Аксиоматика натуральных чисел

Аксиоматика натуральных чисел

КУРСОВАЯ РАБОТА

АКСИОМАТИКА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

содержание

Введение. 3

1. История возникновения и развития натуральных чисел. 4

2. Свойства натуральных чисел. 18

Заключение. 30

Литература. 31

ВВЕДЕНИЕ

Высшая арифметика, или теория чисел, изучает свойства натуральных чисел 1, 2, 3, ... Эти числа интересуют человека с давних времен. Античные летописи говорят о том, что уже то­гда арифметику знали глубже и шире, чем это было необходимо для нужд повседневной жизни. Но систематической, самостоя­тельной наукой высшая арифметика становится лишь в новое время, начиная с открытий Ферма (Fermat, 1601- 1665).

Многие простые и общие теоремы высшей арифметики есте­ственно возникают из вычислений, однако при доказательстве этих теорем часто встречаются очень большие трудности. «Эта особенность, - по словам Гаусса, - вместе с неистощимым бо­гатством высшей арифметики, которым она столь сильно пре­восходит другие области математики, придает высшей ариф­метике неотразимое очарование, сделавшее ее любимой наукой величайших математиков».

Теория чисел считается обычно «чистейшей» ветвью чистой математики. Она имеет очень немного прямых приложений к другим естественным наукам, но обладает одной общей с ними чертой: теория чисел развивается из эксперимента, роль ко­торого играет проверка общих теорем на численных примерах. Такой эксперимент необходим в любой области математики, но в теории чисел он играет большую роль, чем где бы то ни бы­ло, ибо в других областях математики результаты, полученные таким способом, часто бывают неверными.

В предлагаемой работе рассматриваются два вопроса: этапы развития понятия и практического применения натуральных чисел в истории человечества и основные характеристики и свойства натуральных чисел.

1. История возникновения и развития натуральных чисел

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много».

Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»… Долгое время пределом познания было число «семь».

О непонятном говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек».

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом «сорок сороков», равным 1600.

Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел 40 фунтов, бочка-сороковка – сорок ведер и т.д.

Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.

Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков – мириада), равное 10 000, а запределом – «тьма тьмущая», равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 10⁶, «легион» – 10¹², «леодр» – 10²⁴, «ворон» – 10⁴⁸, «колода» – 10⁹⁶, после чего добавляли, что большего числа не существует.

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в «исчислении песчинок» - до числа 10, возведенного в степень 8х10¹⁶ , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах – до бесконечности ∞.

Натуральные числа имеют две основные функции:

- характеристика количества предметов;

- характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ∞. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи…

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.

Вавилония. Источником наших знаний о вавилонской цивилизации служат хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые т.н. клинописными текстами, которые датируются от 2000 до н.э. и до 300 н.э. Математика на клинописных табличках в основном была связана с ведением хозяйства. Арифметика и нехитрая алгебра использовались при обмене денег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими общественными работами. Очень важной задачей математики был расчет календаря, поскольку календарь использовался для определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозных праздников. Деление окружности на 360, а градуса и минуты на 60 частей берут начало в вавилонской астрономии.

Вавилоняне создали и систему счисления, использовавшую для чисел от 1 до 59 основание 10. Символ, обозначавший единицу, повторялся нужное количество раз для чисел от 1 до 9. Для обозначения чисел от 11 до 59 вавилоняне использовали комбинацию символа числа 10 и символа единицы. Для обозначения чисел начиная с 60 и больше вавилоняне ввели позиционную систему счисления с основанием 60. Существенным продвижением стал позиционный принцип, согласно которому один и тот же числовой знак (символ) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Примером могут служить значения шестерки в записи (современной) числа 606. Однако нуль в системе счисления древних вавилонян отсутствовал, из-за чего один и тот же набор символов мог означать и число 65 (60 + 5), и число 3605 (60² + 0 + 5). Возникали неоднозначности и в трактовке дробей. Например, одни и те же символы могли означать и число 21, и дробь 21/60 и (20/60 + 1/60²). Неоднозначность разрешалась в зависимости от конкретного контекста.

Около 700 до н.э. вавилоняне стали применять математику для исследования движений Луны и планет. Это позволило им предсказывать положения планет, что было важно как для астрологии, так и для астрономии.

Египет. Наше знание древнеегипетской математики основано главным образом на двух папирусах, датируемых примерно 1700 до н.э. Излагаемые в этих папирусах математические сведения восходят к еще более раннему периоду – ок. 3500 до н.э. Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. В папирусах можно найти также задачи, связанные с определением количества зерна, необходимого для приготовления заданного числа кружек пива, а также более сложные задачи, связанные с различием в сортах зерна; для этих случаев вычислялись переводные коэффициенты.

Но главной областью применения математики была астрономия, точнее расчеты, связанные с календарем. Календарь использовался для определения дат религиозных праздников и предсказания ежегодных разливов Нила. Однако уровень развития астрономии в Древнем Египте намного уступал уровню ее развития в Вавилоне.

