Разработка факультативного курса 'Применение метода интервалов при решении неравенств'

Оглавление

 

Введение.

Глава 1. Психолого-педагогические основы организации факультатива по математике в старших класса

§ 1. Общая характеристика развития старшего школьника.

§ 2. Некоторые особенности учебной деятельности старших школьников

§ 3. Актуализация внеурочной деятельности старших школьников

§ 4. Факультатив как дона из форм внеурочной работы по учебным предметам

ГЛАВА 2. Разработка факультативного курса “Применение метода интервалов при решении неравенств”

§ 1. Изложение метода интервалов в школьных учебниках

§ 2. Структура факультативного курса “Применение метода интервалов при решении неравенств”

§ 3. Содержание факультативного курса “Применение метода интервалов при решении неравенств”

Занятие №1

Занятие №2

Занятие №3

Занятие №4

Занятие №5

Занятие №6

Занятие №7

Занятие №8

Занятие №9

Занятие №10

Заключение

Библиография

Введение

В современной школе в процессе обучения математике больший акцент делается на решении уравнений различных видов по сравнению с решением неравенств и уж тем более с решением последних при помощи метода интервалов. Учащиеся изучают различные схемы сведения неравенств к равносильным системам и совокупностям. Данный способ эффективен при решении “простых” неравенств, рассматриваемых в школьном курсе. В более сложных случаях, например, в таких, которые предлагаются на вступительных экзаменах в вузы, даже “сильные” ученики порой оказываются в затруднительном положении, так как им приходится производить громоздкие вычисления при решении тех самых систем и совокупностей. Мало кто из учителей знакомит на уроках учащихся с другими способами решения неравенств, облегчающими поиск решения, одним из которых является метод интервалов. Именно поэтому выбранная нами тема дипломной работы представляется весьма актуальной.

Таким образом, целью дипломной работы является разработка системы упражнений в рамках факультативного курса для учащихся 11 классов, раскрывающей всевозможные способы применения метода интервалов при решении неравенств.

В связи с этим необходимо решить следующие задачи:

–       составить психолого-педагогическую характеристику старших школьников, выявить особенности их учебной деятельности;

–       определить роль и место факультативных занятий в рамках обучения в школе;

–       проанализировать методическую, педагогическую литературу по теме дипломной работы (в частности действующие учебники по алгебре и началу анализа для 10 -11 классов);

–       отобрать содержание факультативного курса “Применение метода интервалов при решении неравенств”;

–       разработать план факультатива “Применение метода интервалов при решении неравенств” и конспекты конкретных занятий.

Глава 1. Психолого-педагогические основы организации факультатива по математике в старших классах

 

§ 1. Общая характеристика развития старшего школьника

Старший школьный возраст, или возраст ранней юности, охватывает период развития примерно от 15 до 18 лет и соответствует времени обучения учащихся в старших классах школы.

Юношеский возраст - этап формирования самосознания и собственного мировоззрения, этап принятия ответственных решений    .

Отвечая самому себе на вопросы “Кто я? Какой я? К чему я стремлюсь?”, молодой человек формирует: 1) самосознание - целостное представление о самом себе, эмоциональное отношение к самому себе, самооценка своей внешности, умственных, моральных, волевых качеств, осознание своих достоинств и недостатков, на основе чего возникают возможности целенаправленного самосовершенствования, самовоспитания; 2) собственное мировоззрение как целостную систему взглядов, знаний, убеждений, своей жизненной философии, которая опирается на усвоенную ранее значительную сумму знаний и сформировавшуюся способность к абстрактно-теоретическому мышлению, без чего разрозненные знания не складываются в единую систему; 3) стремление заново и критически осмыслить все окружающее, утвердить свою самостоятельность и оригинальность, создать собственные теории смысла жизни, любви, счастья и т.п. [32, с. 152)

Развитие самосознания создает необходимые предпосылки для самовоспитания, приобретающего в старшем школьном возрасте весьма широкий характер. Задачи самовоспитания у старшего школьника не ограничивается, как обычно у подростка, воспитанием отдельных качеств, преодолением тех или иных недостатков. В этом возрасте самовоспитание имеет целью формирование определенного психологического облика в целом.

Для юношества свойственны максимализм суждений, своеобразный эгоцентризм мышления: разрабатывая свои теории, юноша ведет себя так, как если бы мир должен был подчиняться его теориям, а не теории - действительности. Стремления доказать свою независимость и самобытность сопровождаются различными поведенческими реакциями: “пренебрежительного отношения” к советам старших, недоверие и критиканство по отношению к старшим поколениям, иногда даже открытое противодействие. Но в такой ситуации юноша вынужден опираться на моральную поддержку ровесников, и это приводит к типичной реакции “повышенной подверженности” (неосознанная внушаемость, сознательный конформизм) - влиянию ровесников, которая обусловливает единообразие вкусов, стилей поведения, норм морали (молодежная мода, жаргон, субкультура).

Характерной чертой нравственного развития школьников старшего возраста является усиление сознательных мотивов в их поведении. Заметно развиваются в этом возрасте волевые качества - целеустремленность, решительность, настойчивость, самостоятельность и инициативность, умение контролировать свое поведение и владеть собой. Повышается интерес к важным моральным проблемам: цель в жизни, счастье, любовь, дружба и т.д. [17, с.7]

Для ранней юности характерна устремленность в будущее. Если в 15 лет жизнь кардинально не изменилась, и старший подросток остался в школе, он тем самым отсрочил на два года выход во взрослую жизнь и, как правило, сам выбор дальнейшего пути. В этот относительно короткий срок необходимо создать жизненный план - решить вопросы, кем быть (профессиональное самоопределение) и каким быть (личностное или моральное самоопределение). Жизненный план - не то же самое, что подростковые туманные мечты о будущем. Когда планы сводятся к намерению учиться, заниматься в будущем интересной работой, иметь верных друзей и много путешествовать, это еще нельзя назвать жизненной перспективой. Старшеклассник должен не просто представлять свое будущее в общих чертах, а осознавать способы достижения поставленных жизненных целей.

В выпускном классе дети сосредоточиваются на профессиональном самоопределении. Оно предполагает самоограничение, отказ от подростковых фантазий. Старшекласснику приходится ориентироваться в различных профессиях, что совсем не просто, поскольку в основе профессии лежит не свой собственный, а чужой опыт - сведения, полученные от родителей, друзей, знакомых, их телепередач и т.д. Кроме того, нужно верно оценить свои объективные возможности - уровень учебной подготовки, здоровье, материальные условия семьи и, главное, свои способности и склонности.

Таким образом, старший школьник включается в новый тип ведущей деятельности - учебно-профессиональную, правильная организация которой во многом определяет его становление как субъекта последующей трудовой деятельности, его отношение к труду.

“Важнейшее психологическое новообразование данного возраста - умение школьника составлять жизненные планы, искать средства их реализации” (Д.И. Фельдштейн).

Старшеклассник прощается с детством, со старой, привычной жизнью. Оказавшись на пороге истинной взрослости, он весь устремлен в будущее, которое притягивает и тревожит его. Без достаточной уверенности в себе, принятия себя он не сможет сделать нужный шаг, определить свой дальнейший путь. Поэтому самооценка в ранней юности выше, чем в подростковом возрасте. Вообще юность - период стабилизации личности. В это время складывается система устойчивых взглядов на мир и свое место в нем - мировоззрение. Известны связанные с этим юношеский максимализм в оценках, страстность в отстаивании своей точки зрения. Центральным же новообразованием периода становится самоопределение, профессиональное и личностное. Старшеклассник решает, кем быть и каким быть в своей будущей жизни.

§ 2. Некоторые особенности учебной деятельности старших школьников

В.А. Сухомлинский отмечал: “Из практики воспитательной работы многим учителям хорошо известно такое непонятное с первого взгляда явление: чем старше становится ученик, тем труднее ему учится… Причина этого явления в подавляющем большинстве случаев - неумение пользоваться обобщающими понятиями в целях познания окружающей действительности, а неумение это рождается потому, что обобщающие понятия, выводы, умозаключения не формируются путем исследования явлений и фактов, а заучиваются. Запоминание заучивание обобщений, не выведенных из жизненной практики, не основанных на анализе фактов, приводит к тому, что ученик не может пользоваться приобретенными с таким трудом знаниями”.

Для того чтобы ученик эффективно учился, он должен совершать не любые действия, а вполне определенные. Встает вопрос: почему ученик совершает именно эти действия, а не другие, что побуждает его совершать эти действия, что направляет и регулирует его деятельность в процессе обучения? Иными словами, что мотивирует - побуждает и направляет - деятельность ученика?

В этом необходимо разобраться потому, что учитель должен научиться управлять деятельностью учащихся в процессе обучения, а для этого он должен уметь формировать у них нужную мотивацию. Ведь в противном случае, если этого не делать, становиться вполне реальной опасность, о которой говорил В.А. Сухомлинский:

“Все наши замыслы, все поиски и построения превращаются в прах, если нет у ученика желания учиться” (Сухомлинский В.А. О воспитании. М., 1979, с. 78).

Поэтому учитель должен вызвать у учащихся такое желание, а это значит, что он должен формировать у них соответствующую мотивацию.

Под мотивацией понимают обычно совокупность побуждений к деятельности. [33, с. 68]

Любая деятельность вызывается несколькими побуждениями, среди которых доминирует обычно одно, то есть деятельность всегда полимотивированна. При этом сам человек большей частью не осознает всех своих побуждений к данной деятельности и может даже заблуждаться, считая ими совсем не те, которые фактически таковыми являются (так называемые защитные мотивы).

Однако когда деятельность уже началась, то она всегда имеет определенную цель. Цель - это то, чего сознательно хочет достигнуть человек в результате этой деятельности. Но между целью деятельности и ее побуждениями не всегда существует полное соответствие. Когда оно имеется, то говорят, что эта деятельность имеет смысл; в противном случае, когда цель деятельности и вызываемые эту деятельность побуждения не соответствуют друг другу, то говорят, что деятельность не имеет смысла, лишена для данного человека смысла.

Для тех учащихся, которые интересуются процессом решения, хотят овладеть умениями и способами решения подобных задач, даже для тех из них, кого в первую очередь интересует отметка или похвала за решение, эта деятельность имеет определенный смысл. А вот для тех учащихся, которые решают задачу главным образом в силу имеющейся у них установки на выполнение требований учителя или в силу боязни неприятностей от родителей, учителя, решение задачи не имеет смысла, и потому можно ожидать, что в недалеком будущем они могут перестать решать задачи, даже когда учитель прямо этого потребует.

Для того, чтобы потребность вызвала определенную деятельность, должен найтись соответствующий ей предмет, который становиться побуждением к конкретной деятельности и носит название мотива.

