Площади плоских фигур в курсе геометрии основной школы

Площади плоских фигур в курсе геометрии основной школы

МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ТЕОРИИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

по теме: "ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ"

студентки 5 курса

Емашовой Н.С.

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук,

профессор Захарова А.Е.

Москва

Содержание

Введение

Глава 1. Научно-методические основы изучения площадей плоских фигур в основной школе

.1 Основы теории площадей

.2 Этапы работы с площадями в основной школе

.3 Анализ школьных учебников

.4 Психолого-педагогические основы обучения по теме "Площади фигур"

Глава 2. Основные дидактические функции задач по теме "Площади фигур" и их реализация в учебном процессе

2.1 Сборник задач "на площади". Типология задач сборника

2.2 Основные функции задач "на площади" и методика их реализации в процессе обучения в 5-9 классах

2.3 Опытная проверка разработанных материалов и анализ результатов

Заключение

Список литературы

Введение

Обучение математике в школе призвано развивать познавательные и творческие способности каждого ребенка, его интеллект, культуру и должно быть направлено на развитие личности школьника. Изучение математики вооружает учащихся конкретными математическими знаниями, необходимыми в практической деятельности, а также при изучении смежных дисциплин. Изучение математики способствует становлению гуманитарной культуры человека, раскрывает представление о том, что математика - часть общечеловеческой культуры.

В связи с этим одной из основных целей обучения математике (в частности, геометрии) является привитие учащимся интереса к этому предмету, используя особенности самой математики. Особая роль здесь отводится задачам, которые призваны возбудить у учащихся интерес к изучаемому предмету, стимулирующим познавательную активность школьников и оказывающим эстетическое воздействие на них.

Чтобы заинтересовать школьников, привлечь их внимание к геометрии, к процессу решения геометрических задач, к процессу геометрического творчества, необходимо показать этот предмет во всем его многообразии, акцентируя внимание на интересных, занимательных моментах. Важно учесть при этом, что у одних школьников интерес вызывает поиск результата, у других - обоснование, у третьих - поиск неординарного, оригинального решения. Один из возможных путей удовлетворения указанных требований - создание специального сборника задач по одному из вопросов курса геометрии. Важно при этом, чтобы задачи сборника были упорядочены (по каким-то принципам) и могли выполнять различные дидактические, развивающие и воспитательные функции. Именно этой проблеме и посвящена данная работа. Ведь воспитание познавательного интереса у школьников - одно из важнейших условий эффективности учебного процесса.

Большими возможностями в этом плане обладает тема "Площади фигур". Тема "Площади фигур" заключена в рамках содержательно-методической линии "Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин", но вместе с тем, эта тема имеет непосредственную связь и с другими содержательными линиями школьного курса математики.

Выбор данной темы не случаен: она способна "вобрать" в себя большой теоретический и практический материал, который накапливают школьники ко времени изучения данной темы и, кроме того, располагает огромными возможностями по формированию системы знаний, умений и навыков решения различных типов задач, творческого мышления и интуиции учащихся; способствует развитию интеллекта, мировоззрения, нравственных качеств учащихся при решении планиметрических задач непосредственно на уроках и во внеклассной работе. Здесь можно предложить учащимся и задачи на непосредственное измерение площадей, и на вычисление площадей с помощью формул (опосредованное измерение), и всевозможные задачи на разрезание и перекраивание фигур, на конструирование из бумаги, и задачи на равновеликие и равносоставленные фигуры, и наконец, задачи с привлекательным чертежом, условием и т.д. Ведь школьникам особенно нравится, если условия задач имеют занимательную форму.

Выбор темы "Площади фигур" обусловлен также и иными причинами. Во-первых, эта тема имеет важное историческое значение для математики как науки: само слово "геометрия" в переводе с греческого означает "землемерие" ("гео" - по-гречески земля, а "метрео" - мерить). Во-вторых, площади находят широкое применение при изучении других тем курса геометрии, а также алгебры, физики, химии, географии, экологии и т.д. Ведь с помощью площадей можно по-иному доказать уже изученные геометрические факты, теоремы. Площади дают также метод решения задач, основанный на применении свойств площадей и формул для вычисления площадей тех или иных геометрических фигур, и именуемый методом площадей. В-третьих, данная тема имеет самую непосредственную связь с практической деятельностью людей. Ведь, действительно, мы сталкиваемся с площадями на каждом шагу: это и площади наших квартир, и все, что касается ремонта квартир также основывается на этом понятии (сколько квадратных метров керамической плитки необходимо купить, чтобы выложить ею ванную комнату, сколько рулонов обоев необходимо затратить на оклейку комнаты и т.д.). Площади находят непосредственное применение в быту, в технике, строительстве, искусстве и т.д.

Но при всей важности понятия "площадь", при всей его применимости, мало кто сможет ответить на вопрос "Что такое площадь?". Этот факт подтвердил опрос, проведенный среди студентов математического факультета. Если студенты не смогли четко ответить на этот вопрос, то чего же ждать от школьников?

Такое положение с представлением о понятии "площадь плоской фигуры" объясняется, на наш взгляд, просто: в школе не ставится задача формирования понятия "площадь фигуры" (и это совершенно правильно, т.к. это понятие обладает высокой степенью абстракции и, кроме того, у школьников и не возникает потребности в этом). Учащиеся осваивают интуитивно ясные и "прозрачные" основные свойства площадей, подтверждения которым они встречали в детских играх, которые явно выделяются и формулируются в пропедевтическом курсе геометрии (5-6 классы) и воспринимаются школьниками как нечто само собой разумеющееся. Именно поэтому на первый план выступает освоение вычисления площадей плоских фигур с помощью различных формул.

Целью дипломной работы является разработка и обоснование системы задач по теме "Площади фигур", направленных на всестороннее развитие учащихся и возбуждение интереса к геометрии, а также разработка конкретных методических рекомендаций по реализации основных дидактических функций задач предлагаемого сборника.

Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

·   изучить имеющуюся математическую и методическую литературу с целью выявления различных задач "на площади";

·   осуществить соответствующую поставленной цели подборку планиметрических задач по теме "Площади фигур";

·   разработать методические рекомендации для реализации основных функций подобранных задач в процессе обучения в основной школе;

·   провести опытную проверку разработанных материалов сборника задач.

Для решения поставленных задач применялись следующие методы:

·   изучение и анализ математической, психолого-педагогической и методической литературы; анализ учебников и учебных пособий по математике и по геометрии основной школы; изучение и анализ нормативных документов;

·   опрос студентов МГПУ;

·   беседа с учителями математики и учениками;

·   экспертная оценка учителей математики;

·   опытная проверка, позволившая изучить состояние данного вопроса в школьной практике обучения геометрии и апробировать некоторые задачи сборника.

Дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

Во введении обосновывается выбор темы, постановка проблемы исследования и ее актуальность, а также формулируются цели и задачи данной работы.

В Главе 1 излагаются основы теории площадей, проводится сравнительный анализ школьных учебников по геометрии для 7-9 классов, причем как по теоретическому материалу, так и по задачному, а также анализ нормативных документов. Хотелось бы отметить, что в проведенном исследовании мы ограничились рассмотрением проблемы в общеобразовательных классах. Кроме того, здесь говорится о психологических особенностях школьников 8-9 классов, а также о соблюдении основных дидактических принципов при обучении учащихся по теме "Площади фигур".

В Главе 2 представлено описание сборника задач по теме "Площади фигур", обоснование типологии представленных в нем задач. Кроме того, в этой главе излагаются методические рекомендации по реализации основных дидактических, развивающих и воспитательных функций задач предлагаемого сборника, а также результаты опытной проверки данного сборника.

В заключении представлены основные выводы о проделанной работе.

Список использованной литературы содержит 64 наименования.

Дипломная работа содержит 3 приложения.

Глава 1. Научно-методические основы изучения площадей плоских фигур в основной школе

1.1 Основы теории площадей

Рассмотрим основные положения теории площадей.

Начнем с определения площади многоугольника. Простым многоугольником называется простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею. Будем рассматривать только простые многоугольники, называя их для краткости многоугольниками.

Определение: Рассмотрим множество M всех многоугольников на евклидовой плоскости. Говорят, что установлено измерение площадей многоугольников, если определено отображение S : M→R₊ , удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. Если многоугольники F и F’ равны, то S(F)=S(F’).

2. Если F=F₁+F₂ , то S(F)=S(F₁)+S(F₂).

3. S(P₀)=1 , где P₀ - квадрат, построенный на единичном отрезке как на стороне.

Положительное число S(F) называется мерой или площадью многоугольника F, квадрат P₀- единичным квадратом, а аксиомы 1, 2 и 3 - аксиомами измерения площадей.

Теорема 1: (существования и единственности): В евклидовой геометрии всегда существует отображение S : M→R₊ , удовлетворяющее аксиомам 1, 2 и 3, причем если выбран единичный отрезок, то это отображение единственное.

Следствие: При любом способе разложения многоугольника F на конечное множество треугольников сумма площадей этих треугольников одна и та же.

Замечание: В школьном курсе геометрии теорема существования и единственности площади многоугольника не доказывается. Тем не менее теория площадей, изучаемая в школе, имеет определенное значение: она, опираясь на утверждение (которое принимается без доказательства), что существует отображение S : M→R₊ , удовлетворяющее аксиомам 1, 2 и 3, дает возможность вычислить площади простейших многоугольников по каким-то данным, и тем самым в школьном курсе геометрии устанавливается единственность измерения простейших многоугольников. Пусть, например, для вычисления площади многоугольника F мы разбили его на треугольники и взяли сумму площадей получившихся треугольников. Понятно, что при разных способах разбиения на треугольники мы получим один и тот же результат. Но почему? В школьной геометрии ответа на этот вопрос нет. Теорема существования и единственности дает четкий ответ: при любом разбиении многоугольника на F треугольники сумма их площадей дает однозначно определенное число S(F). Из этой теоремы, а также из аксиом площади выводятся формулы для вычисления площади любого прямоугольника, параллелограмма, треугольника.

Теорема 2: Если S : M→R₊ - отображение, удовлетворяющее аксиомам 1, 2 и 3, то S(P)=xy, где P - прямоугольник, стороны которого равны x и y.

Теорема 3: Если S : M→R₊ - отображение, удовлетворяющее аксиомам 1, 2 и 3, то S(T)=xy, где T - треугольник, x - одна из его сторон, а y - соответствующая высота.

Определение: Два многоугольника называются равновеликими, если их площади равны.

Ясно, что равновеликость есть отношение эквивалентности на множестве M всех многоугольников.

Определение: Два многоугольника F и F’ называются равносоставленными, если их можно разложить на одно и то же число соответственно равных многоугольников.

Можно доказать, что отношение равносоставленности тоже является отношением эквивалентности на множестве M всех многоугольников.

Теорема 4: Если многоугольники равносоставлены, то они равновелики.

Замечание: На этой теореме основан метод разложения при вычислении площади многоугольника F: данный многоугольник разлагают на конечное множество многоугольников, таких, чтобы из них можно было "сложить" многоугольник, площадь которого известна. Именно таким способом в школьном курсе геометрии находят формулы для вычисления площади параллелограмма, треугольника, трапеции.

Следующее утверждение является обратным теореме 4.

Теорема 5 (Бойяи-Гервина): Если многоугольники равновелики, то они равносоставлены.

Таким образом, во множестве M всех многоугольников отношение равновеликости совпадает с отношением равносоставленности.

А как же быть с площадью произвольной фигуры, например, с площадью круга? Эта проблема возникает и при изложении материала школьной геометрии. Возникает необходимость расширить изучаемую область теории площадей, которую до сих пор составляло только множество всех многоугольников плоскости.

Определение: Фигура M называется квадрируемой, если для любого положительного числа e можно подобрать такие многоугольники P и Q, что P Ì M Ì Q и S(Q)-S(P) < e.

          Теорема 6: На множестве всех квадрируемых фигур существует, и притом только одна, функция S, удовлетворяющая аксиомам 1, 2 и 3 измерения площадей.

Число S(F) называется площадью фигуры F, где F- квадрируемая фигура.

Замечание: Метод вычисления площади фигуры, основанный на рассмотрении многоугольников, постепенно заполняющих всю фигуру, называется методом исчерпывания (в школьных учебниках с помощью этого метода выводится формула для вычисления площади круга и не только).

О применении палетки (непосредственное измерение площадей).

Обычно говорят, что площадь S(F) фигуры F есть число, показывающее, из скольких единиц площади составляется эта фигура (за единицу площади берется квадрат, сторона которого равна единице длины). Однако такое наглядное пояснение не может служить точным математическим определением понятия площади. Неясно, например, каким образом из единиц площади составляется круг заданного радиуса.

Один из способов определения понятия площади основывается на рассмотрении палетки - разбиения плоскости на конгруэнтные квадраты. Пусть сторона квадрата палетки имеет длину 1. Пусть дана некоторая фигура F и пусть a₁-наибольшее число квадратов, целиком содержащихся в фигуре F, и b₁- наименьшее число квадратов, содержащих эту фигуру целиком. Например, фигура F содержит фигуру, составленную из 9 квадратов палетки, и содержится в фигуре, составленной из 29 квадратов, поэтому 9 ≤ S(F) ≤ 29, т.е. a₁=9, b₁=29 (рис.1).

Для более точной оценки можно использовать палетку, квадраты которой имеют стороны длиной 1/10 (так что в каждом квадрате прежней палетки содержится 100 квадратов новой палетки). Если, скажем, F содержит фигуру, составленную из 1716 квадратов новой палетки, и содержится в фигуре, составленной из 1925 таких квадратов, то 17,16 ≤ S(F) ≤ 19,25. Еще раз, измельчая палетку (т.е. уменьшая в 10 раз длины сторон квадратов), мы сможем еще точнее оценить S(F) и т.д.

Описанный процесс измерения используется не только для нахождения площади, но и для самого определения понятия площади. Именно, рассмотрим палетку, у которой длины сторон квадратов равны 1/10^k. Пусть F содержит фигуру, составленную из a_k квадратов этой палетки, и содержится в фигуре, составленной из b_k таких квадратов (например, выше у нас a₂=1716, b₂=1925). Тогда можно сказать, что a_k/10^2k есть значение площади фигуры F с недостатком, а b_k/10^2k - с избытком. Неограниченно увеличивая k мы можем рассмотреть пределы: (F) = , (F) = , первый из которых называется нижней, а второй - верхней площадью фигуры F.

Если фигура такова, что эти пределы совпадают при , то фигура F называется квадрируемой, т.е. (F) = (F). Это значение рассмотренных пределов называется площадью фигуры F и обозначается через S(F), т.е. .

Нетрудно привести пример фигуры, у которой верхняя и нижняя площади не совпадают. С этой целью из квадрата площади 1 удалим крест, площадь которого меньше 1/4 (рис. 2, а). Затем в каждом из четырех оставшихся квадратов удалим по кресту так, чтобы сумма площадей всех четырех крестов была меньше 1/8 (рис. 2, б). Затем удалим 16 крестов с общей площадью меньше 1/16 и т.д. Фигуру, которая останется после бесконечного числа удаления крестов, обозначим через Q. Заметим, что общая площадь всех удаленных крестов меньше чем 1/4+1/8+1/16+…+1/2ⁿ +…, т.е. меньше 1/2 .

Поэтому оставшуюся фигуру Q невозможно поместить в фигуре площади 1/2, т.е. верхняя площадь фигуры Q больше 1/2. В то же время фигура Q не содержит никакого квадрата (каким бы маленьким он ни был), и потому нижняя площадь фигуры равна нулю. Таким образом верхняя и нижняя площади фигуры не совпадают, а значит фигура Q неквадрируема.

Этот пример показывает, что понятие площади применимо не ко всякой фигуре. Однако можно доказать, что всякий многоугольник является квадрируемой фигурой. Точно также любая выпуклая фигура (в частности, круг) квадрируема. И, вообще, класс квадрируемых фигур является весьма обширным.

Теперь можно сказать, что измерение площадей S представляет собой функцию, заданную на классе всех квадрируемых фигур и принимающую числовые значения, т.е. площадь S(F) каждой фигуры F есть неотрицательное число (единица площади предполагается фиксированной).

Используя данное определение площади (с помощью палеток), можно доказать ряд свойств площади…

Вообще, хотелось бы отметить, что при использовании палетки в школе полезно помнить следующее:

1. Измерение площади с помощью палетки есть прямое (непосредственное) измерение, при котором искомое значение величины определяется путем сравнения ее с соответствующей единицей. Измерение площади путем измерения длин отрезков и использования формул является косвенным. Замена непосредственного сравнения сравнением опосредованным является значительным достижением человеческой мысли и представляет одну из древнейших математических абстракций. Нет оснований предполагать, что эта абстракция легко дается школьнику, непонимание же сути дела значительно затрудняет дальнейшее изучение теории измерения площадей (имеется в виду хотя бы обоснование формулы площади прямоугольника для случая, когда длины сторон не выражаются натуральными числами). Ведь прежде, чем научить вычислять длины отрезков по каким-либо формулам, мы обучаем непосредственному измерению отрезков и этим самым даем возможность проверить вычисления непосредственным измерением. В теме "Площади" этому первичному этапу как раз и соответствует работа с палеткой.