Древнеегипетская письменность основывалась на иероглифах. Система счисления того периода также уступала вавилонской. Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных черточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные символы. Последовательно комбинируя эти символы, можно было записать любое число. С появлением папируса возникло так называемое иератическое письмо-скоропись, способствовавшее, в свою очередь, появлению новой числовой системы. Для каждого из чисел от 1 до 9 и для каждого из первых девяти кратных чисел 10, 100 и т.д. использовался специальный опознавательный символ. Дроби записывались в виде суммы дробей с числителем, равным единице. С такими дробями египтяне производили все четыре арифметические операции, но процедура таких вычислений оставалась очень громоздкой.

Задачи и решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без каких бы то ни было объяснений. Египтяне имели дело только с простейшими типами квадратных уравнений и арифметической и геометрической прогрессиями, а потому и те общие правила, которые они смогли вывести, были также самого простейшего вида. Ни вавилонская, ни египетская математики не располагали общими методами; весь свод математических знаний представлял собой скопление эмпирических формул и правил.

Греция. С точки зрения 20 в. родоначальниками математики явились греки классического периода (6–4 вв. до н.э.). Математика, существовавшая в более ранний период, была набором эмпирических заключений. Напротив, в дедуктивном рассуждении новое утверждение выводится из принятых посылок способом, исключавшим возможность его неприятия.

Настаивание греков на дедуктивном доказательстве было экстраординарным шагом. Ни одна другая цивилизация не дошла до идеи получения заключений исключительно на основе дедуктивного рассуждения, исходящего из явно сформулированных аксиом. Одно из объяснений приверженности греков методам дедукции мы находим в устройстве греческого общества классического периода. Математики и философы (нередко это были одни и те же лица) принадлежали к высшим слоям общества, где любая практическая деятельность рассматривалась как недостойное занятие. Математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач. Математика делилась на арифметику – теоретический аспект и логистику – вычислительный аспект. Заниматься логистикой предоставляли свободнорожденным низших классов и рабам.

Греческая система счисления была основана на использовании букв алфавита. Аттическая система, бывшая в ходу с 6–3 вв. до н.э., использовала для обозначения единицы вертикальную черту, а для обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 начальные буквы их греческих названий. В более поздней ионической системе счисления для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы. Кратные 1000 до 9000 обозначались так же, как первые девять целых чисел от 1 до 9, но перед каждой буквой ставилась вертикальная черта. Десятки тысяч обозначались буквой М (от греческого мириои – 10 000), после которой ставилось то число, на которое нужно было умножить десять тысяч

Дедуктивный характер греческой математики полностью сформировался ко времени Платона и Аристотеля. Изобретение дедуктивной математики принято приписывать Фалесу Милетскому (ок. 640–546 до н.э.), который, как и многие древнегреческие математики классического периода, был также философом. Высказывалось предположение, что Фалес использовал дедукцию для доказательства некоторых результатов в геометрии, хотя это сомнительно.

Другим великим греком, с чьим именем связывают развитие математики, был Пифагор (ок. 585–500 до н.э.). Полагают, что он мог познакомиться с вавилонской и египетской математикой во время своих долгих странствий. Пифагор основал движение, расцвет которого приходится на период ок. 550–300 до н.э. Пифагорейцы создали чистую математику в форме теории чисел и геометрии. Целые числа они представляли в виде конфигураций из точек или камешков, классифицируя эти числа в соответствии с формой возникающих фигур («фигурные числа»). Слово «калькуляция» (расчет, вычисление) берет начало от греческого слова, означающего «камешек». Числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата, и т.д.

Из простых геометрических конфигураций возникали некоторые свойства целых чисел. Например, пифагорейцы обнаружили, что сумма двух последовательных треугольных чисел всегда равна некоторому квадратному числу. Они открыли, что если (в современных обозначениях) n² – квадратное число, то n² + 2n +1 = (n + 1)². Число, равное сумме всех своих собственных делителей, кроме самого этого числа, пифагорейцы называли совершенным. Примерами совершенных чисел могут служить такие целые числа, как 6, 28 и 496. Два числа пифагорейцы называли дружественными, если каждое из чисел равно сумме делителей другого; например, 220 и 284 – дружественные числа (и здесь само число исключается из собственных делителей).

Для пифагорейцев любое число представляло собой нечто большее, чем количественную величину. Например, число 2 согласно их воззрению означало различие и потому отождествлялось с мнением. Четверка представляла справедливость, так как это первое число, равное произведению двух одинаковых множителей.

Пифагорейцы также открыли, что сумма некоторых пар квадратных чисел есть снова квадратное число. Например, сумма 9 и 16 равна 25, а сумма 25 и 144 равна 169. Такие тройки чисел, как 3, 4 и 5 или 5, 12 и 13, называются пифагоровыми числами. Они имеют геометрическую интерпретацию, если два числа из тройки приравнять длинам катетов прямоугольного треугольника, то третье число будет равно длине его гипотенузы. Такая интерпретация, по-видимому, привела пифагорейцев к осознанию более общего факта, известного ныне под названием теоремы Пифагора, согласно которой в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Приведение задач к геометрическому виду имело ряд важных последствий. В частности, числа стали рассматриваться отдельно от геометрии, поскольку работать с несоизмеримыми отношениями можно было только с помощью геометрических методов. Геометрия стала основой почти всей строгой математики, по крайней мере, до 1600. И даже в 18 в., когда уже были достаточно развиты алгебра и математический анализ, строгая математика трактовалась как геометрия, и слово «геометр» было равнозначно слову «математик».

