Экономическая интерпретация коэффициента регрессии
Министерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО
Всероссийский заочный финансово-экономический
институт
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по Эконометрике
вариант № 6
К.ф. – м.н., доцент кафедры: Василенко В.В.
Студент: Чмиль А.А., ФиК, 3 Курс
Краснодар, 2009
По предприятиям легкой промышленности региона получена
информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений
(X, млн.руб.).
Xi
|
Yi
|
33
|
43
|
17
|
27
|
23
|
32
|
17
|
29
|
36
|
45
|
25
|
35
|
39
|
47
|
20
|
32
|
13
|
22
|
12
|
24
|
Исходные данные.Табл.1
n
|
Xi
|
Yi
|
Yi*Xi
|
Xi2
|
Yi2
|
Y(xi)
|
Yi - Y(xi)
|
(Yi - Y(xi))2
|
A
|
1
|
33
|
43
|
1419
|
1089
|
1849
|
42,23428
|
0,765721183
|
0,5863289
|
1,78%
|
2
|
17
|
27
|
459
|
289
|
729
|
27,69234
|
-0,692335546
|
0,4793285
|
2,56%
|
3
|
23
|
32
|
736
|
529
|
1024
|
33,14556
|
1,3123175
|
3,58%
|
4
|
17
|
29
|
493
|
289
|
841
|
27,69234
|
1,307664454
|
1,7099863
|
4,51%
|
5
|
36
|
45
|
1620
|
1296
|
2025
|
44,96089
|
0,03910682
|
0,0015293
|
0,09%
|
6
|
25
|
35
|
875
|
625
|
1225
|
34,96331
|
0,036692818
|
0,0013464
|
0,10%
|
7
|
39
|
47
|
1833
|
1521
|
2209
|
47,68751
|
-0,687507544
|
0,4726666
|
1,46%
|
8
|
20
|
32
|
640
|
400
|
1024
|
30,41895
|
1,581050091
|
2,4997194
|
4,94%
|
9
|
13
|
22
|
286
|
169
|
484
|
24,05685
|
-2,056849728
|
4,2306308
|
9,35%
|
10
|
12
|
24
|
288
|
144
|
576
|
23,14798
|
0,852021726
|
3,55%
|
сумма
|
235
|
336
|
8649
|
6351
|
11986
|
336
|
0,00
|
12,019795
|
31,93%
|
средняя
|
23,5
|
33,6
|
864,9
|
635,1
|
1198,6
|
33,6
|
0,00
|
1,2019795
|
3,19%
|
δ
|
9,102198
|
8,345058
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
δ2
|
82,85
|
69,64
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
Вспомогательная таблица для расчетов параметров линейной
регрессии. Табл.2
Задание 1
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать
экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
После проведенных расчетов линейная модель имеет вид:
Y = 12,24152 + 0,908871x , коэффициент регрессии составил 0,908871. Экономический
смысл параметра регрессии заключается в следующем: с увеличением
капиталовложений на 1 единицу выпуск продукции увеличивается на 0,908871
единиц.
Задание 2
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить
дисперсию остатков; построить график остатков.
Вычисленные остатки приведены в таблице 2. Остаточная сумма
квадратов составила 12,02. Дисперсия остатков составила:
Dост = ((Y- Yср.)2 - (Y(xi) - Yср.)2)/ (n – 2) = 1,502474351.
График остатков. Рис.1
Задание 3
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Остатки гомоскедастичны, автокорреляция
отсутствует (корреляция остатков и фактора Х равна нулю, рис.1), математическое
ожидание остатков равно нулю, остатки нормально распределены.
Корреляция остатков и переменной Х. Рис
2.
Задание 4
Осуществить проверку значимости
параметров уравнения регрессии с помощью t – критерия
Стьюдента (α = 0,05).
