Методика обучения решению составной задачи в начальных классах

Методика обучения решению составной задачи в начальных классах

                               Федеральное агентство по образованию

 Методика обучения решению составной задачи в начальных классах

Выпускная квалификационная работа

2006г.

Содержание

Введение

Глава I. Теоретические основы методики обучения решению составной задачи

                  1.1.Задача, её элементы. Виды задач. Способы решения задачи

                  1.2. Основные этапы решения задач

                  1.3. Ознакомление с составной задачей и формирование умений решать составные задачи

Глава II. Методика работы над составной  задачей

                 2.1. Задачи  на нахождение четвертого пропорционального

                 2.2. Задачи на пропорциональное деление

                 2.3. Задачи на нахождение  неизвестных по двум разностям

                 2.4. Задачи на движение

                 2.5. Моделирование в процессе обучения решению составных задач

Заключение
Литература

                                                         Введение

 В курсе математики начальных классов текстовые задачи выступают, с одной стороны, как объект изучения, усвоения, формирования определенных умений, с другой стороны, текстовые задачи являются одним из средств формирования математических понятий. Задачи выполняют функцию связующего звена между теорией и практикой обучения, способствуют развитию мышления учащихся, вырабатывают практические навыки применения математики, являются основным средством развития пространственного воображения, а также эвристического и творческого начал.

Решение задач имеет чрезвычайно важное значение, прежде всего для формирования у детей полноценных знаний, определяемых программой, также формирует практические умения и вычислительные навыки, необходимые человеку в повседневной жизни.

   Учащиеся нередко не умеют выделить искомые и данные, установить  связь между величинами, входящими в составную задачу; составить план решения;  выполнить проверку полученного результата. Необоснованно много внимания и не оправданных затрат времени идет на оформление краткой записи и решения задачи. При этом основное внимание направлено на реализацию единственной цели - получение ответа на вопрос задачи. Так же в курсе математики в начальной школе масса времени посвящается вычислению уже по готовым математическим моделям, то есть по знакомому описанию, какого либо явления с помощью математической символики. Все это отрицательно сказывается на формировании общих умений решать задачу, и не оказывают необходимое влияние на развитие мышления учащихся.

Проблема обучения составным  задачам в начальных классах рассматривалась в трудах таких ученых и методистов, как М.А. Бантова, М.И. Моро, Н.Б.   Истоминой. Большое внимание составным задачам  (особенно задачам, решаемых арифметическим методом) уделяли советские педагоги-математики, и методисты Е.С. Березанская, А.С. Пчелко, Я.С.  Чекмарев и др.

В связи  с  темой нашей работы  можно выделить цель: более подробно рассмотреть, методику работы над составными задачами, которые решаются в начальных классах школы, в чем заключается  специфика этого вида учебных упражнений по сравнению со всеми другими видами математических упражнений.

Исходя из цели, можно выделить следующие задачи:

- изучить психолого-педагогическую и  методическую литературу по теме исследования;

-рассмотреть особенности методики работы над составными задачами на уроках математики в начальной школе;

-проанализировать учебники  и программы с точки зрения методических подходов разных авторов;

-выяснить какую роль играют составные  задачи в процессе обучения младших школьников математике.

Объектом исследования является процесс обучения математике в начальных классах.

Предметом исследования являются методы обучения младших школьников решению составных задач.

Глава I. Теоретические основы методики обучения решению составной задачи

 1.1.Задача, её  элементы. Виды задач. Способы решения задачи

Ожегов С.И. в своем словаре дал следующее толкование «задачи»:

1 - то, что требует исполнения, разъяснения;

2 - упражнение, которое выполняется, решается посредствам умозаключения, вычисления и т. п.

В учебнике Моро М.И. дано такое определение:

«Задача – это сформулированный вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий.»[10;с.111]. Они имеют житейское, физическое содержание, а также текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения.

Из самого определения задачи вытекает, что в ней обязательно должен быть заключен какой-то вопрос. Без вопроса задачи нет.  Поскольку ответ на вопрос задачи должен быть получен в результате арифметических действий, очевидно, в ней должно заключаться требование узнать то или иное число (или числа) – искомое и, кроме того, в задаче должны быть указаны те числа, с помощью действий над которыми может быть найдено искомое. Поэтому обязательными элементами всякой арифметической задачи являются неизвестное (искомое) число (или несколько чисел) и данные числа. [10;с.111.]

Основная особенность сюжетных текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие должно быть выполнено над данными числами для получения искомого. Текст задачи должен, поэтому содержать какие-то косвенные указания на ту связь, которая существует между  данными числами и искомыми и которая определяет выбор нужных арифметических действий и их последовательности. Это условие задачи. Условие, которое призвано раскрыть связь между данными и искомым, естественно, включает числовые данные задачи.

Итак, элементы задачи – условие и вопрос. Числовые  данные представляют собой элементы условия. Искомое всегда заключено в вопросе. Однако в некоторых  случаях задача формулируется так, что вопрос может включить в себя часть условия или вся задача излагается в форме вопроса. [4,с. 159.]

Остановимся на вопросе классификации задач.

 Математическими считаются все задачи, в которых переход от на­чального состояния (условия) к конечному (заключению) осуществляется математиче­скими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (базис решения) и решение (преобразование условия задачи для нахождения, требуемого заключением искомого).

Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, за­ключение) — математические объекты, то задача называется чисто ма­тематической; если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется прикладной математической задачей.

На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее ос­новных компонентов строят дидактически направленную модель ти­пологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опы­том обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д.

Проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из основных компонентов задачи неизвестны.

Стандартной называется задача, в которой четко определено условие, известны способ решения и его обоснование, а также даны упраж­нения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компо­нентов. Если неизвестны два компонента, задача называется поисковой, а если три – проблемной.

В научной и методической литературе встречается следующая классификация задач: на вычисление, на доказательство, на построение, на исследование, однако такое деление не может быть инструментом в обучении школьников решению задач, потому что задачи этих видов не от­личаются друг от друга уровнем сложности, характером деятель­ности человека по их решению. Например, в задачах на вычисле­ние и построение приходится много доказывать, а в задачах на построение и доказательство приходится много исследовать и т.д., поэтому такая классификация задач ничего не дает. Кроме того, задачи делят на правильные, с противоречивыми данными, с лиш­ними данными, теоретические и практические, стандартные и не­стандартные и т.д.

Темербекова А.А. предлагает такую классификацию задач, учитывающую характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников: алгоритмические задачи; полуалгоритмические задачи; эвристические задачи.

Алгоритмические задачи — задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, т.е. для реше­ния которых имеется алгоритм. Например, задача на нахождение гипо­тенузы в прямоугольном треугольнике по известным катетам по фор­муле Пифагора. Применение алгоритма быстро и легко приводит к желаемому результату.

Полуалгоритмические задачи — задачи, правила решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объ­единению элементарных актов. Связи между элементами этих задач легко обнаруживаются учениками. Полуалгоритмические задачи в ка­честве подзадач содержат алгоритмические задачи. Например, извест­ны стороны треугольника и высота, опущенная на основание. Необхо­димо найти периметр треугольника.

Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится «сворачивать» знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он на­чинает применять усвоенные алгоритмы в разных ситуациях.

Эвристические задачи — задачи, для решения которых необходи­мо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения, причем этот способ не явля­ется очевидной конкретизацией некоторого обобщенного правила, известного ученику, или сделать и то и другое. Например, известны стороны треугольника. Нужно найти расстояние от середины высо­ты, проведенной к меньшей стороне, до большей стороны треуголь­ника.

При решении эвристических задач ученик должен использовать эвристические приемы и методы.[14;с. 76]

Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, связанных между собой (независимо от того, будут ли это разные или одинаковые действия), называется составной.

Простые задачи можно разделить на виды либо в зависимости от действий, с помощью которых они решаются (простые задачи, решаемые сложением, вычитанием умножением, делением), либо в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении.

