с местом измерения давления. Второй конец трубки опущен в чашу с рабочей жидкостью. Условие равенства давлений, записанное для поверхности , совмещенной со свободной поверхностью рабочей жидкости в чаше, в случае вакуумметра имеет вид

p_A + r_р × g × h_вак = р_бар.

Из этой формулы получаем выражение, определяющее численно вакуумметрическую высоту

h_вак =  = .

U - образный манометр. Представляет собой U - образную стеклянную трубку со шкалой, заполненную рабочей жидкостью до нулевой отметки. Одна ветвь манометра открыта в атмосферу, другая соединена с местом, где измеряется давление. На рис. показаны U - образные манометры для изменения избыточного и вакуумметрического давлений. На рис. показан U - образный манометр для измерения абсолютного давления. В этом случае одна ветвь манометра соединена с местом, где измеряется давление, а вторая ветвь запаяна и из нее удален воздух.

При измерении избыточного давления для горизонтального уровня  справедливо выражение

р_А = р_бар + r_р × g × Dh,

где  - разность уровней рабочей жидкости в ветвях манометра.

Очевидно, что измеренное  определяется избыточное давление

Dh =  = .

При измерении вакуумметрического давления для горизонтального уровня n-n справедливо выражение

p_А + r_р × g × Dh = p_бар.

Измеренная разность уровней рабочей жидкости в ветвях манометра  является мерой вакуумметрического давления

Dh =  = .

При измерении абсолютного давления в сосуде для горизонтального уровня  условие равенства давлений имеет вид

п_А = r_р × g × Dh.

Разность уровней  в ветвях манометра является мерой абсолютного давления в резервуаре

Dh = .

Дифференциальный манометр применяется для измерения разности давлений. Представляет собой U - образный манометр, обе ветви которого присоединяются к местам измерения давления. Разность давлений в рассматриваемых точках определяется разностью уровней рабочей жидкости в ветвях манометра.

Для горизонтального уровня  справедливо выражение

p_А + r × g × Dh = p_B + r_р × g × Dh

или

p_A - p_B = × g × Dh.

Если в рассматриваемых объемах, в которых измеряется разность давлений, находится газ, то изменением весового давления в газе, заполняющем часть измерительной трубки, обычно пренебрегают. Это, как правило, допустимо, так как плотность газов на три порядка меньше плотности жидкостей. Тогда условие равенства давлений горизонтального уровня  принимает вид

p_А = p_B + r_р × g × Dh.

Dh = .

Микроманометр применяется для измерения давления и разности давлений с достаточно высокой точностью. Представляет собой чашу, заполненную рабочей жидкостью, с наклонной трубкой и наклонной шкалой. При измерении малых давлений в газах для увеличения точности в качестве рабочих жидкостей в приборах применяют легкие жидкости, например, спирт. Показанием прибора является величина l смещения жидкости в наклонной трубке.

Для уровня  справедливо

p = p_бар + r_р × g × h.

Поскольку , избыточное давление на поверхности жидкости в чаше равно

р_изб = р - р_бар = r_р × g × l × sina,

где  - расстояние, на которое перемещается рабочая жидкость по шкале прибора при замере;

 - угол наклона трубки к горизонту.

Точность прибора возрастает с уменьшением угла наклона трубки, так как при этом увеличивается показание  прибора, соответствующее данному давлению р. Приборы с наклонной трубкой применяют для измерений давлений, равных 240…1470 Па.

Пружинные приборы

Основными преимуществами пружинных приборов являются:

· портативность;

· универсальность;

· простота устройства;

· простота применения;

· широкий диапазон измеряемых давлений.

Основным недостатком пружинных приборов является нестабильность их показаний, вызываемая рядом причин: постепенным изменением упругих свойств деформируемого элемента, возможным возникновением остаточной деформации в нем, износом передаточного механизма.

Трубчатые пружинные приборы измеряют давление в пределах от  до 1 × Па; погрешность измерений 1…3%. Мембранные приборы применяют для измерения вакуума и избыточного давления, не превышающего 2,5 МПа.

Манометр, вакуумметр и мановакуумметр с одновитковой трубчатой пружиной. Основной деталью прибора является согнутая в дуге окружности полая трубка, имеющая в сечении овальную форму. Один конец трубки запаян. Измеряемое давление р передается внутрь трубки через второй открытый ее конец. Под действием разности давлений в корпусе прибора  и внутри полой трубки р пружина деформируется.

Если р > р_бар, то избыточное давление разгибает трубку 1. если р < р_бар, то трубка сгибается, так как в ней устанавливается вакуумметрическое давление. Запаянный конец трубки, перемещаясь, приводит в действие передаточный механизм 2. Стрелка прибора перемещается относительно шкалы 3, проградуированной в единицах давления.