Если нет мотива, то потребность вызывает у человека лишь состояние нужды, страдание, которые сами по себе не могут вызвать определенную деятельность. И лишь когда потребность опредмечивается в мотиве, то последний и вызывает определенную деятельность. [33, с. 70]

Еще одним из видов побуждений, входящих в мотивацию деятельности, является интерес. В данном случае его следует рассматривать как “основную психологическую потребность личности в определенных предметах и видах деятельности как источниках желанных переживаний и средствах достижения желанных целей”. Следовательно, за интересом стоит специфическая потребность, потребность в определенных эмоциональных переживаниях.

Каким же образом потребность, мотив, интерес вызывают определенную деятельность? Это происходит не автоматически, не вдруг. Когда человек получает информацию об определенных побуждениях - потребности, мотиве, интересе, она перерабатывается с помощью мышления и эмоций.

С помощью мышления человек оценивает разные побуждения, сопоставляет их, соотносит с имеющимися у него убеждениями, идеалами, стремлениями, учитывает эмоциональные оценки этих побуждений и уже после этого дает “команду”, толчок к деятельности, устанавливая ее цель. С помощью эмоций также оценивается информация о побуждениях, но иначе, а именно на языке чувств, переживаний.

Эмоциональные переживания выполняют не только функцию оценки ценностей тех или иных объектов для удовлетворения потребности, оценки соответствия деятельности поставленной цели и т.д., но в ряде случаев они становятся самостоятельной ценностью, ради достижения которой человек выполняет зачастую не меньшую работу, чем ради удовлетворения естественных потребностей. Мы имеем в виду деятельность человека ради достижения удовольствия, наслаждения, развлечения и др. эмоциональных переживаний. Во всех этих случаях эмоциональные переживания, чувства выступают в роли мотива, ради достижения которого у человека возникает особая специфическая потребность.

Для формирования у учащихся нужной мотивации учения, стойкого и серьезного желания учиться, учитель математики должен, опираясь на имеющейся у учащихся потребности (потребности в активной деятельности, в эмоциональном насыщении, в самоутверждении в коллективе и т.д.), вызвать у них нужную деятельность и сделать так, чтобы эта деятельность приносила им самые положительные переживания, удовлетворяла их интересы, развивала их, вселяла в учащихся веру в возможность преодоления всех трудностей, веру в свои способности и радость и гордость за свои успехи.

При этом следует иметь в виду, что нужные потребности и мотивы могут быть сформированы у учащихся только в процессе их собственной деятельности. Вне деятельности, одними принуждениями к нужной мотивации стойкого желания учиться сформировать нельзя. А для этого необходимо, чтобы содержание обучения, цели и задачи, которые ставит учитель перед учащимися, имели для них ясно понимаемый и лично значимый смысл. [33, с. 75]

Если мотивом деятельности ученика является какое-то внешнее по отношению к этой деятельности побуждение (оценка, принуждение, похвала и т.д.), то он является только объектом этой деятельности. В качестве субъекта деятельности в этом случае выступает учитель, так как он сознательно задает цель деятельности, он направляет и регулирует деятельность ученика.

Если же мотив деятельности ученика совпадает с ее объективной целью, т.е. когда ученик сознательно ставит перед собой цель научиться решать подобные задачи, то в этом случае он является не только объектом, но и субъектом этой деятельности.

Итак, ученик всегда является объектом деятельности в процессе обучения, а субъектом этой деятельности он становится тогда, когда сознательно принимает объективные цели деятельности за свои личные цели. Очевидно, что в последнем случае обучение является наиболее эффективным, только в этом случае учитель может легко и с удовлетворением полностью осуществить цели и задачи обучения.

Учителю необходимо стремиться к тому, чтобы каждый ученик становился субъектом деятельности в процессе обучения. А для этого нужно, чтобы все стороны учебно-воспитательного процесса, его содержание, организация и методы содействовали такому становлению, были прямо направлены на воспитание ученика - субъекта своей деятельности.

Интерес старшеклассников к учебным предметам определяется тем, в какой мере учитель сумеет связать свой предмет с жизнью. Необходимо и еще одно условие - творческая активность учащихся на уроке. Это - основная линия преодоления нередко наблюдающегося в старших классах падения интереса к учению.

Однако если у старшеклассников и развивается положительное отношение к учению, это не означает, что у них создается одинаковое отношение ко всем предметам. Кроме того, в процессе учебной деятельности у юношей и девушек ярко проявляется избирательность как межпредметная, так и внутри предмета, которая в значительной мере определяется их склонностью к будущей деятельности, осознанием необходимости знаний в данной области для будущей профессии.

Интересуясь тем или иным предметом, старшеклассники в содержании любимого учебного предмета выделяют, по их мнению, самое нужное для будущей деятельности и ставят цель - глубоко изучить и познать именно этот раздел. Это приводит к тому, что порой они неоправданно исключают из своего поля зрения очень важные разделы, считая их несущественными и не имеющими значения для познания существа избранной области знаний. На уроке такое отношение школьников выражается в том, что ученик отвлекается во время работы, небрежно выполняет задания по данному разделу.

Избирательное отношение старшеклассника к учебным предметам выражается и в направленности его интересов, и в сосредоточенности на уроках.

Избирательное отношение старшеклассника к учебным предметам выражается и в направленности его интересов, и в сосредоточенности на уроках.

Умение сосредотачиваться, как правило, воспитано уже у большинства старшеклассников. Если нужно, ученик 10-11 класса будет внимателен несмотря на сильные побочные раздражители. И.В. Страхов правильно отмечает, что у старшеклассников развитие произвольного внимания находится в прямой зависимости от развития логического мышления, от умения мыслить последовательно и доказательно. Логическое развитие мысли определяет и направляет внимание старшего школьника, его внимание в значительно меньшей степени (чем у младшего школьника и подростка) зависит от внешних впечатлений, действующих на него в процессе учебной работы, от эмоциональных переживаний.

Однако внимание, связанное с эмоциональными переживаниями, занимает значительное место и у учащихся старших классов.

И.В. Страхов подчеркивает, что непосредственность и живость реагирования характерна и для старших школьников. Но в отличие от подростков, в этом возрасте эмоциональные состояния становятся более устойчивыми, и происходит дальнейшее обогащение нравственных, интеллектуальных и эстетических чувств. Следовательно, как отмечает И.В. Страхов, эмоциональная основа внимания старших школьников становится более многосторонней, затрагивающей различные стороны личности.

Одной из характерных особенностей учебной деятельности старшеклассников является ее активизация и, до известной степени, самостоятельность. Все большее и большее значение приобретают уроки типа лекций, самостоятельное выполнение лабораторных и других практических работ, рефератов, все чаще и чаще старшему школьнику приходится самостоятельно разбираться в изучаемом материале.

Мышление старших школьников приобретает все более активный самостоятельный и творческий характер; юноши и девушки обращают большое внимание на аргументированность и доказательность тех или иных положений. Принимать на веру сказанное учителем или прочитанное в учебнике старший школьник не желает, слепо следовать авторитетам не в его правилах. Он стремиться убедиться в истинности того, с чем ему приходиться знакомиться на уроках. И напрасно некоторые учителя обвиняют старшеклассников в скептицизме, недоверии. Следует не только удовлетворять, но и поощрять эту свойственную старшему школьнику и полезную для его умственного развития требовательность к убедительной аргументированности, обоснованности и доказательности усваиваемых знаний.

Разумеется, наряду с этим старшеклассников надо убеждать в том, что не всегда разумно требовать логического обоснования тех или иных положений. Есть целый ряд требований и правил, предъявляемых обществом своим членам (некоторые из них, в частности, основаны на традициях), которые надо исполнять безоговорочно. [17, с. 35]

Содержание уроков и новый характер учебной деятельности в старших классах предъявляют новые требования к мыслительной деятельности школьников. Старшеклассники уже умеют абстрагировать и обобщать изучаемый учебный материал. На основе этой способности мыслительной деятельности у школьников старших классов формируется теоретическое мышление, направленное на познание общих законов окружающего мира, законов природы и общественного развития. Интерес к учебным предметам постепенно перерастает в интерес к науке, к вопросам теории и определенным отраслям знания. Поэтому большое значение для формирования теоретического мышления имеет внеурочная работа, в частности факультативная, которая углубляет, расширяет кругозор учащихся.

 

§ 3. Актуализация внеурочной деятельности старших школьников

Современная российская школа уже не может и не должна использовать образовательные технологии, тормозящие творческую активность, инициативу и самостоятельность учащихся, использовать экстенсивные пути и способы развития личности ребенка. Многочисленные новации учителей в последние годы направлены на обновление педагогического процесса в общеобразовательной школе, которое невозможно представить без широкомасштабного развития системы внеурочных занятий школьников.

Одним из видов внеурочной работы является внеурочная работа по учебным предметам, являющаяся важным компонентом системы урочно-внеурочной деятельности школьников. В руках педагога-профессионала эта работа является эффективным средством обучения, воспитания и развития учащихся. Внеурочную работу по учебным предметам можно рассматривать как одну из фаз образования, обеспечивающую его индивидуализацию и дифференциацию. В этой фазе школьный педагог должен стремиться не только к углублению знаний, расширению способов деятельности, но главное - к созданию условий для реализации способностей старшеклассников, для побуждения у учащихся потребности в творческом стиле жизнедеятельности и системном самосовершенствовании, для формирования у них опыта освоения эмоционально-ценносных отношений и духовной культуры. [13, с. 27]

Знание потребностей старшеклассника позволяет учителям выбирать оптимальные формы урочной и внеурочной деятельности, конкретные задания для формирования, развития у учащихся творческого стиля жизнедеятельности.

У большинства старшеклассников мотивация к урочно-внеурочной деятельности связана с условиями осуществления таковой. К числу условий, делающих урочно-внеурочную работу привлекательной, старшеклассники относят: работа без большого напряжения; хорошая морально-психологическая атмосфера (нет конфликтов со сверстниками, педагогами и т.п.); неформальное общение с учителями; вариативность содержания, вариативность форм работы; соответствие работы индивидуальным интересам; справедливость в оценке процесса и результатов деятельности.

Зная потребности ученика, можно “вычислить” задание, которое требуется данному школьнику для его успешного развития, обучения и воспитания. Большое внимание в этой работе учитель должен уделить стимулированию у школьников познавательных интересов и потребностей. Познавательный интерес для многих школьников является “стартовой площадкой” для саморазвития личности. Учителю целесообразно так “подать” задание, чтобы ученик убедился в его интересности, содержательности, личной и социальной полезности, значимости для учения, для самореализации школьника.