Именно пифагорейцам мы во многом обязаны той математикой, которая затем была систематизировано изложена и доказана в Началах Евклида. Есть основания полагать, что именно они открыли то, что ныне известно как теоремы о треугольниках, параллельных прямых, многоугольниках, окружностях, сферах и правильных многогранниках.

Одним из самых выдающихся пифагорейцев был Платон (ок. 427–347 до н.э.). Платон был убежден, что физический мир постижим лишь посредством математики. Считается, что именно ему принадлежит заслуга изобретения аналитического метода доказательства. (Аналитический метод начинается с утверждения, которое требуется доказать, и затем из него последовательно выводятся следствия до тех пор, пока не будет достигнут какой-нибудь известный факт; доказательство получается с помощью обратной процедуры.) Принято считать, что последователи Платона изобрели метод доказательства, получивший название «доказательство от противного». Заметное место в истории математики занимает Аристотель, ученик Платона. Аристотель заложил основы науки логики и высказал ряд идей относительно определений, аксиом, бесконечности и возможности геометрических построений.

Около 300 до н.э. результаты многих греческих математиков были сведены в единое целое Евклидом, написавшим математический шедевр Начала. Из немногих проницательно отобранных аксиом Евклид вывел около 500 теорем, охвативших все наиболее важные результаты классического периода. Свое сочинение Евклид начал с определения таких терминов, как прямая, угол и окружность. Затем он сформулировал десять самоочевидных истин, таких, как «целое больше любой из частей». И из этих десяти аксиом Евклид смог вывести все теоремы. Для математиков текст Начал Евклида долгое время служил образцом строгости, пока в 19 в. не обнаружилось, что в нем имеются серьезные недостатки, такие как неосознанное использование несформулированных в явном виде допущений.

Александрийский период. В этот период, который начался около 300 до н.э., характер греческой математики изменился. Александрийская математика возникла в результате слияния классической греческой математики с математикой Вавилонии и Египта. В целом математики александрийского периода были больше склонны к решению чисто технических задач, чем к философии. Великие александрийские математики – Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей, Диофант и Папп – продемонстрировали силу греческого гения в теоретическом абстрагировании, но столь же охотно применяли свой талант к решению практических проблем и чисто количественных задач.

В александрийский период арифметика и алгебра рассматривались независимо от геометрии. Греки классического периода имели логически обоснованную теорию целых чисел, однако александрийские греки, восприняв вавилонскую и египетскую арифметику и алгебру, во многом утратили уже наработанные представления о математической строгости.

Первой достаточно объемистой книгой, в которой арифметика излагалась независимо от геометрии, было Введение в арифметику Никомаха (ок. 100 н.э.). В истории арифметики ее роль сравнима с ролью Начал Евклида в истории геометрии. На протяжении более 1000 лет она служила стандартным учебником, поскольку в ней ясно, четко и всеобъемлюще излагалось учение о целых числах (простых, составных, взаимно простых, а также о пропорциях). Повторяя многие пифагорейские утверждения, Введение Никомаха вместе с тем шло дальше, так как Никомах видел и более общие отношения, хотя и приводил их без доказательства.

Индия и арабы. Преемниками греков в истории математики стали индийцы. Индийские математики не занимались доказательствами, но они ввели оригинальные понятия и ряд эффективных методов. Именно они впервые ввели нуль и как кардинальное число, и как символ отсутствия единиц в соответствующем разряде. Махавира (850 н.э.) установил правила операций с нулем, полагая, однако, что деление числа на нуль оставляет число неизменным. Правильный ответ для случая деления числа на нуль был дан Бхаскарой (р. в 1114), ему же принадлежат правила действий над иррациональными числами. Индийцы ввели понятие отрицательных чисел (для обозначения долгов). Самое раннее их использование мы находим у Брахмагупты (ок. 630). Ариабхата (р. 476) пошел дальше Диофанта в использовании непрерывных дробей при решении неопределенных уравнений.

Наша современная система счисления, основанная на позиционном принципе записи чисел и нуля как кардинального числа и использовании обозначения пустого разряда, называется индо-арабской. На стене храма, построенного в Индии ок. 250 до н.э., обнаружено несколько цифр, напоминающих по своим очертаниям наши современные цифры.

И все же самым важным вкладом арабов в математику стали их переводы и комментарии к великим творениям греков. Европа познакомилась с этими работами после завоевания арабами Северной Африки и Испании, а позднее труды греков были переведены на латынь.

Средневековая Европа. Римская цивилизация не оставила заметного следа в математике, поскольку была слишком озабочена решением практических проблем. Цивилизация, сложившаяся в Европе раннего Средневековья (ок. 400–1100), не была продуктивной по прямо противоположной причине: интеллектуальная жизнь сосредоточилась почти исключительно на теологии и загробной жизни. Уровень математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из Начал Евклида. Наиболее важным разделом математики в Средние века считалась астрология; астрологов называли математиками. А поскольку медицинская практика основывалась преимущественно на астрологических показаниях или противопоказаниях, медикам не оставалось ничего другого, как стать математиками.