2. Курс геометрии основной школы ограничивается лишь нахождением площадей фигур с прямолинейными контурами или круга и его частей. В практике же может встретиться фигура с произвольным контуром, и досадно, что выпускник основной школы оказывается неподготовленным для решения соответствующей задачи.

1.2 Этапы работы с площадями в средней школе

Тема "Площади фигур" изучается в школьном курсе математики в несколько этапов, а именно:

I. Пропедевтический курс (1-6 классы)

II.   Основная школа (7-9 классы)

III. Старшая школа (10-11 классы)

В пропедевтическом курсе, который охватывает начальную школу и младшие классы среднего звена, учащиеся знакомятся с различными геометрическими фигурами, приобретают начальные навыки изображения этих фигур с помощью линейки, циркуля, угольника. С понятием площади учащиеся знакомятся на наглядно-интуитивном уровне. Школьники приобретают опыт непосредственного измерения, нахождения и сравнения площадей с помощью клетчатой бумаги, палетки, а также знакомятся с различными единицами измерения площадей и переводом из одних единиц измерения в другие.

На этом же этапе учащимся приводятся формулы для косвенного измерения площадей (формулы для вычисления площадей прямоугольника, квадрата, прямоугольного треугольника и круга), которые даются без всякого обоснования. Учащиеся вычисляют площадь прямоугольника, а также площадь фигуры, составленной из единичных квадратов.

Обязательным является умение решать задачи следующего типа:

№ 1. Найдите площадь квадрата, изображенного на рис.2.

№ 2. Чему равна площадь фигуры, изображенной на рис.3.

№ 3. Длина прямоугольника равна 20 мм, ширина - 14 мм. Найдите площадь этого прямоугольника.

На втором этапе изучается большое число теоретических фактов, с помощью которых проводится опосредованное, косвенное измерение площадей. Переходя к этому этапу необходимо мотивировать для учащихся переход от прямого измерения площадей к косвенному, для чего полезно с ребятами вспомнить об инструментах, спомощью которых измеряются углы(транспортир), длины отрезков(линейка) и заметить, что нет такого удобного, точного инструмента, с помощью которого измеряются площади.

Измерение площадей начинается во всех учебниках с измерения площади прямоугольника. Для прямоугольника с длинами сторон, выражающимися целыми числами, формула S=ab легко устанавливается (она известна учащимся из курса начальной школы). В школьном курсе геометрии после изучения площади прямоугольника с длинами сторон, выражающимися целыми числами, в начальной школе (или, в крайнем случае, площади прямоугольника с длинами сторон, выражающимися конечными десятичными дробями) больше к вопросу о площади прямоугольника не возвращаются вплоть до изучения темы "Площадь многоугольников"(в 8-9 классах). При этом здесь формула площади прямоугольника S=ab считается известной (для любых прямоугольников) и с ее помощью выводятся формулы для вычисления площади треугольника и частных видов четырехугольников. Вычисление площадей многоугольников является составной частью решения задач на многогранники в курсе стереометрии. Поэтому основное внимание уделяется формированию практических навыков вычисления площадей многоугольников в ходе решения задач.

На этом же этапе доказывается формула площади круга: S= πr² . Вывод этой формулы основан на теории пределов, которой в 9-летней школе нет. На интуитивном уровне учащиеся понимают, что периметр правильного многоугольника, вписанного в окружность, при неограниченном увеличении числа сторон и стремлении к нулю длины наибольшей его стороны "стремится" к длине окружности.

На данном этапе учащиеся решают несложные задачи на вычисление геометрических величин (длин, углов, площадей), применяя изученные свойства фигур и различные формулы и, главное, проводя аргументацию в ходе решения задач.

Обязательным является умение решать задачи следующего типа:

№ 1. Найдите площадь правильного треугольника, сторона которого равна 8 см.

№ 2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 17 см, а один из катетов равен 15 см.

№ 3. Диагональ квадрата равна 14 см. Найдите его площадь.

№ 4. ABCD - трапеция. Докажите, что треугольники ABD и ACD имеют равные площади (рис. 4).

№ 5. Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник, сторона которого равна 4 см.

Теория площадей находит дальнейшее развитие в старшей школе в курсе геометрии трехмерного пространства. На этом этапе учащиеся вычисляют площади поверхностей, сечений многогранников и тел вращения, используя практические навыки вычисления площадей плоских фигур, приобретенные в основной школе, а также применяя аппарат математического анализа, вычисляют площади фигур, ограниченных криволинейным контуром.

1.3 Анализ школьных учебников

Сравнительный анализ учебников будет проводиться как по теоретическому материалу, так и по задачному. Анализ по содержанию предлагаемого для изучения материала будет проводиться в трех аспектах:

·   Измерение площадей;

·   Вычисление площадей;

·   Метод площадей.

Может возникнуть вопрос, почему выбраны именно такие аспекты теории площадей. Выбор обоснован тем, что именно эти аспекты целиком охватывают теорию площадей. Измерение площадей и вычисление площадей подразумевают непосредственное (прямое) и опосредованное (косвенное) измерение площадей соответственно. Правда, первый аспект связан с практическим измерением площадей (с помощью палетки), а второй - с использованием формул. Последний же аспект охватывает область применения площадей, а именно, использование свойств площади при решении задач и доказательстве теоретических фактов, в формулировках которых площадь может даже не упоминаться.

Цели сравнительного анализа учебников:

1. Представлен ли каждый из указанных аспектов в учебнике?

2. Как представлен?

          Для анализа были выбраны четыре учебника по геометрии, а именно: учебник А.В.Погорелова, учебник Л.С.Атанасяна и др., учебник И.Ф.Шарыгина и учебник коллектива А.Д.Александрова и др. Первые два выбраны потому, что их чаще всего используют в школе. Учебник И.Ф.Шарыгина интересен тем, что в нем достаточно полно и доступно раскрывается тема "Площади плоских фигур" и, кроме того, это единственный учебник, в котором рассматривается метод площадей. Учебник А.Д.Александрова и др. является своеобразным, нетрадиционным и, вообще, является учебным пособием для классов с углубленным изучением математики. И хотя в данном исследовании мы ограничились рассмотрением проблемы в общеобразовательных классах, учебник А.Д. Александрова был включен в анализ с целью выявления заданий для более сильных учеников, проявляющих интерес к математике.

Начнем с того, что тема "Площади плоских фигур" изучается во всех учебниках в разное время. У А.В.Погорелова эта тема рассматривается в самом конце 9 класса, т.е. при изучении этой темы повторяется весь курс планиметрии. В задачах же появляется новое задание: "найдите площадь", а остальные задания и условия были рассмотрены ранее. Хотелось бы отметить, что А.В.Погорелов объединил две темы "Площади многоугольников" и "Площадь круга" в одной главе: "Площади фигур". Мы ни в коем случае не беремся судить автора о правильности его выбора места для изучения этой темы, но, на наш взгляд, такое расположение не совсем удачно хотя бы потому, что он не может применить ее, а ведь с помощью площадей можно доказать множество геометрических фактов, решить интересные содержательные задачи.

У Л.С.Атанасяна и др. тема "Площади многоугольников" и "Площадь круга" изучаются в разное время, а именно: 8 класс и середина 9 класса соответственно.

У И.Ф.Шарыгина изучение этих тем идет в самом начале 9 класса, причем изучаются они неразрывно друг от друга. Мы считаем, что на эту тему автор, как и А.В.Погорелов, поставил задачу научить новому и повторить весь материал, пройденный ранее (и хорошо забытый за время летних каникул).

А.Д.Алексанлров и др. же эти темы рассматривает в самом начале 8 класса и изучается параллельно с остальными темами до конца 8 класса (темы "Площади многоугольников" и "Площадь круга" изучаются в разное время).

Во всех учебниках, кроме учебника А.В.Погорелова, введению понятия "площадь" предшествует рассмотрение жизненных примеров, что, вообще, необходимо при изучении математики. А данная тема является одной из тех тем, которые напрямую связаны с жизнью и которые наглядно демонстрируют применение математических знаний на практике. Тем более из курса математики 1-6 классов учащимся известно понятие "площадь", поэтому можно дать задание учащимся привести примеры самостоятельно. В этом смысле, учебник А.В.Погорелова несколько сух и не использует в достаточной степени потенциал учащихся.

Во всех учебниках понятие площади вводится аксиоматически, т.е. дается точное определение площади и перечисляются ее свойства, а у И.Ф.Шарыгина к тому же свойства представлены наглядно.

Что касается измерения площадей, то во всех учебниках этот вопрос затронут по-разному. У Л.С.Атанасяна и др. описывается процесс измерения площадей на примерах прямоугольника и трапеции, затем говорится, что на практике он неудобен, поэтому площадь вычисляют по определенным формулам, говорится также о единицах измерения площадей.

У А.В.Погорелова вообще не рассматривается вопрос об измерении площадей.

И.Ф.Шарыгин не рассматривает подробно измерение площадей. В учебнике рассматривается пример, в котором показывается, что единичный квадрат не единственная фигура с площадью 1.

У А.Д.Александрова и др. подробно рассмотрен процесс измерения площадей, а также подробно говорится о единицах измерения площадей (приводится пример перехода от одной единицы площади к другой).

Что касается вычисления площадей, то во всех учебниках представлено достаточно полное изложение этого аспекта теории площадей. Естественно, у каждого учебника есть свои особенности, вызванные построением курса самих учебников.

Итак, начнем с учебника А.В.Погорелова. Здесь представлены выводы основных формул для вычисления площадей фигур. В теории разобран ряд задач с решениями, таких как: вывод формулы Герона, формула для вычисления площади произвольного четырехугольника, формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника: r=2S/(a+b+c) и R=abc/4S. Здесь же рассмотрены площади подобных фигур, а также площади круга и его частей: кругового сектора и кругового сегмента. Хотелось бы отметить, что такой порядок изложения материала обосновывается тем, что тема "Площади фигур" у А.В.Погорелова завершает курс 9 класса.

Что касается учебника Л.С.Атанасяна и др., то он значительно полнее рассматривает теорию площадей, нежели А.В. Погорелов. В этом учебнике доказывается, что площадь квадрата со стороной a равна a², доказывается теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по одному равному углу. Эта теорема является следствием теоремы о площади треугольника (площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту) и играет важную роль при изучении подобия треугольников. Затем доказывается с помощью свойств площадей теорема Пифагора, здесь же приводится историческая справка. На формуле Герона внимание не заостряется - она вынесена со своим выводом в задачи на закрепление. Уже в 9 классе, когда дети ознакомились с элементами тригонометрии, доказывается формула для вычисления площади треугольника (по двум сторонам и углу между ними), приводятся формулы для вычисления площади правильного многоугольника, формулы для вычисления площади круга и кругового сектора (круговой сегмент не рассматривается). Учебник также знакомит учащихся с задачей о квадратуре круга, и вообще, содержит интересные исторические справки, которые не только вызывают интерес школьников к изучаемому материалу, но и полезны для общего развития детей.

В учебнике И.Ф.Шарыгина традиционно рассматриваются формулы для вычисления площадей прямоугольника, параллелограмма, трапеции и несколько нестандартных формул для вычисления площади треугольника. Формула Герона рассмотрена с двумя своими доказательствами, автор не обошел стороной и формулу для вычисления площади произвольного четырехугольника. Здесь же доказывается теорема об отношении площадей подобных фигур (это оказалось возможным потому, т.к. тема "Подобие" изучена в 8 классе). Следом выводятся формулы площади круга, кругового сектора и сегмента. Здесь же рассмотрена задача о квадратуре круга. Вообще, этот учебник отличается полным, понятным и интересным изложением материала, здесь также приведены интересные исторические факты.

У А.Д.Александрова и др. также рассматриваются формулы для вычисления площадей различных четырехугольников, треугольников, круга, кругового сектора и даже кольца, но из-за особенностей самого учебного пособия, соответствующие формулы для вычисления площади той или иной фигуры приводятся не все сразу, а только тогда, когда для их вывода подготовлена основа. Например, сначала приводится только одна формула для вычисления площади треугольника S=, после введения теоремы Пифагора и как одно из ее применений рассмотрена формула Герона. После рассмотрения темы "Синус" приводится формула для вычисления площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Кроме того, здесь представлена задача о квадратуре круга и изопериметрическая задача. Вообще, хотелось бы отметить полноту излагаемого материала в данном учебном пособии, его высокий теоретический уровень, который предназначен для классов с углубленным изучением математики, учебник содержит также некоторые сведения из истории геометрии. Метод площадей рассматривается только в учебнике И.Ф. Шарыгина. Здесь ему отведен целый раздел (который так и называется), в котором рассматриваются задачи с его применением, приведены задачи для самостоятельного решения. В других учебниках об этом методе даже не упоминается. Хотя у Л.С. Атанасяна и др., например, с помощью метода площадей доказывается первый признак подобия треугольников, а у А.Д. Александрова и др. с помощью этого метода доказывается теорема Пифагора. Итак, мы рассмотрели все четыре учебника, и убедились в том, что каждый из них имеет свои особенности, свои достоинства и недостатки. Главным недостатком всех рассматриваемых учебников является то, что ни в одном из них полностью все три аспекта площадей не отражены. У А.В.Погорелова нет ни измерения площадей, ни метода площадей. У Л.С.Атанасяна и др. и А.Д.Александрова и др. достаточно полно отражены только два аспекта: измерение площадей и вычисление площадей. Не упоминая о методе площадей, авторы применяют понятие площадь при доказательстве различных теорем и решении задач, в формулировках которых отсутствует упоминание о площади. По сравнению с остальными учебниками, только в учебнике И.Ф.Шарыгина в названии параграфа присутствует название непосредственно самого метода площадей. Автор в полной мере рассматривает метод площадей, вычисление площадей, но недостаточно подробно останавливается на измерении площадей.

При анализе задач по теме "Площади плоских фигур", приведенных в рассматриваемых учебниках можно сделать следующие выводы: в учебнике А.В.Погорелова в основном задачи на вычисление площадей многоугольников, круга и его частей, причем нет разделения задач по уровням сложности. В учебнике Л.С.Атанасяна и др. помимо основных задач, приводимых в конце каждого параграфа темы, предлагается множество дополнительных задач по данной теме, кроме того, в конце учебника авторами предложены задачи повышенной трудности. В основном, большинство из этих задач - задачи на вычисление площадей, но помимо этих задач присутствуют задачи и на измерение площадей, и на метод площадей, а также различные задачи на равновеликость фигур и тд. Учебники же И.Ф.Шарыгина и А.Д.Александрова кроме вышеуказанных задач содержат интересные задачи на разрезание и перекраивание, а также задачи по готовым чертежам. Кроме того, в этих учебниках задачи рассматриваются не только на плоскости, но и на пространственных объектах. Задачи разделены по уровням сложности. Хотелось бы отметить, что во всех учебниках присутствуют задачи практического содержания. И это важный положительный момент, ведь решая прикладные задачи на уроках математики, учащиеся видят жизненную необходимость тех или иных теорем, понятий, формул, что способствует более глубокому изучению основ геометрии как математической науки.

1.4 Психолого - дидактические основы обучения по теме "Площади фигур"

Для успешного преподавания математики каждому учителю необходимо учитывать возрастные особенности школьников. Осуществление дидактических принципов обучения также является условием успешного обучения. Рассмотрим подробнее важнейшие дидактические принципы обучения математике с учетом специфики темы "Площади фигур".

Принцип сознательности

Ни одно явление не может быть понято, если взять его в изолированном виде, вне связи с окружающими явлениями. Сознательно усвоить материал - значит понять его связь с окружающим миром, проникнуть в сущность взаимоотношений между фактами, выводами, понятиями. Ученик, сознательно изучивший предмет, должен уметь применять полученные знания на практике. При изучении темы "Площади фигур" следует обратить внимание учеников, что с площадями различных плоских фигур они ежедневно сталкиваются в реальной жизни(например, площадь квартиры, дачного участка), в природе, в стоительстве, искусстве, а также в других изучаемых ими школьных дисциплинах, будь то география, физика и т.д. После этого школьники будут более сознательно воспринимать данную тему: знание, для чего изучаем, способствует пониманию того, что изучаем.