Для составных задач нет такого единого основания классификации, которое позволило бы с пользой для дела разделить на определенные группы. Однако по методическим соображениям целесообразно выделить из всего многообразия задач некоторые группы, либо математической структурой (например, задачи, в которых надо сумму разделить на число), либо способом решения (например, задачи, решаемые способом нахождения значения постоянной величины), либо конкретным содержанием (например, задачи, связанные с движением). [1;с. 172]

 В начальных классах рассматривается решение  составных задач, связанных с пропорциональными величинами: задачи на нахождение четвертого пропорционального (на простое тройное правило), на пропорциональное деление и на нахождение неизвестных по двум разностям, кроме того, специально рассматриваются задачи, связанные с движением.

Решение этих задач основывается на знании соответствующих связей между величинами; например, если известны цена товара, его количество, то можно найти стоимость, выполнив действия умножения. Следовательно, для успешной работы по решению задач этих видов надо предусмотреть в подготовительной работе знакомство с новыми величинами и раскрытие связей между ними.

В задачах на нахождение четвертого пропорционального даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные  и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым.

Задачи на пропорциональное деление включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми.

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми.

В последние годы помимо учебников М.И. Моро с соавторами появились учебники по математике для начальных классов других авторов, предусматривающие повышение уровня сложности текстовых задач. Так, например, в учебнике И.И. Аргинской и Л.Г. Петерсон встречаются задачи на нахождение неизвестного по их сумме и отношению, на исключение неизвестных при помощи вычитания и другие виды задач.

          Способы решения  задач

        Решить задачу - это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи (ответить на ее вопрос).[15;с.420] Составную задачу, как и простую можно решить, используя различные способы. В качестве основных в математике различают арифметические и алгебраические способы решения задач. Начальный курс математики ставит своей основной целью  научить решать младших школьников задачи арифметическим способом.

Не следует путать такие понятия, как: решение задач различными способами; различные формы записи арифметического способа решения задачи (по действиям, выражением, по  действиям с пояснением, с вопросами) и решение задачи различными  арифметическими способами. В последнем случае речь идет о  возможности установления различных связей между данными и искомыми, а, следовательно, о выборе других действий или другой их последовательности для ответа на вопрос задачи.

 В начальном курсе обучения дети также знакомятся с графическим способом.   Опираясь только на чертеж легко дать ответ на вопрос задачи. Иногда решение задачи графическим способом связано не только с построением отрезков, но и с измерением их длин. Графическая модель – наиболее удачная опора для построения  мысленной модели задачи: с одной стороны, она достаточно конкретна, воспринимаема зрительно,  с другой – полностью отражает внутренние связи и количественные соотношения в задаче. [8;200.]

В числе способов решения задач можно назвать схематическое моделирование. В отличие от графического  способа решения, который позволяет ответить на вопрос задачи, используя счет и присчитывание, схема моделирует только связи и отношения между  данными и  искомыми. Эти отношения не всегда возможно, а порой даже нецелесообразно представлять в виде символической модели (выражение, равенство). Тем не менее, моделирование текста задачи в виде схемы иногда позволяет ответить на вопрос задачи.

Также выделяют логический способ решения  –   это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения.

Решить задачу практическим методом –  значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т. д.). Не всякая задача решается практически. В, частности, задачи на движение и на работу, в которых речь идет о больших - расстояниях или длительных временных интервалах, невозможно решить практически.

Иногда в ходе решения задачи применяются несколько методов: алгебраический и арифметический; арифметический и практический; и т. п. в этом случае считают, что задача решается комбинированным (смешанным) методом. [15;650.]                                                                                                                                                                                                                                                                              

Таким образом, задача - это сформулированный вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий. Она состоит из условия и вопроса. Существуют различные классификации задач: по характеру связей между элементами задачи, по количеству действий которые необходимо выполнить для решения задачи и др. В качестве основных способов решения составных задач в математике различают арифметические и алгебраические способы.

1.2. Этапы решения  задачи

          Процесс решения каждой арифметической задачи осуществляется поэтапно, независимо от способа решения.

Рассмотрим возможный план работы учащихся над  задачей:

1.Анализ текста задачи;

2. Схематическая запись условия;

3. Поиск решения; составление плана решения;

4.  Осуществления плана решения задачи;

5. Проверка полученного ответа.

Этот план может существенно меняться, если задача решается устно или составлена по иллюстрации. [4;160.]     

1.Анализ текста задачи. Основное назначение этапа – осмыслить ситуацию, отраженную в задаче; выделить условие и требования, назвать данные и искомые, выделить условия и требования, назвать данные и искомые, выделить величины и зависимости между ними (явные и неявные).

На этом этапе решения задачи используют  следующие приемы.

        Прочитаем, например, такую задачу: По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со средней скоростью 8 км/ч от идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за это время собака?

Разобраться в содержании этой задачи, вычленить условие и требование ее можно, если задать специальные вопросы по тексту и ответить на них.

 1. О чем эта задача? (Задача о движении двух мальчиков и собаки. Это движение характеризуется для каждого его участника скоростью, временем и пройденным расстоянием.)

2. Что требуется найти в задаче? (В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака за все это время.)

3. Что означают слова 'за все это время'? (В задаче говорится, что собака бегает между мальчиками  'с начала движения до того, как второй мальчик догонит первого'. Поэтому слова 'за все это время' означают 'за все то время с начала движения до того, как второй мальчик догонит первого'.)

4. Что в задаче известно о движении каждого из участников его? (В задаче известно, что: 1) мальчики идут в одном направлении; 2) до начала движения расстояние между мальчиками было 2 км; 3) скорость первого мальчик, идущего впереди, 4 км/ч; 4) скорость второго мальчика, идущего позади, 5 км/ч; 5) скорость бега собаки 8 км/ч; 6) время движения всех участников одинаково: это время от начала движения, когда расстояние между мальчиками было 2 км, до момента встречи мальчиков, т.е. до момента, когда расстояние между ними стало 0 км.)

5. Что дальше известно? (В задаче неизвестно, в течение, какого времени второй мальчик догонит первого, т.е. не известно время движения всех его участников. Неизвестно также, с какой скоростью происходит сближение мальчиков. И неизвестно расстояние, которое пробежала собака, - это требуется узнать в задаче.)

6. Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения? (Искомым является значение величины - расстояния, которое пробежала собака за общее для всех участников время движения.)

Большую помощь в осмыслении содержания задачи и создания основы для поиска решения задачи оказывает переформулировка текста задачи – замена данного в нем описания ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи и количественные характеристики, но и более явно их выражающим.[4;с. 161] Особенно эффективно использование этого средства в сочетании с разбиением текста на смысловые части. Направления переформулировки могут быть следующие: отбрасывание  не  существенной,  излишней  информации; замена  описания некоторых  понятий  соответствующими  терминами  и,  наоборот, замена некоторых  терминов  описанием  смысла  соответствующих  понятий; переорганизация  текста  задачи  в  форму,  удобную  для  поиска  решения. Результатом переформулировки должно быть выделение основных ситуаций. Так, заметив, что речь в приведенной выше задаче идет о движении, ее можно переформулировать следующим образом: 'Скорость первого мальчика 4 км/ч, а скорость догоняющего его второго мальчика 5 км/ч (первая часть задачи). Расстояние, на которое мальчики сблизились, 2 км (вторая часть). Время ходьбы мальчиков - это время, в течение которого второй мальчик пройдет на 2 км больше, чем первый (третья часть). Скорость бега собаки 8 км/ч. Время бега собаки равно времени ходьбы мальчиков до встречи. Требуется определить расстояние, которое пробежала собака'

2. Схематическая запись условия

Составление по условию задачи чертежа, схемы, рисунка и т. д., т.е. интерпретация условия задачи – не самоцель. Она выполняется  (учителем, или учащимися под руководством учителя, или самими учащимися – в зависимости от их подготовки, от сложности задачи) только тогда, когда ученики не могут решить данную задачу. Рассмотрим несколько видов интерпретации условия.