Изменения, происходящие на современном этапе социального развития нашего общества и школы, делают более актуальной внеурочную работу по учебным предметам. Выделим некоторые из основных факторов актуализации данной работы старшеклассников. [13]

Психологический (личностный) фактор. Современный школьник уже не хочет и не может “готовиться к жизни” в изоляции от окружающего мира, людей. Он желает реализовать свои индивидуальные потенции в настоящее время. Школьник начинает искать смысл жизни. Он проверяет свои силы: интеллектуальные, физические, духовные. Проверка ведется широким фронтом, в основном в неформальной деятельности и общении. Во внеурочной работе школьники надеются отыскать успех, компенсировать неудачи в учении, общении со сверстниками, взрослыми. Они стремятся найти пути к самоуважению и любви, к окружающему их природно-социальному миру, способы и средства самопознания и самореализации. Внеурочные занятия создают условия для индивидуализации личности.

Педагогический фактор. Урок, оставаясь важной формой учебно-воспитательного процесса, не может в полной мере гуманизировать жизнедеятельность ребенка, его отношения с педагогами. Нормативные учебные программы, реализуемые на уроках, не обеспечивают реальную индивидуализацию обучения и воспитания школьников. Урок, при всех его достоинствах, не может разформализовать отношения педагогов и учащихся, обеспечить продуктивное их сотрудничество. Урочные формы не позволяют в полной мере проявить инициативу и самодеятельность детей, а учителю творчески использовать огромный арсенал методов воспитания и развития личности ребенка. Внеурочная работа, интегрируясь с уроком, обеспечивает учителя многообразием моделей организации учебно-воспитательной работы, которые могут всецело удовлетворить и коммукативные потребности школьников.

Психолого-педагогический фактор. Во внеурочной деятельности ученики получают возможность углубить и расширить знания, апробировать приобретенные умения и навыки, в том числе исследовательские и прикладные, познавательные, получить от школьного педагога квалифицированную помощь в интересующей области науки. На внеурочных занятиях учащиеся получают возможность составлять планы проведения кружковых или факультативных занятий, программы различных внеурочных мероприятий, а также проводить занятия и консультации для сверстников. Внеурочные занятия стимулируют развитие интеллектуальной, волевой, эмоциональной, мотивационной сфер личности, отношений партнерства.

Социальный фактор. Внеурочная работа, обладая значительными возможностями для развития неформальных отношений, индивидуальных способностей, ориентирующаяся на детскую изобретательность, импровизацию, фантазию, служит средством предупреждения и преодоления асоциальной деятельности подростков и юношей, оттягивает их от криминальной среды, увлекает личностно и социально значимыми делами, стимулирует у ребят интерес к жизни во всех ее проявлениях.

В современной педагогической практике можно выделить как позитивные, так и негативные аспекты в организации внеурочной работы подростков и старшеклассников по учебным предметам.

Среди первых отметим:

усиление внимания учителей к внеурочной работе по учебным предметам;

попытки интегрировать данную работу с урочной;

привлечение к организации внеурочных занятий школьников, педагогов учреждений дополнительного (внешкольного) образования, ученых вузов, НИИ, а также родителей учащихся и др.

Отметим также негативные аспекты в организации внеурочной работы. К ним относятся:

бессистемность организации данной работы;

отсутствие стабильности в работе с определенными группами учащихся;

использование в большинстве случаев традиционных форм занятий (однообразность “утомляет” подростков и старшеклассников, отторгает их от данных занятий);

“отсечение” слабоуспевающих и трудновоспитуемых школьников от внеурочной работы по учебным предметам (“усечение” воспитательной и развивающей функций данной работы);

недостаточное развитие индивидуальной внеурочной деятельности учащихся;

недостаточное использование инициативы и самодеятельности подростков и старшеклассников;

недостаточная расформализация отношений между педагогами и школьниками и др.

Работа становится привлекательной для старшеклассников, когда они ощущают взаимодоверие и уважение, расширяют и углубляют деловые контакты со взрослыми, пополняют в общении с ними арсенал способов совместной деятельности. Внеурочная работа строится на основе неформального взаимодействия учителя и учащихся. Внеурочные занятия по учебным предметам являются прекрасным “индикатором” профессиональной подготовки и мастерства педагога, его личностных качеств. Авторитаризм учителя во внеурочной работе блокирует инициативу, самодеятельность, творчество старшеклассников, отторгает ребят от первоначально интересовавшей деятельности. [12, с. 32]

Не привлекает старшеклассников и внеурочная работа, ориентирующая на освоение уже известного материала, известными же способами. Учащиеся данного возраста стремятся во внеурочной работе углубить знания, расширить умения, установить дружеские и деловые контакты с педагогами, одноклассниками и т.п.

В школьной практике учитель имеет возможность по своему усмотрению в зависимости от конкретных условий организации внеурочной работы определить ее цель и задачи. По мнению Казаренкова В.И. [7], стратегической целью организации внеурочной работы школьников по учебному предмету является создание условий для развития и саморазвития личности школьника (посредством создания развивающей среды жизнедеятельности, обеспечивающей индивидуальное развитие старшеклассника). Задачами могут выступать:

формирование творческого стиля жизнедеятельности школьника;

расширение и углубление знаний и способов деятельности учеников;

формирование потребности в самообразовании и самовоспитании.

Во внеурочной деятельности необходимо решать задачи общего развития школьников с учетом их возрастных особенностей.

Основные задачи развития в ранней юности:

обретение чувства личной тождественности и целостности (идентичности);

профессиональное самоопределение целей и выбор будущей профессии;

развитие готовности к жизненному самоопределению, что предполагает достаточный уровень развития ценностных представлений, волевой сферы, самостоятельности и ответственности.

Успешное решение во внеурочной работе задач общего развития учащихся зависит не только от качеств профессиональной подготовки учителя (психологической, педагогической, методической), но так же от его личных качеств, общей культуры.

Внеурочная деятельность по учебным предметам строится системно на основе единства обучения, воспитания и развития школьников. В программах и планах работы учитываются индивидуальные интересы, потребности, способности и возможности старшеклассников, их возрастные особенности. Педагогу, организующему внеурочные занятия по учебным предметам, следует помнить важное методологическое положение педагогической теории А.С. Макаренко: человек не воспитывается по частям. [13, с. 37]

Нашей школой накоплен богатый опыт по организации внеурочной работы по математике. Широкое распространение получили такие формы внеурочной работы, как олимпиада, математический вечер, математический кружок (для учащихся 5 - 7 классов), факультатив (для учащихся 8 - 11 классов) и т.д. Последнюю из перечисленных форм внеурочной работы мы и рассмотрим в следующем параграфе данной работы.

 

§ 4. Факультатив как дона из форм внеурочной работы по учебным предметам

Как новая форма учебной работы факультативные занятия были введены ноябрьским (1966) Постановлением ЦК КПСС и Совета Министров СССР “О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы”. В этом постановлении были определены цели и задачи факультативных занятий, общий порядок их организации.

На первом этапе своей истории математическим факультативам был присущ временный характер, так как в них был введен материал, который в последующем включался в основной школьный курс математики. Необходимость обновления факультативных курсов по математике стала очевидной, когда в 1976 - 1977 годах новые программы по математике были введены во всех классах общеобразовательных средних школ страны. [12, с.3]

Факультатив - одна из форм внеурочной работы, которая проводится на строго добровольных началах, и поэтому их наличие в школе, как правило, свидетельствует о достаточно высоком уровне развития познавательных интересов у части учащихся.

Основная задача факультативных занятий - учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить усвоение ими программного материала, ознакомить школьников с некоторыми общими идеями современной математики, раскрыть приложения математики на практике.

Кроме того, на факультативные курсы возлагается и следующая задача - улучшать подготовку учащихся к вступительным экзаменам в средние специальные учебные заведения и вузы. Но если эта задача становится главной, то занятия сводятся к прямому натаскиванию (в форме решения многочисленных задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в различные вузы). Это дискредитирует саму идею факультативных курсов, занятия к тому же малоэффективны. Иное дело, если учитель организует предварительную самостоятельную работу учащихся (вне занятий) по решению задач, а на факультативных занятиях вместе со школьниками определяет наиболее рациональную методику поиска решения, устанавливает границы применимости того или иного метода решения, учит предупреждать наиболее типичные ошибки в решении, в его записи и обосновании, учит находить эффективные приемы самоконтроля, сопоставлять различные способы решения одной и той же математической задачи, оценивать их достоинства и недостатки. В этом случае сознательное и глубокое усвоение содержания, идей, методов школьного курса является в то же время лучшей подготовкой к вступительным экзаменам в высшие и средние специальные учебные заведения.

Практика школы показывает, что на разных этапах обучения на факультативах должно быть различное соотношение расширения и углубления содержания общего курса математики. Если для любознательного семиклассника, интересующегося математикой, расширение школьной тематики является желательным, причем тем в большей степени, чем он подготовлен по основному курсу, то для одиннадцатиклассника, как правило, всякое расширение, существенно выводящее за пределы общего курса, всякое изучение материала, которое не войдет в содержание выпускных экзаменов, является нежелательным. В этом последнем случае неучет позиции старшеклассников часто приводит к распаду факультативных групп.

Напротив, как показывают данные специального изучения степень сформированности интересов старшеклассников такова, что их уже не может удовлетворить факультатив типа кружка, им необходима более серьезная систематическая работа. При ее организации необходимо учитывать не только степень развития интересов учащихся к изучению математики, но и направленность этих интересов, связанную с профориентационными аспектами.

Полезно на внеклассных и факультативных занятиях рассматривать такие вопросы, которые вызывали бы слияние известных ученикам фактов в более крупные логические связки, требовали бы систематизации и обобщения, например, такие: “Совместное решение уравнений и неравенств”, “Применение метода интервалов при решении неравенств” и др. Особое значение имеют подобные темы для формирования научного мышления учащихся, для усвоения ими методов творческого математического исследования, для развития их интереса к изучению математики.

В условиях занятий учителя с группой учащихся большое значение приобретает умение учителя активизировать самостоятельную математическую деятельность учащихся, рационально сочетать свои вопросы, задания, объяснение с их индивидуальной и совместной учебной работой.

При изучении факультативного курса учитель может использовать такие виды самостоятельной работы, как доклады учащихся и их обсуждение, подготовка докладов, изготовление наглядных пособий, чтение математической литературы.

Самостоятельная работа эффективна при выполнении двух условий: контроль со стороны учителя, самоконтроль и оказание своевременной помощи отстающим.

Контроль представляет собой процесс обеспечения достижения учащимися и педагогами своих целей. Контроль можно рассматривать и как процесс, при помощи которого педагог определяет, правильны ли его решения и не нуждаются ли они в определенной корректировке. Контроль за выполняемой участниками факультативных занятий работой позволяет выявить проблемы и скорректировать осуществляемые ими виды деятельности и совместную деятельность до того, как эти проблемы станут неуправляемыми.