Ученик, сознательно усвоивший математику, должен не только видеть связь между изучаемым материалом и окружающей действительностью, но и понимать, что факты, понятия и свойства, рассматриваемые в математике, не изолированы друг от друга, а представляют стройную систему, каждое звено которой находится в связи с другими звеньями. Добиться такого усвоения математики можно, если учитель сам будет чаще раскрывать эти связи, обращая на них внимание учащихся перед изучением темы или раздела, в процессе изучения, при повторении.

Понять связь между изучаемым помогают таблицы и схемы. В таблицах и схемах может быть дана классификация пройденного материала, представлена его структура.

Например, для систематизации знаний учащихся в завершении изучения темы "Площадь треугольника" можно предложить учащимся составить следующую таблицу:

Сознательность усвоения учащимися учебного материала зависит, конечно и от объяснения учителя. Объяснение должно быть четким: необходимо пояснять непонятные учащимся термины, привести разъясняющие примеры. О степени сознательности решения задач можно судить по тому, насколько ученик умеет обосновать выбор действий, составляющих ход решения. Необходимо, чтобы решая задачу, ученик отправлялся не только от данных - это часто приводит к тому, что он не знает, какой результат в конечном счете дадут выбранные им действия но имел бы в виду и искомую величину. Чтобы достигнуть этого, надо практиковать составление плана решения, применяя аналитический метод рассуждения (следуя от неизвестного к известному). Рассуждая синтетически, ученик оформит решение. Для примера рассмотрим следующую задачу:

Задача: Найти площадь квадрата по его диагонали.

Применим в данной задаче аналитический метод рассуждения для нахождения способа ее решения:

Решение: Пусть ABCD-данный квадрат (рис. 5), а BD = d - его диагональ. Найдем площадь этого квадрата.

Учителю уместно задать следующие вопросы:

- О какой фигуре идет речь в условии задачи?

- Что известно о данной фигуре?

Как можно найти площадь квадрата?

Итак, получили схему, в которой все неизвестные величины задачи выражены через известные. Поднимаясь снизу вверх по этой схеме, учащиеся могут оформить решение задачи (используя синтетический метод). Таким образом данная задача решена аналитико-синтетическим методом. Желательно после этой задачи с целью закрепления полученного результата (формулы для вычисления площади квадрата по его диагонали) предложить учащимся решить аналогичную задачу при конкретном числовом значении d. Можно сказать, что данная задача относится к числу задач на разрушение стереотипа, ведь учащиеся считают, что для нахождения площади квадрата необходимо знать его сторону. А приведенная выше задача показывает, что площадь квадрата можно найти зная лишь диагональ квадрата.

Сочетание анализа и синтеза при разборе и оформлении решения задачи благотворно сказывается на процессе мышления школьников. Именно, решая задачу самостоятельно, он будет исходить одновременно из данных и от искомого. Это будет способствовать сознательному выбору действий, составляющих ход решения. Сказанное выше относится и к доказательству теорем: сочетание анализа и синтеза при составлении плана доказательства (анализ) и его окончательном оформлении (синтез) будет способствовать сознательному усвоению доказательства, проведению доказательства аналитико-синтетическим методом.

Критерием сознательности является и речь учащихся. Неточные формулировки свидетельствуют о непонимании материала и нередко выражают ошибочные утверждения. Например, ученик, пропустивний слова: "проведенную к этой стороне" в формулировке теоремы "Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне" делает неверное заключение. Учителю следует воспользоваться такого рода ошибкой, чтобы обратить внимание учащихся на значение точности речи.

Принцип наглядности

В преподавании математики нагдядность применяется как средство, способствующее правильному формированию математических понятий, облегчающее изучение материала, развивающее пространственные представления и воображение учащихся. Наглядность - основа прочности знаний.

При решении задач и доказательстве теорем учащиеся рассматривают геометрические фигуры в самых разнообразных положениях. Если учитель, вводя понятие, не вариировал форму и размеры чертежа, а также его положение на доске, то учащиеся не узнают определенный геометрический образ, когда он изображен в непривычном для них положении. Аналогичная ситуация происходит при замене одних обозначений другими. В этих случаях многие учащиеся испытывают некоторые затруднения при использовнии формул для вычисления площадей фигур и т.д. Эти затруднения можно предотвратить, если при введении понятия не ограничиваться построением одного чертежа.

Наглядность в обучении математике выступает как средство, облегчающее изучение материала. Материал легче усваивается учащимися, когда объяснение учителя сопровождается применением наглядных пособий. В геометрии, например, чертеж помогает ученику провести рассуждения при доказательстве теоремы, так как отдельные этапы доказательства ученик может связать с наглядными геометрическими образами. В процессе построения надо обратить внимание учащихся на особенности чертежа, вытекающие из условия теоремы (задачи). Правильно выполненный чертеж помогает понять содержание задачи (теоремы) и найти способ ее решения (доказательства). Полезен следующий прием.

Общий прием построения чертежа по условию задачи (теоремы)

1) Выполняйте чертеж аккуратно, не обязательно по всем правилам черчения, но примерно их придерживаясь (прямой угол должен выглядеть прямым углом, середина отрезка - серединой и т.п.), большим и "просторным";

2) Не перегружайте чертеж; иногда полезно изобразить лишь "функционирующие" части геометрической фигуры (например, если нужно найти радиус окружности, то саму окружность целиком можно не изображать);

3) Уточняйте чертеж по мере решения задачи, пытайтесь изобразить все возможные конфигурации, отвечающие условию и ходу решения задачи (лишние потом можно отбросить);

Например, к задаче "доказать, что R - радиус описанной около треугольника окружности равен , где a, b, c - длины сторон данного треугольника" возможны следующие варианты выполнения чертежа (рис.6):

Рис. 6

Используйте дополнительные построения, облегчающие решение (вводящие новые углы, отрезки и т.п.);

1) В то же время избегайте чрезмерного усложнения чертежа; этого можно достигнуть за счет "выносных чертежей", изображающих отдельные фрагменты всей фигуры;

2) Полезно непосредственно на чертеже указывать известные числовые и буквенные значения величин (отрезков, углов), заданных в условии или полученных в процессе решения;

3) Если в задаче говорится о фигурах общего вида (например, о произвольном треугольнике, четырехугольнике и т.п.), то нельзя изображать их как частные случаи (так, произвольный треугольник не должен выглядеть прямоугольным или равнобедренным, а произвольный четырехугольник - параллелограммом и т.п.).

Такое ошибочное выполнение чертежа приводит к построению неверных гипотез и умозаключений.

4) Важно помнить, что правильно выполненный чертеж помогает понять условие теоремы, выдвинуть гипотезу о ее доказательстве, но ни в коем случае не является самим доказательством.

Говоря о значении наглядности как средстве, облегчающем усвоение материала, следует подчеркнуть, что всякая переоценка роли наглядных пособий может принести даже вред развитию мышления и воображения учащихся. Так, пространственное воображение учащихся будет развиваться слабее, если решение каждой задачи и доказательство каждой теоремы учитель станет разъяснять на модели. Поэтому преподаватель должен в зависимости от конкретного материала и уровня развития учащихся решить вопрос, пользоваться наглядными пособиями или нет. Здесь можно лишь посоветовать учителю постепенно приучать учеников старших классов решать некоторые задачи, не пользуясь чертежом.

Например, совсем необязательным является выполнение чертежа в следующих задачах:

Найти стороны прямоугольника, площадь которого равна 144 ед.², а стороны относятся как 4:9;

Найти сторону ромба, зная, что его диагонали относятся как 1:2, а его площадь равна 12 см²;

В треугольнике со сторонами 8 см и 4 см, проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к стороне 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне 4 см?

Наглядность при обучении математике не следует сводить к показу учащимся только заранее изготовленных пособий. Необходимо, чтобы в восприятии участвовали не только органы зрения, но и органы осязания. Необходимо, чтобы учащиеся сами изготовливали модели, измеряли, чертили. В начале изучения темы "Площади фигур" полезно предложить ученикам изготовить индивидуальные палетки, а по ее завершении - изготовить плакаты - памятки, с формулами для вычисления площадей различных плоских фигур. (См. игру "Математическое домино".) При ознакомлении с пространственными телами в младших классах средней школы, полезно в качестве домашнего творческого задания предложить ребятам сделать развертку цилиндра. Выполняя это задание, они подмечают, что площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух кругов и площади прямоугольника. Окончательные выводы следует сделать на следующем же уроке под руководством учителя. Подобные упражнения готовят учащихся к практической деятельности, стимулируют познавательную активность школьников.

Принцип систематичности

Принцип систематичности обучения выражает необходимость обучать основам наук в строго определенной последовательности. Недопустимо такое положение, когда учитель при объяснении опирается на материал, еще неизвестный учащимся, пользуется терминами, смысл которых не ясен учащимся, ссылается на еще недоказанные теоремы. Новые выводы должны получаться как логическое развитие ранее изученных положений.

Осуществляя принцип систематического обучения, учитель должен учитывать познавательные особенности учеников и прежде всего особенности восприятия школьников. Из общей системы фактов и предложений, сообщенных учителем, учащиеся могут не уловить некоторых звеньев, важных для понимания всего дальнейшего материала, что в конечном счете приводит к непониманию всего материала в целом. Например, формула для вычисления площади треугольника, выраженная через две стороны этого треугольника и синус угла между ними, в учебниках А.В. Погорелова и И.Ф. Шарыгина вводится вместе с остальными формулами вычисления площади треугольника, так как к моменту изучения этой темы учащиеся уже знакомы с понятием синуса угла. А в учебнике Л.С. Атанасяна и других эта формула появляется после изучения темы "Площади многоугольников", только тогда, когда учащиеся познакомятся с понятием синуса угла.

Прорыв в усвоении может наступить и тогда, когда некоторые из ранее изученных сведений, необходимых для понимания нового материала, окажутся забытыми учащимися. Отсюда очевидна необходимость повторения. Этап актуализации знаний учащихся является важной составляющей практически каждого урока математики, успешное проведение которого обеспечивает понимание учащимися нового материала. Благодаря повторению, устанавливается связь между новым и уже изученным материалом.

Успех в решении задач "на площади" определяется не количеством, а правильным выбором базовых задач, обеспечивающих достижения базового уровня обучения, и опорных задач, т.е. задач, результат которых либо метод решения используется при решении других задач по данной теме. Примерами опорных задач "на площади" могут служить следующие задачи:

Задача: Докажите, что площадь треугольника не изменится при передвижении вершины треугольника по прямой, параллельной основанию.

Задача: Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, площади которых равны.

Осуществление принципа систематического обучения предлагает не только систематичность изложения, но и систематичность изучения материала учащимися. Поэтому учитель должен требовать, чтобы школьники следили за объяснением, готовили домашние задания, не пропускали уроков и со всеми непонятными вопросами обращались к преподавателю. Учитель должен регулярно проверять наличие выполненных домашних работ всех учащихся, отмечая для себя типичные ошибки, возникающие у школьников при решении домашних задач. Разбор типичных ошибок учашихся на уроках предотвратит их появление в дальнейшем решении задач по данной теме.

Несистематическое изучение материала учащимися все еще является одной из основных причин неуспеваемости по математике. Пробелы в знаниях учеников порой носят такой серьезный характер, что ставят под угрозу возможность успешного изучения предмета. В этих случаях необходимо оказать школьнику индивидуальную помощь.

Принцип доступности

Осуществление принципа доступности обучения неразрывно связано с выполнением таких правил в обучении: как следовать от легкого к трудному, от известного к неизвестному, от простого к сложному, от частного к общему.

Дидактическое правило "следовать в обучении от известного к неизвестному" связано с осуществлением принципа систематического обучения. Об этом уже говорилось выше. Перейдем к рассмотрению правила: "вести обучение от частного к общему". Для примера рассмотрим следующую задачу:

Задача: Постройте треугольник, равновеликий данному четырехугольнику. Для ее решения полезно рассмотреть более частную задачу.

Задача: Постройте треугольник, равновеликий данному параллелограмму.

Анализ условия задачи приводит к следующему способу ее решения: удвоить высоту параллелограмма, оставив без изменения его основание (удвоить основание параллелограмма, оставив без изменения высоту). Реализация этого способа показана на рис. 7.

Рис.7

У треугольника ABM сторона AM=2AD, а высота его совпадает с высотой параллелограмма. Основание AD треугольника AFD совпадает со стороной параллелограмма, а высота, проведенная из вершины F, в два раза больше высоты параллелограмма на сторону AD. Оба названных треугольника равновелики параллелограмму ABCD.

Заметим, что точки P и Q являются серединами сторон CD и BC параллелограмма. Этот факт обусловливает иной способ решения задачи: Через вершину B и середину P стороны CD проводим прямую до пересечения с прямой AD в точке M или через вершину A и середину Q стороны BC проводим прямую до пересечения с DC в точке F. Если учесть, что P- середина отрезков CD и BM, а Q- середина отрезков BC и AF, то можно указать еще один путь построения треугольников ABM и AFD. Четырехугольники BCMD и ABFC- параллелограммы, значит, точка M лежит на прямой, проходящей через вершину C и параллельной диагонали BD параллелограмма, и на прямой AD. Аналогично можно построить и точку F. Таким образом можно построить 8 различных треугольников, равновеликих параллелограмму ABCD.

Задача: Дана трапеция ABCD (AB║CD). Постройте треугольник, равновеликий данной трапеции.

Попробуем при решении данной задачи воспользоваться способом решения предыдущей задачи. Легко убедиться в том, что такие треугольники можно построить с помощью проведения прямых через вершины трапеции и середины боковых сторон, не содержащих эти вершины (рис. 8).

Треугольники ADL и BCF равновелики трапеции ABCD. Таких треугольников можно построить четыре. Другие треугольники, равновеликие трапеции ABCD, можно построить с помощью проведения прямых, проходящих через вершины трапеции параллельно диагоналям, не проходящим через эти вершины.

Рис.8.

На рис. 9 построены два треугольника, равновеликих трапеции ABCD,- треугольники MCB и ADF. Этот способ позволяет получить еще четыре треугольника, равновеликих данной трапеции.

Рис.9

Теперь перейдем к основной (первой) задаче. При ее решении воспользуемся способом, который был применен при решении двух предыдущих задач.

На рис. 10 построены два треугольника, равновеликих четырехугольнику ABCD,- треугольники AMB и BPC.

Аналогичным образом можно построить еще два треугольника, равновеликих четырехугольникуABCD, проведя через вершину B прямую, параллельную диагонали AC. Проведя через вершины A и C прямые, параллельные диагонали BD, можно получить еще четыре треугольника, равновеликих четырехугольнику ABCD.

Рис.10

Таким образом, решение задачи для частного случая помогло найти путь решения обобщенной задачи. Этот путь можно использовать в различных конкретных ситуациях.

Задача: Постройте треугольник, равновеликий данному пятиугольнику ABCDE.

Рассмотренный способ позволяет преобразовать пятиугольник ABCDE (рис.11) в четырехугольник MBCD, равновеликий данному пятиугольнику ABCDE.

Рис.11

Очевидно, что рассмотренный способ решения основной задачи применим для любого n-угольника: сначала n-угольник превращаем в равновеликий ему (n-1)- угольник, затем последний превращаем в равновеликий ему (n-2)- угольник и т.д. до тех пор, пока не построим треугольник, равновеликий полученному четырехугольнику, а значит, и данному n-угольнику.

Итак, при решении рассмотренной группы задач был осуществлен переход не только от менее общего к более общему, от частного к общему, но и от более общего к менее общему, т.е. не только обобщение, но и конкретизация.

Доступность изложения в значительной степени определяется тем, как выбранная учителем методика ведения урока, его форма и структура подготовят учащихся к восприятию нового материала, содержание и объем которого должен быть посилен учащимся.

Готовясь к уроку, необходимо определить круг сведений, которые будут сообщены ученикам. Урок нельзя перегружать новым материалом.На объяснение надо отвести столько времени, чтобы иметь возможность в случае неоходимости внести дополнительные разъяснения. Доступность объяснения определяется тем, насколько преподаватель сумел предугадать наиболее трудные положения и разъяснить их в зависимости от характера материала - до или в процессе объяснения.

Осуществляя принцип доступности обучения, важно помнить следующее. Принцип доступности не предполагает, что объяснение материала будет дано в форме, освобождающей учеников от необходимости думать. Доступность означает, что учащиеся в состоянии усвоить материал при определенном напряжении умственных сил.

Принцип прочности усвоения знаний

Знание тем прочнее, чем ярче были примеры, чем интереснее и нагляднее был иллюстративный материал, сопровождающий объяснение.