Приборы с мембранной пружиной. Упругим элементом мембранного прибора является мембрана 2, представляющая собой гофрированную металлическую пластинку, закрепленную между фланцами нижней и верхней частей корпуса прибора. На мембрану через канал штуцера 1 передается давление p, под действием которого мембрана прогибается. Через передаточный механизм 3 прогиб передается на стрелку прибора, скользящую по шкале.

6. Сила гидростатического давления на плоские стенки

Равнодействующая сил давления на плоскую стенку w определяется по формуле:

F = p_св × w + r × g × h_с × w,

где p_св × w = F_вн- сила внешнего давления, передаваемая на стенку по закону Паскаля, Н. Здесь p_св - внешнее давление;

r × g × h_с × w = F_ж - сила давления самой жидкости на стенку, Н;

w - площадь смоченной поверхности плоской стенки, м²:

h_с - глубина погружения центра тяжести смоченной площади С под уровень свободной поверхности, м;

h_с × w - объём цилиндра площадью основания w и высотой h_с.

Следовательно, сила, с которой жидкость давит на плоскую стенку, равна весу жидкости в объёме цилиндра с основанием, равным площади данной стенки, и высотой, равной глубине погружения центра тяжести этой площади под уровень свободной поверхности:

F_ж = r × g × h_с × w.

Так как r × g × h_с = р_с, где р_с - гидростатическое давление в центре тяжести площадки w, можно записать:

F_ж = р_с × w.

Точка приложения равнодействующей сил давления на наклонную стенку лежит ниже центра тяжести - в центре давления D.

Глубина погружения центра давления под уровень свободной h_D поверхности жидкости равна:

h_D = l_D × sinQ,

l_D - расстояние от свободной поверхности до центра давления D, считая по наклону стенки

Q - угол наклона стенки к горизонту.

Расстояние от свободной поверхности до центра давления D, считая по наклону стенки l_D, определяется по формуле:

l_D = l_С + ,

где l_С - расстояние от свободной поверхности до центра тяжести С, считая по наклону стенки;

I_C - момент инерции смоченной площади относительно оси, проходящей через центр тяжести С параллельно линии уреза жидкости.

Совпадать глубина погружения центра тяжести смоченной поверхности С и центра давления D может только в случае, если площадка горизонтальная или она лежит на бесконечно большой глубине.

Определим силу гидростатического давления на площадь w, лежащую в плоскости стенки, расположенной под углом Q к горизонту.

За ось координат 0z примем линию, совпадающую с проекцией площадки на плоскость рисунка, и продолжим её до пересечения с уровнем свободной поверхности жидкости в точке 0. Из точки 0 проведём ось 0x, нормальную к плоскости рисунка. Дополнительно, для большей наглядности повернём плоскость стенки вместе с выбранной на ней площадкой w вокруг оси 0z до совмещения с плоскостью рисунка. Тогда координатная ось 0x займёт положение 0x’, ось 0z останется на месте, а площадка w изобразится на рисунке в натуральную величину.

В каждой точке выбранной площадки w гидростатическое давление равно:

р = ,

где dF - элементарная сила;

dw - элементарная площадка.

Отсюда dF = р × dw. Следовательно, сила действующая на всю стенку равна:

F =  = .

В любой точке площадки на основании основного уравнения гидростатики полное давление р равно:

р = р_св + r × g × h.

Тогда

F = .

Здесь

h = l × sinQ,

где l - расстояние от свободной поверхности, считая по наклону стенки, до данной точки.

Следовательно,

F =  =

или

F = p_св × w + r × g × sinQ × .

Подынтегральная функция l × dw - это статический момент площадки dw относительно оси 0x’. Тогда интеграл - это сумма статических моментов всех элементов площади w, то есть статический момент самой площади w.

Статический момент площади относительно любой оси, лежащей в той же плоскости, равен произведению этой площади на расстояние от центра тяжести до оси моментов. Тогда

 = l_С × w.

где l_С - расстояние от свободной поверхности, считая по наклону стенки, до центра тяжести С смоченной поверхности.

После подстановки в получим

F = p_св × w + r × g × l_С × sinQ ×w.

С учётом выражения получаем формулу

F = p_св × w + r × g × h_с × w.

7. Сила давления на криволинейную поверхность

жидкость гидростатический давление равновесие

Равнодействующая сил давления на криволинейную поверхность F_кр равна:

F_кр = F_св + F.