К р а т к а я  з а п и с ь  у с л о в и я  з а д а ч и. не существует какой- либо определенной формы краткой записи условия.  Критерием эффективности краткой записи являются признаки: краткая запись наглядно представляет связи между  величинами и соответствующими числовыми данными задачи; по ней ученик способен самостоятельно воспроизвести условие задачи[4;с. 163].

Учитель должен соблюдать разумную меру в использовании символов для краткой записи условия задачи (скобок, стрелок  и т. д.). Такая символика  - это язык, усвоение которого требует от учащихся затрат времени и сил, а возможности его весьма ограничены.

В краткой записи условия отсутствуют  многие несущественные  элементы, содержащиеся в тексте задачи. Поэтому ученику легче выявить ее математическое содержание.

В средних и старших классах навыки краткой записи условия задачи, приобретенные учащимися в начальной школе, используются не только на уроках математики, но и на уроках физики, химии.

Ч е р т е ж   п о   у с л о в и ю    з  а д  а ч  и .   Многие задачи можно иллюстрировать чертежом.   Он  в большей степени, чем краткая запись условия, приближает учащихся к математическому содержанию модели. Иллюстрацию в виде чертежа целесообразно использовать при решении задач, в которых даны отношения  значений величины, а так же  при решении задач, связанных с движением. В последнем случае принято изображать отрезком расстояние, пройденное движущимся телом, стрелкой – направление движения, флажком или столбиком - " пункты"  на пути, движущегося тела. При это надо соблюдать указанные в условии отношения: большее расстояние изображать большим отрезком. [1;с.178]

Чертеж наглядно иллюстрирует отношение значений величин, а в задачах на движение схематически изображает соответствующую жизненную ситуацию.

Еще более наглядно содержание задачи можно представить иллюстрацией, в которой условие задачи интерпретируется с помощью разрезного наглядного материала, схематического или образного  представления объектов, рассматриваемых в задаче. Она помогает создать яркое представление той  жизненной ситуации, которая описывается в задаче, что в  дальнейшем послужит отправным моментом для выбора действия.

Навыки выполнения краткой записи условия задачи,  чертежей по условию задачи, приобретенные учащимися в начальной школе, будут полезны им и при решении математических задач в средних и старших классах.

     3. Поиск решения; составление плана решения.

Цель данного этапа – завершить установление связей между данными и искомыми величинами и указать последовательность использования этих связей.

Решение задач – сложная интеллектуальная деятельность. Описать ее содержание в полном объеме невозможно, даже если иметь в виду деятельность, осуществляемую младшим школьником. [4;с.166.]

На этом этапе ученики должны выделить величины, входящие в задачу, данные и искомые числа, установить связи между данными и искомым и на этой основе выбрать соответствующие арифметические действия.

По существу поиск решения задачи начинается уже при анализе текста задачи и не заканчивается даже тогда, когда ответ получен и проверен. Идея нового способа решения может прийти тогда, когда, казалось бы, получен исчерпывающий ответ на вопрос задачи.

Проведя анализ задачи, не всегда просто найти путь ее решения. Поиск пути решения задачи является достаточно трудным процессом, для которого нет точного предписания. Укажем некоторые приемы, которые помогают осуществлять этот этап.

Одним из приемов поиска пути решения задачи является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Поиск пути решения задачи можно осуществлять от вопроса задачи к данным (аналитический путь) или от данных к вопросу (синтетический путь). [15;с.427].

Аналитический метод. Анализ – логический прием, состоящий в расчленении исследуемого объекта на составные элементы и исследовании каждого из них в отдельности. Он может использоваться многократно. [4;с.168]

Разбор задачи от вопроса  к данным - это суждение, которое состоит в том, чтобы подобрать два числовых значения одной или разных величин таким образом, чтобы дать ответ на вопрос задачи. Одно из значений или оба могут быть неизвестными. Для их нахождения подбираются два других, и так продолжается процесс подбора, пока не приходим к известным числовым значениям величин. В результате такого разбора учащиеся устанавливают зависимость между числовыми значениями величин, расчленяют ее на простые задачи и составляют план ее решения.

Синтетический метод. Синтез – логическая операция установления связи между составными частями исследуемого объекта и изучения его как единого целого. Исследуемый объект называется в требовании задачи, а его элементы описываются в условии. Разбор задачи от числовых данных состоит в том, что к двум числовым данным подбирается вопрос, затем к следующим двум данным, одно из которых может быть результатом первого действия, подбирается следующий вопрос. И этот процесс продолжается, пока не будет получен ответ на вопрос задачи.

Аналитико-синтетический метод.  Значительно чаще, используется на практике, чем аналитический и синтетический методы. Он сочетает элементы и анализа и синтеза. Так при решении сложной задачи она с помощью синтеза разбивается на ряд более простых задач, а затем при помощи синтеза происходит соединение решений этих задач в единое целое.

Обучение учащихся начальных классов рассмотренным методам поиска решения задач сводится к обучению их правильному формулированию вопросов, соответствующих аналитическому или синтетическому методу.

При разборе задачи нового вида учитель должен в каждом отдельном случае поставить детям вопросы так, чтобы навести их на правильный или осознанный выбор арифметических действий.

Очень важно чтобы вопросы не были подсказывающими, а вели бы к самостоятельному нахождению пути решения задачи.

Разбор задачи заканчивается составлением плана решения.

План решения – это объяснение того, что узнаём, выполнив то или иное действие, и указания по порядку арифметических действий.

 [14; с.427]

Часто при введении задач нового вида ученики затрудняются самостоятельно составить план решения, тогда им  помогает учитель.

4. Осуществления плана решения задачи.

Назначением этапа – найти ответ на требование задачи. Немало важную роль при решении задач играет запись найденного решения.

Решение задачи может быть выполнено устно или письменно. При устном решении соответствующие арифметические действия и пояснения выполняются устно. При этом надо учить детей правильно и кратко давать пояснения к выполняемым действиям.

При письменном решении записываются действия, а пояснения к ним учащиеся либо записывают, либо проговаривают устно.

В начальных классах могут быть использованы такие основные формы записи решения:

1)составление по задаче выражения и нахождение его значения;

2)составление по задаче уравнения и его решение;

3)запись решения в виде отдельных действий.

Выражение с несколькими действиями или уравнение можно составлять и записывать сразу, выполняя устно или письменно пояснения к действиям, а можно записывать их постепенно. (см. приложение 1)

В большинстве случаев надо отдавать предпочтение первым двум формам записи решения. При такой записи учащиеся сосредотачивают главное внимание на логической последовательности действий, а не на результатах вычисления, при этом они оперируют выражениями, что способствует формированию понятия выражения, кроме того,  само по себе составление по условиям задач уравнения и выражения ценно с точки зрения приобщения детей к алгебраическому способу решения задач.

Запись решения в виде отдельных действий используется, как правило, тогда, когда уравнение или выражение очень сложно и громоздко, а иногда их составить и невозможно, и в тех случаях, когда задача включает большие числа.

5. Проверка полученного ответа.

Проверить решение задачи – значит установить, что оно правильно или ошибочно.

В начальных классах используются следующие четыре способа проверки: составление и решение обратной задачи; установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными числами; решение задачи другим способом; прикидка ответа.[1;с. 185]

Составление и решение обратной задачи.

Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными числами.

При проверке решения задачи данным способом выполняют арифметические действия над числами, которые получатся в ответе на вопрос задачи; если при этом получатся числа, данные в условии задачи, то можно считать, что задача решена правильно.

Решение задачи другим способом. Если задачу можно решить различными способами, то получение одинаковых результатов подтверждает, что задача решена правильно.

Прикидка ответа. Применение этого способа состоит в том, что дои решения задачи, устанавливается  область значений искомого числа, т.е. устанавливается больше или меньше какого-то из данных чисел должно быть искомое. После решения задачи определяется, соответствует ли полученный результат установленной области значений, если он не соответствует, значит, задача решена не правильно.