Около 1100 в западноевропейской математике начался почти трехвековой период освоения сохраненного арабами и византийскими греками наследия Древнего мира и Востока. Поскольку арабы владели почти всеми трудами древних греков, Европа получила обширную математическую литературу. Перевод этих трудов на латынь способствовал подъему математических исследований. Все великие ученые того времени признавали, что черпали вдохновение в трудах греков.

Первым заслуживающим упоминания европейским математиком стал Леонардо Пизанский (Фибоначчи). В своем сочинении Книга абака (1202) он познакомил европейцев с индо-арабскими цифрами и методами вычислений, а также с арабской алгеброй. В течение следующих нескольких веков математическая активность в Европе ослабла. Свод математических знаний той эпохи, составленный Лукой Пачоли в 1494, не содержал каких-либо алгебраических новшеств, которых не было у Леонардо.

Наступление 16 в. в Западной Европе ознаменовалось важными достижениями в алгебре и арифметике. Были введены в обращение десятичные дроби и правила арифметических действий с ними. Настоящим триумфом стало изобретение в 1614 логарифмов Дж.Непером. К концу 17 в. окончательно сложилось понимание логарифмов как показателей степени с любым положительным числом, отличным от единицы, в качестве основания.

Развитие теории групп служит хорошим примером преемственности творческой работы в математике. Галуа построил свою теорию, опираясь на работу Абеля, Абель опирался на работу Ж.Лагранжа (1736–1813). В свою очередь многие выдающиеся математики, в том числе Гаусс и А.Лежандр (1752–1833) в своих работах неявно использовали понятие группы. Ньютон не был чрезмерно скромен, когда заявил: «Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов».

Современная математика. Примерно до 1870 математики пребывали в убеждении, что действуют по предначертаниям древних греков, применяя дедуктивные рассуждения к математическим аксиомам, тем самым обеспечивая своими заключениями не меньшую надежность, чем та, которой обладали аксиомы. Неевклидова геометрия и кватернионы (алгебра, в которой не выполняется свойство коммутативности) заставили математиков осознать то, что они принимали за абстрактные и логически непротиворечивые утверждения, в действительности зиждется на эмпирическом и прагматическом базисе.

Создание новых алгебр, начавшееся с квартернионов, породило аналогичные сомнения и в отношении логической обоснованности арифметики и алгебры обычной числовой системы. Все ранее известные математикам числа обладали свойством коммутативности, т.е. ab = ba. Кватернионы, совершившие переворот в традиционных представлениях о числах, были открыты в 1843 У.Гамильтоном (1805–1865). Они оказались полезными для решения целого ряда физических и геометрических проблем, хотя для кватернионов не выполнялось свойство коммутативности. Квартернионы вынудили математиков осознать, что если не считать посвященной целым числам и далекой от совершенства части евклидовых Начал, арифметика и алгебра не имеют собственной аксиоматической основы. Математики свободно обращались с отрицательными и комплексными числами и производили алгебраические операции, руководствуясь лишь тем, что они успешно работают. Логическая строгость уступила место демонстрации практической пользы введения сомнительных понятий и процедур.

Задача усиления строгости формулировок евклидовой геометрии была сравнительно простой и сводилась к перечислению определяемых терминов, уточнению определений, введению недостающих аксиом и восполнению пробелов в доказательствах. Эту задачу выполнил в 1899 Д.Гильберт (1862–1943). Почти в то же время были заложены и основы других геометрий. Гильберт сформулировал концепцию формальной аксиоматики. Одна из особенностей предложенного им подхода – трактовка неопределяемых терминов: под ними можно подразумевать любые объекты, удовлетворяющие аксиомам. Следствием этой особенности явилась возрастающая абстрактность современной математики. Евклидова и неевклидова геометрии описывают физическое пространство. Но в топологии, являющейся обобщением геометрии, неопределяемый термин «точка» может быть свободен от геометрических ассоциаций. Для тополога точкой может быть функция или последовательность чисел, равно как и что-нибудь другое. Абстрактное пространство представляет собой множество таких «точек»

 Аксиоматический метод Гильберта вошел почти во все разделы математики 20 в. Однако вскоре стало ясно, что этому методу присущи определенные ограничения. В 1880-х Кантор попытался систематически классифицировать бесконечные множества (например, множество всех рациональных чисел, множество действительных чисел и т.д.) путем их сравнительной количественной оценки, приписывая им т.н. трансфинитные числа. При этом он обнаружил в теории множеств противоречия. Таким образом, к началу 20 в. математикам пришлось иметь дело с проблемой их разрешения, а также с другими проблемами оснований их науки, такими, как неявное использование т.н. аксиомы выбора. И все же ничто не могло сравниться с разрушительным воздействием теоремы неполноты К.Гёделя (1906–1978). Эта теорема утверждает, что любая непротиворечивая формальная система, достаточно богатая, чтобы содержать теорию чисел, обязательно содержит неразрешимое предложение, т.е. утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в ее рамках. Теперь общепризнано, что абсолютного доказательства в математике не существует. Относительно того, что такое доказательство, мнения расходятся. Однако большинство математиков склонно полагать, что проблемы оснований математики являются философскими. И действительно, ни одна теорема не изменилась вследствие вновь найденных логически строгих структур; это показывает, что в основе математики лежит не логика, а здравая интуиция.