Нельзя недооценивать значение зрительной памяти ученика. Продуманная запись решения примера способствует более прочному усвоению изучаемого материала. Например, многие учителя согласятся с тем, что при изучении темы "Измерение площадей" одним из наиболее трудных моментов в этой теме является переход от одних единиц измерения к другим. Основная трудность здесь связана с необходимостью заучивания соотношений между различными единицами измерения, при котором невозможно опереться на логические связи между заучиваемыми числами. Действительно, как ученик может запомнить, что в одном квадратном метре 100 квадратных дециметров, а в квадратном километре миллион квадратных метров? Вызубрить? Но педагогами и психологами доказано, что зубрежка - самый нерациональный, самый варварский и непроизводительный способ обучения. Нужна осмысленная, целенаправленная работа с подлежащим усвоению материалом, в ходе которой этот материал запоминается. С этой целью в физике записи AB=5 см, S=15 см², V=11 дм³ считают произведением числа и наименования. Естественно, такое соглашение покажется учителям математики весьма странным. Поэтому, чтобы подчеркнуть отличие математической точки зрения от физической, будем употреблять слово "произведение" только в кавычках, когда речь идет о числах и наименованиях. Однако вне зависимости от отношения математиков к такому "как бы произведению" принятое соглашение очень удобно, поскольку оно позволяет применять законы действий к "произведению" числа и наименования.

Например, пусть известно, что фигура F имеет площадь 3 квадратных дюйма, и требуется узнать ее площадь в квадратных сантиметрах. Зная, что отрезок в 1 дюйм имеет длину примерно 2,54 см, находим: S=3 дюйма²=3(2,54 см)²=3 2,54 2,54 см см ≈ 19,4 см². В методике такая работа называется работой с именованными числами.

Прочность усвоения повышается при активной творческой работе учащихся. Например, учитель хочет провести с учащимися 5 класса практическую работу, чтобы ребята сами "открыли", сколько в одном квадратном метре квадратных сантиметров. Работа организуется следующим образом. Учащимся предлагается начертить в тетрадях квадрат и указывается, что его сторону будем считать равной 1 м. Требуется найти площадь этого квадрата, выраженную в квадратных сантиметрах. На своих рисунках учащиеся делают записи: 1 м = 100 см. Теперь остается посчитать площадь квадрата по привычной формуле S=a² = 100 см 100 см =10000 см².

В подростковом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Активно начинает развиваться логическая память и скоро достигает такого уровня, что ребенок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредованной памяти. Как реакция на более частое практическое употребление в жизни логической памяти замедляется развитие механической памяти. В следствие появления в школе многих новых учебных предметов значительно увеличивается количество информации, которую должен запоминать подросток, в том числе и механически. У него возникают проблемы с памятью, и жалобы на плохую память в этом возрасте встречаются намного чаще, чем у младших школьников. Наряду с этим появляется интерес подростков к способам улучшения запоминания. Исследования памяти детей данного возраста показали, что для подростка вспоминать - значит мыслить. Его процесс запоминания сводится к мышлению, к установлению логических отношений внутри запоминаемого материала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этим отношениям.

Легкость запоминания зависит от количества запоминаемого. Необходимо стараться уменьшать количество материала, подлежащего заучиванию. При выводе формул, правил, доказательстве теорем достаточно понять и запомнить только идею, лежащую в основе рассуждения. Так, например, зная формулу площади параллелограмма, выраженную через диагонали параллелограмма и синус угла между ними, можно получить формулу площади ромба и квадрата, использовав тот теоретический факт, что диагонали ромба и квадрата пересекаются под прямым углом, а значит, синус угла между диагоналями равен единице.

Прочность вычислительных навыков в значительной степени зависит от числа упражнений, выполненных учащимися. Тема "Площади фигур" как раз предполагает решение как можно большего числа различных задач. Учителю следует помнить при составлении системы упражнений, что быстрый переход от решения простых примеров к сложным отрицательно влияет на прочность усвоения. Важно учитывать, что при первичном закреплении необходимо решать множество задач на прямое применение изученных знаний, и совсем не следует сразу стремиться сложные решать задачи, комбинированного типа, в которых изученное действие встречается крайне редко. При этом полезно решать задачи такого типа:

Задача: На рис. 12 изображен треугольник.

Рис.12

Заполните пропуски в следующей таблице:

Большое значение для формирования прочных знаний имеет повторение пройденного. В ряде случаев повторение органически связывается с изучением нового материала, так как обусловлено логической взаимосвязью изучаемых и изученных положений.

Принцип активности

Обучение должно опираться на активную, творческую работу школьника. Принцип активности прежде всего осуществляется в ходе уроков. Одна из наиболее распространенных форм урока - живая беседа между учителем и учениками. Учащимся задаются вопросы, задачи, примеры. Ответы составляют содержание нового материала. Живая беседа - одна из форм активного изучения. Наряду с ней применяется изучение материала в процессе упражнений. В практике преподавания получили распространение и другие формы осуществления принципа активности. К ним, в частности, относится такая методика проведения опроса и проверки домашнего задания, при которой все учащиеся напряженно следят за ответами товарищей, подмечают и исправляют ошибки в ответах, вносят дополнения. Опытные учителя придают большое значение развитию творческой инициативы школьников. Учащиеся делают рефераты, доклады, сообщения, выпускают газеты. Темами рефератов могут служить вопросы, связанные с углубленным изложением программы, вопросы из истории математики и т.п. Например, при изучении темы "Площади фигур" полезно приготовить учащимся сообщения из истории зарождения теории площадей, о возникновении системы мер, о древних способах вычисления площадей различных плоских фигур и т.д.

Постановка докладов и рефератов, выпуск газет, проведение олимпиад повышает интерес учащихся к занятиям математикой. Создание интереса к предмету - одно из условий осуществления принципа активности: интерес побуждает ученика к самостоятельным занятиям и самостоятельным поискам решений задач и ответов на вопросы.

Ведь дать каждому ученику глубокие и прочные знания - задача, требующая постоянного совершенствования собственных знаний учителя и серьезного продумывания всех элементов учебного процесса. Все усилия учителя, однако, могут оказаться бесплодными, если первым помощников в решении этого вопроса не будет сам ученик. Основной стимул учения - интерес к занятиям, и он должен систематически развиваться у каждого ученика. Для решения этого вопроса очень важна общая атмосфера в школе. Большое значение при этом имеет внеклассная работа. Однако главным условием формирования познавательной активности школьников является содержание и организация урока. Отбирая материал и продумывая приемы, которые будут использованы на уроке, учителю надо оценивать из и с точки зрения возможности возбудить и поддержать интерес учащихся к предмету. Каждый учитель знает, что класс не представляет собой однородную массу. Безусловно, имеется какая-то часть учащихся, у которых интерес к математике зародился еще до ее изучения. Таким ученикам нужны разнообразные и более сложные задачи, однообразные упражнения их утомляют. Во время выполнения упражнений тренировочного характера для них всегда надо иметь в запасе более сложные задания. Включение в домашние задания необязательных упражнений тоже в основном рассчитано на них. Но такие упражнения неободимо давать не только этим ребятам, но и всем желающим. Ведь важно привлечь к решению этих задач как можно больше учащихся. Даже среди желающих решить задачу подчас не все могут это сделать (опытная проверка это подтвердила). К тому же из-за недостатка времени организовать проверку таких задач на уроке невозможно. Решение этого вопроса может оказаться следующим: в классе делается специальный стенд, где вывешивается сначала текст необязательного задания, а через некоторое время и его решение. Причем решение вывешивается тогда, когда ребята сдали на проверку учителю свои работы. Кроме того, решения у учащихся могут быть самыми разнообразными и некоторые из них, естественно, верно решенные, могут оказаться на этом стенде. В некоторых случаях на стенде помещаются рисунки, по которым можно "додумать" решение. Например, в 8 классе после изучения темы "Площадь многоугольника" учащимся можно предложить в качестве необязательной задачу на доказательство (рис.13), а через неделю помещался только рисунок к ее решению (рис.14).

Рис.14

Говоря о развитии интереса у всех учащихся класса, прежде всего надо сказать, чем он вызывается у среднего ученика и когда может теряться.

Основным фактором развития интереса к предмету является понимание учащимися излагаемого материала и успешное выполнение ими предлагаемых упражнений. Выполняя задание, ученик никогда не исходит только из его полезности. Если он справляется с предлагаемым материалом, он любит это дело (положительное отношение к учителю также является следствием успехов ученика). В действительности любить тот или иной предмет у школьника равносильно умению сделать ту или иную работу. Это подтверждают и беседы с учащимися и их учителями, и результаты различных психолого-педагогических исследований.

Таким образом, непонимание материала и отсюда неумение справиться с какими-то заданиями, которые предлагаются,- основная причина потери интереса к предмету. Лишь у сильных учащихся непонимание приводит к отысканию его истоков; остальные ученики чаще не ищут этих причин, не стремяться ликвидировать пробелы в знаниях; тогда-то и пропадает у них интерес к изучаемому предмету.

Чтобы предупредить непонимание изучаемого материала, учителю важно не только умело подобрать этот материал и продумать методику его изложения, но и все время быть в курсе того, насколько он усвоен каждым учеником. Учитель может достичь этого при помощи регулярного контроля знаний учащихся, который и покажет пробелы в их знаниях, что поможет оказать ученикам своевременную помощь.

Большое значение в понимании материала, а следовательно, в развитии интереса к геометрии, имеет систематическое возвращение к пройденному - повторение (об этом уже говорилось выше). Оно должно быть в той или иной форме ежеурочным и обязательно включаться в новый материал или в решение задач в качестве каких-то элементов, хотя и небольших. Это тем более необходимо, что специальных часов на повторение материала по геометрии в конце года почти нет.

Развитию познавательного интереса школьников способствует и проведение внеклассных мероприятий по предмету, одной из основных задач которых является развитие творческих способностей учащихся. Отечественная школа накопила богатый опыт проведения внеклассной воспитательной работы. В последние годы возникли новые ее формы: организация клубов, проведение недель того или иного предмета. Получили дальнейшее развитие, ставшие уже традиционными формы работы: факультативы, кружки, олимпиады, вечера, экскурсии. По своему содержанию внеклассная работа строго не регламентирована. Однако при отборе материала для внеклассных мероприятий следует учитывать знания и умения учащихся. И хотя непосредственная связь с текущим программным материалом не обязательна, внеклассная работа должна его дополнять, способствовать более глубокому усвоению учащимися основного материала.

Главное значение различных видов внеклассной работы по математике состоит в том, что она помогает усилить интерес учащихся к этому предмету, содействует развитию их математических способностей. Устойчивый интерес в нашей школе к внеклассной работе по математике и к самой математике поддерживается тем, что эта работа проводится систематически, а не от случая к случаю. Естественно, внеклассная работа по математике проводится не только во время недели математики. Систематическое проведение подобных мероприятий в течение всего учебного года, способствующее более глубокому и прочному усвоению знаний учащихся, зависит от личной инициативы учителя математики и от его отношения к своей профессиональной деятельности.

Например, по окончании изучения темы "Площади фигур" на внеклассном занятии можно провести с учащимися математическую игру.(См. Приложение 3.)

Предлагаемая игра ценна в том отношении, что позволяет незаметно и без принуждения втянуть учащихся в процесс поиска и конструирования. При этом ребята приучаются внимательно выслушивать вопросы и освобождаются от некоторых речевых стереотипов: привыкают называть один и тот же объект по-разному и, наоборот, улавливать различия в сходно звучащих описаниях. Это служит развитию математической речи учащихся. К тому же эта игра реализует осуществление описанных выше дидактических принципов обучения. К тому же с помощью нестереотипных заданий данной игры формируется устойчивый интерес учащихся к предмету, активизируется познавательная активность учащихся. В ходе поиска решения этих заданий происходит также и развитие мышления школьников. Ведь одна из важнейших задач обучения математике - развитие мышления учащихся. Решается она различными путями. Один из них - реализация принципа активности. Помимо вышесказанного, развитию мышления будет способствовать:

1. Самостоятельное решение учащимися задач повышенной трудности.

2. Решение задач различными способами; поощрение оригинальных способов решения.

3. Включение в качестве домашнего задания и дополнительного задания в контрольные работы примеров и задач, отличных от разобранных в классе (составляя такого рода задание, надо учесть, чтобы для его выполнения было достаточно тех знаний, которые имеются у учащихся).

4. Включение в систему упражнений вопросов, прямых ответов на которые нет ни в учебнике, ни в объяснении учителя.

5. Составление задач и упражнений самими учащимися (например, дать ученикам задание составить задачу на нахождение площади нестандартной фигуры по готовому чертежу. Выполняя это задание ребята уже будут продумывать способы ее решения).

6. Решение задач практического содержания (выполняя решение таких задач учащиеся понимают необходимость и жизненную важность изучения данной темы).

Важно отметить, что школьники, как и все люди вообще, мыслят по разному: у одних преобладает абстрактное, словесно-логическое мышление (в этом случае можно говорить об аналитическом складе ума), у других преобладает образное мышление (в таких случаях говорят об образном, художественном типе мышления), у третьих образные и абстрактные компоненты мышления находятся в равновесии (гармонический склад ума). Школьники, имеющие аналитический склад ума, страдают там, где успешность работы зависит от развития воображения, поэтому геометрия им дается труднее, чем алгебра. Аналитик легче рассуждает, чем действует, легче объясняет, как надо решить задачу, чем решает ее, в отличие от школьника с сильно развитым образным мышлением, который, не пускаясь ни в какие рассуждения, просто "видит", о чем идет речь. Для школьников с образным типом мышления трудности возникают там, где приходится работать без наглядной опоры. Даже когда их деятельность протекает в уме, она нуждается в опоре на образы, на работу представления и воображения. Как заметил В.А. Крутецкий, образность часто заменяет представителям этого типа мышления логичность. Учащиеся с преобладанием образных компонентов мышления, как показал В.А. Крутецкий, гораздо лучше себя чувствуют при работе со зрительным материалом, чем со словесно-логическим. Словесное объяснение решения задачи они воспринимают хуже, чем рисунок или чертеж.

Один из путей обучения школьников с различными складами ума- это введение элементов образности в абстрактный материал и установление смысловых связей в разнородном конкретном материале. Другой путь - это целенаправленная работа по развитию как теоретического, так и образного мышления школьников.

Реализации этих путей при обучении математике может способствовать решение задач, направленных на формирование и развитие эстетического вкуса учащихся, поскольку здесь абстрактное соединяется с образным.

Не следует забывать, что помимо развивающей, обучающей и развлекательной функций, игра на внеклассном мероприятии осуществляет такую важную функцию, как воспитательную. Командная игра воспитывает в ее участниках умение слушать и ценить мнение своих товарищей, чувство ответственности за свою команду. Подобное мероприятие способствует сплочению коллектива школьников. Выбор групповых форм работ обоснован и возрастными особенностями школьников. Ведь известно, что подросток высоко ценит свои отношения со сверстниками, а успехи в среде сверстников ценятся всего более. Знания приобретают особую значимость для развития личности подростка. Они являются той ценностью, которая обеспечивает подростку расширение собственного сознания и значимое место среди сверстников. В этой связи подростки на людях стремятся брать на себя наиболее сложные задания, нередко проявляют не только высокоразвитый интеллект, но и незаурядные способности. Для них характерна эмоционально-отрицательная реакция на слишком простые задачи. Такие задачи их не привлекают, и они отказываются их выполнять из-за соображений престижности. Высокий статус среди сверстников может быть достигнут с помощью хороших знаний: при этом для подростка продолжают иметь значение оценки. Высокая оценка дает возможность подтвердить свои способности. Именно эти особенности школьников данного возраста позволяют эффективно использовать групповые и коллективные формы работы.

Говоря о воспитании на уроках и внеклассных мероприятиях по геометрии нельзя не сказать об эстетическом воспитании школьников. В процессе формирования гармонически развитой личности эстетическое воспитание, органически входящее в преподавание всех школьных дисциплин, занимает особое место. Важную роль в эстетическом воспитании играет умелое преподавание математики. Математика, а именно геометрия, имеет много присущих только ей возможностей для решения этой важной проблемы. Дети любят красивое и увлекательное. Всем этим богата математика. Вдумчивые учителя из урока в урок показывают учащимся, что математика замечательна своей стройностью, точностью, связанностью всех своих частей. Источниками эмоционального и эстетического воздействия математики на школьников являются непременность ее выводов, универсальность применений, совершенство языка, романтичность ее истории и т.д.

Психологами доказано, что от эмоциональности ученика зависит работа его памяти. Если ученик неравнодушен к изучаемому материалу, если предмет вызывает у него интерес, тогда запоминание происходит как бы само собой, без особых усилий (непроизвольное запоминание). Человеческая память недолго хранит то, что не затрагивает его чувства. Например, каждый человек вспоминает яркие моменты из своей жизни, неважно хорошие они были или плохие, потому что они сопровождались высоким эмоциональным настроем, будь то взрыв положительных или отрицательных эмоций. Только там, где разум и чувства в союзе, осуществляется глубокое понимание и запоминание. Самым активным из школьных возрастов по эмоциональному восприятию является подростковый период. Большая часть подростков остро реагирует на свои восприятия, память, речь, мышление и старается придать им блеск и глубину.