Кроме того, важное место в занятиях старшеклассников занимает самоконтроль, осуществляющийся через формирование правильной самооценки у ребят. Поэтому самоконтроль очень важен для всех учащихся, но особенно для школьников, не имеющих склонности к самостоятельной деятельности.

Опыт показывает, что как на уроках, так и на внеклассных и факультативных занятиях можно применять такие современные средства обучения, как предметные модели математические книги (на уроках - это прежде всего учебники), дидактические материалы с печатной основой и т.п., и даже такие технические средства обучения, как кинопроекторы, кодоскопы и другие контролирующие и обучающие устройства. Все они призваны облегчить (улучшить) передачу учебной информации учащимся, создать благоприятные условия для индивидуальной работы учащихся, ее проверки и оценки, способствовать общеклассному обсуждению и индивидуальному исправлению ошибок и недочетов.

К сожалению, содержание факультативных курсов математики создание информационных средств ТСО почти обошло стороной. Поэтому для факультативных занятий желательно использовать главным образом самодельные демонстрационные таблицы, плакаты, раздаточный дидактический материал (в том числе и карточки с печатной основой информационного, обучающего, контролирующего типов), полезно выпускать математические стенгазеты и оформлять специальные стенды (например, с полным описанием всех этапов решения задачи на построение или с образцами письменной записи решения задач различных типов, в том числе и нестандартных). [13, с.17]

Итак, анализ психолого-педагогической литературы по теме дипломной работы показал, что в современных условиях факультативная работа по различным учебным предметам, в том числе и по математике, является достаточно актуальной. Эффективность этой работы в большей мере зависит от учета психологических особенностей учащихся. Поэтому в основу разработки факультативного курса “Применение метода интервалов при решении неравенств” были положены рассматриваемые выше психолого-педагогические основы организации факультатива по математике в старших классах.

ГЛАВА 2. Разработка факультативного курса “Применение метода интервалов при решении неравенств”

 

§ 1. Изложение метода интервалов в школьных учебниках

Рассмотрим на примере нескольких учебниках изложение интересующей нас темы. В учебнике Башмакова М.И. [8] метод интервалов рассматривается в начале 10 класса применительно к неравенствам вида f(x)>0, когда функцию y = f(x) можно представить как произведение линейных множителей. Сущность метода излагается следующим образом:

1)      найти корень каждого множителя и нанести все корни на числовую ось;

2)      исследовать знак произведения на каждом из получившихся отрезков числовой оси.

Далее дается схематическая таблица описанных выше шагов решения неравенств. Так же автор рекомендует использовать в ходе решения неравенств методом интервалов следующее правило: если все линейные множители различны (имеют разные корни), то произведение будет менять знак при переходе от одного интервала числовой оси к соседнему (знаки будут чередоваться). Поэтому достаточно определить знак на одном каком-нибудь интервале (обычно это крайний правый интервал). Непосредственное применение данного правила иллюстрируется на конкретных примерах. Оговариваются и основные правила обобщенного метода интервалов (сам термин не вводится): если число множителей левой части неравенства четное, то при переходе через их общий корень произведение не будет менять знак; если же число одинаковых множителей нечетно, то знак будет меняться. [8, с.34]

В учебнике Виленкина Н.Я. [1] авторы вводят метод интервалов так же в начале 10 класса, но через описание общего случая решения линейных неравенств вида

(ах + b)…(ax + b)<0.

Делается вывод о том, что все произведение, стоящее в левой части неравенства, может изменить знак лишь при переходе через одну из точек (один из корней линейного множителя): они делят числовую ось на несколько интервалов, на каждом из которых произведение знака не меняет. Поэтому достаточно взять на каждом интервале “пробную точку” и узнать знак выражения в этой точке - тот же знак оно будет иметь на всем интервале. [1, с.71]

Существуют и другие подходы к введению метода интервалов в арсенал знаний, умений и навыков старшеклассников. Так, например, автор Колмагоров А..Н. [7] рассматривает метод интервалов после введения понятий функция (в том числе после понятия непрерывности функции на интервале), производная (изучение этого материала отнесено ко второй половине 10 класса). Учащимся объясняют, что именно на свойстве непрерывных функций сохранять постоянный знак на заданном промежутке основан метод решения неравенств с одной переменной (метод интервалов). Далее описывается сам метод интервалов: “Пусть функция f непрерывна на интервале (a; b) и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По сформулированному свойству непрерывных функций этими точками (a; b) разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f в какой-либо одной точке из каждого такого интервала”. [7, с.122]

В учебниках по алгебре и началу анализа для 10 - 11 классов таких авторских коллективов, как Мордкович А.Г., Алимов Ш.А. нет теоретического материала по методу интервалов, т.к. это отнесено для ознакомления в средней школе.

Анализ системы упражнений, предлагаемой авторами учебников, показал, что напрямую идея метода интервалов (а так же обобщенного метода интервалов) используется лишь при решении рациональных и дробно-рациональных неравенств. Неравенства других же видов (иррациональные, логарифмические и др.) решаются путем составления систем и совокупностей неравенств (включающих различные условия существования функций и т.п.), равносильных исходным неравенствам, а сам метод интервалов применяется лишь для окончательного определения множества решения. Данный способ является, естественно, верным, но не всегда оправданным. В некоторых случаях удобнее изначально использовать метод интервалов (обобщенный). Поэтому для заданий на факультативном курсе “Применение метода интервалов при решении неравенств” были подобраны именно такие примеры и составлена система упражнений по ознакомлению учащихся с данным способом решения (сущность которого будет рассмотрена на одном из предложенных занятий).

§ 2. Структура факультативного курса “Применение метода интервалов при решении неравенств”

Предлагаемый ниже факультативный курс рассчитан для проведения в 11 классе (второго полугодия) по одному занятию в неделю. Весь факультатив состоит из 10 занятий, разбитых на 4 блока, на которых рассматривается применение метода интервалов при решении неравенств следующих видов:

1)      рациональные неравенства (занятие № 1) и дробно-рациональные неравенства (занятия № 2-4);

2)      иррациональные неравенства (занятия № 5-7);

)        показательные неравенства (занятие № 8) и логарифмические неравенства (занятие № 9);

)        неравенства с параметрами (занятие № 10).

В начале каждого из занятий рассматриваются либо решения простейших неравенств, либо приводятся утверждения о равносильных переходах в неравенствах с целью систематизации знаний учащихся по теме.

В конце каждого из занятий предлагаются задания для самостоятельного выполнения с различным уровнем сложности, а так же задания, отмеченные (*), решения которых не является обязательным. Для того, чтобы проверить качество работы на факультативе и качество уровня подготовки учащихся, после занятий № 4, № 7 предложены задания для домашней самостоятельной работы, после занятия № 10 - итоговая домашняя самостоятельная работа. По результатам самостоятельных работ каждый учащийся может получить рекомендации учителя по дальнейшему изучению данной темы.

Уточним, что подобранная система упражнений подразумевает наличие у учащихся базовых ЗУН по решению уравнений и неравенств рассматриваемых видов, знание свойств линейных, показательных, логарифмических функций.

Так как в организации факультатива и его разработке могут принимать участие сами старшеклассники, то система упражнений может изменяться и дополняться.

 

§ 3. Содержание факультативного курса “Применение метода интервалов при решении неравенств”

 

Занятие №1

1. Преобразование неравенств.

Решением неравенства называется множество значений переменной, при которых данное неравенство становится верным числовым неравенством.

Два неравенства называются равносильными на множествах, если множества их решений совпадают.

Утверждения о равносильности неравенств.

1.          .

.  , если .

3.         , если .

4.         , если .

. Метод интервалов для рациональных неравенств.

Для решения рациональных неравенств вида

         (1)

Или

        (2),

где  - данные числа, удовлетворяющие условию , применяется метод интервалов, в основе которого лежит следующее свойство двучлена : точка  делит числовую ось на две части - справа от точки  двучлен  положителен, а слева от точки  - отрицателен. [26]

Суть метода интервалов состоит в следующем: на числовой оси отмечают числа , которые разбивают ее на промежутки; в промежутке справа от  ставят знак +, затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередную точку  меняют знак, т.е. в промежутке левее ставят знак - ,затем знак + и т.д. Тогда множеством решений неравенства (1) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак +, а множеством решений неравенства (2) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак - .

Для решения рациональных неравенств вида

         (3)

или

        (4),

где  - данные числа, удовлетворяющие условию , применяется тот же самый метод интервалов, но с одной лишь оговоркой: если при решении неравенств (1), (2) на числовой оси отмечались “пустые” (незакрашенные) точки в силу строгости неравенств, то в данном случае необходимо изображать “закрашенные” точки, т.к.  удовлетворяют неравенствам (3) или (4).

. Решить неравенства:

1) (x - 2)(x - 3)(x - 12)0                                     Ответ: .

)                Ответ: .

Р е ш е н и е.

) (x - 2)(x - 3)(x - 12)0

Отметим на числовой оси точки 2, 3, 12 (пустые), которые разбивают ее на четыре промежутка: . На каждом из этих промежутков левая часть исходного неравенства сохраняет постоянный знак.

○                                   ○                          ○                       

2                                    3                          12

На крайнем правом промежутке  знак левой части неравенства положителен. При переходе через  знак меняется на противоположный, т.е. на промежутке (3;12) знак левой части неравенства отрицателен и т.д. В результате получаем следующий вид кривой знаков

○                                 ○                          ○                       

3                          12

Значит решением неравенства является объединение интервалов  и .

Ответ: .

)

Необходимо привести данное неравенство к виду (4), для чего выражение  разложим на линейные множители ; выражения  и  преобразуем к виду , ; уравнение  действительных корней не имеет, а это значит, что  при любых значениях , и данный множитель не влияет на знак неравенства. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

.

Разделив на отрицательное число , получим уже равносильное ему неравенство, записанное в стандартном виде (3):

.

Изобразим на числовой оси точки (закрашенные)  и проведем кривую знаков.

●                ●       ●                ●                        ●              

        0                 1                         

Решением неравенства является объединение трех интервалов.

Ответ: .

. Обобщенный метод интервалов для рациональных неравенств.

Иногда рациональные неравенства степеней более высоких, чем два, путем равносильных преобразований приводят к виду

     (5)

Или

     (6),

где - натуральные числа,  - различные действительные числа, такие что .

Такие неравенства могут быть решены с помощью так называемого обобщенного метода интервалов, в основе которого лежит следующее свойство двучлена : точка  делит числовую ось на две части, причем:

а) если  четное, то выражение  справа и слева от точки  сохраняет положительный знак,

б) если  нечетное, то выражение  справа от точки  положительно, а слева от точки  отрицательно.