 Следует подчеркнуть, что в реальном процессе решения задачи, отмеченные этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Так, иногда уже при восприятии задачи решающий может обнаружить, что данная задача - известного ему вида, и он знает, как ее решать. В том случае поиск решения не вычленяется в отдельный этап и обоснование каждого шага при выполнении первых трех этапов делает необязательной проверку после выполнения решения. Однако полное, логически завершенное решение обязательно содержит все этапы. А знание возможных приемов выполнения каждого из этапов делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а значит, и более успешным.

 В процессе решения текстовых арифметических задач различных типов у учащихся начальной школы должны вырабатываться общие приемы решения задачи.  Этой целью учитель организует работу над задачей, как правило, по одному и тому же плану. Накапливая опыт такой работы, ученики все с большей степенью самостоятельности применяют соответствующие умения.

1.3.Ознакомление с составной задачей и формирование умений решать составные задачи

При ознакомлении с составными задачами ученики должны уяснить основное отличие составной задачи от простой - ее нельзя решить сразу, т.е. одним действием, а для ее решения  надо выделить простые задачи, установив соответствующие систему связей между данными и искомыми.  С этой целью предусматриваются специальные подготовительные упражнения:

1. Решение простых задач  с недостающими данными, например:

На экскурсию поехали мальчики и девочки. Сколько всего детей поехало на экскурсию?

После чтения таких задач учитель спрашивает, можно ли узнать, сколько детей поехало на экскурсию, и почему нельзя (неизвестно, сколько было девочек и мальчиков). Далее дети подбирают числа и решают задачи.

Выполняя такие упражнения, ученики убеждаются, что не всегда можно сразу ответить на вопрос задачи, так как может не хватать числовых данных, их надо получить (в данном случае подобрать числа, а при решении составных задач найти,  выполнив соответствующее действие).

2. Решение пар простых задач, в которых число, полученное в ответе на вопрос первой задачи, является одним  из данных во второй задаче, например;

а) У девочки было 3 кролика, а у мальчика на 2 кролика больше. Сколько кроликов у мальчика?

б) У девочки было 3 кролика, а у мальчика 5 кроликов. Сколько кроликов у них вместе?

Учитель говорит, что такие две задачи можно заменить одной: «У девочки было три кролика, а у мальчика на 2 кролика больше. Сколько кроликов у них вместе?»

В дальнейшем дети сами будут заменять пары подобных задач одной задачей.

3. Постановка вопроса к данному условию.

Я скажу условие задачи, говорит учитель, а вы подумайте и скажите, какой можно поставить вопрос: «Для украшения школы ученики вырезали 10 красных флажков и 8 голубых». (Сколько всего флажков вырезали ученики?)

4. Выработка умений решать простые задачи, входящие в составную. Надо меть ввиду, что необходимым условием для решения составной задачи является твердое умение детей решать простые задачи, входящие в составную. Следовательно, до введения составных задач определенной структуры надо сформировать умение решать соответствующие простые задачи.

Все эти упражнения надо включать при работе над простыми задачами до введения составных задач.

Для знакомства с составной задачей специально отводится в 1 классе два-три урока, на которых особое внимание уделяется установлению связей между данными и искомыми, составлению плана решения и записи решения.

На уроках, посвященных ознакомлению с составными задачами, важно довести до сознания детей их основную особенность:  эти задачи нельзя решить сразу, одним действием. Чтобы ответить на вопрос задачи, приходится вначале находить число, которого нет в условии задачи.

Существуют различные точки зрения по вопросу, с чего начинать знакомство с составными задачами:

     1)Начать с решения задач в два действия, включающих простые задачи на нахождение суммы и на нахождение остатка, например; «Мама сорвала с одной яблони 5 яблок, а с другой 3 яблока; 6 яблок она отдала детям. Сколько яблок осталось у мамы?». После этого включать составные задачи другой структуры.

2)Начать с задач в два действия, которые включают простые задачи на уменьшение числа на несколько единиц и на нахождение суммы, например:

«В одной вазе 7 конфет, в другой на 4 конфеты меньше. Сколько конфет в двух вазах?». Позднее рассмотреть решение задач другой математической структуры.

Первая из рассмотренных задач явно отличается от простой – в ее условии три числа, т.е. здесь обе простые задачи как бы лежат на поверхности. Это должно более быстро привести детей к уяснению существенного признака составной задачи – ее нельзя решить сразу, выполнив одно действие. Здесь содержание задачи помогает правильному установлению связей. В этом случае детям легче составить по задаче выражение.

В условии второй из приведенных задач два числа, что делает ее сходной с простой задачей, а поэтому учащиеся склонны решать такие задачи, выполнив одно действие. Кроме того, простая задача на уменьшение числа на несколько единиц, входящая в эту составную, труднее задачи на нахождение остатка, которая входит в первую составную задачу. Как видим, решение этих задач сопряжено с целым рядом трудностей. Поэтому, как показал опыт, лучше начинать с решения составных задач, включающих три числа.[10; с.185]

В период ознакомления с составными задачами очень важно добиться различения детьми простых и  составных задач. С этой целью надо чаще включать составные задачи в противопоставлении с простыми, выясняя каждый раз, почему одна из них решается одним действием, а другая – двумя. Полезно также предлагать упражнения творческого характера. Это, прежде всего преобразование простых задач в составные и обратно. Например, дети решили задачу: «В зимние каникулы учащиеся отдыхают 10 дней, а в весенние на 2 меньше. Сколько дней отдыхают ученики в весенние каникулы?». Учитель  предлагает изменить вопрос задачи так, чтобы задача решалась двумя действиями. (Сколько дней отдыхают ученики в зимние и весенние каникулы?)

В это время наряду с решением готовых задач надо включать упражнения на составление задач, аналогичных решенной, на составление задач по данному ее решению, по краткой записи и др.

В дальнейшем  решаются составные задачи, которые органически связываются с изучаемым материалом. Так, в 1 классе изучаются действия сложения и  вычитания  и соответственно включаются составные задачи, решаемые этими действиями; во втором классе изучаются действия умножения и деления, в соответствии с этим вводятся составные задачи, решаемые этими действиями, при изучении свойств арифметических действий рассматривается решение задач разными способами.

По мере продвижения учащихся задачи усложняются. Усложнение может идти либо по линии включения новых связей, т.е. новых видов простых задач, либо по линии увеличения числа выполняемых действий. Однако задачи не должны быть слишком трудными и не должны включать много действий.

 Очень важно научить детей общим приемам работы над задачей. Это значит научить детей самостоятельно анализировать задачу, устанавливая соответствующие связи, использовать при этом различные иллюстрации, составлять план решения, выполнять решение и проверять правильность решения.

В практике работы школы оправдала себя следующая методика формирования умения решать задачу. Учащиеся получают инструкцию в виде заданий (памятку), как  работать над задачей. Задания записываются на карточках и раздаются учащимися. Выполняя каждый раз при решении задачи указанные в карточках задания в строго определенном порядке, учащиеся приобретают умение работать над задачами именно так, как предписывается заданиями, т.е. у них формируются общий метод работы над задачей. (см. приложение 2).

Чтобы работа с карточками действительно помогла учащимся овладеть умением самостоятельно решать задачи, надо предусмотреть определенные этапы.

На первом этапе дети должны усвоить суть каждого отдельного задания и научиться выполнять их. Например, понимать, что значит «представить себе то, о чем говорится в задаче», что значит «составить план решения» и т.д., а также уметь представить себе то, о чем  говорится в задаче, уметь составить план решения и т.д.

Этот этап овладения отдельными умениями проходит в I классе, когда учитель каждый раз при решений задачи сам называет задания и учит их выполнять.

На втором этапе (II класс, начало учебного года) учащиеся знакомятся с системой заданий и учатся ими пользоваться при решении задач.

Учащиеся получают карточки, на которых записаны задания. При работе над каждой задачей, примерно в течение 6 – 10 уроков, каждое задание читается одним из детей вслух и при их выполнении рассуждение тоже ведется  вслух.