где F_св - сила внешнего давления, передаваемая на криволинейную поверхность по закону Паскаля

F - сила давления самой жидкости на криволинейную поверхность.

F_св = p_св × w,

где p_св - внешнее давление;

w - площадь смоченной криволинейной поверхности.

Сила давления жидкости на криволинейную поверхность равна:

F = ,

где   - горизонтальные проекции;

 - вертикальная проекция.

Направление линии действия силы F определяется по направляющим косинусам:

cosa = ; cosb = ; cosg = ,

где a, b, g - углы наклона силы F к координатным осям.

Горизонтальные и вертикальную составляющие силы F определяют по формулам:

 = r × g × h_сx × w_x;

 = r × g × h_сy × w_y;

 = r × g × V.

где w_x - проекция криволинейной поверхности w на плоскость, перпендикулярную оси 0x;

w_y - проекция криволинейной поверхности w на плоскость, перпендикулярную оси 0y;

h_сx - глубина погружения центра тяжести проекции w_x под уровень свободной поверхности;

h_сy - глубина погружения центра тяжести проекции w_y под уровень свободной поверхности;

V - объём тела давления.

Горизонтальные составляющие силы давления на криволинейную поверхность  и  равны силе давления на вертикальные проекции этой поверхности w_x и w_y.

Вертикальная проекция  равна весу жидкости в объёме тела давления.

Тело давления - объём вертикального столба, опирающегося на заданную криволинейную поверхность w и ограниченного плоскостью свободной поверхности или её продолжением.

Тело давления может быть действительным, если оно заполнено жидкостью. В этом случае тело давления и жидкость расположены по одну сторону от криволинейной поверхности. При действительном теле давления вертикальная составляющая  направлена вниз. Фиктивное тело давления не заполнено жидкостью. Тело давления и жидкость расположены по разные стороны от криволинейной поверхности. Вертикальная составляющая  направлена вверх.

Горизонтальные составляющие  и  проходят через центр давления проекций w_x и w_y, а вертикальная составляющая  проходит через центр тяжести тела давления.

Сила давления жидкости на цилиндрическую поверхность определяется по формуле:

F =

 = 0, так как на плоскость, нормальную оси 0y, цилиндрическая поверхность проектируется в виде линии, то есть w_y = 0.

Расположим координатные оси 0x и 0y в плоскости свободной поверхности жидкости и направим ось 0z вертикально вверх. Допустим, что внутри жидкости расположена невесомая, жёсткая, непроницаемая криволинейная пластинка, не имеющая толщины. Такая пластинка будет неподвижной. Требуется определить, с какой силой жидкость давит на эту пластинку.

Силы давления на верхнюю сторону пластинки F’ и на нижнюю F равны между собой, но направлены в прямо противоположные стороны и взаимно уравновешены. Найдём одну из них, например F, равнодействующую элементарных сил dF.

Так как поверхность пластинки криволинейна, то силы dF образуют систему непараллельных сил. Такая система в общем случае приводится к главному вектору и одной паре сил.

Разложим каждую элементарную силу dF на три составляющие по координатным осям, то есть dF_x, dF_y и dF_z:

dF_x = p × cosa × dw;_y = p × cosb × dw;_z = p × cosg × dw,

где a, b, g - углы наклона элементарных сил dF к координатным осям, различные для разных площадок dw. Суммируя проекции элементарных сил, найдём соответствующие проекции равнодействующей силы F:

 = å p × cosa × dw;

 = å p × cosb × dw;

 = å p × cosg × dw.

Сила F по величине будет равна:

F = .

Направление линии действия силы F определяется по направляющим косинусам:

cosa = ; cosb = ; cosg = .

Указанный способ решения осложняется или даже становится невозможным, если поверхность w не может быть выражена алгебраически в виде функции w. Для упрощения решения систему уравнений запишем в виде:

dF_x = p × dw × cosa = p × dw_x;_y = p × dw × cosb = p × dw_y;_z = p × dw × cosg = p × dw_z,

где р - гидростатическое давление в точке;

dw_x - проекция площадки dw на вертикальную плоскость, перпендикулярную оси 0x;

dw_y и dw_z - проекции площадки dw на плоскости, перпендикулярные осям 0y и 0z.

Выражение представляет собой силу давления жидкости на элементарную площадку dw_x.

Интегрируя, получим

F_x =  = .

Но интеграл  представляет собой силу давления жидкости на всю плоскую площадку w_x, поэтому

 = r × g × h_сx × w_x,

Итак, получаем формулу:

 = r × g × h_сx ×w_x,

где w_x - проекция криволинейной поверхности w на плоскость, перпендикулярную оси 0x;

h_сx - глубина погружения центра тяжести площади w_x под уровень свободной поверхности.