Суть обобщенного метода интервалов состоит в следующем: на координатной оси отмечают числа , в промежутке справа от  ставят знак +, затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередную точку , меняют знак, если - нечетное число, и сохраняют знак, если - четное число. После этого множество решений определяется, как в обычном методе интервалов. [26]

Аналогично поступают и при решении нестрогих неравенств рассматриваемого вида:

     (7)

или

     (8),

где - натуральные числа,  - различные действительные числа, такие что . Но, опять же, с тем отличием, что при решении неравенств вида (5), (6) на числовой оси отмечают незакрашенные точки, исключая их из решения, а при решении нестрогих неравенств - точки включаются в общее решение (точки на числовой оси отмечают закрашенными).

. Решить неравенства:

3)                                                  Ответ: .

)                                                Ответ:.

)                                                     Ответ: .

)                                                      Ответ: [-1;2].

Р е ш е н и е.

3)

Перепишем исходное неравенство в виде (5):

.

Отметим на числовой оси точки 4,5,8 (незакрашенные), которые разбивают ее на четыре промежутка . На крайнем правом из полученных промежутков знак левой части неравенства положителен, т.к. множитель  имеет нечетную (первую) степень, то при переходе через точку  меняем знак на отрицательный (кривая знаков будет проходить под осью ). Множитель  имеет четную (вторую) степень, значит, на интервале  сохраняем отрицательный знак. При переходе через точку  знак левой части неравенства поменяем на противоположный, т.к. множитель  имеет нечетную (третью) степень, т.е. кривая знаков на промежутке  будет проходить над числовой осью.

○                 ○                                                            ○                            

                   5                                    8

Ответ: .

)

Прежде чем использовать для решения обобщенный метод интервалов, необходимо привести исходное неравенство к виду (7):

.

Теперь можем провести кривую знаков, беря во внимание степени множителей, входящих в неравенство:

●                                   ●               ●              

                                  1               2

Учитывая знаки неравенства, запишем ответ.

Ответ: .

)

Для решения данного неравенства необходимо левую его часть разложить на множители. Здесь будет удобно ввести новую переменную . Тогда исходное неравенство примет вид квадратного неравенства:

            .

Воспользуемся методом интервалов:

○                                   ○                         

1                                                                8

В результате получили  и . Сделав обратную замену переменной, найдем решение в каждом из случаев.

а)     

б)     

Объединение найденных решений будет решением исходного неравенства.

Ответ: .

)

Здесь введение новой переменной ничем не поможет. Попробуем подобрать хотя бы один из корней соответствующего уравнения.  является таковым, тогда уравнение  можно переписать в виде  (где выражение  - это частное деления левой части уравнения на ). Теперь подберем значение переменной, обращающее в нуль второй множитель последнего уравнения. Это . Значит, мы получим уравнение . Выражение  принимает только положительные значения, поэтому можем вернуться непосредственно к исходному неравенству, которое равносильно следующему:

.

Применив метод интервалов, найдем решение неравенства и запишем ответ.

●                          ●

                         2

Ответ: [-1;2].

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

1)                                         Ответ: .

)                                 Ответ: .

)                            Ответ: .

)                                        Ответ: .

)                                           Ответ: .

)                            Ответ: .

)*                                         Ответ: (-1;1).

Занятие №2

1. Метод интервалов для дробно-рациональных неравенств.

Рассматриваемый ранее метод интервалов с небольшими изменениями и дополнениями и может быть использован для решения не только рациональных, но и для дробно-рациональных неравенств вида

      (9),

где ,  - многочлены, причем , а символ  есть одно из неравенств: , , , . Применительно к таким неравенствам этот метод включает в себя следующие операции.

1.       Нахождение области определения левой части неравенства (кратко ОДЗ).

2.       Нахождение корней числителя и знаменателя.

.        Нанесение найденных корней на числовую ось, причем с учетом ОДЗ (т.е. принимая во внимание строгость или нестрогость знака неравенства).

.        Определение знаков левой части неравенства на полученных промежутках.

.        Выяснение принадлежности концов полученных промежутков (нулей числителя и знаменателя) множеству решений неравенства.

.        Выбор промежутков, соответствующих знаку неравенства, и запись ответа. [30]

. Утверждения о равносильности неравенств.

1)      

)       

)      

)         

. Решить неравенства:

)                                                   Ответ: .

)                                                                           Ответ: .

)                                   Ответ: .

)                                                               Ответ: .

Р е ш е н и е.

)

Перепишем исходное неравенство, используя утверждение 1) о равносильных переходах в неравенствах:

.

Применим для решения метод интервалов, преобразовав полученное неравенство к виду (2):

      .

○                                                        ○               ○                     

                                                 5

Ответ: .

)

Можно начать решение с выписывания ОДЗ, но в нашем случае удобнее будет воспользоваться утверждением 3), где учтены ограничения по ОДЗ. Таким образом исходное неравенство равносильно следующей системе:

                 

                          

                               

Применим обобщенный метод интервалов для решения первого неравенства последней системы.

●                             ○                        ○                                          

                                           0                        4

Во всех полученных интервалах левая часть неравенства принимает положительные значения, но в силу знака неравенства  имеем один корень .

Ответ: .

Замечание. Можно было и не производить никаких действий по решению данного неравенства, а воспользоваться здравым смыслом. В левой части неравенства все множители имеют четную степень, а значит положительны при любых значениях переменной . Но в числители имеем еще один множитель (-1), значит вся дробь будет принимать лишь отрицательные значения. Беря во внимание знак неравенства, можно сделать вывод о том, что неравенство имеет решения лишь в том случае, когда числитель равен нулю, а именно при .

)

Аналогично предыдущему примеру, воспользуемся при решении неравенства утверждением 4), а затем методом интервалов. Но сначала необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и привести исходное неравенство к виду (9). Поработаем отдельно с числителем и знаменателем.

Одним из корней числителя является число . Значит выражение

 

можно переписать в следующем виде:

 = .

Найдя так же методом подбора корень знаменателя , получим

 =  = .

В результате перепишем исходное неравенство в следующем виде:

                    

○       ○               ●       ●                        ○      ●              

                          1        2

Ответ: .

. “Правило ромашки.”

Существует еще один способ для определения знаков на промежутках, получаемых в ходе решения неравенств. Этот способ применяется для решения неравенств вида  (соответственно ), где

,

где  - натуральные числа.

Способ ромашки скорее служит для забавы (хотя и работает), поэтому его мы сразу поясним на примере.

Решить неравенство:

5)

Р е ш е н и е.

ОДЗ:           

Корни числителя: 1;-1;4.

а) Отметим на числовой оси полученные точки - нули числителя и знаменателя.

б) Найдем знак левой части неравенства на крайнем правом промежутке. Для этого возьмем, например, . Имеем:

.

в) Начнем вести волнообразную кривую, начиная ее правее и выше крайней правой точки 4. Когда кривая подойдет к точке 4, посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 5, значит кривая должна пять раз коснуться точки 4 и идти дальше к точке 2. Когда кривая подойдет к точке 2, посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 2, значит кривая должна два раза коснуться точки 2 и идти дальше к точке 1. Когда кривая подойдет к точке 1, посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 3, значит кривая должна три раза коснуться точки 1 и идти дальше к точке . Когда кривая подойдет к точке , посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 2, значит кривая должна два раза коснуться точки  и идти дальше к точке . Когда кривая подойдет к точке , посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 3, значит кривая должна три раза коснуться точки  и идти дальше к точке . Когда кривая подойдет к точке , посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 1, значит кривая должна один раз коснуться точки  и идти дальше.

                     ○                                    ○     ●                     ●          ○                    ●                

                                                                  1          2                    4

Из получившейся схемы видно, почему способ называется способ ромашки.

г) Теперь знаки определяются совсем просто. В пункте б) мы уже нашли знак на крайнем правом промежутке  - это знак “минус”. Теперь знаки должны чередоваться, но при этом нельзя пропустить ни один «лепесток ромашки»:

                     ○                                    ○     ●                     ●          ○                    ●                

                                                                  1          2                    4

Из полученной схемы уберем все лишнее и отметим штриховкой промежутки, на которых

:

○                          ○      ●                ●     ○               ●    

                                 1      2               4

Ответ: .

Решить неравенство:

)                                         Ответ: (-1;2).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

)                                          Ответ: .

)             Ответ: .

)                                Ответ: .

)                              Ответ: .

)                                             Ответ: .

)                                                      Ответ: .

Занятие №3

На предыдущем занятии предлагалось решить дробно-рациональные неравенства, содержащие “одну дробь”. На этом же занятии целесообразно предложить задания, в которых присутствует сумма нескольких дробей и линейных выражений, для решения которых необходимо привести с помощью равносильных преобразований исходные неравенства к виду (9) (см. предыдущее занятие), а затем применить метод интервалов.

Решить неравенства:

1)                                                      Ответ: .

)                                       Ответ: .

)                                                    Ответ: (-2;1).

)        Ответ: .

)      Ответ: .

Р е ш е н и е.

)

Перенесем все члены неравенства в левую часть, получим

.

Приведя дроби к общему знаменателю и приведя подобные слагаемые в числителе, получим следующее выражение:

                           

     .

Применяя метод интервалов, заключаем, что решением неравенства является объединение двух промежутков:  и .

                                   ○                           ○                                              ○                                  

                                                                                      3

Ответ: .

)

Перенесем все члены неравенства в левую часть и воспользуемся формулой квадрата суммы:

               .

Пусть , причем , т.к. выражение  принимает положительные значения при любых . Тогда неравенство примет вид

.

Домножим обе части неравенства на , при этом знак неравенства не изменится (т.к. ). Имеем

                  .

Применим метод интервалов:

                                                                    3

Таким образом, мы получили систему

Но мы требовали, чтобы . Значит, первое неравенство системы можно не учитывать.

Произведя обратную замену переменной, получим неравенство

                           

Найдем решение последнего неравенства, а значит и исходного, и запишем ответ.

                       ○                                             ○                                  

                                                               1

Ответ: (-2;1).

5)

Разложим каждый из знаменателей дробей, входящих в исходное неравенство, на множители:

Теперь легко можно определить общий знаменатель четырех дробей. Перенеся все члены неравенства в левую часть и сделав соответствующие преобразования, получим

           

    

Применяя метод интервалов, заключаем, что решением неравенства является объединение промежутков .

○               ○                                 ●               ○                  ●                        

                                                             1       2                           5

Ответ:

5)

Преобразуем выражения в каждой из скобок:

 

             

    

Применим метод интервалов (обратив внимание на то, что один из множителей неравенства системы имеет четную степень).

