Моделирование хозяйственной деятельности предприятия
Министерство образования и науки РФ
Хабаровская государственная академия
экономики и права
Кафедра
высшей математики
Факультет «Финансист»
Специальность: «Финансы и кредит»
Специализация: ГМФ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Вариант
№ 6
Выполнил: Алепов А.В.
студ. 3ФК курса,
г. Южно-Сахалинск 2006 г.
№6
Привести систему к системе
с базисом, найти соответствующее базисное решение и сделать проверку, подставив
решение в исходную систему:
Решение:
Составим таблицу:
|
|
|
|
|
2
|
7
|
3
|
1
|
6
|
1
|
-5
|
1
|
3
|
10
|
6
|
-1
|
-2
|
5
|
-2
|
1
|
-5
|
1
|
3
|
10
|
2
|
7
|
3
|
1
|
6
|
6
|
-1
|
-2
|
5
|
-2
|
1
|
-5
|
1
|
3
|
10
|
0
|
17
|
1
|
-5
|
-14
|
0
|
29
|
-8
|
-13
|
-62
|
|
|
|
|
|
1
|
-5
|
3
|
10
|
0
|
1
|
17
|
-5
|
-14
|
0
|
-8
|
29
|
-13
|
-62
|
1
|
0
|
-22
|
8
|
24
|
0
|
1
|
17
|
-5
|
-14
|
0
|
0
|
165
|
-53
|
-174
|
1
|
0
|
0
|
|
|
0
|
1
|
0
|
|
|
0
|
0
|
1
|
|
|
Получили систему с базисом:
Здесь , , - базисные неизвестные, - свободное неизвестное. Положим . Получим , , .
Подставим решение в исходную
систему:
,
решение найдено верно.
№26
Предположим, что для производства
двух видов продукции А и В можно использовать только материал трех сортов. При этом
на изготовление единицы изделия А расходуется 2 кг материала, 3 кг материала второго
сорта, 4 кг материла третьего сорта. На изготовление единицы изделия В расходуется
5 кг материала, 2 кг материала второго сорта, 3 кг материла третьего сорта. На складе
фабрики имеется всего материала первого сорта 45 кг, второго сорта - 27 кг, третьего
сорта – 38 кг. От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль
7 тыс. рублей, а от продукции вида В прибыль составляет 5 тыс. рублей.
Определить максимальную прибыль
от реализации всей продукции видов А и В. Решить задачу симплексным методом и графически.
Решение:
1. Решение с помощью симплексного
метода.
Составим математическую модель
задачи. Обозначим через х1 и х2 выпуск продукции А и В соответственно.
Затраты материала первого сорта на план составят 2х1 + 5х2 и они
недолжны превосходить запасов 45 кг:
Аналогично, ограничения по
материалу второго сорта
И по материалу третьего сорта:
Прибыль от реализации х1
изделий А и х2 изделий В составит
целевая функция задачи.
Получили модель задачи:
Вводом балансовых переменных
приводим модель к каноническому виду:
Симплекс-таблицу заполняем
из коэффициентов при неизвестных из системы ограничений и функции:
Баз.перем.
|
С
|
План
|
7
|
5
|
0
|
0
|
0
|
х1
|
х2
|
х3
|
х4
|
х5
|
х3
|
0
|
45
|
2
|
5
|
1
|
0
|
0
|
х4
|
0
|
27
|
3
|
2
|
0
|
1
|
0
|
х5
|
0
|
38
|
4
|
3
|
0
|
0
|
1
|
∆Z
|
|
0
|
-7
|
-5
|
0
|
0
|
0
|
x3
|
0
|
27
|
0
|
11/3
|
1
|
-2/3
|
0
|
x1
|
7
|
9
|
1
|
2/3
|
0
|
1/3
|
0
|
х5
|
0
|
2
|
0
|
1/3
|
0
|
-4/3
|
1
|
|
63
|
0
|
-1/3
|
0
|
7/3
|
0
|
x3
|
0
|
5
|
0
|
0
|
1
|
14
|
-11
|
x1
|
7
|
5
|
1
|
0
|
0
|
3
|
-2
|
x2
|
5
|
6
|
0
|
1
|
0
|
-4
|
3
|
∆Z
|
|
65
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
в индексной строке содержатся
две отрицательные оценки , наибольшая по абсолютной величине (-7)
В индексной строке содержится
отрицательная оценка (-1/3).
