Построение экономико-математических моделей
Контрольная работа
по экономико-математическим методам
Задача №1
Условие задачи:
Администрация штата объявила
торги на n строительных подрядов для n
фирм. Ни с одной фирмой не заключается более одного контракта. По политическим
соображениям чиновники администрации стремятся не заключать более N крупных контрактов с фирмами, расположенными за пределами
штата. Обозначим через 1,2, …, s крупные контракты, а
через 1,2,…,t - фирмы, расположенные за пределами штата.
Целью является минимизация общих затрат при указанном условии. Постройте
соответствующую данным условиям модель.
Решение:
Пусть х - затраты на
строительство, тогда цель задачи "минимизация общих затрат" будет
выражена через функцию
F = x → min
Пусть х1 - затраты на
строительство при подряде местных строительных фирм, х2-затраты на
строительство при подряде строительных фирм, расположенных за пределами штата.
F = n*х1+n*х2 → min
S*t ≤N
nn ≤1
х1, х2≥
0
Задачу минимизации общих затрат
на строительство можно записать как задачу математического программирования
n n t s
F =∑ ∑ Cij *Хij+∑ ∑ Cij*Yij →
min
i=1 j=1 i=1 j=1
При ограничениях
Хij ≤ 1; I,
j= 1, n
Yij ≤ 1; I,
j= 1, n
∑ij≤
N; i=1, t; j=1s
Хij, Yij ≥0
Через Хij обозначен факт заключения администрацией штата с i - той фирмой, расположенной на территории штата, j - того контракта (подряда)
1, i - ая
фирма заключила - контракт
Хij = 0, i - ая фирма не заключила - котракт
Через Yij обозначен факт заключения администрацией штата i - oй фирмой, расположенной за
пределами штата, j - того контракта.
Через Cij обозначены затраты на строительство по j
- тому контракту с i - ой фирмы.
Целевая функция представляет
собой суммарные затраты. Первые два условия ограничивают количество заключаемых
с одной строительной фирмой контрактов в количестве ≤ 1, третье условие
ограничивает количество заключаемых контрактов с фирмами расположенными за
пределами штата, в количестве не более N, четвертое
условие очевидно исходя из условия данной задачи.
Задача № 2
Условие задачи:
На звероферме могут выращиваться
черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания
используется три вида кормов.
Количество корма каждого вида,
которые должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице.
В ней же указаны общее
количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и
прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.
Вид корма
|
Кол-во единиц корма, которые ежедневно должны получать лисицы
|
Кол-во единиц корма, которые ежедневно должны получать песцы
|
Общее
кол-во корма
|
1
|
2
|
3
|
180
|
2
|
4
|
1
|
240
|
3
|
6
|
7
|
426
|
Прибыль от реализации 1 шкурки
|
16
|
12
|
|
Определить, сколько лисиц и песцов
следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации была максимальной.
Решение:
Введем переменные.
Пусть х - это количество лисиц и
песцов, которое следует выращивать на ферме.
Х1 - это количество
лисиц, которое следует выращивать на ферме.
Х2 - это количество
песцов, которое следует выращивать на ферме.
Цель задачи: максимизация
прибыли от реализации шкурок песцов и лисиц. Целевая функция:
F =16х1
+ 12х2→ max
Посмотрим как будут выглядеть
данные в задаче ограничения:
2х1+3х2≤180 -
ограничения корма 1
4х1+х2 ≤
240 - ограничения корма 2
6х1+7х2 ≤
426 - ограничения корма 3
х1, х2≥
0, € Z
После решения задачи в программе
XL получены результаты:
57 лисиц и 12 песцов следует
выращивать на звероферме, чтобы прибыль была максимальной.
Задача № 3
Условие задачи:
Найти оптимальное сочетание
посевов трех продовольственных культур: озимой ржи, пшеницы, картофеля под
посевы отведено 1000га пашни, которая должна использоваться полностью. При этом
общие ресурсы труда составляют 30000 человек. Производство культур
характеризуется показателями таблицы:
показатели
|
Озимая рожь
|
картофель
|
Урожайность с 1га, ц
|
32
|
40
|
250
|
Затраты труда на 1га, человек
|
16
|
20
|
80
|
Материально-денежные затраты на 1га, руб
|
214
|
226
|
782
|
По плану требуется произвести
32000ц зерна, 40000ц картофеля. Критерий оптимизации - минимизация
денежно-материальных затрат на производство продукции. Решить прямую и
двойственную задачи. Провести послеоптимизационный анализ.
Прямая задача:
Пусть х - это количество га
занятых под продовольственные культуры, тогда Х1 - кол-во га,
занятых под озимой рожью, Х2 - кол-во га, занятых под озимой
пшеницей, Х3 - кол-во га, занятых под картофелем.
Целью задачи является - минимизация
денежно-материальных затрат на производство продукции, т.е.
F = 214x1+226x2+782x3 → min
Выделим ограничения,
определенные условиями задачи:
x1+x2+x3=1000,16x1+20x2+80x3≤ 30000,32x1+40x2 ≥ 32000,250x3
≥ 40000,x1, x2,
x3 ≥ 0.
Решаем задачу в программе XL и получаем результат:
Х1, т. е количество
га, занятых под озимой рожью=125га.
Х2, т. е количество
занятых га под озимую пшеницу =700га.
Х3, т. е количество
занятых га под картофель=175га.
Это будет оптимальное сочетание
посевов трех продовольственных культур. Затраты на производство продукции
составили 825руб.
Двойственная задача:
На первом этапе приведем прямую
задачу к двойственной задачи.
х1+x2+x3 ≥1000
х1+x2+x3 ≤ 1000
16x1+20x2+80x3 ≤
30000
32x1+40x2 ≥ 32000
250x3
≥ 40000
x1
x2 x3 ≥
0
матрица ограничений. Умножаем на
- 1.
x1-x2-x3 ≤-1000
x1+x2+x3 ≤
1000
16x1+20x2+80x3 ≤
30000
32x1-40x2 ≤ - 32000
250x3
≤ - 40000
x1,
x2,x3 ≥
0
транспонированная матрица
коэффициентов ограничения
х1 х2 х3
у1 - 1 - 1 - 1 - 1000
у2 1 1 1 1000
у3 16 20 80 30000
у4 - 32 - 40 0 - 32000
у5 0 0 - 250 – 40000
Целевая функция двойственной
задачи будет выглядеть следующим образом:
Z = - 1000y1 +1000y2 +
30000y3 - 32000y4
- 40000y5 → max
y1+y2+16y3-32y4 ≤ 214
y1+y2+20y3-40y4 ≤ 226
y1+y2+80y3-250y5 ≤ 782
решаем ограничения в программе XL