Амплитудный базовый модулятор на нелинейном элементе

1. Исходные данные

Статическая вольт-амперная характеристика нелинейного элемента:

Таблица 1

Таблица 2

Таблица 3

2. Задача № 1

Рассчитать характеристики амплитудного базового модулятора на нелинейном элементе (в качестве нелинейного элемента (НЭ) предполагается некоторый биполярный транзистор, включенный по схеме с общим эмиттером). Статическая вольт-амперная характеристика (ВАХ) прямой передачи которого задана в таблице 1.

Аппроксимировать статическую характеристику прямой передачи транзистора в интервале входных напряжений от 0 В до 2.8 В включительно полиномом четвертой степени. Рассчитать и построить ВАХ с шагом по напряжению 0.1 В.

Выполнение.

Запишем полином четвертой степени:

Для определения коэффициентов а₀, а₁, а₂, а₃, а₄ необходимо разрешить систему из пяти уравнений вида:

Решим эту систему:

Система уравнений решена.

Рассчитаем ВАХ в соответствии с техническим заданием.

Построим ВАХ.

Вольт-амперная характеристика амплитудного базового модулятора на НЭ.

1.1    Для заданного в таблице 1 значения амплитуды U_m несущего высокочастотного напряжения на базе транзистора рассчитать и построить статическую модуляционную характеристику (СМХ) - зависимость амплитуды первой гармоники выходного тока от напряжения смещения на базе транзистора с шагом напряжения 0.1 В.

Выполнение.

Для построения СМХ следует в выражение:

необходимо подставить напряжение:

и привести это выражение к виду:

,

где I₀ - постоянная составляющая тока, I₁, I₂, I₃, I₄ - амплитуды 1,2,3,4 гармоник несущей частоты f_н. Функция I₁ (E) и есть искомая СМХ.

Построим СМХ.

Статическая модуляционная характеристика

Выбрать рабочую точку в середине прямолинейного участка СМХ. Рассчитать и построить зависимости коэффициента нелинейных искажений К_ни огибающей тока первой гармоники и глубины модуляции М₁ первой гармоники выходного тока от амплитуды гармонического модулирующего сообщения U_нч для 5-8 значений U_нч, входящих за пределы линейного участка СМХ; при расчетах использовать полученное выше (п.1.2) аналитическое выражение для СМХ. Объединить построенные графики в зависимость К_ни (М₁); максимальное значение М₁ должно быть не менее 99%.

Выполнение.

Определим на графике СМХ участок, наиболее близкий к прямолинейному:

,

где Е₀ - рабочая точка.

Произведем замену в выражении для I₁ (E) (из п.1.2):

,

где F - частота модулирующего гармонического сообщения, Uнч - его амплитуда.

Аналитически преобразуем это выражение к виду:

,

где:

·        I₁ (t) - огибающая тока первой гармоники

·        I_1H - амплитуда тока несущей частоты в отсутствии модуляции

·        I_1F - амплитуда полезной составляющей спектра огибающей

·        I_2F и I_3F - высшие гармоники модулирующей частоты в спектре огибающей, характеризующие нелинейные искажения огибающей, возникающие в процессе модуляции.

Рассчитаем зависимость коэффициента нелинейных искажений К_ни огибающей:

Рассчитаем зависимость глубины модуляции М₁ тока первой гармоники от U_нч:

Рассчитаем зависимость К_ни (М₁):

Построим рассчитанные зависимости.

Коэффициент нелинейных искажений огибающей тока первой гармоники

Глубина модуляции первой гармоники выходного тока

Зависимость К_ни (М₁)

Рассчитать и построить спектр модулирующего периодического сообщения x (t). Форма которого и параметры Т и τ заданы в таблице 2. при построении спектра нормировать его относительно параметра А (т. е полагать параметр А=1). Сообщение на интервале (-τ/2,τ/2) задается уравнением:

Определить эффективную ширину спектра по энергетическому критерию:

,

где Е_х - энергия сообщения x (t) на интервале (-τ/2,τ/2), Е_гэфф - энергия сосредоточенная в эффективной полосе частот (без учета энергии постоянной составляющей). Рассчитать добротность колебательного контура модулятора, исходя из условия, что глубина модуляции выходного напряжения М_u составляет на крайних боковых частота спектра АМ-сигнала 0.707М₁.

Выполнение:

Запишем функцию модулирующего сообщения из таблицы 2:

Спектром периодической функции называется совокупность коэффициентов разложения ее в ряд Фурье. Запишем тригонометрический ряд Фурье в виде:

,

где:

 коэффициенты a_к и b_к найдем по формулам:

Входящие в вышенаписанные формулы неизвестные найдем по следующим формулам:

Косинус - четная функция, следовательно, все коэффициенты b_к=0.

