В качестве нелинейного элемента y
= F(x)
задан III тип -
релейная характеристика с гистерезисной петлей.
Решение
система периодическое регулирование
гольдфарб
Исследование системы проведем по методу
гармонического баланса (метод Гольдфарба). Этот метод позволяет только
определить наличие или отсутствие незатухающих колебаний в системе, т. е. в
конечном итоге устойчивость системы.
Характеристическое уравнение для нелинейной САР
замкнутой системы имеет вид:
(1)
Для графического решения характеристического
уравнения его преобразуют к виду:
или 
(2)
Если на одном и том же чертеже и в
одинаковых масштабах построить годографы 
и 
, то их пересечение будет означать
наличие автоколебаний; при этом частоту автоколебаний можно получить из
годографа , амплитуду
- из годографа . Удобно
проводить проверку системы на наличие автоколебаний в следующем порядке:
. Строим годограф (годограф
Найквиста).
. Строим годограф функции .
Передаточная функция 
может быть
представлена в виде
, (3)
где функции 
и 
, называемые
коэффициентами гармонической линеаризации, имеют следующий вид для нелинейного
элемента:
(4)
Подставив и в (3)
окончательно получим:
(5)
Получим уравнение для построения
АФЧХ линейной части САР в разомкнутом состоянии:
(6)
Сделаем замену 
(7)
Умножив числитель и знаменатель
выражения (7) на комплексное число, сопряженное знаменателю, и отделяя
вещественную и мнимую части, получим уравнения вещественной и мнимой частотных
характеристик:
(8)
Задаваясь значениями w от 0 до ∞
вычислим 
и 
(см. табл.
1.).
Таблица 1.
|
w
|
0
|
0,5
|
1
|
4,5
|
5
|
10
|
|
90,00090,67892,74429,8290,000-27,000
|
|
|
|
|
|
|
|
0,000-4,580-9,661-182,628-180,000-0,046
|
|
|
|
|
|
|
|
w
|
50
|
100
|
200
|
300
|
1000
|
∞
|
|
-0,907-0,225-0,056-0,025-0,0020
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,006-0,0010000
|
|
|
|
|
|
|
Согласно (3), запишем выражение обратной
амплитудно-фазовой характеристики нелинейного элемента, взятой с обратным
знаком:
Функция представляется
в виде:
(9)
Подставив в (9) выражения для и и
преобразовав получим:
Для заданных численных значений b и с
составим таблицу 2. значений 
и 
при изменении а от 0 до ∞.
b = 2, с = 20π (по условию)
|
а
|
2
|
5
|
10
|
50
|
100
|
|
 0,000-0,057-0,122-0,624-1,250
|
|
|
|
|
|
|
 -0,025-0,025-0,025-0,025-0,025
|
|
|
|
|
|
|
а
|
500
|
1000
|
5000
|
10000
|
∞
|
|
-6,250-12,500-62,500-125,000-∞
|
|
|
|
|
|
|
-0,025-0,025-0,025-0,025-0,025
|
|
|
|
|
|
Рис.1.
Для оценки возможности автоколебаний в системе и
их устойчивости строим с помощью пакета Maple
7 графики амплитудно-фазовой частотной характеристики линейной части системы и
обратной амплитудно-фазовой характеристики нелинейного элемента, взятой с
обратным знаком, в координатах Р и Q
(рис.1.).
Рассмотрим график возле нуля, для этого изменим
масштаб, как показано на рис. 2.
Рис. 2.
Рассмотрим взаимное положение
годографов и :
. Если годографы не пересекаются, то
в системе возникновение колебаний невозможно.
. Если годографы пересекаются в
одной точке, то в системе возможны незатухающие колебания. Параметры
автоколебаний w0 и а0
определяются точкой пересечения годографов: w0 по и а0
по .
. Если годографы пересекаются в двух
точках, то это свидетельствует о наличие двух режимов автоколебаний: с большей
и меньшей амплитудой. Режим с большей амплитудой соответствует предельному
циклу устойчивых колебаний, режим с меньшей амплитудой существовать не может и
потому называется неустойчивым.
Из нашего графика мы видим, что
годографы пересекаются в одной точке, т.е. в системе возможны незатухающие
колебания. С помощью пакета Maple 7 вычислим параметры
периодических решений в нелинейной САР.
По методу Гольдфарба, если двигаться
по линии в
направлении возрастания амплитуды а, то точке выхода из контура, т.е. точке
пересечения годографов, соответствует устойчивое периодическое решение.
Использованная литература
1.
Воронов А.А. и др. Основы теории автоматического регулирования и управления.
Учеб. пособие для вузов. М., «Высшая школа», 1977
.
Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. Изд.
4-е, перераб. и доп. - СПб, Изд-во «Профессия», 2003
.
Федоренко А.А., Иванчура В.И. Теория автоматического управления: учеб. пособие.
Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004