На третьем этапе учащиеся должны усвоить систему заданий и самостоятельно пользоваться ими при решении задач. С этой целью на последующих 10 – 15  уроках при решении задач учащиеся продолжают пользоваться карточками с заданиями, но задания читают про себя, а рассуждение вслух. В результате такой работы учащиеся непроизвольно овладевают системой заданий.

На четвертом этапе ученики про себя называют задания и про себя выполняют их, т.е. вырабатывается умение работать над задачей в соответствии с заданиями. На этом этапе карточки не нужны детям, так как вся система заданий усвоена ими в такой мере, что учащиеся руководствуются ими, ведя рассуждение про себя и очень быстро. Это и есть показатель того, что у учащихся сформировался метод работы над задачей.

В дальнейшем учащиеся будут пользоваться этим методом как при работе над задачей нового вида, так и при закреплении умения решать задачи знакомой математической структуры.  [1;с.224]

Формируя общий метод работы над задачей, учитель должен иметь в виду, что не все дети одновременно овладевают этим методом: если одним детям достаточно месяца работы по карточкам, то  другим надо два-три месяца. Поэтому не следует запрещать пользоваться карточками тем учащимся, которые еще не овладели общим методом. Но ни в коем случае нельзя специально разучивать эти задания – они должны быть усвоены произвольно в результате многократного их выполнения.

Работая над задачами отдельного вида, надо по-разному подходить к использованию заданий: на ступени ознакомления с задачей нового вида чаще выполняют все задания, а на ступени закрепления умения решать  задачи этого делать не требуется, иначе выполнение заданий превратится в самоцель, и будет тормозить обобщения способа решения.  На этой ступени, когда формируется умение решать задачи какого-либо вида, учащиеся должны выполнять задания по порядку до тех пор, пока не найдут способа решения. В крайнем случае, если, выполнив все задания, ученик все же не найдет решения, на помощь приходит сам  учитель.

Таким образом,  в период ознакомления с составной задачей учитель формирует общие основы работы над задачей, с помощью специальных подготовительных упражнений. Дети уясняют  отличия составной задачи от простой.

Задача - это сформулированный вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий, а также текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения. Элементы задачи – условие и вопрос. Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные.

В качестве основных в математике различают арифметические и алгебраические способы решения задач. В начальном курсе обучения дети также знакомятся с графическим способом.

          Процесс решения каждой арифметической задачи осуществляется поэтапно, независимо от способа решения.

1.Анализ текста задачи;2. Схематическая запись условия;3. Поиск решения; составление плана решения; 4.  Осуществления плана решения задачи;5. Проверка полученного ответа.

Глава II. Методика работы над составной задачей

 В начальных классах рассматриваются составные задачи, связанные с пропорциональными величинами: задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление и нахождение неизвестных по двум разностям, кроме того, специально рассматриваются задачи, связанные с движением.

Рассмотрим методику работы над ними.

2.1.Задачи на нахождение четвертого пропорционального

В задачах этого вида даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной величины и одно  из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым. Использую любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью, можно составит шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального. (см. приложение 3)

Эти задачи можно решить способом нахождения значения постоянной величины, а затем, используя его, найти искомое. Во II классе рассматриваются преимущественно задачи с прямо пропорциональной  зависимостью, при этом включаются задачи с такими группами величин: цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса; выработка в единицу времени, время работы, общая выработка; расход материи на одну вещь, число вещей, общий расход материи. В IV классе вводятся новые группы величин: скорость, время, расстояние.

П од г о т о в и т е л ь н а  я работа к решению задач на нахождение четвертого пропорционального должна предусмотреть ознакомление с величинами и связями между ними.

Связи между пропорциональными величинами раскрываются с помощью решения простых задач на нахождения значения одной величины по данным соответствующим значениям двух других величин (например, задача на нахождение стоимости по известным цене и количеству).

Ознакомление с рядом величин (длина отрезка, масса, емкость, время, площадь) ведется в непосредственной связи с изучением арифметического и геометрического материала. Для введения задач  на нахождение четвертого пропорционального необходимо ознакомить детей и с такими величинами, как цена, стоимость, скорость и др. Причем ознакомление с ними должно вестись одновременно с раскрытием связей между пропорциональными величинами. Например,  при ознакомлении с величинами цена, количество, стоимость и связями между ними можно провести на уроке игру в «магазин»: на доску прикрепляют  «товары»: тетради, блокноты, линейки и т.п., на которых обозначена цена.

Так же на других уроках раскрываются связи: если известны стоимость и количество, то можно найти цену действием деления; если известны стоимость и цена, то можно найти количество действием деления.

Для закрепления знания связей между величинами надо включать простые задачи для устного решения, при этом  полезно выполнять упражнения на составление и решение обратных задач по отношению  к данной простой задаче. Кроме того, для письменного решения следует предлагать составные задачи с теми же величинами, например: «К началу учебного года ученик купил 10 тетрадей по 2 руб. и тетрадь для рисования за 8 руб. Сколько всего денег уплатил ученик?». В этих случаях не следует требовать от учеников каждый раз объяснять выбор действия.

Аналогичным образом ведется работа по ознакомлению с величинами других групп и по раскрытию связей между ними. При этом на этапе ознакомления со связями очень важно выполнять предметные иллюстрации, а при выборе арифметического действия сначала опираться на конкретный смысл арифметических действий, после чего формулируется вывод. На этапе закрепления умения решать простые задачи с пропорциональными величинами учащиеся опираются на усвоенный вывод.

Одновременно с закреплением знаний о связях между величинами в процессе решения простых и составных задач по мере возможности следует наблюдать за изменением одной из трех величин в зависимости от изменения другой при неизменной третьей.

После проведенной п о д г о т о в и т е л ь н о й   работы решение задач на нахождение четвертого пропорционального способом нахождения значения постоянной величины не вызывает затруднений у учащихся. Поэтому при ознакомлении с решением задач очень важно правильно осуществить руководство работой детей. Рассмотрим особенности работы над задачами  этого вида.

Первыми лучше включить задачи с величинами: цена, количество, стоимость, поскольку дети имеют большой опыт оперировать этими величинами, причем сначала надо рассмотреть задачи I вида. Первые из рассматриваемых задач полезно иллюстрировать рисунком и выполнить краткую запись в таблице. Например, предлагается задача: « Ученик купил по одинаковой цене 6 конвертов без марок и три с  марками. За конверты без марок с он заплатил 18 руб. Сколько он уплатил за конверты с марками?» после чтения учитель выполняет на доске рисунок или пользуется готовым.

›››››                                                                                       +++

      18 руб.                                                                                               ?

Затем под руководством учителя выполняется краткая запись:

При повторении задачи дети объясняют, что показывает каждое число: 6 – это количество тетрадей с марками, 18 руб. – это стоимость и т. п.

Полезно до решения  задачи сделать прикидку, т.е. установить, какое число получится  в результате решения: больше или меньше какого-либо из данных чисел, и объясни почему. Например, учащиеся устанавливают, что марки с марками будут стоить меньше, чем 18 руб., потому что их купили меньше, чем конвертов без марок, а цена конвертов одинаковая.

Решение первых задач следует записывать с пояснениями,  а иногда без пояснений выполняемых действий.

Поверка решения выполняется способом составления и решения обратных задач и способом установления границ ответа.

На этапе з а к р е п л е н и я  умения решать задачи  после решения нескольких задач I  вида с величинами: цена, количество, стоимость вводятся задачи этого же вида с другими величинами, а затем предлагаются задачи других видов.

Итак, задачи на четвертое пропорциональное – задачи, в которых даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной величины и одно  из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым. Эти задачи решаются способом нахождения значения постоянной величины.

2.2. Задачи на пропорциональное деление

В 3 классе вводятся  составные задачи новой математической структуры: задачи на пропорциональное деление разных видов. Раскроем особенности работы по решению этих составных задач.