Теперь рассчитаем искомый спектр для 26 гармоник.

Амплитудный спектр модулирующего периодического сообщения x (t)

Определим эффективную ширину спектра F_эфф по энергетическому критерию:

,

где Е_х - энергия x (t) на интервале (-τ/2,τ/2), без учета энергии постоянной составляющей.

Определим функцию E_F (N) - зависимость энергии, сосредоточенной на некоторой полосе частот F=N/T (без учета энергии постоянной составляющей) от числа гармоник N, учитываемых в спектре:

Эффективная ширина спектра F_эфф равная значению аргумента N, деленному на Т, при котором:

Найдем N:

то есть:

Добротность Q колебательного контура модулятора определяется из условия, что глубина модуляции выходного напряжения M_u составляет на крайних боковых частотах спектра АМ сигнала 0.707М₁. Параметры M_u и М₁ связаны соотношением:

откуда следует:

,

что равно:

Рассчитать и построить амплитудный спектр и временную диаграмму напряжения на выходе модулятора, если модуляции производится периодическим сообщением x (t) из п.1.4 При расчетах амплитуду сообщения А выбрать по первому графику п.1.3 из условия, что К_ни = 5%; в дальнейшем СМХ в полученном интервале считать линейной; эквивалентное сопротивление колебательного контура при резонансе R_э = 1000 Ом. Рассчитать значение индуктивности L_к и емкости C_к колебательного контура, используя заданное в таблице 2 значение частоты несущего сигнала f_н.

Выполнение.

Определим амплитуду сообщения А:

, откуда А=0.7

Построим временную диаграмму напряжения на выходе модулятора:

,

где k_СМХ - крутизна (значение первой производной) СМХ в рабочей точке, а сообщение x (t) представлено в виде тригонометрического ряда Фурье.

СМХ:

Сообщение x (t), записанное в виде ряда Фурье:

Построим спектр:

Временная диаграмма напряжения на выходе модулятора

Амплитудный спектр напряжения на выходе модулятора

Рассчитаем значение индуктивности L_к и емкости С_к:

,

откуда:

,

,

, , ,

Начертить принципиальную электрическую схему модулятора.

Ниже приведена схема амплитудного базового модулятора на биполярном транзисторе.

Принципиальная электрическая схема амплитудного базового модулятора

3. Задача № 2

Рассчитать частотный модулятор на основе транзисторного LC автогенератора с колебательным контуром, содержащим варикап Д-902. Статическая вольт-фарадная характеристика (ВФХ) варикапа С_д (u) задана полиномом третьей степени в области отрицательных значений напряжения (размерность емкости С_д - пФ, напряжения u - В):

Коэффициенты полинома численно равны:

Несущая частота ЧМ сигнала:

Емкость контура:

Частота гармонического модулирующего сообщения:

Рассчитать и построить ВФХ (в диапозоне напряжений от - 1 до - 20 В) и статическую модуляционную характеристику (СМХ) частотного модулятора - зависимость резонансной частоты контура от напряжения на варикапе (с шагом напряжения 1 В) при начальной индуктивности контура L_кнач = 1 мГн.

Выполнение.

Рассчитаем ВФХ и СМХ:

Построим ВМХ и СМХ.

Вольт-фарадная характеристика варикапа

Статическая модуляционная характеристика частотного модулятора

2.1    Выбрать рабочую точку в середине прямолинейного участка СМХ, определить статическую емкость варикапа в рабочей точке, рассчитать значение индуктивности, обеспечивающей равенство резонансной и несущей частот; скорректировать и построить заново график СМХ. Рассчитать амплитуду гармонического модулирующего сообщения, соответствующую девиации частоты ЧМ сигнала f_д = 144 кГц.

Выполнение.

Выберем рабочую точку и отметим ее на графике СМХ:

Определим емкость варикапа в рабочей точке:

Определим значение индуктивности, обеспечивающей равенство резонансной и несущей частот:

,

Рассчитаем скорректированную СМХ:

Построим скорректированную СМХ.

Скорректированный график СМХ

Рассчитаем амплитуду гармонического модулирующего сообщения, соответствующую девиации частоты ЧМ сигнала f_д = 144 кГц:

Построить временные диаграммы мгновенной частоты и изменения мгновенной фазы ЧМ сигнала при модуляции периодическим сообщением x (t) из п.1.4 с девиацией 144 кГц.

Выполнение.