      ○                                    ○                     ●                    ●                            

                                      0                   1                   2

Ответ: .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

1)                     Ответ: .

)                             Ответ: .

)                                        Ответ: .

)                     Ответ: .

)             Ответ: .

)*          Ответ: .

 

Занятие №4

Напомним следующие факты.

) Решением системы неравенств называют значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство.

) Решить систему - значит найти множество всех ее решений.

) При решении системы неравенств с одной переменной обычно решают каждое из неравенств системы, а затем находят пересечение множеств полученных решений.

Решить системы неравенств:

1)                                                                 Ответ: .

)

                                             Ответ:

.

3)

                                                                                      Ответ: (0;1).

Р е ш е н и е.

1)

Перепишем двойное неравенство в виде системы.

Перенеся в каждом из неравенств системы все члены в левую часть и приведя их к общему знаменателю, получим следующую равносильную систему:

.

Рассмотрим первое неравенство системы. Уравнения, соответствующие выражениям числителя и знаменателя, действительных корней не имеют, значит левая часть неравенства принимает всегда лишь положительные значения.

Второе неравенство системы имеет тот же знаменатель, что и первое. Значит решение исходной системы сводиться к решению квадратного неравенства

  .

●                                 ●                               

                                    6

Ответ: .

2)

Решим сначала первое неравенство системы, для чего преобразуем множители знаменателя дроби:

,

,

 

при любых , значит выражение  на знак левой части неравенства не влияет, так же как и выражение числителя .

Таким образом, исходное первое неравенство системы равносильно следующему:

            

      

     .

Применив метод интервалов, найдем решение первого неравенства.

                       ○            ○                          ○                     ○      ○          ○                            

                                                                                    1           2           3

Замечание. Для самопроверки правильности определения знаков на полученных промежутках можно предложить учащимся воспользоваться “правилом ромашки”.

Итак, решением первого неравенства является объединение промежутков:

.

Решим второе неравенство исходной системы.

       

     .

                        ○                                    ○         ○                                 ○                          

                                                     0                                   4

Решением второго неравенства является объединение двух промежутков: (-4;-1), (0;4).

Пересечение найденных решений будет решением исходной системы.

                  ○                     ○                 ○         ○           ○  ○    ○         ○          ○          ○        

                                             0      1           2          3    4

Ответ: .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1)                                     Ответ: .

)                                             Ответ: .

)                                    Ответ: .

4)          Ответ: .

)                                     Ответ: .

)                       Ответ: .

)*                                Ответ: .

)*   Ответ:

.

)*

Ответ: .

)*                                                  Ответ: .

 

Занятие №5

Неравенства, содержащие переменную под знаком корня, называются иррациональными. Мы будем рассматривать обобщенный метод интервалов для решения иррациональных неравенств, суть которого заключается в следующем:

1)      рассматривается иррациональное уравнение вместо неравенства;

2)      рассматривается верность выполнения неравенства с учетом ОДЗ и корней уравнения.

Решить неравенства:

1)                                                                   Ответ: .

)                                                                       Ответ: .

)                                                        Ответ: .

)                                 Ответ: .

Р е ш е н и е.

)

Определим ОДЗ:

  .

Рассмотрим уравнение . Для решения данного иррационального уравнения необходимо возвести обе части уравнения в квадрат, но данную операцию можно производить лишь при условии неотрицательности обеих частей уравнения. Поэтому уравнение  будет равносильно следующей системе:

                                              .

                                          

Полученный корень уравнения входит в определенную ранее ОДЗ, поэтому нанесем на числовую ось точки и  (закрашенные), отметим получившиеся интервалы в пределах ОДЗ:

●                                   ●                                                           

                                                                3

Итак, мы получили два промежутка. Теперь на каждом из них проверим верность исходного неравенства .

На первом промежутке  возьмем удобную для вычисления точку, чтобы проверить будет ли данное неравенство верным или нет. Если неравенство верно, будем ставить знак “+”, если неверно - знак “-”. При  (это точка из первого промежутка) получим верное неравенство , поставим на соответствующем промежутке знак “+”.

На втором промежутке возьмем удобную нам точку , тогда получим неверное неравенство . Значит на промежутке  ставим знак “-”.

В итоге схема будет выглядеть следующим образом:

интервал неравенство факультатив обучение

●                                                                             ●                         

                                                       3

В ответ запишем промежуток, на котором неравенство выполняется (т.е. промежуток, отмеченный знаком “+”).

Ответ: .

)

Начнем решение неравенства, как и в предыдущем случае, с определения ОДЗ:

                  .

Решим уравнение:

                                          

                

    

Уравнение в системе действительных корней не имеет, значит решением системы является пустое множество. Поэтому решение исходного неравенства будем искать лишь на промежутке, определенным ОДЗ. Для чего

) нанесем на числовую ось “закрашенные” точки 0, 3 ;

) возьмем точку из промежутка , например, . При подстановке данного значения переменной в исходное неравенство получим . Очевидно, что это верное выражение, поэтому на схеме ставим знак “+” и записываем ответ.

○                          ○                       

                                      0                      3

Ответ: .

)

Способ решения данного неравенства с помощью обобщенного метода интервалов не будет отличаться от рассмотренных ранее иррациональных неравенства, хотя и содержит более одного корня. Поэтому начнем с определения ОДЗ:

              .

Далее решим уравнение . Поскольку обе части уравнения неотрицательны, то можем возвести их в квадрат:

                      

     .

В итоге мы свели иррациональное уравнение, содержащее два корня, к уравнению, содержащему один корень, решение которого найдем, составив систему, включающую условие неотрицательности правой части уравнения (левая часть неотрицательна в силу определения квадратного корня):

                                                                           

                   

                                           

.                   .

Таким образом, мы получили один корень, который входит в ОДЗ исходного неравенства. Поэтому нанесем на числовую ось точки  (закрашенную),  (пустую) и проверим верность неравенства  на полученных промежутках.

○                                                                   ○                         

1                                                      10

В первом промежутке для проверки возьмем точку . Получим неверное неравенство

, поэтому промежуток  отметим знаком “-”.

На втором промежутке возьмем, например, точку . Получим верное неравенство , поэтому промежуток  отметим знаком “+”.

Ответ: .

)

Определим ОДЗ:

             .

Рассмотрим уравнение

.

Обе части данного уравнения положительны, поэтому возведем их в квадрат:

            .

Получили иррациональное уравнение, в котором обе части положительны, значит можем возвести в квадрат и получим следующее, равносильное последнему, уравнение:

            .

Корнями данного уравнения являются

 и ,

из которых лишь  принадлежит ОДЗ исходного неравенства. Поэтому верность неравенства будем проверять на двух промежутках:

,.

○                          ●                ○                         

                                                           2       

Рассмотрим промежуток . Для более удобных вычислений выберем точку , подставив которую в неравенство, получим следующее: .

Точно вычислить значение корней нам не удастся, но, сделав приблизительную оценку их значений, приходим к выводу, что неравенство ложно. Поэтому на схеме ставим знак “-”.

На втором промежутке  возьмем точку . При подстановке данного значения переменной в неравенство получим выражение , которое заведомо положительно. Поэтому на схеме отметим рассматриваемый промежуток знаком “+”.

○                          ●                ○                         

                                                            2       

Таким образом, решением неравенства являются значения

.

Ответ: .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

)                                                          Ответ: .

)                                                             Ответ: .

)                                   Ответ: .

)                                                        Ответ: .

)                                        Ответ: .

)*                                            Ответ: (-9;4).

 

Занятие №6

Решить неравенства:

1)                                           Ответ: .

)                                           Ответ: .

)                                                  Ответ: .

)                                                Ответ: .

Р е ш е н и е.

1)

Определим ОДЗ:                   

Рассмотрим уравнение , представляющее собой произведение двух выражений, равное нулю. Известно, что произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности

                           

              

.

Нанеся все найденные корни на числовую ось, увидим, что  не входит в ОДЗ исходного неравенства. Поэтому получим следующие промежутки:

●                                                     ●               ●                         

                                         1                     2

Для проверки знака неравенства на каждом из промежутков достаточно посмотреть лишь знак первого множителя (так как  при любых значениях переменной ).

Не сложно заметить, что при любых значениях  получим неверное неравенство (значит на схеме ставим “-”), а любые значениях  являются решением исходного неравенства (на схеме ставим “+”). Но в силу нестрогости неравенства к найденному промежутку необходимо добавить и точку . Поэтому ответ запишем в следующем виде:

Ответ: .

)

ОДЗ:   .

Рассмотрим уравнение . В обеих частях данного уравнения присутствует выражение , сократить на которое нельзя, так как оно содержит переменную. Поэтому выполним следующие равносильные преобразования:

                                 

                   .

Найденные корни входят в ОДЗ неравенства, поэтому получим три промежутка, на каждом из которых проверим знак неравенства.

●                          ●      ●    

                                              0       

При  получим:    (верное неравенство, промежуток  отмечаем знаком “+”).

При  получим:    (неверное неравенство, промежуток  отмечаем знаком “-”).

При  получим:  (верное неравенство, промежуток  отмечаем знаком “+”).

Объединение двух промежутков, отмеченных знаком “+”, и является решением исходного неравенства.

Ответ: .

3)

Как и в предыдущих примерах, начнем решение с определения ОДЗ:

             

                      .

Далее рассмотрим уравнение . В силу определенной ранее ОДЗ, уравнение будет равносильно следующему:

                                               

                

        .

Найденный корень принадлежит ОДЗ неравенства, поэтому получим следующую схему:

●                ○               ●     ●                       

                                      0               4      6

Для проверки знака неравенства на полученных промежутках будет удобнее переписать его в следующем виде:

.

Возьмем точку из промежутка , например, . Подставив данное значение в преобразованное неравенство, получим верное неравенство: . Значит на схеме в промежутке ставим знак “+”.

Из второго промежутка  для проверки удобнее будет взять точку . Получим , что неверно. Поэтому на схеме в промежутке ставим знак “-”.

Наконец, из промежутка  возьмем точку . Получим верное неравенство . Ставим на соответствующем промежутке знак “+”. В ответ запишем объединение промежутков, отмеченных знаком “+”.

Ответ: .

)

Определим ОДЗ:

 

          

Преобразуем неравенство:

.

Для того чтобы применить обобщенный метод интервалов для решения иррациональных неравенств подобного вида, необходимо приравнять к нулю и числитель и знаменатель дроби. В нашем случае знаменатель не может быть равен нулю (это условие уже включено в ОДЗ самого неравенства), поэтому решение сведется к рассмотрению одного уравнения:

         .

Далее найдем корни полученного уравнения известным нам способом:

                                           

                  

            .

