Гидростатическое давление
Гидростатическое
давление. Закон Паскаля
На жидкость, находящуюся в состоянии равновесия,
действуют две категории сил: поверхностные и массовые (объемные). К последним
относятся: вес, силы инерции, центробежные. Под влиянием этих сил в каждой
точке находящейся в равновесии жидкости возникает гидростатическое давление р,
величина которого определяется по выражению.
где ΔP
- сила давления, действующая на площадку ΔS.
На внешней поверхности жидкости гидростатическое
давление всегда направлено по внутренней нормали, а в любой точке внутри
жидкости его величина не зависит от ориентировки площадки, на которой оно
действует. Поверхность, во всех точках которой гидростатическое давление одинаково
называется поверхностью равного давления.
К последним относится и свободная поверхность,
т. е. поверхность раздела между жидкостью и газообразной средой.
Для любой точки жидкости, находящейся в
состоянии равновесия, справедливо равенство.
z+p/γ = z0+p0/γ
= ... =
H,
где: p - давление в данной точке А (см. рис.);
p0 - давление на свободной поверхности жидкости; p/γ
и
p0/γ
-высота
столбов жидкости (с удельным весом γ), соответствующая
давлениям в рассматриваемой точке и на свободной поверхности; z и z0 -
координаты точки А и свободной поверхности жидкости относительно произвольной
горизонтальной плоскости сравнения (x0y); H - гидростатический напор. Из
вышеприведенной формулы следует:
= p0+γ(z0-z)
или p = p0+γ·h
где h - глубина погружения рассматриваемой
точки. Приведенные выше выражения называется основным уравнением гидростатики.
Величина γ·h представляет вес
столбика жидкости высотой h с площадью основания, равной единице.
Таким образом, как это следует из выражения,
гидростатическое давление p в данной точке равно сумме давления на свободной
поверхности жидкости p0 и давления, производимого столбиком жидкости высотой,
равной глубине погружения точки. Согласно этому уравнению, давление на
поверхности жидкости p0 передается всем точкам объема жидкости и по всем
направлениям одинаково (закон Паскаля).
Гидростатическое давление, как и напряжение, в
системе СГС измеряется в дин/см2, в системе МКГСС - кгс/м2, в системе СИ - Па.
Кроме того, гидростатическое давление измеряется в кгс/см2, высотой столба жидкости
(в м вод. ст., мм рт. ст. и т. д.) и, наконец, в атмосферах физических (атм) и
технических (ат) (в гидравлике пока еще преимущественно пользуются последней
единицей). Здесь #"520343.files/image003.gif">
Из выражений последних двух выражений следует,
что вакуум может изменяться от нуля до атмосферного давления; максимальное
значение hвак при нормальном атмосферном давлении (760 мм рт. ст.) равно 10,33
м вод. ст.
Гидростатическое давление измеряют в
кг на 1 кв. см. Большие давления выражают часто в атмосферах, принимая за 1
атмосферу давление в 76 см столбартути
<#"520343.files/image004.gif">
Это уравнение и есть уравнение Бернулли. Это
уравнение является следствием закона сохранения энергии для установившегося
течения идеальной жидкости (p - статическое давление, p*(v*v)/2 - динамическое
давление, pgh - гидростатическое давление).
Динамическое давление связано с движением
жидкости и проявляется в том случае, если жидкость при встрече с препятствием
теряет скорость (v ->0).
Свойства
гидростатического давления
Первое свойство. Гидростатическое давление
направлено всегда по внутренней нормали к поверхности, на которую оно
действует.
Рассмотрим силу гидростатического давления Р,
приложенную в точке С под углом к поверхности А-В объема жидкости, находящегося
в покое (рис. ). Тогда эту силу можно разложить на две составляющие: нормальную
Рп и касательную Рt к поверхности А-В. Касательная составляющая-это
равнодействующая сил трения, приходящихся на выделенную поверхность вокруг
точки С. Но так как жидкость находится в покое, то силы трения отсутствуют, т.
е. Рt =0.
Следовательно, сила гидростатического давления Р
в точке С действует лишь в направлении силы Рп, т. е. нормально к поверхности
А-В.Причем направлена она только по внутренней нормали. При предположении
направления силы гидростатического давления по внешней нормали возникнут
растягивающие усилия, что приведет жидкость в движение. А это противоречит
условию. Таким образом, сила гидростатического давления всегда сжимающая, т. е.
направлена но внутренней нормали.
Второе свойство состоит в том, что в любой точке
внутри жидкости давление по всем направлениям одинаково. Иначе это свойство
давления звучит так: на любую площадку внутри объёма жидкости, независимо от её
угла наклона, действует одинаковое давление.
Докажем второе свойство.