Возникшие в самой теории множеств неясности и даже прямые противоречия связаны главным образом с теми её областями, где понятию бесконечного множества придаётся общность, излишняя для каких-либо приложений. С принципиальной стороны, однако, следует иметь в виду, что теоретико-множественное построение всех основных математических теорий, начиная с арифметики натуральных и действительных чисел, требует обращения именно к теории бесконечных множеств, а их теория сама требует логического обоснования, так как абстракция, приводящая к понятию бесконечного множества, законна и осмыслена лишь при определённых условиях, которые ещё далеко не выяснены.

2. СВОЙСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Законы арифметики.

Высшая арифметика исследует общие предложения о натуральных числах 1, 2, 3, ... обычной арифметики. Примерами таких предложений могут служить фундаментальная теорема о том, что каждое натураль­ное число разлагается на простые множители и это разложе­ние единственно, и теорема Лагранжа о том, что любое натуральное число представимо в виде суммы не более четы­рех точных квадратов.

Высшая арифметика — дедуктивная наука, основанная на законах арифметики. Законы арифметики выражаются следующим образом.

Сложение. Любые два натуральных числа а и b имеют сумму, обозначаемую а+b, которая сама является натуральным числом. Операция сложения удовлетворяет двум законам:

а + b = b + а                           (коммутативный закон сложения),

а + (b + с) = (а + b) + с          (ассоциативный закон сложения),

скобки в последней формуле указывают порядок выполнения операций.

ab = bа                (коммутативный закон умножения),

а(bс) = (аb)с        (ассоциативный закон умножения).

Имеется также закон, связывающий сложение и умножение:

а(b + с) = ab + ас    (дистрибутивный закон).

Порядок. Если а и b — два натуральных числа, то или а равно b, или а меньше b, или b меньше а, и из этих трех возможностей осуществляется ровно одна. Утверждение «а меньше b» симво­лически выражается в виде а < b, в этом случае мы говорим также, что b больше а, символически: b > а. Основной закон, управляющий этим отношением порядка, таков:

если    а < b    и    b < с,    то   а < с.

Имеются также два закона, связывающих отношение поряд­ка с операциями сложения и умножения:

если   а < b,    то    а + с < b + с    и    ас < be.

каково бы ни было натуральное число с.

Сокращение. Два закона сокращения логически вытекают из законов порядка; однако они достаточно важны, и мы их точно сформулируем. Первый закон гласит:

если    а + х = а + у,    то   х = у.

Это следует из того, что если х < у, то а + х < а + у, что противоречит предположению; невозможно также неравенство у < х; поэтому х = у. Тем же способом получаем и второй закон сокращения, утверждающий, что

если    ах = ау,    то   х = у.

Вычитание. Вычесть число b из числа а - значит найти, если это возможно, такое число х, что b + х = а. Возможность вычитания связана с отношением порядка следующим законом: b можно вычесть из а тогда и только тогда, когда b меньше а. Из первого закона сокращения следует, что если вычитание возможно, то результат единственен; действительно, если b + х = а и b + у = а, то х = у. Результат вычитания b из а обозначается а - b. Правила действий со знаком минус, напри­мер а - (b - с) = а- b + с, вытекают из определения вычитания и коммутативного и ассоциативного законов сложения.

Деление. Разделить число а на число b значит найти, если это возможно, такое число ж, что bх= а. Если такое число существует, то оно обозначается а/b. Из второго закона сокращения следует, что если деление возможно, то результат единственен.

Все вышеупомянутые законы довольно очевидны, если сло­жение и умножение понимать как действия над совокупностями некоторых предметов. Например, коммутативный закон умно­жения становится очевидным, если рассмотреть прямоуголь­ную таблицу (рис. 1), в которой предметы расположены в b столбцов и а строк; число предметов в ней равно ab или bа. Дистрибутивный закон очевиден, если рассматривать совокупность предметов на рис.2; в этой совокупности имеется a(b + с) предметов, их число складывается из ab и ас предметов. Несколько менее очевидным, возможно, является ассоциатив­ный закон умножения, утверждающий, что а(bс) = (аb)с. Чтобы сделать ясным и этот закон, рассмотрим прямоугольник, изоб­раженный на рис. 1, заменив в нем каждый предмет числом с. Тогда сумма всех чисел в каждой строке равна bс; так как имеется а строк, то полная сумма равна а(bс). С другой сто­роны, имеется ab чисел, каждое из которых равно с, поэтому полная сумма есть (ab)c. Значит, a(bс) = (a,b)с, что и требуется доказать.