Но не все педагоги правильно понимают, что же именно вызывает эмоциональный подъем у учащихся. Иногда имеет место такая ситуация: учитель, зная, что на его урок придут коллеги, старается сделать его "более красивым". Он подбирает и читает стихи, использует наглядные пособия, т.е. искусственно вводит эстетический элемент, не вытекающий из темы урока. Этим он значительно снижает интеллектуальную нагрузку учебного материала и не достигает поставленной цели.

Эстетическое воздействие на учащихся в немалой степени зависит от качества преподавания предмета. А именно: от умения безукоризненно, точно и ясно разъяснить содержание изучаемого материала, предложив продуманную систему вопросов и задач, организовать на уроке поиск рациональных путей их решения, показать красивые приемы быстрых вычислений. Творчески работающие учителя постоянно знакомят учащихся с жизнью и деятельностью выдающихся математиков, знакомят с иторией развития изучаемого на уроке вопроса.

Обучение математике немыслимо вне кабинета. Светлый, чистый, уютный кабинет значительно улучшает настроение учащихся, располагает их к учебе. Дети чрезвычайно восприимчивы к внешним раздражителям: хорошей ручкой хочется писать, красиво оформленную книгу хочется читать, за хорошей, чистой партой приятно сидеть и заниматься. Лучшие учителя заботятся о том, чтобы все в школе радовало глаз, было удобным, вызывало приятные эмоции, деловой настрой. Они периодически обновляют кабинеты, вовлекая всех учащихся в активную деятельность по их оформлению, приучают детей создавать и сохранять красоту. Только красота, в создании которой принимает участие сам ученик, по-настоящему видна ему, делает ученика ее ревностным защитником и пропагандистом. Поддержание порядка во всем - важное условие воспитания.

Аккуратность играет большую роль в жизни человека. Этому надо учить ребенка с самого начала его жизни - в быту и на уроках. Многие учителя добиваются аккуратного выполнения любой работы: ведения тетрадей, выполнения чертежей и т.д. Это воспитывает прилежность, внутреннюю собранность, усидчивость, вырабатывает умение доводить любую работу до совершенства. Педагог должен учить детей не только видеть прекрасное, но и создавать его.

Если рассматривать темы школьного курса геометрии, то некоторые из них просто созданы для демонстрации учителем всей красоты этого предмета. Пожалуй, самыми благодарными темами в плане эстетического воспитания являются темы "Симметрия" и "Площади фигур". В этих темах достаточно наглядности, они красивы и интересны, а также имеют огромное практическое значение. Например, при изучении темы "Площади правильных многоугольников", учителю полезно обратить внимание учащихся на то, что правильные многоугольники находят свое практическое применение в изготовлении паркетов. Укладка паркета - это искусство, которое украшало в прошлом и украшает сейчас великолепные залы многих замков и дворцов. После небольшой беседы, можно предложить ребятам практическую работу: подобрать "образцы паркета". Задание это следует дать на дом как творческое, но при этом предварительно продемонстрировать классу несколько образцов. Выполняя эту практическую работу, ученик сталкивается не только с математической задачей вычисления углов и площадей плиток, из которых будет изготовляться паркет, но и с проблемой выбора цвета и сочетания цветов плиток. Это уже творчество, поиск красоты, гармонии.

Возможности применения эстетического фактора на уроках математики связаны с постоянным совершенствованием методики ее преподавания, поиском повышения эффективности урока. Раскрытие эстетического в математике не может не увлечь учащихся, привлекая их к предмету. Но не только в этом следует учителю видеть цель эстетической работы. Научить юного гражданина ценить прекрасное в жизни - значит обогатить его духовный облик. Жизнь настоятельно требует сегодня сделать эстетику не гостьей на уроке, а эффективным методом повышения качества воспитания и преподавания.

Итак, мы рассмотрели различные дидактические принципы обучения. Важно отметить, что принципы дидактики нельзя рассматривать изолированно. В процессе обучения они выступают во взаимной связи и обусловленности. Например, тесно связаны принципы сознательности и активности, сознательности и систематичности, наглядности и доступности. Нарушение одного из них влечет за собой нарушение других. Так, не применяя наглядного материала при изучении геометрии в 5-6 классах, нельзя обеспечить сознательное усвоение этого раздела программы. С другой стороны, осуществление одного из принципов часто выступает через реализацию других. Например, наглядность в обучении выступает как основа прочности знаний. Каждому учителю следует помнить, что осуществление дидактических принципов является условием успешного обучения и развития учащихся.

Глава 2. Основные дидактические функции задач по теме "Площади фигур" и их реализация в учебном процессе

.1 Сборник задач "на площади". Типология задач сборника

площадь фигура учебник школа

В данном сборнике представлены задачи следующих блоков:

) Измерение площадей;

) Вычисление площадей;

) Метод площадей;

) Разные задачи.

Результат сравнительного анализа школьных учебников по геометрии убеждает нас в том, что в школьном курсе геометрии основное внимание уделяется вычислению площадей, т.е. опосредованному измерению площадей, связанному с применением формул. Но в соответствии с принципом исторической целесообразности нельзя проигнорировать и непосредственное измерение площадей. Ведь геометрия возникла в глубокой древности в связи с необходимостью измерять расстояния, площади земельных участков, возводить постройки и т.д. Поэтому, на наш взгляд, целесообразно выделить в отдельный блок задачи на непосредственное измерение площадей. К тому же, поняв процесс измерения площадей, учащиеся поймут и как они вычисляются, с помощью формул, а также смогут по достоинству оценить все преимущества этого способа нахождения площадей плоских фигур. Именно по этим причинам в первой части предлагаемого сборника задач предлагается подборка задач на непосредственное измерение площадей.

Конечно же большое внимание в данном сборнике уделено задачам на вычисление площадей различных плоских фигур: треугольника, прямоугольника и квадрата, параллелограмма и ромба, трапеции, круга и его частей, многоугольников и различных плоских фигур. Вычислению площадей различных плоских фигур посвящена вторая часть сборника, которая для удобства пользования разделена на разделы, соответствующие различным видам фигур.

И, естественно, нельзя обойти стороной и те задачи, в которых площадь выступает как мощный инструмент, успешно применяемый при доказательстве различных теорем и решении задач, причем даже тех, в формулировках которых понятие площади не упоминается. Поэтому можно говорить о методе площадей в геометрии. Примеры таких задач можно найти в третьей части предлагаемого сборника.

Хотелось бы отметить и дополнительную четвертую часть, которая называется "Разные задачи" и в которую вошли задачи на равновеликость, равносоставленность, на разрезание и перекраивание, решение которых требует творческого применения знаний.

Может возникнуть вполне справедливый вопрос: "Разве мало задач по данной теме представлено в учебниках и различных пособиях по геометрии?" Конечно, в учебных пособиях представлено довольно много задач по теме "Площади плоских фигур", но у учителя всегда должен быть достаточный выбор задачного материала, ведь он должен учитывать интересы своих подопечных, а среди них всегда находятся "звездочки", ко встрече с которыми нужно готовиться особенно тщательно. А значит, необходимо подбирать соответствующий материал, отвечающий различным запросам учащихся для того, чтобы развивать у них интерес к геометрии.

В каждом блоке задач сборника представлены задачи как базового уровня, так и задачи повышенной трудности. Значительную часть предлагаемого сборника составляют задачи творческого плана, при решении которых требуется проявить оригинальность мышления, сопоставить при поиске пути решения текущий материал с ранее изученным, а в некоторых случаях даже провести маленькое самостоятельное исследование, вполне доступное учащимся, имеющим склонность и неподдельный интерес к математике. Среди них имеются как задачи, сравнительно несложные, так и задачи повышенной трудности. Подбор их осуществлен так, чтобы обеспечить работу учащихся, обладающих разными уровнями владения материалом и имеющих различные математические способности.

Также в пособии приведено определенное число задач занимательного характера, задач с необычной формулировкой или с неожиданным или красивым решением, а также задач, в которых знание материала геометрии имеет, может быть, меньшее значение, чем смекалка и сообразительность. Такие задачи делают изучение материала более живым и увлекательным, что также имеет немаловажное значение для привлечения интереса учащихся к изучаемому предмету. Помимо того, что некоторые задачи могут доставить поистине эстетическое удовольствие, следует учитывать, что они способствуют развитию мышления, памяти, внимания, познавательных интересов и познавательной активности учащихся. Учащимся прививается вкус и интерес к геометрии, повышается уровень геометрической (математической) культуры школьников, а также развивается творческое владение материалом геометрии.

Данное пособие может с успехом использоваться как в классах с углубленным изучением математики, так и в общеобразовательных классах, но при некотором отборе задачного материала. Представленный сборник задач может применяться на разных этапах урока и при различных формах организации деятельности учащихся.

Среди предлагаемых задач имеют место задачи по готовым чертежам, которые способствуют выработке навыков решения основных типов задач по данной теме. Всем известно, что бывают ситуации, когда ученику легче решить задачу, чем сделать к ней чертеж. Наличие готовых чертежей поможет наиболее рационально использовать рабочее время на уроке и организовать работу с детьми разного уровня обученности. Применение готовых чертежей способствует оптимизации процесса обучения математике и значительно увеличивает объем рассматриваемого на уроке материала, повышает его эффективность. Некоторые такие задачи решаются устно или набрасыванием плана решения задачи. Ведь зачастую важна сама идея решения, а не конечный ответ. Но в обучении геометрии следует помнить, что ученик должен и сам уметь выполнять чертежи к задачам.

В сборнике представлены также задачи, содержащие параметр, исследовательского характера. Примером такой задачи служит следующая:

Задача: Может ли площадь треугольника ABC быть равной 15 см²? 11 см²? 5 см²? 12 см²? (рис.15)

Рис.15

Хотелось бы еще раз отметить, что предлагаемый сборник задач ни в коем случае не заменяет учебные пособия и задачники, которые уже активно используются учителями математики, а является лишь дополнением к ним, предоставляющим учителю возможность повысить эффективность своей работы и усилить практическую направленность преподавания геометрии.

2.2 Основные функции задач "на площади" и методика их реализации в процессе обучения в 5 - 9 классах

В методике преподавания математики основными функциями задач, определяемыми целями обучения, являются следующие: дидактические (обучающие), развивающие и воспитательные. Рассмотрим дидактические функции задач "на площади", предложенных в сборнике, и приведем ряд рекомендаций по их реализации на уроках геометрии. Как уже было отмечено в предыдущем параграфе, роль задач в изучении теории чрезвычайно велика как при работе с понятиями, так и при работе с теоремами. Итак, остановимся сначала на том, как с помощью задач "на площади" предлагаемого сборника осуществляется работа с математическими понятиями.

Начальным этапом в работе по формированию понятия является мотивация. Сущность этого этапа заключается в подчеркивании важности изучения понятия, в побуждении школьников к целенаправленной и активной деятельности, в возбуждении интереса к изучению понятия. Мотивация может осуществляться как посредством привлечения средств нематематического содержания, так и в ходе выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории. Например, на первом же уроке темы "Измерение площадей" целесообразно привести несколько примеров, связанных с практической необходимостью измерения площадей. А именно: при строительстве бассейна необходимо знать площадь поверхности воды, чтобы учесть потери ее испарения; в сельском хозяйстве - площадь поля, чтобы определить количество семян для посева; при ремонте квартиры - площадь поля и стен, чтобы вычислить необходимое количество обоев, кафеля, краски и т.д. Желательно попросить учащихся привести свои примеры, подтверждающие жизненную неоходимость изучения данного вопроса. Кроме того, для возбуждения интереса учащихся к данной теме, учителю целесообразно привести интересную историческую справку, касающуюся вопроса измерения площадей. Например, "измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности, название "геометрия" (т.е. "землемерие") связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычисление их площадей". Позже при изучении учащимися темы "Площади многоугольников", учитель может также привести исторические сведения о том, каким образом в древности вычислялись площади тех или иных фигур. Например, "В древности считалось, что площадь четырехугольника, последовательные стороны которого имеют длины a, b, c и d, можно вычислять по формуле: . (т.е. сумму длин двух противоположных сторон умножить на полусумму длин двух других сторон). Эта формула, найденная опытным путем, неверная; в этом можно убедиться на примере параллелограмма. По-видимому, в древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме, а для таких участков погрешность, вносимая указанной формулой, невелика. Лишь в последствии было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника и других многоугольников".

Переход от непосредственного измерения площадей (с помощью палетки) к измерению опосредованному также необходимо мотивировать. Важно привлечь внимание учащихся на тот факт, что до сих пор практическое измерение длин отрезков и величин углов с помощью масштабной линейки и транспортира не вызывало трудностей, а для измерения площадей такого удобного измерительного прибора нет и в принципе быть не может, так как измерять площадь, сравнивая ее, например, с квадратным метром, на практике невозможно. Измерение площадей с помощью палетки не отличается точностью, утомительно, поэтому на практике чаще всего пользуются более совершенными и точными способами измерения площадей, которые по существу сводятся к измерению длин отрезков и использованию особых формул.

Следующий этап работы с понятием - выявление существенных свойств понятия, которые составят его определение. Он реализуется посредством упражнений, основное назначение которых на этом этапе заключается в выделении существенных свойств изучаемого понятия и акцентировании на них внимания учащихся. Итогом этого этапа является формулировка определения понятия, усвоение которого составит содержание нового этапа. Например, понятие "площадь плоской фигуры" вводится во всех учебниках аксиоматически, т.е. перечислением основных свойств (аксиом) величины, называемой площадью. Осуществляя принцип наглядности, целесообразно дать геометрическую трактовку перечисленных свойств. В учебнике И.Ф. Шарыгина свойства площади наглядно интерпретированы следующим образом (рис.16):

Рис.16

Для акцентирования внимания учащихся на данных свойствах необходимо привести ряд задач и упражнений, для решения которых используются данные свойства. Например:

Свойство 2. Докажите, что диагональ параллелограмма делит его на два треугольника, площади которых равны.

Свойство 3. 1) Нарисуйте два равных прямоугольных треугольника. Составьте из них: а) равнобедренный треугольник;

б) прямоугольник;

в) параллелограмм.

2) Проведите необходимые измерения и найдите площадь изображенной на рис.17 фигуры:

Рис. 17

Свойство 4. Можно вспомнить известные из курса 1-6 классов учащимся единицы измерения площадей в ходе решения следующей задачи. Площадь поверхности озера равна 5 870 000 м². Выразите площадь поверхности озера в квадратных километрах и в гектарах.

На этапе усвоения определения понятия каждое существенное свойство, используемое в определении, делается специальным предметом изучения. Обеспечивается это требование с помощью упражнений. Одним из типов таких упражнений является распознавание объектов, принадлежащих понятию. Например, понятие площади можно с успехом применять при сравнении обыкновенных дробей.

Задача. Сравнить дроби:  и .

Наибольшая трудность в этом задании состоит в том, чтобы увидеть объекты, принадлежащие понятию "площадь". Но эта проблема разрешается сразу после того, как учащиеся представят данные задачи геометрически (рис.18).

Рис.18

"Наложив" одну сетку на другую, таким образом приведя обе дроби к общему знаменателю, учащиеся получают следующую картинку (рис.19):

Подсчитав площадь каждой фигуры, т.е. число квадратиков, из которых оказалась составлена и та, и другая фигура, получаем, что левая фигура по площади больше правой, так как больше число квадратиков, составляющих ее. Значит,  > .

Следующий этап: использование понятия в конкретных ситуациях. На этом этапе прежде всего осуществляется знакомство со свойствами и признаками понятия; с его определениями, эквивалентными принятому; используются изученные свойства и признаки понятия. На данном этапе учащиеся овладевают умениями переходить от понятия к его существенным признакам и обратно, переосмысливать объекты с точки зрения других понятий, в частности учатся переосмысливать элементы чертежа с точки зрения другой фигуры и т.д., а также овладевают различными их совокупностями. На этом этапе важно использование блоков задач, объединенных какой-либо общей идеей. Упорядочение задач может быть осуществлено посредством обобщения и конкретизации, привлечения аналогии, взаимно обратных задач. Блоки задач могут конструироваться следующими способами:

а) результаты решения предыдущей задачи используются в решении последующей;

б) результаты решения предыдущей задачи используются в условии последующей;

в) предыдущие задачи являются элементами последующей;

г) решения совокупности задач осуществляются одним и тем же методом.

Задача. Стороны треугольника равны a, b, и c. Вычислите высоту h, проведенную к стороне c.

Задача. В треугольнике со сторонами 8 см и 4 см проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к стороне 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне 4 см?

Задача. Докажите, что в любом треугольнике высоты обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены.

