Основы теории управления

Основы теории управления

Введение

Основы теории управления (ОТУ) являются одной из центральных фундаментальных дисциплин, изучаемых будущими инженерами всех специальностей. Именно инженерная практика породила эту теорию для объяснения явлений, возникающих в автоматах и системах управления, создаваемых до теории автоматического управления чисто изобретательским путем. Инженерам помогли математики. Они математически описали законы и принципы автоматического управления, ставшие объективной реальностью для всех областей техники, естествознания и социологии. Поэтому ОТУ является дисциплиной сугубо математической, почти абстрактной, трудно познаваемой без привязки к прикладным задачам. Данная курсовая работа позволит сделать первые серьезные шаги в применении ОТУ для анализа, синтеза и оптимального проектирования технических систем, всегда не абстрактных и осмысливаемых.

1. Исходные данные для проектирования

В данной курсовом работе необходимо провести анализ и синтез автоматизированной электромеханической системы (ЭМС), структурная схема которой приведена на рисунке 1, с учётом параметров, определяемых шифром задания.

Рисунок 1 - Обобщённая структурная схема автоматизированной электромеханической системы

Согласно варианту исследуется один из частных случаев обобщённой электромеханической системы. Структурная схема электромеханической системы, соответствующей варианту 364, приведена на рисунке 2.

Рисунок 2 - Частная структурная схема ЭМС

Исходные данные для синтеза и анализа электромеханической системы приведены в таблицах 1 и 2.

Таблица 1 - Параметры структурной схемы

Таблица 2 - Номинальные данные двигателя

2. Элементы структурной схемы. Передаточные функции

Главная задача системы - обеспечить для рабочего механизма требуемые движения через скорость w, перемещения L и движущие силы от момента двигателя М с заданной точностью и быстродействием.

Величины М, w, L являются выходными и обеспечиваются электродвигателем, представленным двумя звеньями с передаточными функциями:

,                                                                                   (2.1)

,                                                                                       (2.2)

где p - оператор Лапласа;

К_д1 - добротность механической характеристики двигателя:

;                                                                                       (2.3)

где К_д2 - жесткость механической характеристики:

;                                                                                   (2.4)

где Т_м - электромеханическая постоянная времени:

;                                                               (2.5)

где C - машинная постоянная, равная

,                                                                                  (2.6)

где U_н - номинальное напряжение якоря;_н - номинальный ток якоря (А);_д - активное сопротивление на входе якоря двигателя (Ом);- момент инерции системы, приведенный к валу двигателя (кг×м²);

Dw - снижение скорости двигателя при номинальном моменте нагрузки М_н относительно скорости холостого хода w₀ (без нагрузки):

.                                                                     (2.7)

В международной системе единиц СИ скорость измеряется радианами в секунду. Если задана скорость в оборотах в секунду N_н, то

.                                                                             (2.8)

Скорость холостого хода для двигателей постоянного тока определяется по формуле

.                                                                                          (2.9)

Зная параметр С (формула 2.6), можно определить номинальный момент двигателя

,                                                                                       (2.10)

и электромеханическую постоянную времени

.                                                                             (2.11)

Осталось пояснить еще один параметр Т_э - электромеханическую постоянную времени цепи якоря:

,                                                                                          (2.12)

где L_ця - суммарная индуктивность цепи якоря двигателя.

В работе значение Тэ находится через соотношение Т_м/Т_э (таблица 1).

В целом передаточные функции W_д1 и W_д2 являются типовыми. Первая - апериодического звена первого порядка, вторая - интегрирующего звена. Коэффициенты этих передаточных функций определяются по приведенным выше формулам, используя исходные данные.

Скоростью, моментом крутящим и током двигателя, перемещением рабочего механизма управляет преобразователь электрической энергии П. Его передаточная функция описывается апериодическим звеном первого порядка:

,                                                                                     (2.13)

где К_п - коэффициент усиления по напряжению, безразмерный;

Т_п - постоянная времени, определяющая инерционность преобразователя; для полупроводниковых преобразователей Т_п меньше 0,01 с, для электромашинных, магнитных, индуктивноёмкостных Т_п много больше 0,01 с.