Законы арифметики имеете с принципом индукции (кото­рый рассмотрен далее) образуют основу для логического раз­вития теории чисел. Они дают возможность доказывать общие теоремы о натуральных числах, не возвращаясь к исходным значениям чисел и операций над ними. Правда, некоторые довольно глубокие результаты теории чисел проще всего полу­чить, подсчитав определенное число предметов двумя различ­ными способами, но таких результатов не очень много.

Доказательство по индукции

 Большинство предло­жений теории чисел являются утверждениями о произвольном натуральном числе; например, теорема Лагранжа говорит о том, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов. Как же доказать, что некоторое утверждение истин­но для любого натурального числа? Конечно, некоторые утвер­ждения непосредственно вытекают из законов арифметики; та­ковы, например, алгебраические тождества типа

(n+1)² = n² +2n+ 1.

Но более интересные и более арифметические по своей природе утверждения не столь просты.

Ясно, что мы никогда не докажем общего предложения, последовательно убеждаясь в его истинности для 1, 2, 3 и так далее, ибо нельзя перебрать бесконечного числа возможностей. Установив, что утверждение верно для любого числа, меньшего миллиона или миллиона миллионов, мы не приблизимся к до­казательству того, что оно верно всегда. (Иногда, правда, бывает, что некоторые предложения теории чисел, установленные путем вычислений для большого числа частных случаев, ока­зываются верными в довольно широкой области.)

Может быть, однако, мы найдем общее доказательство того, что если наше предложение верно для каждого из чисел 1,2,..., n-1, то оно верно и для следующего натурального числа n.

Если это доказано, то из истинности нашего предложения для числа 1 следует, что оно верно для числа 2, из того, что оно верно для 1 и 2, вытекает, что оно верно для 3, и так далее до бесконечности. Это предложение будет поэтому верным для любого числа, если оно верно для числа 1.

В этом и состоит принцип доказательства по индукции, ко­торый относится к предложениям о том, что что-то верно для любого натурального числа. Чтобы применить этот принцип, необходимо доказать две вещи: во-первых, нужно доказать, что предложение верно для 1, а во-вторых, что если предложение верно для каждого из чисел 1, 2, ..., n-1, меньших n, то оно верно и для числа n. Установив эти факты, мы заключаем, что доказываемое предложение верно для любого натурального числа.

Простой пример проиллюстрирует этот принцип. Будем изу­чать отрезки ряда 1 + 3 + 5 + ... последовательных нечетных чисел. Легко заметить, что

1 = 1²,   1+3=2²,   1+3+5=3²,   1+3+5+7=4²

и т. д.

Этим подсказывается общее утверждение: при любом нату­ральном n сумма первых n нечетных чисел равна n². Докажем это общее предложение по индукции. Оно, конечно, верно, если n равно 1. Мы должны доказать, что результат верен для лю­бого натурального числа n; в силу принципа индукции можно предполагать, что предложение уже доказано для всех нату­ральных чисел, меньших n. Пусть, и частности, нам уже из­вестно, что сумма первых n-1 нечетных чисел равна (n-1)². Сумма первых n нечетных чисел получится из нее добавлени­ем n-го нечетного числа, равного 2n-1. Таким образом, сумма первых n нечетных чисел есть

(n-1)² + 2n - 1,

что равно n². Этим требуемое утверждение доказано.

Изложение доказательства по индукции в безупречной фор­ме требует некоторого внимания. В приведенном примере дока­зывалось, что сумма первых n нечетных чисел равна n². Здесь n — любое натуральное число, и, конечно, утверждение не изме­нится, если всюду, где встречается n, употреблять какой-нибудь другой символ. Когда мы приступаем к доказательству, n есть вполне определенное число и имеется опасность употребить один и тот же символ в разных смыслах или даже высказать бессмыс­лицу типа «предложение верно при n, равном n-1». Чтобы избежать этого, нужно использовать в случае необходимости разные символы.

С общелогической точки зрения нет ничего более очевид­ного, чем законность доказательства по индукции. Тем не менее, можно спорить, является ли этот принцип по своей при­роде определением или аксиомой или это логический принцип. Но, так или иначе, ясно, что принцип индукции служит для того, чтобы расположить натуральные числа в определенном порядке: установив, что вначале идут числа 1, 2, .... n-1, мы объявляем следующим числом число n. Таким образом, этот принцип объясняет, что означают на самом деле слова «и так далее», встречающиеся при попытке перечислить вес натураль­ные числа.

Простые числа

Очевидно, что каждое натуральное чис­ло а делится на 1 (отношение равно а) и на а (отношение равно 1). Множитель а, отличный от 1 или а, называется собственным множителем. Известно, что существуют числа, не имеющие соб­ственных множителей; они называются простыми числами или простыми. Первые несколько простых таковы:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

Считать ли простым числом 1  вопрос соглашения, но удобнее 1 не считать простым.