Задача. Длины сторон параллелограмма ABCD равны 6 см и 8 см, а высота, проведенная к меньшей стороне, имеет длину 4 см. Найдите длину высоты, проведенной к большей стороне параллелограмма.

Задача. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Причем, площадь параллелограмма составляет половину площади прямоугольника. Найдите острый угол параллелограмма.

И вообще, чрезвычайно важно показать учащимся, что понятие площади можно с успехом использовать при доказательстве различных теорем и решении задач, причем даже тех, в формулировках которых отсутствует упоминание о площади. Поэтому можно говорить о методе площадей в геометрии. Об этом методе практически не упоминается в школьных учебниках (кроме учебника по геометрии И.Ф.Шарыгина, да и здесь он четко не формулируется, а лишь на конкретных примерах показано его применение). Интересно, что метод площадей оказывается "близким родственником" метода уравнивания, который используется при решении различных геометрических задач (А.Г. Мордкович называет его методом опорного элемента). Он сводится к следующему: одна из величин, не являющаяся искомой выражается двумя способами через данные в условии величины. Такую величину называют опорной. По крайней мере одно из двух выражений опорной величины должно содержать искомое. Тогда, приравнивая два выражения, получают уравнение относительно искомой величины. Сама же опорная величина при составлении уравнения исключается. Если для составления уравнения в качестве опорной величины выбирается площадь, то говорят, что используется метод площадей. Под методом площадей также понимается использование свойств площадей при решении задач и доказательстве теорем. Приведенные выше задачи предлагается решить с помощью метода площадей. Нельзя сказать, что это единственный метод решения предложенных задач. Просто зачастую именно метод площадей дает более изящное, более рациональное решение задачи. Использование метода площадей при решении задач значительно обогатит математическую культуру школьников.

Приведем подборку задач, упорядочение которых осуществлено посредством обобщения и конкретизации.

Задача. Постройте треугольник, равновеликий данному четырехугольнику.

Для решения данной задачи целесообразно рассмотреть более частные задачи.

Задача. Постройте треугольник, равновеликий данному параллелограмму.

Задача. Дана трапеция ABCD (AB║CD). Постройте треугольник, равновеликий данной трапеции.

Теперь, рассмотрев различные частные случаи четырехугольников, перейдем к решению основной задачи 1. При ее решении воспользуемся способом, который был применен при решении задач 2 и 3. Итак, решение задачи для частного случая помогло найти путь решения обобщенной задачи. Этот путь можно использовать в различных конкретных ситуациях, например, в решении следующей задачи.

Задача. Постройте треугольник, равновеликий данному пятиугольнику ABCDE.

Очевидно, что рассмотренный способ решения основной задачи применим для любого n-угольника: сначала n-угольник превращаем в (n-1)-угольник, затем последний превращаем в равновеликий ему (n-2)-угольник и т.д. до тех пор, пока не построим треугольник, равновеликий полученному четырехугольнику, а значит, и данному n-угольнику.

Итак, при решении рассмотренной группы задач мы осуществляли переход не только от менее частного к более общему, от частного к общему, но и от общего к частному, от более общего к менее общему, т.е. не только обобщение, но и конкретизацию.

Говоря об использовании аналогии, конкретизации, обобщения при решении задач, рассмотрим доказательство теоремы Пифагора, восходящее к Евклиду.

Задача. Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c, из которых c является гипотенузой. Докажем, что a² + b² = c².

Построим на сторонах a, b, c прямоугольного треугольника подобные многоугольники, площади которых равны соответственно λa²,λb²,λc². Если a² + b² = c², то λa² + λb² = λc². Очевидно, верно и обратное утверждение: если λa² + λb² = λc², то a² + b² = c². С помощью обобщения приходим к следующей теореме: если три подобных многоугольника построены на трех сторонах прямоугольного треугольника, то площадь многоугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей двух других многоугольников. Это обобщающее утверждение равновелико не только частному утверждению, от которого мы отправлялись, но и любому другому, например тому, которое получим, если проведем высоту из вершины прямого угла на гипотенузу.

Данное утверждение можно предложить учащимся на кружковом занятии по математике. Здесь же можно предложить школьникам, проявляющим интерес к геометрии, решить следующие задачи.

Задача. На сторонах квадрата во внешнюю сторону построены 4 равных прямоугольных треугольника. Стороны квадрата служат гипотенузами этих треугольников. Найдите площадь фигуры, составленной из квадрата и этих треугольников, если сумма катетов в каждом треугольнике равна d.

Задача. В треугольной пирамиде ABCD все ребра, выходящие из вершины D, попарно перпендикулярны. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей треугольников DAB, DBC и DCA (теорема Пифагора для треугольной пирамиды).

Задача. Докажите, что площадь черной фигуры равна сумме площадей белых фигур (рис.20).

При изучении темы "Площади" можно также установить аналогию между единицами длины и единицами площади. Познакомив учащихся с единицами измерения площадей, можно задать вопросы:

1. Какие единицы длины, аналогичные единицам площади вы знаете?

2. Какая единица площади аналогична сантиметру (метру и т.д.)? В чем сходство этих единиц?

Установив, что 1 см - это длина отрезка, а 1 см² - это площадь квадрата, сторона которого 1 см, целесообразно выполнить упражнения:

1. Длина отрезка 3 дм. Определите площадь квадрата, аналогичного этому отрезку.

2. Площадь квадрата 25 см². Начертите отрезок, аналогичный этому квадрату.

Учащиеся иногда затрудняются быстро и правильно ответить на вопросы типа: сколько квадратных сантиметров в 1 дм²? Снижению таких трудностей способствует использование аналогии между единицами длины и площади:

дм = 10 см -это длина отрезка;

дм² - это площадь квадрата со стороной 1дм = 10 см, поэтому 1 дм² = 10 10 = 100 см².

В изучении любого учебного предмета, и особенно математики, важен этап систематизации материала, когда выясняется место данного понятия в системе других понятий. Это достигается следующими путями:

1) установлением связей между отдельными понятиями, теоремами;

2) разноплановой систематизацией материала по различным основаниям;

3) обобщением понятия;

4) конкретизацией понятия.

Доступные ученикам связи между знаниями выясняются путем анализа содержания учебного материала. В качестве средств представления информации в сжатом виде используют таблицы, вопросники, графики, рисунки, схемы и т.д. Например, в учебнике А.В. Погорелова в конце каждого параграфа помещается раздел "Контрольные вопросы", в которых заостряется внимание на "опорных точках" теории и взаимосвязях между ними. После этих вопросов дается набор упражнений к изучаемому параграфу. Наличие в пособии специальных разделов "Контрольные вопросы" и "Задачи" является эффективным средством систематизации геометрических знаний.

Приведем примеры упражнений по теме "Площади", выполнение которых способствует осознанию связей изучаемого понятия с ранее изученными понятиями.

·   Можно ли площадь прямоугольного треугольника вычислить по формуле площади треугольника?

·   Можно ли площадь прямоугольного треугольника вычислить по формуле площади трапеции? А по формуле площади прямоугольника?

·   Можно ли площадь треугольника (трапеции) вычислить по формуле S=ch, где c - средняя линия, а h - высота треугольника (трапеции).

Итак, все вышесказанное доказывает целесообразность применения задач "на площади" предлагаемого сборника при формировании понятия "Площадь фигуры" в средней школе. Посмотрим теперь каким образом реализуются эти задачи при работе с теоремами.

Главным в изучении теорем является не заучивание их и их доказательств, а открытие школьниками теоремы, способа доказательства, самостоятельное конструирование доказательства, применение теоремы в различных ситуациях, установление различных связей теоремы с другими теоремами. Приведем фрагмент урока, посвященного изучению площади трапеции.

Учитель начинает урок с повторения опорного материала:

·   Что такое площадь многоугольника (какими свойствами она обладает)?

·   Площади какого многоугольника мы можем находить, исходя из этого?

·   Площадь какого многоугольника мы нашли на основании общих свойств площади?

·   Какой прием мы использовали для вывода площади прямоугольника? (Достраивали до фигуры, площадь которой известна, - до квадрата - и разбиение ее на квадраты и прямоугольники.)

Аналогичные вопросы задаются при повторении площади параллелограмма и треугольника. В процессе такой беседы на доске появляется постепенно следующая запись (рис.21):

Рис.21

Подводится итог:

1. Площадь каждой изученной фигуры выражается через сторону и высоту к ней;

2. Для вывода всех формул применяется один и тот же прием (указан выше).

Проводя аналогию с тем, что нам уже известно, как вы думаете, через какие элементы можно выразить площадь трапеции? (После обсуждения учащиеся останавливаются на гипотезе, что, наверное, через основания a, b и высоту h.)

Попытайтесь найти эту закономерность, используя прием "достраивания" и "разбиения". У кого какие варианты, как можно проводить дополнительные построения, чтобы к нахождению площади трапеции можно было подойти через площади известных многоугольников?

Учащиеся начинают предлагать свои варианты (рис.22):

рис.22

Все предлагаемые учащимися рисунки изображаются на доске. Каждый новый рисунок вызывает у класса одобрительный гул, дети стараются придумать еще варианты.

Далее учитель по каждому ряду дает задание найти площадь трапеции по рисункам а, б и г соответственно. В результате в классе теорема докажется тремя способами. Можно предложить учащимся дома найти свои способы доказательства этой теоремы.

Включение школьников в поисковую деятельность на основе аналогии позволяет формировать у них не только логическое мышление, но и интуитивное, которое является необходимым компонентом творческого мышления независимо от их будущей профессоинальной деятельности.

Проведенный урок способствует развитию учащихся во всех аспектах: получили новые факты - теоремы, учитель раскрывает методологию математики (законы и приемы познания математических закономерностей), развивает интеллектуальные качества ума (гибкость, критичность мышления и т.п.). Учащиеся весь урок работали с интересом, причем каждый чувствовал себя первооткрывателем данного факта. Но это возможно лишь в том случае, если учащиеся приучены к постановке учителем проблемных вопросов и активно и с интересом включаются в поиск ответов на них.

Иначе можно было бы "открыть" с учащимися формулу для вычисления площади трапеции с помощью решения вспомогательной задачи: преобразовать трапецию в равновеликий треугольник. После решения данной задачи, нахождение формулы площади трапеции сводится к нахождению площади полученного треугольника.

Поиски различных способов доказательств теорем, различных способов решения задач является важным фактором развития математического мышления, что является основной целью обучения математике. С первых уроков геометрии необходимо демонстрировать учащимся различные способы доказательств одной и той же теоремы, различные методы решения одной и той же задачи. Полезно даже вернуться к решенной ранее задаче после прохождения очередной темы, чтобы применить новые знания к старой задаче (возможно, при этом получим более рациональное решение).

Если учителю удастся привить школьникам интерес к отысканию различных способов решения задач и различных способов доказательства теорем, то он сможет развить эстетический вкус учащихся при решении геометрических задач, развить творческие способности школьников, глубже показать им красоту математики. Необходимость решения задач различными способами заключается еще и в том, что у учащихся появляется возможность сравнить различные способы решения задач (доказательства теоремы) с целью выявления для себя наиболее оптимальный, увидеть достоинства и недостатки того или иного способа решения.

К сожалению, на уроках математики редко используется возможность показа и поиска различных доказательств теорем учителем (за исключением, быть может, теоремы Пифагора, о которой сообщается, что существует более ста различных ее доказательств, да иногда на обобщающих уроках по данной теме приводится несколько ее доказательств). При этом нередко у учеников возникает впечатление, что теорему можно доказать только так, как предлагается в учебнике или как рекомендует учитель, и никак иначе; предложенную задачу можно решить только одним способом. В этом случае решенные задачи быстро забываются учащимися, поскольку ученики не пытаются их применить в дальнейшей учебной деятельности: познавательные возможности этих задач снижаются, поскольку не раскрываются перед учениками. И все это приводит к тому, что ученики не способны мыслить самостоятельно. Учителя ссылаются на катастрофическую нехватку времени, при этом стараясь решить как можно больше задач, не понимая при этом, что для развития мышления учащихся лучше решить одну задачу несколькими способами, чем решить множество различных задач. Одним из путей устранения перечисленных выше недостатков является творческая деятельность учащихся по отысканию различных способов решения задач. Под руководством учителя активная деятельность учащихся в этом направлении способствует раскрытию познавательных и эстетических возможностей учебных задач.

Выше на примере площади трапеции уже приводился пример доказательства теоремы различными способами. Также различными способами можно доказать и теорему о площади параллелограмма, треугольника. Многие задачи предлагаемого сборника задач подразумевают наличие нескольких решений, а значит они реализуют развивающую функцию задач "на площади". Но задачи сборника были подобраны и с учетом реализации ими воспитательной функции задач "на площади", а именно направленных на формирование эстетического вкуса учащихся, повышения уровня математической культуры школьников. Ведь решение задач различными способами - это первый шаг к пониманию и восприятию внутренней красоты задачи. Приведем примеры задач, направленных на формирование и развитие эстетического вкуса учащихся, которые можно предложить решить различными способами, по теме "Площади фигур", поскольку эта тема является наиболее привлекательной для учащихся с эстетической точки зрения, к тому же ко времени изучения данной темы у учеников имеется определенный запас теоретических знаний, и они могут применить на практике полученные знания при поиске различных способов решения с целью отыскания наиболее рационального, красивого.

Задача. По данным рис.23 найдите площадь заштрихованной фигуры:

РЕШЕНИЕ.

-ый способ. (рис.24 )

= 10²-2S₁-2S₂

S₁ = (100-25π ) = 25-₂ = *25π = = 100-2(25-+) = 50

Рис.24

2-ой способ. (рис.25)

 = 10²-(5)² = 50

Рис.25

3-ий способ. (рис.26 )

S = 2*5² = 50 или S = = 50

Рис.26

4-ый способ. (рис.27 )

S = 2*5² = 50

Рис.27

5-ый способ. (рис.28 )

S = = 50

Рис.28

Данная задача представляет интерес не только с точки зрения различных способов решения, но и условие ее привлекает своей эстетической стороной. Приведенная задача побуждает учеников к математическому творчеству, поиску новых решений. Таких задач представлено в данном сборнике достаточное количество, что позволяет использовать его на уроках геометрии в целях развивающего обучения. Если на уроке предусмотрено решить задачу несколькими способами, то при этом полезно разбить класс на группы и предложить каждой группе решить задачу определенным способом, дав направление поиска. Сначала это может быть небольшая подсказка учителя, например, решить задачу или доказать теорему, используя определенное свойство геометрического объекта, выполнить дополнительное построение и т.п. Затем, решив задачу, разумно поставить перед учащимися вопрос "Нельзя ли получить тот же результат иначе?". После того, как ученики решили задачу различными способами, разумно будет разобрать достоинства и недостатки каждого способа решения с целью выбора наиболее оптимального с точки зрения школьников. При этом учащиеся учатся оценивать решение задачи, искать нестандартные подходы к решению, видеть и оценивать эстетическую сторону решения задачи, что, несомненно, положительно влияет как на развитие познавательного интереса школьников, так и на развитие мышления учащихся и их общей культуры.

Приведем пример задач сборника, при решении которых учителю необходимо показать идею решения учащимся.

Задача. Площадь треугольника ABC равна P. Прямая DE, параллельная основанию AC, отсекает от треугольника ABC треугольник BED площадью Q. На стороне AC взята произвольная точка M и соединена отрезками прямых с точками D и E. Чему равна площадь четырехугольника BEMD? (рис.29 )

Рис.30

Учителю следует сообщить учащимся, что при решении данной задачи необходимо воспользоваться идеей, которая часто оказывается плодотворной при отыскании площадей фигур. Следует также сделать акцент на том, что точка M - произвольная точка стороны AC. Вместе с учащимися следует отметить тот факт, что четырехугольник BEMD состоит из фиксированного треугольника BED и подвижного, зависящего от выбора точки M, треугольника DEM. Но где бы на AC мы ни выбрали точку M, высота треугольника DEM, проведенная к его основанию DE, не изменится по длине, значит, не изменится и площадь треугольника DEM. Следовательно точку M мы можем расположить на AC наиболее выгодным, удобным для нас способом, например, совместив ее с точкой A. И тогда речь будет идти об отыскании площади не четырехугольника BEMD, а треугольника BEA с той же площадью (рис.30 ).

Далее, сравниваем треугольники ABE и BDE. У них общая высота, проведенная из вершины E, значит их площади относятся как основания: , т.е.

 (1)

Теперь сравниваем треугольники ABC и BDE. Они подобны, значит, их площади относятся как квадраты соответственных сторон: , т.е.

 (2)

Из (1) и (2) получаем:

, т.е. .

Ответ: .