,                                                                                   (2.14)

,                                                                                  (2.15)

где Т_ом, Т_ос - постоянные времени фильтров обратных связей по моменту и по скорости соответственно, в курсовой работе они заданы;_ос, K_ом - коэффициенты отрицательных обратных связей по моменту и скорости, определяемые по формулам:

,                                                                       (2.16)

.                                                                               (2.17)

Фильтры могут быть и на входах контуров (Ф1 и Ф2 на рисунке 2). Их основное назначение - ограничить скорость нарастания управляющего сигнала и уменьшить перерегулирование выходных величин. Типовая передаточная функция фильтров имеет вид:

.                                                                                   (2.18)

Постоянные Т_ф1, Т_ф2 определяются при синтезе параметров системы, затем устанавливаются настройкой (в RС - фильтрах настройкой сопротивлений при выбранной емкости).

Рабочий механизм М имеет передаточную функцию интегрирующего типа

,                                                                                          (2.19)

где i - передаточное число механизма, показывающее во сколько раз его скорость меньше скорости двигателя.

Обратные связи могут быть гибкими, то есть действовать только во время переходных процессов. Применяются они для демпфирования колебаний, что возможно при подаче на вход системы производных первого или второго порядка от выходных величин. Поэтому передаточные функции гибких связей - дифференцирующие. В курсовом проекте они не рассматриваются.

Коэффициент полной компенсации момента K_км рассчитывается по формуле

.                                                                           (2.20)

Произведем расчеты вышеуказанных параметров:

 c^-1,

 В×с,

 А×В×с,

 c^-1,

 с^-1,

 А×В×с²,

 А^-1×В^-1×с^-2,

 с,

 с,

 А^-1×с,

 В×с.

Для удобства расчётов все полученные данные сведём в таблицу 3.

Таблица 3 - Рассчитанные данные

3. Определение передаточных функций системы

При определении передаточной функции по управляющему (задающему) воздействию, не учитывается возмущающее воздействие. Кроме того, считаем, что фильтры и регуляторы отсутствуют, т.е.

_ф1=W_ф2=1                                                                              (3.1)

и

_рп=W_рс=W_рм=1.                                                                     (3.2)

Структурная схема системы при этом примет вид как на рисунке 3.

Рисунок 3 - Упрощенная структурная схема

Избавляемся от перекрестных связей и преобразуем схему к виду более удобному для вычисления передаточной функции. Переносим узел справа через звено Wd2 против хода сигнала. В результате приходим к схеме на рисунке 4.

Рисунок 4 - Первое преобразование исходной схемы

Избавляемся от обратных связей, упрощая схему, как представлено на рисунке 5.

Рисунок 5 - Второе преобразование исходной схемы

Передаточная функция W’ будет равна

.                                                                             (3.3)

Рисунок 6 - Третье преобразование исходной схемы

Избавляемся от обратной связи ОСМ, как показано на рисунке 7.

4. Анализ системы на устойчивость

4.1 Проверка устойчивости системы методом Гурвица

Запишем характеристическое уравнение системы, приравняв нулю полином знаменателя передаточной функции замкнутой системы по задающему воздействию (): .

Один из корней уравнения p=0, следовательно, система находится на границе устойчивости. Такое состояние системы называется критическим и необходим дополнительный анализ.

Проверим устойчивость системы по критерию Гурвица.

Обозначим коэффициенты характеристического уравнения:₀=;₁=;₂=;₃=;₄=1.

Из уравнения видно, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны, а следовательно, выполняется необходимое условие устойчивости системы.

Достаточным условием устойчивости системы является положительность всех определителей Гурвица. Вычислим эти определители.

;

;

;

;

Так как все определители Гурвица положительны, система устойчива.

4.2 Проверка устойчивости системы методом ЛАЧХ-ЛФЧХ

Наряду с алгебраическими критериями устойчивости систем используются частотные критерии. К частотным критериям относятся критерии Михайлова и Найквиста.

Исследуем устойчивость системы с помощью критерия Найквиста. Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы. Так анализ можно провести с помощью ЛАЧХ и ЛФЧХ характеристик.

Подставим в данное выражение формулы для передаточных функций соответствующих блоков системы и окончательно получим

Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ характеристики для полученной передаточной функции. Полученные графики представлены на рисунке 8.

Рисунок 8 - ЛАЧХ и ЛФЧХ передаточной системы

ЛФЧХ пересекает линию j =0⁰ при отрицательных значениях асимптотической ЛАЧХ. Следовательно, замкнутая система устойчива.

Снимем с графиков величины запаса устойчивости по амплитуде и по фазе:

запас по фазе составляет = 120 °,

запас по амплитуде = 10 Дб.

Определим быстродействие системы. Быстродействие системы равно обратной величине частоты среза (частоты, на которой ЛАЧХ пересекает ось нулевого усиления в децибелах): , t_ПП = 0,15 с; t_{p >} t_ПП.