временная диаграмма мгновенной частоты строится в предположении линейности СМХ в рабочем диапазоне. При этом:

,

где f₀ - несущая частота, k_СМХ - крутизна скорректированной СМХ в рабочей точке.

Закон изменения мгновенной фазы ЧМ сигнала находится как интеграл от мгновенной частоты:

Построим эти зависимости.

Временная диаграмма мгновенной частоты

Мгновенная фаза ЧМ сигнала

2.1    Рассчитать и построить спектр ЧМ сигнала с амплитудой U₀=1 В при модуляции гармоническим сообщением с амплитудой, рассчитанной в п.2.2 Определить практическую ширину спектра ЧМ сигнала и процентную долю его энергии в боковых полосах.

Выполнение.

Спектр ЧМ сигнала при модуляции гармоническим сообщением находится из выражения:

,

где Jn - функция k-ого порядка от аргумента β:

,

Построим спектр сигнала, использую правило:

Спектр ЧМ сигнала, модулированного гармоническим сообщением

Полная мощность ЧМ сигнала равна:

,

Процентная доля мощности и энергии в боковых полосах составляет:

,

Начертить принципиальную электрическую схему частотного модулятора.

Ниже приведена схема частотного модулятора с использованием LC генератора на биполярном транзисторе и варикапа Д-902.

Принципиальная электрическая схема частотного модулятора

4. Задача 3

Непрерывное сообщение a (t) представляет собой реализацию стационарного гауссовского случайного процесса с нулевым средним и известной функцией корреляции B_a (τ), заданной в таблице 3.

Рассчитать интервал корреляции, спектральную плотность мощности и энергетическую ширину спектра сообщения.

Выполнение.

запишем исходные данные:

Стационарный случайный процесс a (t) во временной области характеризуется своей корреляционной функцией B_a (τ), вид которой задан выше. Спектральная плотность мощности G_a (ω) такого процесса в соответствии с теоремой Винера-Хинчина связана с функцией корреляции преобразованием Фурье:

что равно:

Найдем интервал корреляции:

разрешая интеграл аналогично предыдущему получим:

Найдем энергетическую ширину спектра:

,

где G_amax - максимальное значение функции G_a (ω). Найдем его:

положим ω=0 в уравнение первой производной функции G_a (ω):

Теперь можем определить энергетическую ширину спектра:

Построить в масштабе графики корреляционной функции и спектральной плотности мощности сообщения.

Выполнение:

Корреляционная функция:

Функция спектральной плотности мощности:

Построим эти зависимости.

Корреляционная функция

Функция спектральной плотности мощности

3.1    Полагая, что сообщение подвергается фильтрации в идеальном фильтре нижних частот с полосой пропускания, равной энергетической ширине спектра сообщения, и дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова, рассчитать мощность ошибки, обусловленной усечением спектра, интервал и частоту дискретизации.

Выполнение.

Определим частоту дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова:

Период дискретизации:

Мощность ошибки:

Рассчитать и построить график спектральной плотности мощности дискретизированного сообщения.

Выполнение.

Спектры дискретных сигналов периодичны в частотной области с периодом, равным частоте дискретизации:

где S_a (ω) равно:

Построим соответствующую зависимость.

Спектральная плотность мощности сообщения

5. Задача 4

Прием импульсных сигналов, имеющих величину U_c, ведется методом однократного отсчета на фоне стационарной аддитивной помехи n (t) с одномерной функцией плотности вероятности (ФПВ) W_n (X).

Априорные вероятности передачи сигнала p (1), Uc и ФПВ помехи указаны в таблице 3.

Рассчитать условные вероятности пропуска и ложного обнаружения сигнала и полную вероятность ошибки в принятии решения как функция порога решающего устройства. Рассчитанные зависимости построить в масштабе на общем графике.

Выполнение.

Запишем исходные данные:

Рассчитаем заданные зависимости:

амплитудный модулятор нелинейный элемент

Построим их на общем графике

Графики р₁₀ (α), р₀₁ (α), р_ош (α)

4.1    Рассчитать значение оптимального порога решающего устройства, при котором вероятность ошибочного решения минимальна и минимальное значение вероятности ошибки.

Выполнение.

Корнем (или одним из корней) этого уравнения, приравненного к нулю, будет искомое оптимальное значение порога α_опт решающего устройства. Найдем этот корень:

Откуда следует, что минимальное значение полной вероятности ошибки равно:

при

Список литературы

1.      Молчанов В.Н., Наумов Н.М. Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине Радиотехнические цепи и сигналы.

2.      Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 1988г.

.        Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. м.: Радио и связь, 1986г.