Отметим на числовой оси найденный корень и ОДЗ исходного неравенства, тем самым получим три промежутка: , , .

○                 ●                ●               

                   0               1                 2

Рассмотрим знак неравенства на каждом из промежутков.

При  имеем: . Значит на схеме промежуток  отметим знаком “+”.

При  имеем: . Значит на схеме промежуток  отметим знаком “-”.

При  имеем: . Значит на схеме промежуток  отметим знаком “+”.

Ответ: .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

)                                          Ответ: .

)                                            Ответ: .

)                                                                    Ответ: .

)                                 Ответ: .

)*                                    Ответ: .

)*                                               Ответ: .

 

Занятие №7

Решить неравенства:

1)                                                      Ответ: .

)                                                                Ответ: .

)                                      Ответ: .

)                                                              Ответ: .

Р е ш е н и е.

)

ОДЗ: .

Рассмотрим уравнение , содержащее модуль. В начале нанесем на числовую ось корень уравнения  (это ) и определим знаки выражения  на области допустимых значений исходного неравенства:

●                                                                  ●                         

                                              8

Теперь раскроем модуль в уравнении с учетом определенных нами изменений знаков подмодульного выражения. Получим два случая.

а)                                                 

                              

                         

                                   .

б)                                                  Ø

             

Нанесем на числовую ось все найденные корни в пределах ОДЗ неравенства и определим знак верности последнего на полученных промежутках.

●                                                   ●                                   ●      

                                 0                                    8

Возьмем из крайнего левого промежутка точку . При подстановке в начальное условие получим верное неравенство:

         .

Из промежутка  для удобных вычислений возьмем точку . Получим неверное неравенство: .

Из крайнего правого промежутка возьмем точку . При подстановке в начальное условие получим опять неверное неравенство:

      или    .

Так как знак исходного неравенства нестрогий, то в ответе к отмеченному знаком “+” промежутку необходимо добавить еще и точку .

Ответ: .

)

ОДЗ:               .

Рассмотрим уравнение . Выражение  не равняется нулю (в силу ОДЗ неравенства), поэтому домножим на него обе части уравнения. Получим:

                     .

Нанесем точки ,  (пустые) на числовую ось и проверим выполнимость исходного неравенства на полученных промежутках (в пределах ОДЗ):

○                                                                               ○                

                                                                         

При  получим:  (неверно).

При  получим:  (верно).

Ответ: .

)

Преобразуем неравенство:

         .

Областью допустимых значений неравенства будет вся числовая ось, поэтому сразу можем перейти к рассмотрению уравнения . Для освобождения от иррациональности в нашем уравнении необходимо условие неотрицательности правой его части, т.е. . Так как выражение , стоящее под модулем, будет принимать только положительные значения на данном промежутке, то рассматриваемое уравнение равносильно системе:

                                                                      

                       

                   .

В результате получили два промежутка, на которых проверим выполнимость исходного неравенства.

○                                                                                            

                                    

При  получим верное неравенство: ; при  получим неверное: .

Ответ: .

)

Рассмотрим уравнение

.

Введем новую переменную , причем  (данное ограничение будет совпадать с ОДЗ исходного неравенства). Тогда уравнение примет вид: . Корнями полученного квадратного уравнения являются  и . Так как мы потребовали, чтобы , то, возвращаясь к исходной переменной, получим корень . С учетом ограничения значений переменной , числовая ось разобьется на два промежутка.

●                          ○                          

0                                                       64

На промежутке  исходное неравенство выполняться не будет (так как, например, при  получим: ).

На промежутке  исходное неравенство выполняется (при  получим: ).

Ответ: .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

)                                               Ответ: .

)                                                 Ответ: .

4)                                Ответ: .

)                        Ответ: .

)                                              Ответ: .

)*                                                     Ответ: .

Занятие №8

На последующих двух занятиях мы будем решать показательные и логарифмические неравенства, применяя обобщенный метод интервалов. Кроме того, в некоторых случаях для проверки выполнимости неравенств мы будем использовать свойства функций (монотонность), входящих в условие неравенств.

Поэтому напомним:

) если основание степени (логарифма) больше единицы, то график соответствующей функции монотонно возрастает;

) если основание степени (логарифма) меньше единицы (но больше нуля), то график соответствующей функции монотонно убывает.

Начнем с решения показательных неравенств. Показательными неравенствами называют неравенства вида , где  - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. [23, с.285]

Решить неравенства:

)                                                   Ответ: .

)                                            Ответ: .

)                                         Ответ: .

Р е ш е н и е.

)

Решение начнем с определения ОДЗ:

            

Рассмотрим уравнение . Домножив обе части уравнения на ненулевое выражение знаменателя (это мы уже определили в ОДЗ), получим равносильное уравнение:

               .

Нанесем на числовую ось точки:  и  (пустые), 2 (закрашенную). Проверим выполнимость неравенства на каждом из полученных интервалов.

                 ○                  ○                        ●                         

                                                        2

В нашем случае будет удобнее воспользоваться не методом пробных точек, а анализом поведения функций, входящих в неравенство.

В числителе имеем показательную монотонно возрастающую функцию (так как основание ). При : , значит функция  будет принимать положительные значения; при  функция будет принимать отрицательные значения.

В знаменателе находиться квадратичная функция, принимающая положительные значения на крайних от ее корней интервалах, отрицательные - на интервале между корнями.

Принимая во внимание знак неравенства, нам остается лишь выбрать из промежутков те, на которых обе функции (и в числителе и в знаменателе) принимают одновременно либо отрицательные, либо положительные значения. Таковыми являются  и .

Ответ: .

)

ОДЗ:   .

Так как  на всей ОДЗ, то знак неравенства не изменится, если мы умножим обе части неравенства на это выражение. То есть исходное неравенство равносильно следующему:

.

Решим уравнение:

                    

                    .

Нанесем все найденные точки на числовую ось.

○                 ●                          ●                                                    

                    1             2                          5

На промежутках  и  рассматриваемое неравенство не выполняется (так, например, при  получим

 , при  получим ).

На промежутках  и  неравенство выполняется (например, при  получим

,

при  получим

).

Ответ: .

)

ОДЗ:            .

Решим уравнение . Произведем замену:  (). Перепишем уравнение в виде

                                     

                      

              

           

Но так как мы ввели ограничение , то из найденных корней подходит лишь . Возвращаясь к исходной переменной, получим:

      .

Нанесем на числовую ось точку  и проверим выполнимость исходного неравенства на ОДЗ.

●                ○              

                                                 0

При  (точка из интервала ) получим неверное неравенство: .

На интервале исходное неравенство выполняется (так, например, при  получим ). Значит ответ запишем в следующем виде:

Ответ: .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

)                                                    Ответ: .

)                                                       Ответ: .

)                                                        Ответ: .

)                                                              Ответ: .

 

Занятие №9

Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида , где  - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. [23, с.308]

При решении логарифмических неравенств нельзя забывать об условиях существования логарифма :

Решить неравенства:

1)                                               Ответ: .

)                                                                        Ответ: (1;2).

)                                                                   Ответ: (1;100).

)                           Ответ: .

Р е ш е н и е.

)

ОДЗ: .

Рассмотрим уравнение . Найдем его корни.

                      

                

           

Корень  не входит в ОДЗ неравенства. Поэтому на числовую ось нанесем все найденные точки, за исключением данной.

○                 ●                          ●                       

                    1             2                          8

Методом пробной точки определим знак неравенства на каждом из промежутков.

а)

При  получим следующее: , что совпадает со знаком исходного неравенства. На схеме ставим знак “+”.

б)

При  получим следующее: . Значит интервал отмечаем знаком “-”.

в)

При  получим следующее: . Получили знак, совпадающий с первоначальным. Ставим на схеме знак “+”.

Объединение интервалов, отмеченных на схеме “+” является решением исходного неравенства.

Ответ: .

)

ОДЗ:                                

                                                

Решим уравнение:

(на ОДЗ)

                        

Оба найденные корни не входят в ОДЗ. Поэтому б рассматривать лишь интервалы  и .

○                          ○                         

                            1                   2

Для облегчения вычислений при проверке выполнимости неравенства преобразуем его левую часть:

.

В интервале  возьмем точку . Получим .Значит на схеме в данном интервале ставим знак “+”.

В интервале  возьмем точку . Получим . В данном интервале получили положительное значение левой части исходного неравенства, что не совпадает с первоначальным условием. Ставим на схеме знак “-”.

Запишем ответ.

Ответ: (1;2).

)

ОДЗ:               

            

Решим уравнение, соответствующее исходному неравенству.

               

○       ○                                   ○                

                  0       1                          100

При  получим неверное неравенство:   .

При  получим , что верно.

При  получим неверное неравенство:    .

Ответ: (1;100).

)

Для определения ОДЗ отдельно найдем корни выражения с логарифмом.

                          

                   ,

Получим ОДЗ:

С учетом нуля числителя получим четыре точки, разбивающие ОДЗ на пять промежутков. На каждом будем проверять знак неравенства.

○                 ○       ○                 ●               

                                2

Для дальнейшей проверки преобразуем само неравенство, используя свойства логарифмов:

                

      (т.к.  - это отрицательное число)

При  получим . Полученный знак не совпадает с требуемым, поэтому интервал отмечаем знаком “-”.

При  получим . Значит отмечаем интервал  знаком “+”.

При  получим . Так как требуется неотрицательность левой части неравенства, интервал  отметим знаком “-”.

При  получим . Значения переменной из интервала  являются решением неравенства, поэтому на схеме ставим знак “+”.

При  получим . Неравенство на интервале  не выполняется - ставим знак “-”.

В ответ запишем объединение промежутков, отмеченных “+”.

Ответ: .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

)                                       Ответ: .

)                                                            Ответ: (1;50).

)                                                         Ответ: (1;1000).

)                                                           Ответ: .

)                                                   Ответ: .

 

Занятие №10

Если в неравенстве (или уравнении) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а неравенство (или уравнение) параметрическим.

Решить неравенство с параметрами означает:

1)      определить, при каких значениях параметров существуют решения;

2)      для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Для всех значений параметра  решить неравенства:

1)

)

)

)

Р е ш е н и е.

)

Рассмотрим уравнение

.

На числовой оси отметим точки ,  и определим знаки левой части неравенства на полученных промежутках.

Возможны случаи.

)   . Тогда имеем три промежутка, на которых знаки левой части неравенства чередуются (рис. ). Следовательно,  при .

●                                                                     ●                       

                                             

рис.1

)   . Тогда неравенство примет вид  и  будет единственной критической точкой кратности 2, при переходе через которую знак левой части неравенства меняется (рис.2). Следовательно, решением неравенства будет  при .

●                                                                                                        

                                          2

рис.2

)   . Тогда (рис.3)  при .