Задачи на пропорциональное деление включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или более постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Применительно к каждой группе величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью, а две с обратно пропорциональной зависимостью. [1;с. 232.]

В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин. (см. приложение 4)

 Задачи на пропорциональное деление вводятся по-разному: можно предложить для решения готовую задачу, а можно сначала составить ее, преобразовав задачу на нахождение четвертого пропорционального. В том и другом случае успех решения задач на пропорциональное деление будет определяться твердым умением решать задачи на нахождение четвертого пропорционального, поэтому в качестве подготовки надо предусмотреть решение задач соответствующего вида на нахождение четвертого пропорционального. Это поможет детям увидеть связи между задачами этих видов, что быстрее приведет учащихся к обобщению способа их решения. Именно поэтому предпочтительней второй из названных вариантов введения задач на пропорциональное деление. Переходя к решению готовых задач из учебника, а также задач, составленных учителем, включающих различные группы величин, сначала надо установить, о каких величинах идет речь в задаче, затем записать задачу кратко в таблице, предварительно расчленив вопрос задачи на два вопроса, если в нем есть слово «каждый». Решение, как правило, ученики выполняют самостоятельно, разбор ведется только с отдельными учениками. Вместо  краткой записи можно сделать рисунок. Например, если в задаче говорится о кусках материи, мотках проволоки и т.п., то их можно изобразить отрезками, записав соответствующие числовые значения данных величин. Заметим, что не следует каждый раз выполнять краткую запись или рисунок, если ученик, прочитав задачу, знает, как ее решить, то пусть решает, а краткой записью или рисунком воспользуются те, кто затрудняется решить задачу. Постепенно задачи должны усложняться путем введения дополнительных данных (например, 'В первом куске было 16 м материи, а во втором в 2 раза меньше') или постановкой вопроса (например: 'На сколько метров материи было больше в первом куске, чем во втором?). При ознакомлении с решением задачи на пропорциональное деление можно иди другим путем: сначала решить готовые задачи, а позднее выполнить преобразование задачи на нахождение четвертого пропорционального в задачу на пропорциональное деление и после их решения сравнить как сами задачи, так и их решения. Обобщению умения решать задачи рассмотренного вида помогают упражнения творческого характера. Назовем некоторые из них. До решения полезно спросить, на какой из вопросов задачи получится в ответе большее число и почему, а после решения проверить, соответствую ли этому виду полученные числа, что явится одним из способов проверки решения. Можно далее выяснить, могли ли получиться в ответе одинаковые числа, и при каких условиях. Полезны упражнения на составление задач учащимися с последующим решением их, а также упражнения по преобразованию задач. Это, прежде всего, составление задач, аналогичных решенной. Так, после решения задачи с  величинами: ценой, количеством и стоимостью - предложить составить и решить похожую задачу с теми же величинами или с другими, например скоростью, временем и расстоянием. Это составление задач по их решению, записанному как в виде отдельных действий, так и в виде выражения, это составление и решение задач по их краткой схематической записи . Ученики называют величины, подбирают и называют соответствующие числовые данные, формулируют вопрос и решают составленную задачу. Такую схематическую запись можно выполнить на листе бумаги, причем название величин можно записать на карточках и вставить их в верхнюю графу (цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса и др.). Можно предлагать для составления задач краткую запись с числовыми данными или рисунок. Позднее, после рассмотрения задач на пропорциональное деление второго вида и задач на нахождение неизвестных по двум разностям можно выполнить упражнения на преобразование задачи одного вида в другой, а после их решения выполнить сравнение самих задач и решений этих задач.

Работа по ознакомлению с решением задач на пропорциональное деление второго вида может быть проведена аналогично рассмотренной. При решении задач этого вида ученики должны выполнять работу с большей долей самостоятельности, поскольку эти задачи сходны с задачами ранее рассмотренного вида (их решение отличается последними действиями: если ранее это было умножение, то здесь - деление). Однако сходство задач приводит к ошибкам: некоторые ученики смешивают решения этих задач, выполняя вместо деления умножение. Одним из средств предупреждения таких ошибок служит решение пар задач различного вида и последующее сравнение самих задач, а также их решений. Приведем пару таких задач: 1) В столовую в первую неделю привезли 4 одинаковых мешка крупы, а во вторую - 5 таких же мешков. Всего за эти две недели привезли 540 кг крупы. Сколько килограммов крупы привезли в каждую неделю? 2) В столовую за две недели привезли 9 одинаковых мешков крупы. В первую неделю привезли 240 кг крупы, а во вторую - 300 кг. Сколько мешков крупы привезли в каждую неделю. Записав каждую задачу кратко, ученики легко установят, в чем их сходство и в чем различие. После решения этих задач дети должны установить сначала сходство решений (обе задачи решаются четырьмя действиями, два первых действия одинаковые), а затем - различие (в первой задаче два последних действия - умножение, а во второй - деление). Заметим, что пары таких задач включены в учебник.

Таким образом,  задачи на пропорциональное деление  - задачи, включающие в себя две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или более постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Задачи этого вида решаются и по действиям и  с помощью составления выражений.

 2.3. Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям

Включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. [1;с. 233.]

 По отношению к каждой тройке величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Однако в начальных классах ограничиваются рассмотрением двух следующих видов задач (см.приложение5)

Сначала рассматриваются задачи I вида, а затем II. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

 До ознакомления с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям важно предусмотреть специальные подготовительные упражнения, с помощью которых раскрывается основная проблема задачи.

В качестве п о д г о т о в и т е л ь н ы х у п р а ж н е н и й  к введению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы  и простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями, например:

1)  Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них больше уплатил денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатил столько же денег, сколько уплатила сестра?

2) Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 9 руб. больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь?

Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать детям, что брат купил столько же тетрадей, сколько сестра, и еще 9 руб. Отсюда можно  заключить, что три тетради стоят 9 руб., значит, можно узнать, сколько стоит одна тетрадь.

Такие упражнения надо включать с различными группами пропорциональных величин.

После  подготовительных упражнений можно перейти к ознакомлению с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Здесь, как и при ознакомлении с задачами на пропорциональное деление, можно использовать различные пути: можно сначала составить задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, преобразовав знакомую задачу на нахождение четвертого пропорционального, а можно сразу предложить готовую задачу. В том и в другом случае надо записать кратко в таблице или выполнить рисунок и после того коллективного составления плана записать решение (лучше отдельными действиями с пояснениями).

 На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям можно использовать упражнения аналогичные тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление. После введения задач на нахождение неизвестных по двум разностям второго вида. По аналогичной методике следует провести работу по сравнению задач этих двух видов и сравнению их решении. Полезны также упражнения по сравнению задач на пропорциональное деление и задач соответствующего вида на нахождение неизвестных по двум разностям.

Итак,  задачи на нахождение неизвестного по двум разностям – задачи, которые включают две переменные величины и  одну постоянную, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

2.4. Задачи на движение

Задачи, связанные с движением, рассматриваемые  в начальных классах, включают в себя описание процесса движения одного или двух тел. Эти задачи  по существу математических зависимостей между величинами, входящими в задачу,  структуре и их моделей нельзя отнести к особому виду задач. В качестве примера рассмотрим пару задач и их решения:

1.А) Из двух городов, находящихся на расстоянии  280 км, выехали одновременно две машины. Через сколько часов машины встретятся, если скорость первой машины 60 км/ч, второй – 80 км/ч.

Б) Двум мастерам нужно изготовить 280 одинак4овых деталей. За сколько часов они могут это сделать вместе, если первый за 1 ч изготавливает 60 деталей, а второй 80 деталей?

Приведем арифметические и алгебраические способы решения этой пары задач:

               280:(80+60)=2                       (80+60)*х=240

2.А) За 6 часов рабочий изготовил 120 одинаковых деталей. Сколько деталей он изготовит за 3 часа?

Б) Пароход прошел 120 км за 6 ч. Сколько километров он пройдет за 3 ч, если будет идти с той же скоростью?