При решении этой задачи мы оперировали различными понятиями и теоремами, что в свою очередь доказывает возможность применения задач "на площади" предлагаемого сборника на различных этапах работы с понятиями и теоремами. В частности, мы заменили четырехугольник равновеликим ему треугольником. При этом использовав множество важных геометрических фактов, касающихся не только темы "Площади фигур", но и других тем школьного курса геометрии, а именно:

·   Применение понятия равновеликости фигур;

·   Использование того факта, что площадь треугольника не изменяется при передвижении вершины треугольника по прямой, параллельной основанию;

·   Использование теоремы о том, что если треугольники имеют равные высоты, то отношение их площадей равно отношению оснований (сторон, на которые опущены высоты);

·   Использование признака подобия треугольников;

·   Применение теоремы об отношении площадей подобных фигур.

Решение подобных задач позволяет глубже оценить взаимосвязь различных разделов геометрии, оценить стройность и привлекательность этой науки, тем самым глубже осознать ее эстетическую сторону. Продолжим рассмотрение задач, идею решения или само решение которой целесообразно дать учащимся (сначала желательно предоставить учащимся возможность самим подумать над задачей).

Задача. Два параллелограмма расположены так, как показано на рис.31: они имеют общую вершину и еще по одной вершине у каждого из параллелограммов лежит на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что площади параллелограммов равны.

Рис.31

Следует обратить внимание учащихся, что заштрихованный треугольник (рис.32) составляет половину площади как одного, так и другого параллелограмма. А это и означает, что их площади равны.

Рис.32

Это довольно нестандартный подход к решению задач, но его краткость и удивительная простота действительно восхищают учащихся, что естественно повышает их интерес к изучению геометрии.

Говоря о реализации развивающей и воспитательной функциях задач "на площади", нельзя не сказать о различных задачах на разрезание и перекраивание фигур, конструироании из бумаги. Подобные задачи призваны повысить интерес учащихся к геометрии, развивать их фантазию, творческие возможности. Кроме того, можно смело сказать, что решение подобных задач вносит определенный вклад в художественное воспитание учащихся, в развитие у них изобразительной культуры. Применять такие задачи можно и на уроках, и во внеклассной работе, для этого в сборнике представлено достаточное количество подобных задач. Приведем пример задачи на конструирование из бумаги.

Задача. 1) Укажите площадь данного на рис.33 квадрата, считая одну клетку за 1 кв. ед.

) Вырежьте этот квадрат из бумаги и сложите из него треугольную пирамиду (рис.34);

) Найдите площадь полной поверхности полученной пирамиды.

Рис.34

Данное задание не только на измерение площади квадрата, его выполнение осуществляет пропедевтику курса стереометрии, а именно знакомит учащихся с пространственным телом и площадью его поверхности. Подобные задания развивают пространственные представления учащихся и демонстрируют, что тема "Площади фигур" находит свое применение не только среди плоских фигур, но и среди пространственных тел. Подобные задачи можно предложить учащимся уже в 5-6 классах (вместо пирамиды можно сначала взять куб, цилиндр).

Выше уже отмечалась возможность применения задач "на площади" сборника при организации внеклассной работы (в приложении приведен пример игры на внеклассном мероприятии). Сборник оснащен и довольно трудными задачами, которые целесообразно применять при организации кружковой работы, факультативов или предлагать их для решения сильным ученикам.

Итак, мы показали, как задачи "на площади" сборника служат основным дидактическим целям, а именно: формируют системы знаний, умений и навыков решения различных типов задач, творческое мышление учащихся; способствуют развитию интеллекта, мировоззрения, нравственных качеств, стимулируют развитие интереса к геометрии, выполняют познавательную роль в обучении. Решение этих задач способствует развитию мышления школьников, а это, пожалуй, самая важная цель обучения математике.

2.3 Опытная проверка разработанных материалов и анализ результатов

Опытная проверка задач предлагаемого сборника проводилась в ЦО № 654 города Москвы и охватила 45 учеников восьмых классов: 8 "МиФ" и 8 "БиХ" ("МиФ" - это класс с физико-математическим уклоном, а "БиХ" - с биолого-химическим). Цели проведенной проверки состояли в следующем:

) Получения экспертной оценки учителей математики, в которую входили:

·   Проверка целесообразности применения задач предлагаемого сборника;

·   Оценка варианта типологии задач, предложенной в работе;

·   Возможности применения задач сборника;

·   Возможные формы организации деятельности учащихся при работе с предложенными задачами;

·   Уровень доступности задач для учащихся различных категорий.

2) Разработка проверочной работы по теме "Площади фигур" с целями:

·   Проверки остаточных знаний учащихся по данной теме;

·   Проверки уровня сформированности умений решать задачи по данной теме;

·   Узнать мнение учащихся по предложенным задачам.

3) Разработка необязательного задания (выборки задач из предлагаемого сборника) для любознательных учеников по теме "Площади фигур" с целями:

·   Апробации некоторых задач сборника;

·   Проверки уровня доступности предложенных в сборнике задач для учащихся с различной степенью обученности;

·   Выявления типов задач, которые нравятся школьникам с различными интересами, возбуждающих интерес к изучению геометрии, задач, направленных на формирование эстетического вкуса учащихся при изучении геометрии в основной школе.

Охарактеризуем классы, в которых проходила опытная проверка, а также учителей математики, которые с ними работают.

"МиФ" - довольно сильный класс, с которым успешно работает очень сильный учитель математики - Зинаида Петровна Маргевич. Она отозвалась о своих подопечных как об очень способных ребятах, у которых есть желание учиться. Они с удовольствием занимаются на уроках и дома, выполняют интереснейшие творческие работы по алгебре и геометрии, с лучшими из которых учитель меня познакомил. Учащиеся с удовольствием решают предлагаемые учителем дополнительные задания, стремятся решать интересные задачи и в большом количестве, и, вообще, этот класс отличается особой активностью в изучении как алгебры, так и геометрии. Такие ребята держат в полной боевой готовности своего учителя, на долю которого выпадает нелегкая участь - проверять их работы, которые отличаются друг от друга разнообразными способами решения задач, которые зачастую оказываются красивыми и неожиданными, что приятно удивляет и радует учителя. Средний балл класса по геометрии, судя по оценкам прошлой четверти, составляет 4,2. Хотелось бы отметить, что учащиеся с удовольствием принимают активное участие в математической жизни школы, в том числе и в математических олимпиадах и марафонах. Как рассказал учитель, они сами узнали, что в Москве проводится "Матбой", позвали с собой Зинаиду Петровну и… победили.

Об учителе хотелось бы сказать, что Зинаида Петровна - учитель высшей категории, обладатель почетного звания заслуженного учителя России, профессиональный стаж которой свыше 30 лет. Хотелось бы отметить, что данный учитель постоянно год за годом совершенствует свою профессиональную деятельность, старается практиковать самые разнообразные формы и методы работы с детьми, формы организации уроков, внеклассных мероприятий. Зинаида Петровна трепетно относится к стимулированию познавательной активности своих учеников, к возбуждению интереса к геометрии у своих воспитанников, для чего всегда подбирает множество интересных, занимательных задач по каждой теме. Именно поэтому мы обратились именно к ней с просьбой провести экспертную оценку задач данного сборника.

Ознакомившись с подборкой задач по теме "Площади плоских фигур", Зинаида Петровна отметила, что в сборнике представлены задачи для работы как в классах с углубленным изучением математики, так и в обычных классах средней школы. Учителем отмечена также возможность использования предлагаемых задач на различных этапах урока и при различных формах работы, а именно при фронтальной работе с классом, при индивидуальной, коллективной и групповой работах. Некоторые задачи подходят для индивидуальных домашних заданий, самостоятельных и контрольных работ в классе, домашних контрольных работ и творческих работ. Зинаида Петровна подчеркнула необходимость решения некоторых задач из сборника на уроке, а также показа решения отдельных задач с целью демонстрации самой идеи решения. Учитель отметил также возможность применения некоторых задач во внеклассной работе, а также в кружковой и факультативной работах по математике. Область применения предлагаемых задач довольно широка, а именно их можно использовать при изучении и закреплении изучаемой темы, при ее повторении, при итоговом повторении курса планиметрии в 9 классе, при повторении планиметрии в 10 классе, а также при итоговом повторении в 11 классе.

Учитель посчитал удачной градацию задач сборника, а именно разделения на крупные блоки задач на измерение площадей, вычисление площадей и метод площадей, понравилась также последняя часть сборника, в которой Зинаида Петровна обнаружила множество интересных и занимательных задач, решение которых требует оригинальности мышления, внимания и сообразительности и которые делают изучение материала более живым и увлекательным, что способствует развитию интереса к геометрии.

Отмечено также удобство пользования сборником, которое обеспечивается, в частности, разбиением задач по видам фигур. Благодаря разноуровневой системе обеспечивается работа учащихся, обладающих разными уровнями владения материалом и имеющих различные математические способности.

Что касается 8 "БиХ" класса, то это тоже очень активный и сильный класс, в котором преподает студентка МГПУ Мелехина Мария Игоревна. Мария Игоревна хоть и начинающий учитель, но ее занятия проводятся на высоком методическом уровне. Коллеги отзываются о ней как об ответственном, терпеливом, трудолюбивом педагоге, относящемся к своей работе с полной отдачей и ответственностью. У нее сложились прекрасные отношения с детьми, общение с которыми происходит не только на уроках. О своих учениках Мария Игоревна отозвалась как о способных, старательных ребятах, активно работающих на уроках математики, особенно на уроках геометрии. Свою любовь к этому предмету они объясняют тем, что в геометрии не так много различных формул, как в алгебре, которые они никак не могут запомнить, а в геометрии - все наглядно и просто запоминается. Средний балл этого класса по геометрии по оценкам прошлой четверти составляет 4,1.

Экспертная оценка задач сборника была получена и от этого учителя математики. Мария Игоревна, помимо вышесказанного, отметила как положительный факт количество предлагаемых задач, их разнообразие, а также возможность их применения при организации различных форм учебного процесса. Предложенная градация задач также признана удачной, т.к. она позволяет учителю сразу находить задачи по конкретной теме, будь то урок по теме "Площадь треугольника", "Площадь трапеции" и т.д. Разбиение задач по различным уровням сложности помогает учителю при организации дифференцированного обучения.

После проведения экспертной оценки учителей математики, ребятам была предложена проверочная работа с целью выявления остаточных знаний у учащихся по теме "Площади фигур", которая была представлена в виде теста, предполагаемые ответы которого были разработаны с учетом типичных ошибок учащихся, возникающих при решении задач теста. В проверочной работе было представлено два варианта, в каждом из которых по шесть заданий, одно из которых - общее.

Инструкция к выполнению теста: Прочитав вопрос, выберите нужный вариант ответа. Каждый вопрос предполагает один или несколько правильных ответов.

Тест на тему "Площади фигур"

Вариант 1.

№1. По формуле d₁d₂, где d_1, d₂ - длины диагоналей, можно вычислите площадь…

. Параллелограмма; 3. Квадрата;

. Ромба; 4. Нет правильного ответа.

№2. Площадь треугольника, изображенного на рис.35, может быть равной…

. 15 см²; 3. 13 см²;

. 14 см²; 4. Нет правильного ответа.

Рис.35

№3. ABCD - параллелограмм.(рис.36) Равные площади имеют треугольники…

. ABD и ACD; 3. ABO и BOC;

. BOC и AOD; 4. Нет правильного ответа.

Рис.36

№4. Если радиус круга увеличить в 5 раз, то его площадь увеличится…

. В 5 раз; 3. В 10 раз;

. В 25 раз; 4. Нет правильного ответа.

№5. Чтобы разделить треугольник на два треугольника равной площади, нужно провести в нем…

. Медиану; 3. Высоту;

. Биссектрису; 4. Нет правильного ответа.

№6. В треугольнике со сторонами BC=8 см и AB=4 см проведены высоты к этим сторонам. (рис.37) Высота, проведенная к стороне длиной 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне длиной 4 см?

Рис.37

Вариант 2.

№1. Площадь правильного шестиугольника со стороной a равна…

1. ; 3. ;

. ; 4. Нет правильного ответа.

№2. Площадь треугольника, изображенного на рис.38 может быть равной…

1. 3 см²; 3. 5 см²;

2. 4 см²; 4. Нет правильного ответа.

Рис.38

№3. ABCD - трапеция.(рис.39) Равные площади имеют треугольники…

. ABD и ACD; 3. ABO и BOC;

. BOC и AOD; 4. Нет правильного ответа.

Рис.39

№4. Если площадь круга уменьшить в 16 раз, то радиус этого круга уменьшится…

. В 16 раз; 3. В 256 раз;

. В 4 раза; 4. Нет правильного ответа.

№5. Если фигуры равновелики, то они…

. Равны; 3. Подобны;

2. Имеют равные площади; 4. Нет правильного ответа.

№6. В треугольнике со сторонами AB=8 см и BC=4 см проведены высоты к этим сторонам. (рис.40) Высота, проведенная к стороне длиной 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне длиной 4 см?

Рис.40

Результаты проверочной работы отображены в следующей таблице:

Введем обозначения: Пусть n - номер задания, K_n - количество учеников, успешно решивших это задание, P_n - количество учеников, решивших это задание не полностью, N_n - количество учащихся, не справившихся с этим заданием или вовсе не приступивших к нему.

Задание №1 первого варианта было направлено на проверку знания формулы для вычисления площади ромба и квадрата, и с ним, как видно из таблицы, справились далеко не все учащиеся. Многие выполнили это задание не полностью, отметив как правильный ответ лишь ромб. Если сравнивать результаты между классами, то 8 "МиФ" справился с ним лучше. Что касается задания №1 второго варианта, то здесь проявили себя лучше ребята из 8 "Бих" класса. Ребята еще не изучали правильные многоугольники и их площади (в обоих классах), но им перед работой было объяснено на наглядно-интуитивном уровне, что площадь правильного шестиугольника со стороной a равна шести площадям равностороннего треугольника с той же стороной. И здесь все уже зависело от знания учащимися формулы площади равностороннего треугольника со стороной a.

Задание №2 в обоих вариантах вызвало некоторые затруднения. Оно и понятно, ведь ребята только приступили к изучению темы "Синус", но уже знали какие накладываются ограничения на синус. Формула площади треугольника, выраженная через две стороны и синус угла между ними, была сообщена учащимся непосредственно перед работой. При решении этого задания ребятам нужно было проявить смекалку и внимание, и многие с этим успешно справились. Если снова сравнивать результаты обоих классов между собой, то здесь ситуация следующая: в первом варианте результаты лучше у 8 "БиХ", а во втором - у 8 "МиФ".

В задании №3 обоих вариантов нужно было найти пары равновеликих треугольников в параллелограмме и в трапеции. Это задание было направлено на внимание, а также на знание ребятами необходимого теоретического материала (учащиеся не увидели треугольники с равными основаниями и одинаковой высотой). Многие школьники не увидели все пары равновеликих треугольников в параллелограмме, а ведь в основе этого задания лежало важное свойство медианы треугольника. Кстати, с этим заданием в явном виде справились практически все ученики первого варианта (задание №5). Случай с трапецией оказался для учеников проще - многие увидели единственную нужную пару из списка предложенных. Оба класса в этом задании проявили одинаковые успехи.

Задание №4 было на использование формулы площади круга, которую ребята будут изучать только в середине 9 класса. Здесь ребятам пригодились те знания, которые они приобрели в младших классах средней школы. Приятно удивило то, что практически все ученики обоих классов успешно справились с этим заданием.

Задание №5 в первом варианте было направлено на проверку знания учащимися важного, полезного для решения многих задач (например, №3 первого варианта) теоретического факта, что медиана треугольника делит его площадь пополам. Во втором варианте задание также теоретического содержания - на понятие равновеликости фигур.

И, наконец, последнее задание в обоих вариантах было на применение площадей к решению задач, а именно на метод площадей. С этим заданием практически не было проблем, а это значит, что учащиеся успешно применяют метод площадей при решении задач.

На следующем уроке с учащимися был проведен разбор ошибок проверочной работы, а также им было предложено высказать свое мнение о каждой задаче данной работы. Большинство ребят посчитало интересными задачи №2, №3, №5, легкими - №4, №6 и полезными - №1, №5 и №6.

В конце урока ребятам было предложено как необязательное задание порешать понравившиеся из 14 задач по теме "Площади фигур", на что большинство учащихся с охотой согласились. А задачи были следующие:

№1. Данный треугольник "перекроить" в прямоугольник (рис.41).

Рис.41

№2. По данным рис.42, 43 найдите площади заштрихованных фигур:

Рис.43

№3. Докажите, что площадь черной фигуры равна сумме площадей белых фигур (рис.44):

№4. Основания AB и CD трапеции ABCD соответственно равны a и b, O - точка пересечения диагоналей (рис.45). Найдите отношение площадей треугольника AOB и трапеции ABCD.