Т.к. t_p > t_ПП, система требует синтеза корректирующих устройств.

5. Оценка быстродействия системы. Граничный коэффициент усиления

5.1 Оценка быстродействия системы относительно заданного значения

Оценить соответствие переходных процессов заданным требованиям можно по кривым переходных процессов, полученным экспериментально или расчетном. Воспользуемся методом частотных характеристик. При этом время переходных процессов в системе приближенно оцениваем с помощью выражения

,                                                            (5.1)

где  - частота среза ЛАЧХ.

Частоту среза  можно определить по графику ЛАЧХ, или, более точно, решая уравнение

,                                                            (5.2)

Получаем  = 8 с^-1, тогда время переходных процессов

                                                 (5.3)

По заданию  должно быть равным 0,15 с. Значит, система не удовлетворяет этому условию.

5.2 Определение граничного коэффициента усиления

Граничный коэффициент усиления вычисляется по формуле

.                                                                          (5.4)

6. Синтез автоматизированной системы

6.1 Основные приемы оптимального синтеза структур систем автоматического управления

В конечном итоге оптимизация систем автоматического управления путем синтеза должна обеспечить наилучшие по качеству переходные процессы, требуемое быстродействие и требуемые статические характеристики. Эта цель всегда достигается при любой сложности оптимизируемой структуры, при любых параметрах и показателях. Доказано, что динамика системы автоматического управления будет наилучшей с требуемыми показателями качества и быстродействия переходных процессов, если передаточную функцию синтезированной системы удается привести к виду, описываемому выражениями:

для технического оптимума (ТО)

,                                                                           (6.1)

для симметричного оптимума (СО)

,                                                               (6.2)

где

,                                                                             (6.3)

- номер синтезируемого контура;

Т_аi - эквивалентная постоянная времени синтезируемого контура, не подлежащая компенсации (коррекции);

Т_а1 - расчетная эквивалентная постоянная времени внутреннего (первого) контура системы автоматического управления, определяемая по заданному быстродействию системы t_пп:

,                                                                            (6.4)

где к - число синтезируемых контуров.

Обеспечить оптимальные передаточные функции (6.1) и (6.2) можно, если в синтезируемом разомкнутом контуре убрать все постоянные времени, превышающие в сумме значение Т_аi, и величину общего коэффициента передачи контура заменить параметром 1/2Т_аi. Такая задача решается включением в главный тракт контура специального звена последовательной коррекции с необходимой передаточной функцией. Синтезируемая структура должна быть одноконтурной с отрицательной единичной обратной связью, чтобы передаточные функции с интегральными составляющими были для замкнутого контура апериодическими. Если такой связи нет, то ее следует ввести. Например, при указанной связи передаточная функция типа (6.1) станет равной

.                                                      (6.5)

Кроме указанных главных принципов синтеза структуры с помощью передаточных функций (6.1), (6.2) необходимо соблюдать дополнительные правила:

. В многоконтурной системе синтез ведется поконтурно от внутреннего к последующему за ним внешнему (поочередно).

. Контур не должен содержать много звеньев интегрирующего и дифференцирующего типов. Иначе это усложнит исполнение корректирующих звеньев. Для упрощения многозвенного контура целесообразно выделять в нем дополнительные внутренние контура за счет введения отрицательных связей, не предусмотренных в системе по ее функциональному назначению.

. Корректирующие звенья (их называют регуляторами) должны иметь стандартное исполнение из группы разработанного класса П, И, ПИ, Д, ПД, ПИД.

. Синтезируемый контур должен быть однолинейным.

. Эквивалентная некомпенсируемая постоянная времени Т_аi внешнего синтезированного контура по отношению к такой же постоянной внутреннего контура должна быть большей не менее чем в 2 раза по правилу (6.3). Только в этом случае переходные процессы внутреннего контура заканчиваются до начала переходных процессов во внешнем (динамически контура становятся независимыми). Для быстродействующих систем нецелесообразно выполнять системы автоматического управления с более, чем 4 контуров регулирования, так как быстродействие его подчиняется правилу

.                                                                                    (6.6)

6.2 Синтез системы

Как было сказано выше, синтез ведётся поконтурно от внутреннего к последующему за ним внешнему. Внутренний контур системы для данного варианта имеет перекрестные связи, а согласно четвертому вышеназванному правилу синтезируемый контур должен быть однолинейным. Для того чтобы исчезли перекрестные связи произведем преобразования внутреннего контура и приведем его к виду, показанному на рисунке 9.