Эту пару задач можно решить тремя способами:

1-й способ                   2-й способ                   3-й способ

1) 120:6=20                  1)6:3=2                        6ч=380 мин

2) 20*3=60                   2) 120:2=60                 3ч=180мин

                                                                          1)360:120=3

                                                                          2)180:3=60

Как видим, структура, модели и способы решения как арифметические, так и алгебраические полностью совпадают. Но задачи связанные с движением, традиционно  выделяют в особый тип, так как эти задачи имеют свою особенность. Особенность состоит в том, что они построены на основе функциональной зависимости между величинами: скоростью, временем и расстоянием.

Подготовительная работа к решению задач связанных с движением, предусматривает: обобщение представлений детей о движении, знакомство с новой величиной – скоростью, раскрытие связей между величинами: скорость, время, расстояние.

С целью обобщения представлений детей  о движении полезно провести специальную экскурсию по наблюдению за движением транспорта, после чего провести наблюдение в условиях класса, где движение будут демонстрировать сами дети. На экскурсии и во время работы в классе пронаблюдать за движением одного тела и двух тел относительно друг друга. Так, одно тело (машина, человек, ит.п.) может двигаться быстрее и медленнее, может остановиться, может двигаться по прямой или кривой. Два тела могут двигаться в одном направлении, а могут двигаться в противоположных направлениях: либо приближаться друг к другу (двигаясь на встречу одно к другому), либо удаляясь одно от другого. Наблюдая указанные ситуации в условиях класса, надо показать детям, как выполняются чертежи: расстояние принято обозначать отрезком; место (пункт) отправления, встречи, прибытия и  т.п. обозначают либо черточкой, либо флажком; направление движения указывают стрелкой.

При ознакомлении со скоростью целесообразно так организовать работу, чтобы учащиеся нашли скорость  своего движения пешком. Для этого можно начертить во дворе, в спортзале или коридоре «замкнутую дорожку». На дорожке надо отметить расстояние по 10 м, чтобы удобнее было находить, какой путь прошел каждый ученик. Учитель предлагает идти по дорожке, например, в течение 4 мин. Учащиеся сами легко найдут по десятиметровым отметкам пройденное расстояние. На уроке каждый из детей может вычислить, какое расстояние он проходит за 1 мин. Учитель сообщает, что расстояние, которое прошел ученик за минуту, называют его скоростью. Ученики называют свои скорости. Затем учитель называет скорости некоторых видов транспорта.

Раскрытие связей между величинами: скорость – время – расстояние  ведется по такой же методике, как и раскрытие связей между другими  пропорциональными величинами. В результате решения соответствующих простых задач ученики должны усвоить такие связи:

если известны расстояние (S) и время (t) движения, то можно найти скорость (v) действием деления;    v=S:t

если известны скорость (v) и время (t) движения, то можно найти расстояние (S)действием умножения;   S=v*t

если известны расстояние (S)и скорость  (v), то можно найти время (t) движения действием деления    t=S:t.

Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать составные задачи, в том числе и задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление,  на нахождение неизвестных по двум разностям с величинами: скорость, время, расстояние. При работе над  этими задачами надо чаще использовать иллюстрации в виде  чертежа, так как чертеж помогает правильно представить жизненную задачу, отраженную в задаче.

Так же как и при решении задач других видов, следует включать упражнения творческого характера на преобразование и составление задач.

Среди составных задач особое внимание должно быть уделено задачам на встречное движение и в противоположных направлениях. Содержание этих задач включает новый элемент: здесь представлено совместное движение двух тел, что требует специального рассмотрения. До введения задач на встречное движение важно провести соответствующую подготовительную работу. Надо познакомить с движением двух тел навстречу друг другу. Такое движение могут продемонстрировать в классе вызванные ученики. Например, два ученика-пешехода начинают двигаться одновременно от двух противоположных стен навстречу друг другу, а при встрече останавливаются. Ученики наблюдают, что расстояние между пешеходами все время уменьшалось, что, встретившись, они прошли все расстояние от стены до стены, и что каждый затратил на движение до встречи одинаковое время. Под руководством учителя выполняется чертеж. Можно провести наблюдение на улице за движением автомашин, пешеходов, велосипедистов и т.п. Расширить представления учащихся о встречном движении можно попутно с решением задач из учебника. С помощью упражнений надо выяснить, что значит 'вышли одновременно' пешеходы, автомашины и т. п. и что при этом они были в пути до встречи одинаковое время. Необходимо также, чтобы ученики твердо усвоили связь между величинами: скоростью, временем и расстоянием при равномерном движении, т. е. умели решать соответствующие простые задачи. При ознакомлении с решением задач на встречное движение можно на одном уроке ввести три взаимно обратные задачи. Сначала предложить задачу на нахождение расстояния, которое пройдут до встречи при одновременном выходе пешеходы, велосипедисты, поезда и т. п., если известны скорость каждого и время движения до встречи.

 Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проводя подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел (пешеходов, автомашин и т. п.) при одновременном их выходе из одного пункта. Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается. При этом надо показать, как выполняется чертеж. При ознакомлении с решением задач этого вида тоже можно на одном уроке решить три  взаимно обратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение задач, а затем их решении. На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение соответствующих задач на встречное движение и движение в противоположных направлениях, а также сравнение решений этих задач. На этом этапе эффективны упражнения на составление различных задач на движение по данным в таблице значениям величин и соответствующим выражениям.

Таким образом, специфика этих задач обуславливается введением такой величины, как скорость движения, а также использованием при их решении схем, которые отражают не отношения между величинами, а процесс движения и во многом облегчают поиск решения.

2.5. Моделирование в процессе обучения решению составных задач

Использование моделирования имеет два аспекта. Во-первых, моделирование является тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, тем методом познания, которым они должны овладеть, во-вторых, моделирование является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение. [16;с.45]

В психолого-педагогической и методической литературе под моделированием понимается построение моделей с целью их изучения или получения новых знаний об объектах. Под моделью понимается мысленно или специально созданная структура, которая отражает в упрощенной и наглядной форме все основные связи и соотношения между элементами задачи, т.е. отражает содержание конкретной задачи.

 Неотъемлемой частью решения любой составной задачи является построение ее модели, исследование которой служит средством для получения ответа на требование задачи.

В процессе решения текстовой задачи обычно выделяют три этапа математического моделирования:

I. Построение математической модели: анализ задачи и перевод условия задачи на математический язык, т.е. выделение исходных данных и искомых величин, описание связей между ними.

II. Решение задач в рамках выбранной математической модели: нахождение значения выражения, выполнение арифметических действий, решение уравнений и неравенств.

III.Интерпретация результатов: перевод полученных решений на естественный язык, получение значений искомых величин.

IV. Модернизации модели. Этот этап, как правило, является необязательным. Однако в некоторых случаях полезно в учебных и познавательных целях произвести анализ выполненного решения, в результате которого можно установить, нет ли другого, более рационального решения, какие выводы можно сделать из полученного решения, можно ли задачу обобщить и т.д. (см. приложение 6)

Первый этап, связанный с выявлением зависимостей между искомыми и данными, а также данных между собой, является наиболее сложным и часто вызывает затруднения. Для облегчения процесса решения задачи и скорейшего нахождения пути решения от словесной модели ситуации, описанной в задаче, сначала переходят к вспомогательной модели, а уж затем к математической.

Построение вспомогательных моделей в процессе решения задач выступает как средство наглядности, помогающее упростить рассматриваемые в задаче ситуации с целью поиска пути ее решения. При этом задачная ситуация преобразуется таким образом, что все ее элементы, отношения между данными и искомыми, входящими в задачу, представлены в легкообозримой форме.  В процессе построения вспомогательной модели происходит переформулировка задачи и появляется идея, которая может привести к решению, т.е. к математической модели.  В качестве вспомогательных моделей могут выступать схематизированные и знаковые модели.

