Установка вида сходимости ряда Фурье
Задача №2
Дана Т - периодическая функция f(t)
Обосновать возможность разложения f(t)
в ряд Фурье, установить вид сходимости ряда Фурье к f(t)
Данная функция f(t)
удовлетворяет условиям теоремы Дирихле:
Теорема Дирихле: Если Т - периодическая функция f(t)
удовлетворяет условиям Дирихле на каком либо замкнутом интервале длиной Т:
· Непрерывна или имеет конечное число
точек разрыва первого рода
Ряд Фурье сходиться на всей оси t
и сумма ряда Фурье равно f(t)
во всех точках непрерывности этой функции в точке t0
разрыва первого рода функции f(t)
сумма ряда Фурье равна
данная функция f(t)
удовлетворяет условиям сходимости в среднем.
Признак Ляпунова: Если Т -
периодическая функция f(t)
удовлетворяет условиям для
кусочно-непрерывна и интегрируема с
квадратом, то ряд Фурье сходиться среднеквадратично к f(t).
Представить заданную функцию тригонометрическим
рядом Фурье, предварительно вычислить коэффициенты ряда Фурье.
Построить амплитудный и фазовый спектры функции.
Определить число гармоник разложения функции в
ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии.
Чтобы определить число гармоник, содержащих в
сумме не менее 90% энергии, сначала рассчитаем энергию вносимую каждой гармоникой
в отдельности по следующей формуле:
сумма первых 5-и гармоник даёт больше 90%
Вычислить среднеквадратичную ошибку между
исходной функцией f(t)
и частичной суммой Фурье для t,
принадлежащих промежутку задания f(t).
Среднеквадратичную ошибку можно вычислить по
следующей формуле:
Построить графики заданной функции и частичной
суммы ряда Фурье для значений t,
принадлежащих промежутку задания f(t),
взяв число гармоник, определённых в пункте №5.
Построим исходную функцию и частичную сумму ряда
Фурье(90%)
Построить график квадрата отклонений функции и
частичной суммы ряда для t
из промежутка задания f(t).
Построим: квадрат отклонений функции и частичную
сумму ряда Фурье.
Задача №3
Для функции, заданной на конечном интервале,
построить периодическое продолжение заданным образом.
[0,1] (чётное)
Построим периодическое продолжение. Так как
функция четная, то график её будет симметричен относительно оси Оу
Обосновать возможность разложения f(t)
в ряд Фурье, установить вид сходимости ряда Фурье к f(t).
Теорема Дирихле: Если Т - периодическая функция f(t)
удовлетворяет условиям Дирихле на каком либо замкнутом интервале длиной Т:
· Непрерывна или имеет конечное число
точек разрыва первого рода
· Монотонна либо имеет конечное число
максимумов и минимумов
Ряд Фурье сходится на всей оси t и сумма
ряда Фурье равно f(t) во всех
точках непрерывности этой функции в точке t0 разрыва
первого рода функции f(t) сумма ряда
Фурье равна данная функция f(t)
удовлетворяет условиям сходимости в среднем.
Теорема Вейерштрасса: если Т -
периодическая функция f(x) на
каком-либо замкнутом интервале. Например [-T/2,T/2]
удовлетворяет условиям: непрерывности и f(-T/2)=f(T/2), то
тригонометрический ряд Фурье сходиться к f(x)
равномерно.
Представить заданную функцию
тригонометрическим рядом Фурье, предварительно:
б) вычислить коэффициенты ряда
Фурье.
Построить амплитудный и фазовый спектры функции.
Определить число гармоник разложения функции в
ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии.
Вычислить среднеквадратичную ошибку между
исходной функцией f(t)
и частичной суммой Фурье для t,
принадлежащих промежутку задания.
Среднеквадратичную ошибку можно вычислить по
следующей формуле:
1. Построить графики
заданной функции и частичной суммы ряда Фурье для значений t,
принадлежащих промежутку задания f(t),
взяв число гармоник, определённых в пункте №5.
Построить график квадрата
отклонений функции и частичной суммы ряда для t
из промежутка задания f(t).
среднеквадратичный фурье гармоник амплитудный