●                                                              ●                                 

                                                          

рис.3

Ответ: если , то ;

если , то ;

если , то .

)

Как мы уже знаем, решение иррациональных неравенств обычно начинается с нахождения ОДЗ. В нашем случае ОДЗ неизвестного  образуют решения неравенства . Чтобы решить это неравенство, а затем и исходное неравенство, рассмотрим последовательно три случая.

а)   ОДЗ:

Тогда левая и правая части исходного неравенства неотрицательны, поэтому при возведении их в квадрат получим:

             .

Корнями последнего квадратного трехчлена являются  и . Нанесем найденные корни на числовую ось (в пределах ОДЗ), определим знаки исходного неравенства на полученных промежутках.

●       ○                                  ○                       

                 0                                         

Видно, что решением последнего неравенства, а значит и исходного, является при  .

б)   ОДЗ:

В данном случае получаем, что левая часть исходного неравенства отрицательна, а правая часть положительна. Следовательно, неравенство не имеет решений при .

в)   ОДЗ:

Тогда неравенство примет вид .

Ответ: если , то ;

если , то ;

если , то решений нет.

)

Разложив знаменатель на линейные множители, получим

.

Чтобы решить это неравенство методом интервалов, надо на числовой оси отметить точки  (закрашенная точка) и ,  (пустые точки).

Возможно несколько случаев взаимного расположения точек на числовой оси, в каждом из которых будем определять выполнимость исходного неравенства.

)   .

●                         ○                          ○                       

             -2                        3

рис.4

Из рис.4 видно, что при  получаем .

)   . Тогда неравенство примет вид .

○                          ○

                             3                                         

рис.5

То есть при  .

)   . Получили четыре промежутка, определим знаки на каждом из них.

○                          ●                          ○

                                                 3                        

рис.6

Опираясь на рис.6 делаем вывод: при  .

)   . Здесь неравенство примет вид . Определим знаки в каждом из полученных трех промежутков.

○                                   ○

                                      3                                   

рис.7

Из рис.7 видно, что при  .

)   . В данном случае числовая прямая вновь разбивается на четыре промежутка:

○                          ○                          ●

                            3                                                

рис.8

На основании рисунков (4 - 8) имеем:

Ответ: если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

Для всех значений параметра  решить неравенства:

) .                    Ответ: если , то ,

если , то ,

если , то .

) .      Ответ: если , то ,

если , то ,

если , то .

) .      Ответ: если ,то , если ,то Ø,

если ,то , если ,то .

) .                            Ответ: если ,то ,

если ,то ,

если ,то ,

если ,то .

)* .                      Ответ: если ,то ,

если ,то ,

если ,то ,

если ,то .

)* .                       Ответ: если , то ,

если ,то ,

если , то ,

если , то .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ИТОГОВОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ

1)                                                  Ответ: .

)                                                      Ответ: .

)                                                   Ответ: .

)                                          Ответ: .

)                                              Ответ: .

)                                                            Ответ: .

)                                     Ответ: .

)                                         Ответ: .

)                             Ответ: если , то ;

если , то .

)*                 Ответ: .

)*              Ответ: .

)*          Ответ: .

)*                   Ответ: если , то ;

если , то ;

если ,то .

)*           Ответ: если , то ;

если , то .

Заключение

В начале дипломной работы мы поставили следующие задачи:

–       составить психолого-педагогическую характеристику старших школьников, выявить особенности их учебной деятельности;

–       определить роль и место факультативных занятий в рамках обучения в школе;

–       проанализировать методическую, педагогическую литературу по теме дипломной работы (в частности действующие учебники по алгебре и началу анализа для 10 -11 классов);

–       отобрать содержание факультативного курса “Применение метода интервалов при решении неравенств”;

–       разработать план факультатива “Применение метода интервалов при решении неравенств” и конспекты конкретных занятий.

Проанализировав психолого-педагогические особенности старшеклассников, мы пришли к выводу, что центральным новообразованием данного возраста становится самоопределение, профессиональное и личностное. Умение юношей и девушек составлять жизненные планы, искать средства их реализации определяет специфику содержания учебной деятельности. Так факультативные занятия, учитывая интересы и склонности учащихся, помогают расширить и углубить усвоение ими программного материала, улучшают подготовку к вступительным экзаменам в вузы и средние специальные учебные заведения.

По результатам анализа действующих учебников по алгебре и началу анализа таких авторов и авторских коллективов, как А.Н., Башмаков, Виленкин Н.Я., Колмагоров М.И., А.Г. Мордкович, Алимов Ш.А., в которых нас интересовало изложение метода интервалов и система упражнений по его применению при решении неравенств, мы сделали вывод о необходимости создания специальной системы упражнений в рамках факультативного курса по исследуемой теме.

Определив роль и место факультативных занятий в процессе обучения старшеклассников (опять же с учетом их психолого-педагогических особенностей, в частности, нежелание осваивать уже известный материал, известными же способами), был отобран соответствующий разноуровневый учебный материал (рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические неравенства), который лег в основу занятий курса.

По нашему мнению, представленная последовательность занятий и их содержание позволяет успешному усвоению способов решения неравенств с помощью метода интервалов. Таким образом, поставленные задачи решены.

Библиография

1)       Алгебра и математический анализ .10 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 11-е изд., стереотип. - М.: Мнемозина, 2004. - 335 с.: ил.

2)      Алгебра и математический анализ .11 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 11-е изд., стереотип. - М.: Мнемозина, 2004. - 288 с.: ил.

)        Алгебра и начала анализа. 10 - 11 кл.: В двух частях. Ч. 2: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская; Под ред. А.Г. Мордковича. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003. - 315с.: ил.

)        Алгебра и начала анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы / Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, М.В. Чинкина. - М.: Дрофа, 1999. - 352с.: ил.

)        Алгебра и начала анализа: Сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы / И.Р. Высоцкий, И.И. Звавич, Б.П. Пигарев и др.; Под ред. С.А. Шестакова. - М.: Внешсигма-М, 2003. - 208с.

)        Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 - 11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - 12-е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 384с.: ил.

)        Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 -11 кл. сред. шк./А.Н. Колмагоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмагорова. - 4-е изд.- М.: Просвещение, 1994.- 320 с.: ил.

)        Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа. 10- 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. - 2-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2000. - 400 с.:ил.

)        Белоненко, Т.В. и др. Сборник конкурсных задач по математике. - СПб.: “Специальная литература”, 1997. - 560с.

)        Задания для подготовки к выпускному экзамену по алгебре и началам анализа: Кн. Для учащихся 11 кл. общеобразоват. учреждений / Е.А. Семенко, С.Д. Некрасов, Г.Н. Титов и др. - М.: Просвещение, 1997. - 191с.: ил.

)        Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. Вавилов В.В., Мельников И.И. и др.- М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1987.-432с.

)        Кадыров, И. Взаимосвязь внеклассных и факультативных занятий по математике: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1983. - 64с.

)        Казаренков, В.И. Педагогические основы организации внеурочных занятий школьников по учебным предметам: Учебное пособие.- М.: МГПУ, 1998.-127с.

)        Киричек, Г.А. Индивидуальный подход к учащимся при уровневой дифференциации изучения темы ”Неравенства” в курсе алгебры основной школы. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. Саранск, 2002.- 20с.

)        Крамор, В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. - М.: Просвещение, 1990. - 416с.: ил.

)        Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников. - М.: Просвещение, 1968. - 432с.

)        Крутецкий, В.А., Лукин, Н.С. Очерки психологии старшего школьника. - М.: Учпедгиз, 1963. - 198с.

)        Кулагина, И.Ю., Колюцкий, В.Н. Возрастная психология: Полный жизненный цикл развития человека. Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. - М.: ТЦ “Сфера”, 2001. - 464с.

)        Куланин, Е.Д., Федин, С.Н. 5000 конкурсных задач по математике. - М.: ООО “Фирма “Издательство АСС” ”, 1999. - 720с.

)        Локоть, В.В. Задачи с параметрами. Иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем. - М.: АРКТИ, 2004. - 64с.

)        Макичян, Б.М. Факультативные занятия по математике в условиях всеобщего среднего образования. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. М., 1982.- 16с.

)        Математика. Пособие для углубленного изучения математики для учащихся средних школ и поступающих в технические университеты. Под ред. проф., д.ф.-м.н. Муравья Л.А.- М.: БРИДЖ, 1994,- 180с.

)        Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 - 11 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - 3-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2002. - 375с.: ил.

)        О личностном развитии школьников средствами математики. //В кн.: Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении: Сборник научных и методических работ, представленных на региональную научно-практическую конференцию.; Под ред. М.И.Зайкина. - Арзамас, АГПИ, 2002. - 334с. - с. 72-73.

)        Олехник, С.Н., Потапов, М.К., Пасиченко, П.И. Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства. Учебно-методическое пособие для учащихся 10-11 классов. - М.: Экзамен (Серия “Экзамен”), 1998. - 192с.

)        Потапов, М.К. и др. Математика. Методы решения задач. Для поступающих в вузы: Учебное пособие.- М.: Дрофа, 1995.- 336с.: ил.

)        Потапов, М.К., Олехник, С.Н., Нестеренко, Ю.В. Конкурсные задачи по математике: Справоч. пособие. - М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1992. - 480с.

)        Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе : Учеб. пособие для студентов мат. спец. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. - М.: Просвещение, 2002. - 224с.: ил.

)        Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие/ В.К.Егерев, Б.А.Кордемский, В.В.Зайцев и др.; Под ред. М.И.Сканави.- 6-е изд., испр. и доп.- М.: СТОЛЕТИЕ, 1997.- 560с.: ил.

)        Сильвестров, В.В. Обобщенный метод интервалов: Учеб. пособие. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1998. - 80с.

)        Система учебных задач как средство развития математического мышления учащихся. // В кн.: Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении: Сборник научных и методических работ, представленных на региональную научно-практическую конференцию.; Под ред. М.И.Зайкина. - Арзамас, АГПИ, 2002. - 334с. - с. 114-115.

)        Столяренко, Л.Д. Педагогическая психология. Серия “Учебники и учебные пособия”. - 2-е изд., перераб. и доп. - Ростов н/Д : “Феникс”, 2003. - 544с.

)        Фридман, Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о пед.психологии.-М.: Просвещение, 1983.- 160с.: ил.

)        Шарыгин, И.Ф. Сборник задач по математике с решениями: Учеб. пособие для 11 кл. общеообразоват. учреждений/ И.Ф. Шарыгин. - М.: ООО “Издательство Астрель”: ООО “Издательство АСТ”, 2001. - 448с.: ил.

)        Шестаков, С. Письменный экзамен. Неравенства и системы неравенств // Математика.- 2004. - № 2. - с. 28-29.