По аналогии получаем формулу:

 = r × g × h_сy × w_y,

где w_y - проекция криволинейной поверхности w на плоскость, перпендикулярную оси 0y;

h_сy - глубина погружения центра тяжести проекции w_y под уровень свободной поверхности.

Вертикальная проекция силы F, то есть сила F_z равна:

F_z =  = ,

где h - глубина погружения площадки dw под уровень свободной поверхности.

Произведение h × dw_z можно рассматривать как элементарный объём dV. Поэтому силу F_z можно выразить как:

F_z =  = r × g × = r × g × V.

Это формула

F_z = r × g × V.

где V - объём тела давления.

Основное уравнение гидростатики р = р₀ + r ×g×h является уравнением прямой линии. Следовательно, изменение гидростатического давления по глубине подчиняется линейному закону. В связи с этим для построения эпюры гидростатического давления, действующего на плоскую фигуру, достаточно иметь только две точки, по которым строится прямая линия.

Рассмотрим случай построения эпюры абсолютного и избыточного давления, действующего на плоскую стенку АВ. Плоская стенка наклонена к горизонту под некоторым углом a и поддерживает жидкость, имеющую глубину Н.

За начало координат примем точку 0, где уровень поверхности жидкости пересекается со стенкой АВ. За ось давлений принимаем направление гидростатического давления, нормальное к наклонной стенке АВ. По этой оси будем откладывать в выбранном масштабе гидростатические давление, определяемые зависимостью р = f, а по вертикальной оси - соответствующие глубины жидкости h.

Имея в виду, что h = l×sina основное уравнение гидростатики перепишем следующим образом:

р = р₀ + r ×g×h = р₀ + r ×g×l×sina.

Следовательно, р = f и р_изб. = f.

У поверхности жидкости при l = 0 и h = 0, абсолютное гидростатическое давление равно р = р₀. При l = L и h = Н

р = р₀ + r ×g×l×sina = р₀ + r ×g×h.

Полученные точки соединим прямой линией, В результате получим эпюру абсолютного гидростатического давления на плоскую стенку в виде трапеции. Пользуясь этой эпюрой можно графическим путём находить гидростатическое давление, соответствующее любой глубине жидкости.

Аналогично построим эпюру избыточного гидростатического давления. Избыточное давление на поверхности жидкости при l = 0 и h = 0 равно нулю. При l = L и h = Н избыточное давление равно р_изб. = r ×g×l×sina = r ×g×h. Соединяя полученные точки прямой линией, получим эпюру избыточного гидростатического давления на плоскую стенку в виде треугольника.

Форма треугольника зависит только от рода жидкости. На рис. 1.2 показаны три эпюры избыточного гидростатического давления для бензина, воды и ртути. Для жидкостей более легких, чем вода наклон линии круче, чем для воды. Для тяжёлых жидкостей эпюра гидростатического давления представлена треугольником с пологой стороной 0а и острым углом.

Предположим, что на вертикальную стенку АВ, являющуюся, например, разделительной стенкой резервуара, однородная жидкость оказывает давление с двух сторон. При этом с левой стороны жидкость имеет глубину Н₁, а с правой стороны - глубину Н₂. Таким образом, стенка АВ будет подвержена действию параллельных сил гидростатического давления, направленных в противоположные стороны.

Результирующая эпюра избыточного гидростатического давления представлена трапецией OMNB.

Для криволинейных стенок форма эпюр гидростатического давления будет значительно сложнее. Большая сложность эпюр является следствием того, что в каждой точке гидростатическое давление будет нормально к криволинейной стенке. Поэтому линия, ограничивающая эпюру, будет предоставлять собой кривую, для построений которой двух точек недостаточно.

10. Равновесие газов

Газы относятся к сжимаемым жидкостям и уравнения равновесия должны учитывать их сжимаемость. Поэтому дифференциальные уравнения равновесия для газов должны быть дополнены характеристическими уравнениями, связывающими плотность r, давление p и температуру T.

Итак, для газов справедливы:

· уравнение поверхности уровня

X × dx + Y × dy + Z × dz = 0;

· характеристическое уравнение r = f.

Связь между плотностью, давлением и температурой устанавливает уравнение состояния газа:

r =  или  = R × T или pV_уд = R × T,

где р - абсолютное давление, Па;

Т - абсолютная температура, К. Т =;

V_уд - удельный объём;

R - удельная газовая постоянная, различная для разных газов, но не зависящая от температуры и давления, Дж/;

r - плотность, кг/м³.