Рис.45

№5. Вершины квадрата соединены с серединами его сторон, как показано на рис.46. Во сколько раз площадь внутреннего квадрата меньше площади исходного?

Рис.46

№6. Точка, взятая внутри равностороннего треугольника, соединена со всеми его вершинами. Кроме того, из нее опущены перпендикуляры на все стороны треугольника. Три из образовавшихся шести треугольников через один заштрихованы (рис.47). Докажите, что сумма площадей заштрихованных треугольников равна сумме площадей незаштрихованных треугольников.

Рис.48

№7. Полуокружность касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках D и E соответственно, и имеет центр на стороне AB (рис.48). Найдите радиус этой полуокружности, если: BC=13 см, AB=14 см и AC=15 см.

№8. Зная медианы m_a, m_b и m_c треугольника, вычислите его площадь.

№9.Площадь прямоугольника 48 см², а стороны относятся как 1:3. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника.

№10. В прямоугольнике со сторонами проведены биссектрисы всех углов до взаимного пересечения (рис.49). Найдите площадь фигуры, ограниченной биссектрисами.

Рис.49

№11. Площадь треугольника ABC равна P. Прямая DE, параллельная основанию AC, отсекает от треугольника ABC треугольник BED с площадью Q. На стороне АС взята произвольная точка M и соединена отрезками прямых с точками D и E.(рис.50) Чему равна площадь четырехугольника BEMD?

Рис.50

№12. Два параллелограмма расположены так, как показано на рис.51: они имеют общую вершину и еще по одной вершине у каждого из параллелограммов лежит на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что площади параллелограммов равны.

Рис.51

№13. В четырехугольнике ABCD углы B и D прямые, а стороны AB и BC равны. Определите его площадь, если известно, что перпендикуляр, опущенный из вершины B на сторону AD, равен 1. (рис.52)

№14. Пусть a - основание, h - высота, S - площадь параллелограмма. Найдите:

а) S, если a =15 см, h =12 см;

б) a, если S = 34 см², h = 85 мм;

в) a, если S = 162 см², h =.

№15. Номер в гостинице имеет вид, изображенный на рис.53. Найдите площадь номера и каждого его помещения, считая, что все они квадратные.

Рис.53

Учащиеся решили следующие задачи: №1 - №5, №7, №9, №10, №13, №14 и №15. Как и требовалось в задании, ребята выбрали и решили те из них, которые им более всего понравились. На вопрос "Чем вам понравилась данная задача?" ученики дали самые различные ответы:

1. Большинству учащихся понравился красивый внешне чертеж, поэтому они с удовольствием и живым интересом принялись за это задание (№2, 3);

2. Некоторых заинтересовали различные способы решения одной и той же задачи и выявления для себя наиболее изящного, необычного, красивого (№ 1, 3, 5).

3. Некоторым учащимся понравились задачи с интересным для них содержанием условия.

4. Некоторые задачи, как считают учащиеся, иллюстрируют важные принципы, необычные способы решения задач именно поэтому за их решение стоит взяться (№5, 6, 11, 12, 13).

5. Нашлись и такие ребята, которые интересуются задачами с практическим содержанием (№15).

6. Некоторым понравились просто трудные задачи (№6, 11).

7. Нашлись ученики, которые стали решать задачу только потому, что она легкая, хотя и не вызвала у них никакого интереса. Просто выполняли действия одно за другим - вот и все (№9, 14).

Хотелось бы отметить, что решали ребята все задачи самостоятельно, о чем говорят представленные ими различные способы решения.

Итак, проведенная опытная проверка показала, что у учащихся самые различные интересы в обучении геометрии, и учителю, ответственно относящемуся к своей профессиональной деятельности, важно учитывать интересы каждого своего ученика. Именно поэтому важно так подбирать систему задач на определенную тему, чтобы повышать культуру математического мышления школьников, привлекать их к математическому творчеству, побуждать искать изящные, рациональные приемы решения геометрических задач, тем самым повышать интерес учащихся к математике, а также формировать эстетический вкус учащихся при обучении геометрии. Следует отметить, что такую работу учителю необходимо проводить с самого начала обучения геометрии: показывать оригинальные приемы решения задач, учить школьников поиску различных способов доказательства теорем (полезно даже вернуться к ранее решенной задаче после изучения очередной темы, чтобы применить новые знания к старой задаче - возможно при этом получится более рациональное решение), приобщать их к математическому творчеству, предлагая самим составить задачи на готовых чертежах типа "Найдите площадь заштрихованной фигуры", или составить математическую сказку, рассказ с привлечением литературных героев по предложенным задачам., или предлагать учащимся задачи на разрезание и перекраивание. Известно, что решение задачи можно назвать красивым, если оно наглядно, неожиданно, просто. Задачи, удовлетворяющие этому требованию, неизменно вызывают интерес учащихся, побуждают их искать более короткие и более простые пути решения. Конечно, на уроке рассмотреть различные способы решения задач и доказательства теорем за неимением времени просто невозможно. Эту работу можно предложить учащимся в качестве творческого домашнего задания, или рассмотреть различные способы доказательства теорем (решения задач) на уроках математики, используя в демонстрационных целях кодоскоп, на факультативных занятиях, занятиях математического кружка, дополнительных беседах, индивидуальных занятиях в классе и дома и т.д. И данная тема позволяет осуществить наилучшие намерения учителя математики, ведь тема "Площади фигур" способна вобрать в себя большой теоретический и практический материал, который накапливают школьники ко времени изучения этой темы и, кроме того, располагает большими возможностями по формированию и развитию интереса учащихся и их эстетического вкуса при решении планиметрических задач непосредственно на уроках и во внеклассной работе (всевозможные задачи на разрезание, перекраивание фигур, задачи на построение, задачи по готовым чертежам, различные исторические и занимательные задачи). Кроме того, эта тема дает возможность выхода в пространство, поэтому при решении планиметрических задач на нахождение площадей плоских фигур осуществляется пропедевтика решения задач на нахождение площадей поверхностей пространственных тел и площадей сечений.

Геометрия располагает огромными возможностями для интеллектуального, эмоционального, эстетического и духовного развития человека. Поэтому, чтобы заинтересовать школьников, привлечь их внимание к геометрии, к процессу решения геометрических задач, к процессу геометрического творчества, необходимо показать этот предмет во всем его многообразии, акцентируя внимание учащихся на интересных, занимательных моментах. Каждому учителю с целью поддержания интереса учащихся к геометрии желательно иметь подборку занимательных задач по каждой теме учебника.

Заключение

В данной работе показано, что тема "Площади фигур" обладает множеством самых разнообразных задач, направленных на повышение интереса учащихся к изучению геометрии, на развитие мышления школьников, на развитие нравственных качеств учащихся. В ходе работы были подобраны задачи по теме "Площади фигур", которые было необходимо рассортировать в соответствии с выбранной типологией. В связи с этим все задачи были распределены по четырем крупным блокам:

·   Измерение площадей (непосредственное измерение площадей);

·   Вычисление площадей (измерение площадей с использованием формул);

·   Метод площадей (использование формул и свойств площадей при решении задач, в которых может не упоминаться о площади);

·   Разные задачи (задачи на разрезание, равновеликость и т.д., не вошедшие в предыдущие блоки).

Внутри этих блоков задачи были разбиты по трем уровням сложности. Кроме того, в блоке "Вычисление площадей" задачи были разбиты по видам фигур.

Опытная проверка показала, что имея такой сборник, у учителя будет широкий выбор в зависимости от его личных интересов и интересов школьников, что позволит значительно повысить эффективность обучения математике.

В процессе исследования поставленной проблемы в соответствии с целью и задачами работы получены следующие основные результаты:

1. Проведен анализ математической, психолого-педагогической и методической литературы;

2. Проведен анализ учебников и учебных пособий по математике и по геометрии для 7-9 классов;

3. Изучены нормативные документы;

4. Раскрыта сущность дидактических принципов при обучении по теме "Площади фигур", выявлены также психологические особенности школьников, которые необходимо учитывать при изложении данной темы;

5. В результате бесед с учителями математики получена экспертная оценка разработанной подборки задач;

6. В ходе бесед со школьниками были выявлены типы задач, которые нравятся учащимся;

7. Была разработана подборка задач по теме "Площади фигур", направленная на всестороннее развитие учащихся и возбуждения интереса к изучению геометрии;

8. Были разработаны конкретные методические рекомендации по реализации основных дидактических функций задач сборника.

Разработанный в данной работе сборник задач и методические рекомендации могут использоваться учителями математики в их практической деятельности, что позволит повысить эффективность обучения школьников геометрии. С этой целью учителям полезно осуществлять подборку занимательных задач по каждой теме курса планиметрии.

Список литературы

1) Алексеев В.Б., Галкин В.Я., Панферов В.С. Геометрия. 9 класс: Рабочая тетрадь к учебнику И.Ф. Шарыгина "Геометрия 7-9". В 2 ч. Ч.1. М: Дрофа, 2007.

2) Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2 ч. Ч.2. М: Просвещение, 2007.

3) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и другие Геометрия 7-9: Учебник для общеобразоват. учреждений. М: Просвещение, 2008.

4) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Юдина И.И. Геометрия 8 кл.: Решение задач из учебника Л.С. Атанасяна и др. "Геометрия 7-9". В 2 ч. Ч.1. М: Дрофа, 2007.

5) Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии. Ч.1. Планиметрия.: Учебное пособие для студентов пед. унив-тов и ин-тов и для учащихся классов с углубл. изучением математики. М: Сантакс-Пресс, 2007.

6) Барчунова Ф.М. Развитие познавательного интереса к геометрии у учащихся 6-7 классов// "Математика в школе", 1974. №6.

7) Березина Л.Ю., Мельникова Н.Б., Мищенко Т.М., Никольская И.Л., Чернышова Л.Ю. Геометрия в 7-9 классах: (Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии по учеб. пособию А.В. Погорелова): Пособие для учителя. М: Просвещение, 2010.

8) Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. Геометрия 7-9: Методическое пособие к углубленному курсу развивающего математического образования. М: Институт учебника "Пайдейя", 2008.

9) Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. Геометрия 7-9: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учебных учреждений. (Углубленный курс развивающего математического образования) М: Институт учебника "Пайдейя", 2008.

10)Болтянский В.Г. О понятиях площади и объема // "Квант" ,1977. №5.

11)Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: Кн. для учителя. М: Просвещение, 1985.

12)Варданян С.С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием: Кн. для учащихся 6 - 8 кл. средней школы./ Под ред. В.А.Гусева. М: Просвещение, 2009.

13)Васильев Н.Б. Площади многоугольников: Методические разработки для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ. М: ОЛ ВЗМШ, 2009.

14)Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений. М: Мнемозина, 2007.

15)Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учреждений. М: Мнемозина, 2009.

16)Волович М.Б., Шахбазян Г.В. Учитывать потребности курса физики при изучении темы "Измерение геометрических величин"// "Математика в школе", 2006. №6.

17)Гордин Р.К. Геометрия: Планиметрия. 7-9 классы: Пособие для учащихся. М: Дрофа, 2007. (Задачники "Дрофы")

18)Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. М: Просвещение, 2010.

19)Гуринович К.М. Математика: задачи и решения. Мн: Хэлтон, 2009.

20)Гусев В.А. Геометрия -7: Экспериментальный учебник. Часть 3. М: Авангард, 2008.

21)Гусев В.А. Геометрия -7: Экспериментальный учебник. Часть 4. М: Авангард, 2008.

22)Гусев В.А., Маслова Г.Г., Семенович А.Ф. и др. Геометрия в 7 классе: Пособие для учителей. М: Просвещение, 1981.

23)Депман И.Я. Возникновение системы мер и способов измерения величин: Библиотека школьника. М: Учпедгиз, 1956.

24)Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Кузнецова Г.М. и др. Оценка качества подготовки выпускников основной школы по математике. М: Дрофа, 2007.

25)Епишева О.Б. Специальная методика обучения геометрии в средней школе. Курс лекций: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. вузов. Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 2006.

26)Зив Б.Г., Мейлер В.М. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса. М: Просвещение, 2007.

27)Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский А.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 классов общеобразоват. учреждений. М: Просвещение, 2008.

28)Иконникова В.Ф. Внеклассная работа как средство развития творческих способностей учащихся // "Математика в школе", 1974. №6.

29)Ирошников Н.П. Об осуществлении дидактических принципов в преподавании математики // "Математика в школе", 1958. №3.

30)Карнацевич Л.С. Изучение геометрии в 8 классе: Из опыта работы. Пособие для учителя. / Под ред. И.Ф. Тесленко. М: Просвещение, 1984.

31)Кокотушкин В.А., Панфилов Н.Г. 200 задач по геометрии для поступающих в вузы. М: "Уникум-Центр", "Поматур", 2007.

32)Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия 6-8: Учеб. пособие для 6-8 классов средней школы. М: Просвещение, 2010.

33)Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике для учащихся 8 класса. М: Учпедгиз, 1958.

34)Кон И.С. Психология ранней юности: Кн. для учителя. М: Просвещение, 2009.

35)Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников / Под ред. Н.И. Чуприковой. М: "Институт практической психологии", Воронеж: НПО "МОДЭК", 2008.

36)Кукарцева Г.И. Сборник задач по геометрии в рисунках и тестах. 7-9 классы.: Учебное пособие. М: Аквариум, 2007.

37)Курдюмова Н.А. Математическая игра на внеклассном занятии. Геометрия. Тема "Площади фигур" // "Математика в школе", 2007. №6.

38)Литвиненко В.Н. Метод уравнивания в геометрических задачах // "Математика в школе", 2008. №6.

39)Медяник А.И. Учителю о школьном курсе геометрии: Кн. для учителя. М: Просвещение, 2010.

40)Мельникова Н.Б., Лепихова Н.М. Тематический контроль по геометрии. 9 класс. (К учебнику А.В. Погорелова "Геометрия 7-11"). М: Интеллект-Центр, 2006.

41)Мищенко Т.М., Шарыгин И.Ф. Геометрия 9 клласс: Методическое пособие к учебнику И.Ф. Шарыгина "Геометрия 7-9". М: Дрофа, 2007.

42)Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. М: Школа-пресс

43)Мордкович А.Г. Геометрические задачи на плоскости. Школа абитуриента: Научись Сам. М: Школа-пресс, 2006.

44)Мухина В.С. Психология детства и отрочества: Учеб. для студентов психолого-педагогических фак-ов вузов. М: "Институт практической психологии", 2008.

45)Никитин Н.Н. Геометрия: Учебник для 6-8 классов. М: Учпедгиз, 1962.

46)Пичурин Л.Ф. О применении палетки в восьмилетней школе // "Математика в школе", 1965. №1.

48)Погорелов А.В. Геометрия 7-11: Учебник для 7-11 классов средней школы. М: Просвещение, 2010.

49)Погорелов А.В. Геометрия 7-11 кл.: Решение задач из учебника А.В. Погорелова "Геометрия 7-11". М: Дрофа, 2007. (серия "Решебники Дрофы")

50)Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч.2. М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 2006.

51)Программно- методические материалы: Математика. 5-11 кл.: Сборник нормативных документов / Сост. Г.М. Кузнецова. М: дрофа, 2007.

52)Программы для общеобразоват. школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. М: Дрофа, 2008.

53)Произволов В.В. Геометрия площади в задачах // "Математика в школе", 2006. №6.

54)Рабинович Е.М. Геометрия: Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7-9 классы. М: "Илекса", Харьков: "Гимназия", 2007.

55)Рейнгард И.А.: Сборник задач по геометрии и тригонометрии с практическим содержанием. М: Учпедгиз, 1960.

56)Рощина Н.Л. Формирование эстетического вкуса учащихся в процессе решения планиметрических задач: Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. М: МПГУ, 2008.

57)Рязановский А.Р., Фролова О.В. Геометрия 7-9 кл.: Дидактические материалы. М: Дрофа, 2007.

58)Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. М: Просвещение, 2007.

59)Тесленко И.Ф. О преподавании геометрии в средней школе (по учеб. пособию А.В. Погорелова "Геометрия 6-10"): Кн. для учителя. М: Просвещение, 1985.

60)Тоом А.Л. Сколько площадей у многоугольника? // "Квант", 1984. №12.

61)Учебные стандарты школ России. Книга 2. Математика. Естественно-научные дисциплины. / Под ред. В.С. Леднева, Н.Д. Никандрова, М.Н. Лазутовой. М: "ТЦ Сфера", "Прометей", 2008.

62)Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9: Учебник для общеобразоват. учеб. завед. М: Дрофа, 2007.

63)Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. 5-6 кл.: Пособие для общеобразоват. учебных заведений. М: Дрофа, 2008.

64)Якунина М.С. Эстетическое воспитание на уроках математики // "Математика в школе", 1982. №5.