в индексной строке нет отрицательных
оценок
Так как все оценки положительные
записываем оптимальное решение:
При этом плане прибыль от
реализации изделий х1 = 5 и х2 = 6 составит Zmax = 65; х4 = 0 и х5
= 0 означает, что материал второго и третьего сорта использован полностью, а х3
= 5 говорит о том, что осталось еще 5 кг материала первого сорта.
Получили Zmax = 65 тыс. руб. при .
2. Графическое решение:
Рассмотрим систему линейных
неравенств.
Строим область допустимых
решений данной задачи. Для этого строим граничные линии в одной системе координат:
(I),
(II),
(III),
х1 = 0 (IV), х2 = 0 (V).
Для построения прямых берем
по две точки:
Областью решений является
пятиугольник ABCDO.
Затем строим на графике линию
уровня
и вектор
или
Теперь перемещаем линию уровня
в направлении вектора .
Последняя точка при выходе из данной области является точка С – в ней функция
достигает своего наибольшего
значения.
Подставим найденные значения
в целевую функцию:
.
Т.е. максимальная прибыль
от реализации изделий А и В составит 65 тыс. рублей.
№46
Для модели предыдущей задачи
составить двойственную, из симплексной таблицы найти ее решение и проверить по основной
теореме.
Решение:
Модель предыдущей задачи:
Двойственная ей задача имеет
вид:
Для предыдущей задачи ее решение:
при
Следовательно, по основной
теореме для двойственной задачи: при
Проверка:
верно.
№ 66
Решить транспортную задачу.
Решение:
1. Занесем данные задачи в
таблицу:
|
В1
|
В2
|
В3
|
В4
|
В5
|
|
А1
|
5
|
8
|
7
|
10
|
3
|
100
|
А2
|
4
|
2
|
2
|
5
|
6
|
200
|
А3
|
7
|
3
|
5
|
9
|
2
|
200
|
А4
|
5
|
7
|
4
|
2
|
5
|
100
|
|
190
|
100
|
130
|
80
|
100
|
600
|
2. Составляем математическую
модель задачи: для этого вводим неизвестные хij, которыми являются количество единиц
товара, перевозимого от каждого поставщика к каждому потребителю.
ограничения по поставкам
ограничение по потребителям
Цель задачи (стоимость всей
перевозки) в математической форме:
Задача разрешима, т.к.
.
3. Находим оптимальный план
по методу наименьшего элемента
|
В1
|
В2
|
В3
|
В4
|
В5
|
|
А1
|
5100
|
87
|
76
|
108
|
33
|
100
|
А2
|
4-2 +
|
270-
|
2130
|
53
|
65
|
200
|
А3
|
- 770
|
+330
|
52
|
95
|
2100
|
200
|
А4
|
520
|
76
|
43
|
280
|
55
|
100
|
|
190
|
100
|
130
|
80
|
100
|
600
|
- план невырожденный
Дадим оценку полученному плану
методом потенциалов. Каждому поставщику Аi ставим в соответствие число (, называемое потенциалом поставщика; каждому потребителю
Bj – число (, называемое потенциалом потребителя. Причем и выбираем так, чтобы в любой загруженной клетке
сумма их равнялась тарифу этой клетки, т.е.
Всего занятых клеток m + n – 1 = 8 (план не вырожденный). Придаем
одному из неизвестных значение 0.
Для определения потенциалов
составляем систему:
Откуда
Вычисляем оценки для свободных
клеток по формуле
и запишем их в левом углу
свободных клеток. В клетке (2; 1) получили отрицательную оценку. Строим для нее
цикл
вдоль которого перемещаем
.
Получаем следующий план перевозок:
|
В1
|
В2
|
В3
|
В4
|
В5
|
|
А1
|
5100
|
85
|
108
|
31
|
100
|
А2
|
470
|
20
|
2130
|
54
|
65
|
200
|
А3
|
72
|
3100
|
52
|
97
|
2100
|
200
|
А4
|
520
|
74
|
41
|
280
|
53
|
100
|
|
190
|
100
|
130
|
80
|
100
|
600
|
- план невырожденный
Дадим оценку полученному плану.
Всего занятых клеток m + n – 2 = 7 (план не вырожденный). Придаем двум из неизвестных значение
0.
Для определения потенциалов
составляем систему:
Откуда
Вычисляем оценки для свободных
клеток и записываем их в левом углу свободных клеток.
Все оценки положительны, значит,
план оптимален.
Оптимальный план можем представить
в виде
транспортные расходы по этому
плану составят
условных единиц.