Найдем стандартную ошибку коэффициента
регрессии:
mb = (Dост. / ∑(x – xср.) 2
) ½ = 0,042585061
Теперь проведем оценку значимости коэффициента регрессии:
tb = b / mb = 21,3424949
При α = 0,05 и числе степеней
свободы (n – 2) tтабл. = 2,3060. Так как фактическое
значение t – критерия больше табличного, то гипотезу о
несущественности коэффициента можно отклонить. Доверительный интервал для
коэффицента регрессии определяется как b ± t* mb. Для
коэффициента регрессии b границы составят: 0,908871 – 2,3060*0,042585061 ≤
b ≤ 0,908871+2,3060*0,042585061
0,81067 ≤ b ≤
1,0070722
Далее определим стандартную ошибку параметра a:
ma = (Dост.*( ∑x2 / (n*∑(x – xср.)2 ))1/2 = 1,073194241
ta = a / ma = 11,4066218
Мы видим, что фактическое значение параметра а больше, чем
табличное, следовательно, гипотезу о несущественности параметра а можно
отклонить. Доверительный интервал составит: a ± t* ma. Границы параметра
составят:
12,24152 ± 2,3060*1,073194241
Проверим значимость линейного коэффициента корреляции на
основе ошибки коэффициента корреляции:
mr = ((1 – r2)
/ (n – 2))1/2 = 0,046448763
Фактическое значение t – критерия Стьюдента определяется:
tr = (r / (1 – r2))
* (n – 2)1/2 = 21,3424949
Значение tr фактическое больше табличного, следовательно при уровне значимости α = 0,05 и степени свободы (n – 2),
коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является
достоверной.
Задание 5
Вычислить коэффициент детерминации,
проверить значимость уравнения регрессии с помощью f – критерия
Фишера (α = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.
Сделать вывод о качестве модели.
R2 = Rxy2 = 0,98274 – детерминация.
F = (R2/(1 – R2))*((n – m – 1)/m) = 455,5020887
Fтабл. 5,32 < Fкр. 455,5020887– это говорит о том, что уравнение регрессии статистически
значимо.
Средняя ошибка аппроксимации А = 3,19%. Это говорит о том,
что качество уравнения регрессии хорошее. Расчетные значения отклоняются от фактических
на 3,19%.
Задание 6
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1,
если прогнозное значение фактора X
составит 80% от максимального значения.
Если прогнозируемое значение Хр = 0,8Хmax = 0,8*39 = 31,2 млн.руб., тогда
прогнозное значение объема капиталовложений составит:
Yр = 12,24152 + 0,908871*31,2 = 40,598295 млн.руб.
Ошибка прогноза составит:
myр = Dост.*(1+(1/n)+((xk – xср)2 / ∑(x – xср)2 )1/2 =
1,502474351*(1+(1/10)+ ((31,2 – 23,5)2 / 828,50))1/2 = 1,6262596
млн.руб.
Предельная ошибка прогноза, которая в 90% случаев не будет
превышена, составит:
Δyp = tтабл * myр = 2,3060 * 1,6262596 = 3,7501546
Доверительный интервал прогноза:
γур = Yр ± Δyp
γурmin = 40,598295 – 3,7501546 = 36,848141
млн.руб.
γурmax = 40,598295 + 3,7501546 = 44,348449
млн.руб.
Среднее значение показателя составит:
Yp = (36,848141 + 44,348449) / 2 =
40,598295 млн.руб.
Задание 7
Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза
График фактических и прогнозируемых параметров. Рис.3
Задание 8
Составить уравнения нелинейной регрессии:
·
Гиперболической
·
Степенной
·
Показательной
Построить графики построенных уравнений регрессии.
Y(x) = 54,1842 +
(-415,755) * 1/x – гиперболическое
уравнение регрессии.
Y(x) = 4,746556 * X0,625215
– степенное уравнение регрессии.
Y(x) = 17,38287 *
1,027093X показательное уравнение регрессии.
Графики моделей представлены ниже на рисунках 4,5
и 6.
Рис.4
Рис.5
Рис.6
Задание 9
Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициент
эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по
этим характеристикам и сделать выводы.
Коэффициенты (индексы) детерминации:
R2гип = Rxy = 0,869064776
R2степ = Rxy = 0,978207122
R2показ = Rxy = 0,959136358
Коэффициенты эластичности:
Эгип = -b / (a * x + b) = 0,484804473
Эстеп = b = 0,625215
Эпоказ = x * lnb = 0,628221
Средние относительные ошибки аппроксимации:
А = 1/n * ∑ |y – yxi| * 100%
Агип = 7,26%
Астеп = 3,40%
Апоказ = 3,82%
Как мы видим, степенная регрессия наиболее интересна в
экономическом смысле, потому что у нее самый низкий показатель средней ошибки
аппроксимации, самый высокий показатель эластичности и детерминации. Это
говорит о том, что у степенной регрессионной модели высокое качество, она
предлагает наибольшую прибыль и более зависима от фактора Х (капиталовложений).
Список использованной литературы
1.
Практикум по
эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курашева, Н.М. Гордеенко и
др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192.: ил.
2.
Эконометрика.
Учебник для вузов.; Под ред. чл. – кор. РАН И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и
статистика, 2002. – 344.