Рисунок 9 - Внутренний контур системы

Преобразуем контур к виду с единичной отрицательной обратной связью как показано на рисунке 10.

Рисунок 10 - Преобразованный внутренний контур системы

Чтобы контур был полезен системе, нужно наибольшую постоянную времени свести до значения

Принимаем

_а1= Т_ом,                                                                                            (6.8)

Для обеспечения контуру технического оптимума надлежит убрать из его структуры все коэффициенты передачи, постоянные времени Т_э, Т_п, Т_ом и ввести составляющую 1/2Т_а1p. Эта задача решается вводом последовательного звена. Найдём передаточную функцию последовательного корректирующего звена W_рм:

,                       (6.9)

.                                         (6.10)

При Т_а1 равном Т_ом получим

,                                                              (6.11)

.                                                       (6.12)

Такую передаточную функцию может обеспечить операционный усилитель класса ПИ.

,                                                                           (6.13)

где

,                                                                     (6.14)

.                                                               (6.15)

Внутренний контур синтезирован и представлен звеном W_k1.

                         (6.16)

Для обеспечения контуру технического оптимума оставим составляющую 1/(2Т_а1p+1) и введём интегрирующую составляющую 1/4Т_а1. Всё остальное убираем с помощью корректирующего последовательного звена, передаточную функцию которого найдём так:

.                                                         (6.17)

Отсюда

,                                                        (6.18)

Выражение для W_к2 можно представить в виде

,             (6.19)

где

Т_рс=Т_ос;                                                                                          (6.20)_ф1=Т_м;                                                                                             (6.21)

Т_ф2=Т_ом;                                                                                          (6.22)

.                                                                           (6.23)

Таким образом, корректирующий блок W_к1 будет состоять из последовательно включённых регулятора W_рс класса ПИ и фильтра .

На рисунке 13 показано, что последние, внешние звенья не образуют контур (нет цепи обратной связи), однако корректирующее звено необходимо, так как действие звена W_м приводит к неустойчивости системы.

Рисунок 13 - Последнее преобразование

Так как цепь обратной связи отсутствует, передаточная функция технического оптимума будет иметь вид: 1/(4Т_а1+1). Таким образом, передаточную функцию корректирующего последовательного звена находим из соотношения

.                                                   (6.24)

Отсюда

,      (6.25)

где

;                                                                            (6.26)_ф1=0,                                                                             (6.27)

T_ф2= T_ос.

Таким образом, корректирующий блок W_к2 будет состоять из последовательно включённых регулятора W_рп класса Д и R-C фильтра .

7. Расчет и построение динамических характеристик синтезированной системы

После приведения системы к техническому оптимуму её передаточная функция будет иметь вид:

синтез устойчивость быстродействие гурвиц

.                                                                   (7.1)

Как уже отмечалось выше, одним из способов построения переходных процессов является аналитический вывод их функции. Воспользуемся этим методом. Для этого достаточно взять обратное преобразование Лапласа от выражения

,                                                                    (7.2)

где U_вх(p) - отображение функции Хевисайда

.                                                                                       (7.3)

Получим

,                                                                                    (7.4)

где t равно 0,035 - постоянная времени системы.

Оценим качество переходных процессов представленных на рисунке 10.1. Как видно из графика система стала устойчивой, в ней нет перерегулирований.

.                                                                              (7.5)

По заданию t_пп должно быть равным 0,15 с. Видно, что наша система удовлетворяет этому условию.

Таким образом, синтезированная система удовлетворяет всем необходимым условиям и является конечным продуктом данной работы.

Рисунок 13 - Переходный процесс синтезированной системы

Заключение

В ходе выполнения курсового проекта был проведен анализ автоматизированной электромеханической системы и выявлена устойчивость. Для обеспечения требуемых динамических режимов была проведена оптимизация структуры путем синтеза. В конечном итоге была получена автоматизированная электромеханическая система, обеспечивающая требуемые динамические характеристики.

Список литературы

1.  Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического управления [Текст] / В.А. Бесекерский; Е.П. Попов, М.: Наука. 1975. - 767 с.

2.  Ширабакина Т.А. Основы автоматизации и системы автоматического управления: Учебное пособие /В.С. Титов, В.И. Вахания: КурскГТУ. Курск, 2004. - 248 с.

3.  Ширабакина Т.А. Основы автоматики и системы автоматического управления [Текст]: практикум / Т.А. Ширабакина: КурскГТУ. Курск, 2004. - 101 с.