Схематизированные модели подразделяются на вещественные (предметные) и графические. Вещественные модели обеспечивают физическое действие с предметами: палочками, пуговицами, полосками бумаги и т.д. К этому виду моделей относят и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче. Графическими моделями являются: рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж (схема).[2;с.23]

Рисунки могут изображать реальные предметы (людей, животных, растения, машины и т. д.).  На условном же рисунке изображается реальные предметы условно, в виде различных фигур: квадратов, кружков, прямоугольников и т. п.

Чертеж представляет собой также условное изображение предметов, взаимосвязей между ними и взаимоотношения величин с помощью отрезков и соблюдением определенного масштаба.

Чертеж, на котором взаимосвязи и взаимоотношения передаются приблизительно, без точного соблюдения масштаба, называется схематическим чертежом, или схемой.

 К знаковым  моделям, выполненным на естественном языке, относят краткую запись задачи, таблицы.

Например: В трех одинаковых ящиках 21 кг апельсинов. Сколько килограммов в 8 таких ящиков?

К этой составной задаче можно построить вспомогательную модель в виде таблицы.

Но таблица  предполагает хорошее знание учащимися взаимозависимостей пропорциональных величин, так как сама таблица этих  взаимозависимостей не показывает. Поэтому при первичном знакомстве  с задачами связанными с пропорциональными величинами мало помогает представить математическую ситуацию и выбрать нужное действие. При первичном знакомстве с этой задачей целесообразнее  смоделировать ее условие по другому, в виде схематического рисунка или чертежа.

555

    21

55555555

                ?

По такой модели путь решения задачи стал бы более понятным для всех учащихся: чтобы узнать, сколько килограммов апельсинов в 8 ящиках, нужно знать, сколько килограммов апельсинов в одном ящике.

Особенно большую роль играет моделирование при решении задач на движение. При этом модель должны создавать сами учащиеся под руководством учителя. Рассмотрим пример такого моделирования.

Задача: из двух городов, находящихся на расстоянии  520 км, одновременно вышли навстречу друг другу два поезда, которые встретились через 4 ч. Один поезд шел со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью шел  второй поезд?

При работе над этой задачей целесообразно провести беседу, в течение которой учитель выясняет, о каком движении говорится в задаче, что об этом движении известно, и предлагает начертить схему движения. Для этого вызывается ученик, который, повторяя содержание задачи, под наблюдением класса моделирует описанную в ней жизненную ситуацию. Расстояние между городами он изображает в виде отрезка. Направление встречного движения показывает стрелками, а место встречи обозначает флажком. А то, что поезда встретились через 4 ч, ученик отмечает вертикальными штрихами на схеме. И обозначает, так же, цифрами расстояние между городами и скорость движения первого поезда.

Такое моделирование, когда модель возникает на глазах у детей, имеет явное преимущество перед применением готовых рисунков и схем.

Таким образом, чтобы дети лучше представляли себе жизненную ситуацию, отраженную в задаче, легче прослеживали зависимости между величинами, а выбор действия становился для них  осознанным и доказательным, необходимо систематически обучать детей моделированию.

Во второй главе мы рассмотрели методику работы над каждым видом составных задач: задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление и на нахождение неизвестных по двум разностям, задачи на движение. И  их особенности. Методика работы над каждым видом  ведется в соответствии с тремя основными ступенями:

1)   подготовительная работа к решению задачи;

2)   ознакомление с решением задачи;

3)   закрепление умения решать задачи.

Неотъемлемой частью решения любой составной задачи является построение ее модели, исследование которой служит средством для получения ответа на требование задачи.

В процессе решения текстовой задачи обычно выделяют три этапа математического моделирования:

I. Построение математической модели;

II. Решение задач в рамках выбранной математической модели;

III.Интерпретация результатов.       

                                                    Заключение

 В начальном курсе математики текстовым задачам уделяется огромное внимание: практически на каждом уроке школьникам приходится иметь с ними дело. Их можно рассматривать как цель  и как средство обучения, т.к. в процессе решения целесообразно подобранных задач у школьников происходит, как формирование умения решать задачи, так и усвоения содержания начального курса математики.

В ходе работы над темой нами была рассмотрена психолого-педагогическая и методическая литература. Проблемой обучения составным  задачам в начальных классах занимались такие ученые и методисты, как М.А. Бантова, М.И. Моро, Н.Б.   Истоминой. Большое внимание составным задачам  уделяли советские педагоги-математики, и методисты Е.С. Березанская, А.С. Пчелко, Я.С.  Чекмарев и др.

Рассмотрели методику работы над различными видами составных  задач, специфику этого вида учебных упражнений. Обучение решению составных задач в начальных классах строится на умении решать простые задачи, входящие в состав составной. Работа по решению задач должна вестись целенаправленно и систематически.

Рассмотрели  роль моделирования в решении составных задач. Неотъемлемой частью решения  составной задачи является построение модели, исследование которой служит средством для получения ответа на требование задачи. Чтобы дети легче прослеживали зависимости между величинами, а выбор действия становился для них  осознанным и доказательным, необходимо систематически обучать детей моделированию.

Решая составные задачи, учащиеся знакомятся с понятиями, имеющими важное значение в повседневной жизни, такими как цена, стоимость и др., учатся планировать и контролировать свою деятельность.                                                      

Литература

1.Бантова  М.А., Бельтюкова Г.И. Методика преподавания математики в начальных классах: учебное пособие для учащихся школ. отдел-ий пед. уч-щ. / Под ред. М.А. Бантовой  – М.: Просвещение, 1984.

2.Белошистая А.В. Прием графического моделирования при обучению решению задач // начальная школа, 1996, №8.

3.Демидова А.Е. Обучение решению некоторых видов составных задач // Начальная школа: плюс до и после, 2003, №4.

4.Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред.  и высш.  пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2002,.

5.Истомина Н.Б. Работа над составной задачей  //  Начальная школа, 1988, №2.

6.Казько Е.С. работа над текстом задачи с пропорциональными величинами // Начальная школа, 1998, №5.

7.Мамыкина М.Ю. Работа над задачей // Начальная школа, 2003, №4.

8.Матвеева А. Н.  Использование различного построения моделей в процессе обучения решению текстовых задач // Начальная школа: плюс до и после, 2005, №9.

9.Методика  начального обучения математике / А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. – Минск: «Высшая школа»,1988.

10.Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике: пособие для учителя.- М.: Просвещение, 1978.

      11.Семья Ф. Совершенствование работы над составной задачей // начальная школа, 1991, №5.

12.Слепнева И.А. решение задач на равномерное движение // Начальная школа: приложение к газете «Первое сентября», 2002, №19.

13.Сурикова С.В., Анисимова М.В. Использование графовых моделей при решений задач //  Начальная школа, 2000, №4.

14.Темербекова А.А. Методика преподавания математики: Учеб. Пособие для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Гуманит. изд. центр  ВЛАДОС, 2003.

15.Тонких А.П. Математика: Учебное пособие для студентов  факультетов подготовки учителей нач. кл-в.: В 2-х книгах. Кн. 1. – М.: Книжный дом «Университет», 2002.

16.Фонин Д.С., Целищева И.И. Моделирование как важное средство обучения решению задач // Начальная школа, 1990, №3.

17.Фридман Л.М. Методика обучения решению математических задач // математика в школе, 1991, №5.

18.Царева С.В. Обучение решению задач // Начальная школа, 2000, №12.

   19.Целищева И.И. Моделирование в процессе решения текстовых задач // Начальная школа, 1996, №3.

20.Чванов В. Г.  Переформулировка  задачи // Математика в школе,  1987, №5.

21.Шикова Р.Н. Использование моделирования в процессе обучения математике // Начальная школа, 2004, №12.

22.Шикова Р.Н. Методика обучения решению задач, связанных с движением тел // Начальная школа, 2000,№5.

23.Шикова Р.Н. Решение задач на движение в одном направлении // Начальная школа, 2000, №12.

24.Шилова О.А. «Симпатичные» задачи // начальная школа: приложение к газете «Первое сентября», 2002, №3.