Для доказательства этого свойства выделим в
жидкости, находящейся в равновесии, частицу в форме треугольной призмы с
основанием в виде прямоугольного треугольника А-В-С. Будем рассматривать этот
объём в некоторой произвольной системе координат X,Y,Z. При этом ось у
перпендикулярна плоскости. Заменим действие жидкости вне призмы на ее боковые
грани гидростатическим давлением соответственно Pх, Pz, Pе.
Кроме этих сил на призму действует
сила тяжести dG, равная весу призмы g*dz*dx*dy/2.
Силой тяжестью можно пренебречь. Так
как она будет величиной 3-го порядка малости, а силы действующие на грани
призмы 2 -го порядка малости.
Так как частица жидкости находится в
равновесии, в покое, то сумма проекций всех сил, приложенных к ней, на любое
направление равна нулю т.е.
Подставляя dz=de sina и dx=de cosa в предыдущие
уравнения и разделив каждое уравнение dy, получим
Из выражений следует
Следовательно, гидростатическое давление на
наклонную грань Ре одинаково по величине с гидростатическим давлением на вертикальную
и горизонтальную грани. Так как угол наклона грани a взят произвольно, то можно
утверждать, что гидростатическое давление в любой точке жидкости действует
одинаково по всем направлениям.
Третье свойство. Гидростатическое давление в
точке зависит только от ее координат в пространстве, т. е.
Это свойство не требует специального
доказательства, так как очевидно, что по мере увеличения заглубления точки под
вровень давление в ней будет возрастать и, наоборот, по мере уменьшения
заглубления - уменьшаться.
Определим теперь величину давления внутри
покоящейся жидкости. С этой целью рассмотрим произвольную точку А, находящуюся
на глубине ha. Вблизи этой точки выделим элементарную площадку dS. Если
жидкость покоится, то и т. А находится в равновесии, что означает
уравновешенность сил, действующих на площадку.- произвольная точка в жидкости,-
глубина т. А,- давление внешней среды,- плотность жидкости,- давление в т. А,-
элементарная площадка.
Сверху на площадку действует внешнее
давление P0 (в случае, если свободная поверхность граничит с атмосферой, то ) и вес
столба жидкости. Снизу - давление в т. А. Уравнение сил, действующих на
площадку, в этих условиях примет вид:
.
Разделив это выражение на dS и учтя,
что т. А выбрана произвольно, получим выражение для P в любой точке покоящейся
жидкости:
;
где h - глубина жидкости, на которой
определяется давление P.
Полученное выражение носит название
основного уравнения гидростатики.
Виды
потерь
Линейные потери напора
Линейные потери напора могут быть рассчитаны по
формуле Дарси-Вейсбаха.
Где:
l - коэффициент линейного сопротивления, безразмерная величина;- длина трубы
или канала, м;- диаметр (гидравлический диаметр), м;- скорость, м/с;- ускорение
свободного падения, 9,8 м/с2.
Местные
потери напора
В
качестве примера местного сопротивления рассмотрим внезапное расширение трубы.
В местах завихрений происходит интенсивное перемешивание, соприкасаются слои
жидкости, имеющие разные скорости, а, следовательно, появляются силы трения. Работа
сил трения в этом месте приводит к потерям энергии.
В
этом месте происходит интенсивное перемешивание и силы трения совершают работу,
приводящую к потерям напора
Аналогичные явления возникают и при прохождении
жидкости через повороты, вентили, задвижки и т.д. Механизм появления потерь
подсказывает и способы снижения потерь. Плавное изменение скорости по величине
и направлению может снизить эти потери в десятки раз.
Формула аналогична формуле
Дарси-Вейсбаха <#"520343.files/image026.gif">
Р =g hcп
= pс ,
где hсп - расстояние от пьезометрической
поверхности до центра тяжести С смоченной части стенки; рс - избыточное
давление в центре тяжести, w - площадь смоченной поверхности АВ.
Точка приложения равнодействующей сил давления
называется центром давления. Она определяется как:
где - момент инерции плоской смоченной
фигуры относительно горизонтальной оси (табл.), проходящей через ее центр
тяжести; yD , ус - расстояния до центров давления и тяжести, измеряемые вдоль
продольной оси симметрии (или ее продолжения) фигуры от пьезометрической поверхности.
Фигура
|
Положение
центра тяжести
|
Площадь,
Момент
инерции (Jxx=Jc)
|
|
Равнобедренный
треугольник
|
от основания
|
|
|
|
Прямоугольник
|
от основанияbh
|
|
|
|
Равнобедренная
трапеция
|
|
|
|
|
Круг
|
В центре
круга
|
|
|
|
Круговое
кольцо
|
|
|
|
Эпюра давления
Графики, изображающие изменение
величины гидростатического давления по контуру тела, соприкасающегося с
жидкостью, называются эпюрами гидростатического давления. Анализируя основное
уравнение гидростатики (p = p0 +ρgh) приходим к выводу, что
распределение давления по стенке АВ линейно зависит от величины h. При этом
надо помнить, что в любой точке эпюры давление направлено по нормали к
поверхности стенки.