В случае изотермного процесса изменение давления и объёма газа происходит при поддержании одной и той же температуры. Уравнение состояния определяется законом Бойля-Мариотта:

 = const или pV_уд = const.

Адиабатный процесс представляет собой случай изменения давления в условиях отсутствия теплообмена. Уравнение адиабаты имеет вид:

 =  = … =  = const,

где k - показатель адиабаты.

Общим случаем является политропный процесс. Уравнение политропы записывается в виде:

 =  = … =  = const,

где n - показатель политропы.

В связи с указанными вариантами характеристического уравнения рассмотрим закон распределения давления в следующих трёх предположениях:

а) плотность постоянна при небольшой высоте столба газа;

б) плотность изменяется, подчиняясь изотермному закону;

в) плотность изменяется по уравнению политропы.

Расположим координатную систему так, чтобы оси 0x и 0y были горизонтальны, а ось 0z была направлена вертикально вверх. Тогда для жидкости в поле земного тяготения проекции ускорения массовой силы на координатные оси равны:

X = g_x = 0; Y = g_y = 0; Z = g_z = - g,

где g_x, g_y и g_z - проекции ускорения g по координатным осям.

Тогда из основного дифференциального уравнения гидростатики имеем:

dp = - r × g × dz

Распределение давления при небольшой высоте столба газа

Запишем уравнение в виде  + g × dz = 0 и проинтегрируем с учётом r = const. Подучим:

 + g × z = С,

Постоянная интегрирования С определяется из условий на границе. Если на некоторой заданной высоте z₀ известно давление р₀, то подставляя эти значения в уравнение найдём

С =  + g × z₀.

Следовательно,

 + g × z =  + g × z₀

или

 =  + g ×.

Из этого уравнения видно, что давление убывает с увеличением высоты расположения данной точки.

Таким образом, при небольшой высоте столба газа и постоянной плотности r распределение давления аналогично таковому для капельной жидкости.

Распределение давления при изотермном процессе

По уравнению состояния r = . В этом случае основное дифференциальное уравнение получит вид

dp = - r × g × dz = -  × g × dz

или после разделения переменных

g × dz = - R × T × .

Интегрируя это уравнение при R ´ T = const, находим

g × = - R × T × = R × T × = R × T × .

Обозначая = h, где h - превышение интересующей нас точки 2 над точкой 1, то же уравнение запишем в виде

g × h = R × T ×  или g × z₁ +  × ln p₁ = g × z₂ +  × ln p₂.

Давление газа по высоте с учётом его сжимаемости в изотермных условиях распределяется по логарифмическому закону.

Эта же зависимость может быть представлена в такой форме:

 =  или р₂ = р₁ ×

Отсюда видно, что изменение давления при изменении высоты следует экспоненциальному закону. При h → ∞ р → 0.

Распределение давления при политропном процессе

В этом случае из уравнения политропы r = r₀ × . Делая подстановку в основное дифференциальное уравнение гидростатики, получим

dp = - r × g × dz = - r₀ ×  × g × dz,

откуда

dz = -  × .

Интегрируя, получим

=  × .

Из уравнения политропы можно записать

 =  и  = .

С учётом этой записи предыдущее выражение принимает вид

 ×  =  × .

Мы получили уравнение, которое определяет закон распределения давления при политропном процессе:

g × z₁ +  ×  = g × z₂ +  ×

или в более общей форме

g × z +  ×  = g × z +  ×

Для адиабатного процесса, заменяя показатель политропы n на показатель адиабаты k, имеем

g × z +  ×  = g × z +  ×

Распределение температуры

Пользуясь формулой, можно составить уравнение, определяющее собой закон распределения температуры в покоящейся газовой среде.

По уравнению состояния имеем

 = R × T₁ и  = R × T₂.

Подставляя эти значения в уравнение, найдём

g × z₁ +  × R × T₁ = g × z₂ +  × R × T₂,

что и представляет собой закон распределения температуры.

Обозначая буквой h разность, находим

 × R × T₂ =  × R × T₁ - h × g,

откуда

Т₂ = Т₁ -  × h × g.

Из формулы следует, что изменение температуры по высоте происходит по линейному закону.

Для адиабатного процесса, подставляя вместо показателя политропы n на показатель адиабаты k, имеем

Т₂ = Т₁ -  × h × g.

Для воздуха показатель адиабаты k равен 1,4, а удельная газовая постоянная R = 287,14 Дж/. Тогда из уравнения получим

Т₂ » Т₁ - 0,01 ´ h.

Отсюда видим, что с увеличением высоты на 100 м температура воздуха понижается примерно на 1 градус.