Число, не являющееся простым и не равное 1, называется со­ставным, такое число можно представить в виде произведения двух чисел, каждое из которых больше 1. Хорошо известно, что любое составное число можно представить в виде произведения простых; при этом, конечно, некоторые простые могут встре­титься по нескольку раз. Возьмем, например, число 666; ясно, что оно делится на 2, и мы получаем 666 = 2 • 333. Далее, 333 имеет очевидный множитель 3, откуда 333 = 3• 111. Множитель 111 снова делится на 3, так что 111 = 3 • 37. Следовательно,

666 = 2 • 3 • 3 • 37,

и мы получили представление составного числа 666 в виде про­изведения простых. Имеется общая теорема о том, что каждое число представимо в виде произведения простых, или, что то же самое, любое число, большее 1, является простым либо разла­гается в произведение простых.

Для доказательства этого общего утверждения воспользу­емся методом индукции. Докажем утверждение для числа n, считая, что оно уже доказано для любого числа, меньшего n. Если n простое, доказывать нечего. Если n составное, то его можно представить в виде произведения аb, где a и b больше 1 и меньше n. Мы уже знаем, что числа а и b или являются про­стыми, или разлагаются в произведение простых; подставив их разложения в равенство n = аb, получаем разложение n на про­стые множители. Это доказательство столь просто, что может показаться читателю совершенно излишним. Другая общая те­орема о разложении на простые будет доказываться уже не так просто.

Ряд простых 2, 3, 5, 7, ... издавна интересовал людей. В дальнейшем мы сформулируем некоторые из полученных в этом направлении результатов. В настоящий момент мы ограничим­ся доказательством того, что ряд простых бесконечен. Это до­казательство Евклида (книга IX, предложение 20) может слу­жить образцом изящества и простоты. Пусть 2, 3, 5, ..., Р — ряд простых до некоторого простого Р. Рассмотрим произведе­ние всех этих простых, добавим к нему 1 и положим

N =2•3•5,...P+1.

Это число не может делиться на 2, так как если бы оно делилось на 2, то и 2•3•5 ... Р, а потому и разность N- 2•3•5 ... Р делились бы на 2. Но разность этих чисел равна 1 и на 2 не делится. Аналогично убеждаемся в том, что N не может делиться на 3, на 5 и вообще ни на какое другое простое вплоть до Р. С другой стороны, N должно делиться на какое-нибудь простое (на само себя, если N простое, или на любой простой делитель N, если N составное). Следовательно, существует простое число, отличное от любого из простых 2, 3, 5, ..., Р и потому большее Р. Таким образом, ряд простых оборваться не может.

Основная теорема арифметики

В предыдущем пунк­те было доказано, что любое составное число представимо в ви­де произведения простых. В качестве примера мы разложили на множители число 666: 666 = 2 • 3 • 3 • 37. Обратимся теперь к другому вопросу, также имеющему первостепенное значение. Можно ли осуществить разложение на простые более чем одним способом? (Понятно, конечно, что два представления, отличаю­щиеся только порядком множителей, должны рассматриваться как одно, например разложение 3 • 2 • 37 • 3 отождествляется с разложением 2 • 3 • 3 • 37.) Может ли, например, число 666 иметь какое-нибудь другое представление в виде произведения про­стых? Читатель, не знающий теории чисел, вероятно, будет все же уверен, что другого такого представления нет, однако найти слишком простое общее доказательство ему не удастся.

Было бы удобно высказать это предложение в форме, приме­нимой ко всем натуральным, а не только к составным числам. Будем рассматривать простые числа как «произведения» про­стых, состоящие только из одного сомножителя. Можно сделать еще один шаг и рассматривать число 1 как пустое произведение простых, считая по определению, что величина пустого произ­ведения равна 1. Это соглашение полезно не только здесь, но и в других частях математики, так как оно дает возможность включать в общие теоремы частные случаи, которые иначе при­шлось бы исключить или рассматривать особо.

При этих соглашениях общее предложение таково: каждое натуральное число может быть представлено в виде произ­ведения простых одним и только одним способом. Эту теоре­му называют основной теоремой арифметики; она имеет до­вольно странную историю. В «Элементах» Евклида она еще не встречается, но некоторые арифметические предложения в книге VII уже эквивалентны ей. Точно она не формулируется даже во «Введении в теорию чисел», написанном в 1798 году Лежандром. Первую точную формулировку теоремы и ее дока­зательство дал Гаусс в 1801 году в своих знаменитых «Арифме­тических исследованиях». Приведем здесь прямое доказательство единственности разло­жения на множители.

Заметим, прежде всего, что если разложение числа m на про­стые множители единственно, то каждый простой множитель m должен входить в это разложение. Действительно, пусть р — какое-нибудь простое, делящее m, тогда m= рm', где m' — некоторое целое число; разложение m можно получить из раз­ложения m', добавив простой множитель р. Так как по предпо­ложению имеется только одно разложение числа m на простые, то р должно встретиться в нем.

Будем доказывать единственность разложения по индукции, именно: докажем единственность разложения числа n в предположении, что единственность разложения для всех чисел, мень­ших n, уже установлена. Если n простое, то доказывать нечего. Предположим, что n составное и имеются два различных пред­ставления n в виде произведения простых, скажем,

n = pqr • • • = p'q'r'...,

где р, q, r, ... и р', q', r', ... - простые. Одно и то же простое не может встретиться в двух разложениях, так как в этом случае мы сократили бы на это простое и получили бы два различных разложения меньшего числа, а это противоречит индуктивному предположению.

Не нарушая общности, можно предполагать, что р - наи­меньшее из простых, встречающихся в первом разложении. Так как n составное, имеется по меньшей мере один множитель в разложении, помимо р; поэтому n >= р². Аналогично n>= р'². Так как р и р' не одинаковы, то по крайней мере одно из этих нера­венств строгое и, следовательно, рр' < n. Рассмотрим теперь число n-рр'. Это натуральное число меньше n, следовательно, оно может быть представлено как произведение простых одним и только одним способом. Так как р делит n, оно делит так­же n-рр', поэтому, согласно сделанному ранее замечанию, р должно входить в разложение n-рр'. Аналогично убеждаем­ся, что в это разложение должно входить и р'. Следовательно, разложение n-рр' на простые имеет вид

n - рр' = pp'QR...,

где Q, R, ...   простые. Отсюда следует, что число рр' делит n. Но n=рqr..., поэтому (после сокращения на р) получает­ся, что р' делит qr ... . Ввиду предварительного замечания это невозможно, ибо qr ... — число, меньшее n, и р' не является одним из простых q, г, ..., входящих в его разложение. Это противоречие доказывает, что n обладает только одним разло­жением на простые множители.

Основная теорема арифметики вскрывает структуру нату­ральных чисел по отношению к операции умножения. Эта те­орема показывает, что все натуральные числа получаются из простых с помощью всевозможных умножений, причем в ре­зультате различных умножений получаются различные числа. Теперь понятно, что число 1 неудобно считать простым, ибо это нарушило бы единственность разложения на простые множите­ли: к любому произведению можно присоединить множителем 1, не изменив значения этого произведения.

Аксиомы натуральных чисел

Мы рассматриваем множество w объектов называемых натуральными числами. Одно из натуральных чисел называется нулём и обозначается 0 . Для любого натурального числа n одно из натуральных чисел называется следующим за числом n и обозначается n' .

Множество натуральных чисел таково, что удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома 1. Для любого натурального числа n: n'¹ 0.

Аксиома 2. Для любых натуральных чисел m и n: если m'=n', то m = n.

Аксиома 3. Пусть A является подмножеством множества w со следующими свойствами:

0 Î A;

для любого натурального числа n: если n Î A, то n' Î A.

Тогда A = w.

Эти аксиомы были введены Джузеппе Пеано в 1889 году.

Условия 1 и 2 аксиомы 3 являются ``базисом'' и ``индуктивным шагом''. Аксиома 3, которая служит для построения доказательств подобных этому, называется аксиомой индукции.

Определение 1 (Сумма).

Так, для любых натуральных чисел m и n:

m + 0 = m,

m + n'= (m + n)'.

Определение 2 (Порядок). Мы пишем m £ n , если для некоторого k: n = m + k.

Определение 3. Мы пишем m < n , если m £ n и m ¹ n.

Определение 5 (Произведение).

Так, для любых натуральных чисел m и n

m · 0 = 0,

m · (n + 1) = (m · n) + m.

Определение 6 (Система Пеано). Тройка <W, a, s> , где W – множество, a – элемент из W, а s – функция из W в W называется системой Пеано, если

для любого x Î W: s(x) ¹ a,

для любых x, y Î W: если s(x) = s(y), то x = y,

для любого подмножества A множества W если

a Î A и

s(x) Î A всегда, когда x Î A,

тогда A = W.

Используя это определение, аксиомы 1–3 можно сформулировать кратко, сказав, что тройка <w, 0, s₀>, где s₀ обозначает функцию следования^*, является системой Пеано.

В этом смысле аксиомы 1–3 дают полную характеристику натуральных чисел.

Заключение

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Исторически первыми появились натуральные числа, которые послужили основой формирования математики как науки.

Основные свойства натуральных чисел описаны соответствующими законами арифметики, часть которых представлена в работе. Несмотря на длительный период существования роль данного типа чисел не исчерпана, а перешла в другой, теоретико-множественный аспект.

ЛИТЕРАТУРА

1. Боревич З.И. и др. Теория чисел, -М.: Наука, 1072.

2. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. -М., 1959.

3. Виноградов И.М. Основы теории чисел, -М.: Наука, 1972.

4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М., 1962.

5. Галочкин А.И. и др. Введение в теорию чисел, -М.: МГУ, 1984.

6. Девенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел.  -М., 1976.

7. Давенпорт Г. Мультипликативная теория чисел, -М.: Наука, 1971.

8. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел, -М.: Наука. 1975.

9. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. -М., 1989.

10. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. -М.: Наука, 1991.

11. Прахер К. Распределение простых чисел, -М.: Мир, 1967.

12. Трост Э. Простые числа, -М.: ГИФМЛ, 1959.

13. Фельдман Н.И. Приближения алгебраических чисел, -М.: МГУ, 1981.

14. Хассе Г. Лекции по теории чисел, -М.: ИЛ, 1953.

15. Юшкевич А.П. История математики в средние века. -М., 1961.