n
|
Y
|
0
|
1,00
|
1
|
2,25
|
2
|
4,56
|
3
|
9,14
|
4
|
18,29
|
5
|
36,57
|
Завдання
№2
Динаміка
національного доходу Yt визначається рівнянням Самуельсона-Хікса [6]
(1.2.0)
де а=2;
b =1,25; c=1. Знайти залежність Yt, якщо Y0=0, Y0=1
Рішення:
1.
Динаміка об'єктів різної природи часто описується лінійними кінцево-різницевими
рівняннями виду
xt = F
(xt‑1, xt-2,…, xt-n),
(1.2.1)
Характеристичний
стан об'єкта xt у будь-який момент часу t зі
станами в попередні моменти часу. Рішення рівняння (1.2.1) n‑го
порядку визначено однозначно, якщо задані n так званих початкових
умов. Звичайно як початкові умови розглядаються значення xt
при t = 0, 1,…, n – 1.
Підставляючи
початкові значення xn‑1,…, x1, x0
і t = n як аргументи функції в правій
частині (1.2.1), знаходимо xn; використовуючи
знайдене значення й підставляючи тепер xn, xn‑1,…, x2 x1
і t = n + 1 як аргументи функції, знаходимо xn+1,
і т. д. Процес може бути продовжений доти, поки не будуть вичерпані всі
досліджуємі значення t.
У
моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницеві
рівняння виду xt = a1 xt-1 + a2
xt-2 + f(t) – лінійні кінцево-різницеві
рівняння другого порядку, що є приватним видом рівняння (1.2.1).
2.
Варіант початкових даних Y0=0.
Рішення
рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7 [4]:
> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2),
f(0)=0}, f(n));
Ø Samuelson_Hiks3:=simplify(%);
Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі
Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного
доходу (n‑1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі.
Тільки тоді з’являється можливість розрахування послідовних значень для точки
(n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n‑1), то отриманне рівняння
моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).
3.
Варіант початкових даних Y0=1.
Рішення
рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:
> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2),
f(0)=1}, f(n));
> Samuelson_Hiks3:=simplify(%);
Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі
Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного
доходу (n‑1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі.
Тільки тоді з’являється можливість розрахування послідовних значень для точки
(n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n‑1), то отримане рівняння
моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).
4.
Варіант початкових даних Y0=0, Y1=1.
Рішення
рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:
> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2),
f(0)=0, f(1)=1}, f(n));
Ø Samuelson_Hiks3:=simplify(%);
Завдання
№3
Попит
D та пропозиція S як функції ціни p задаються виразами
(1.3.0)
Знайти
стаціонарну ціну pD=S(при умові D=S – вирівнювання попиту та
пропозиції) та з’ясувати чи вона є стійкою.
Рішення:
1.
Аналіз стійкості рівноважної ціни pD=S, якщо попит D та пропозиція S
завдані функціями:
(1.3.1)
виконується
для дискретного підходу за наступним алгоритмом [1].
Нехай
ціна близька до рівноважної, при якій попит D дорівнює пропозиції S:
(1.3.2)
Тоді
рівняння (1.3.1) в кінцевих різницях можна представити як:
З
умови рівноваги попиту та пропозиції та умови (1.3.2), маємо наступне
перетворення рівнянь (1.3.3):
(1.3.4)
а
оскільки
(1.3.5)
то
рівняння (1.3.4) трансформується до вигляду:
(1.3.6)
Який
перетворюється до наступної форми:
(1.3.7)
Для
приросту ціни ∆pi отримане рівняння (1.3.7) є характеристичним
однорідним різницевим рівнянням з сталим коефіцієнтом. Умова стійкості його
розв’язку має вигляд [1]:
(1.3.8)
2.
Для системи рівнянь (1.3.0) пошук рівноважної ціни PD=S виконується
за схемою:
(1.3.9)
Рішення
рівняння (1.3.9) в пакеті MAPLE7 дає рішення:
> solve (– (sqrt(L)*sqrt(L))+sqrt(L)+2=0);
тобто
p=4.
3.
Знаходимо похідні в точці рівноваги р=4:
(1.3.10)
Оскільки
умови стійкості для отриманих значень похідних в точці рівноваги не виконуються
(1.3.11), то рівноважне рішення р=4 є нестійким
(1.3.11)
Неперервні
динамічні системи
Завдання
№1
Найти
розв’язок рівняння Харода-Домара
з
початковою умовою Y (t=0) =Y0; s, A, і – const;
Позначення
(згідно з моделлю Харода – Домара роста національного доходу держави у часі) [6]:
Y(t)
– рівень національного доходу держави у часі;
– схильність населення до заощаджень
(0< s < 1,0), тобто частка національного доходу, яка відкладується в
заощадження;
t –
час;
i –
коефіцієнт індукованих інвестицій при зміні національного доходу ∆Y(t),
тобто частка приросту національного доходу, яка йде на інвестування економіки;
А –
рівень незалежних сталих інвестицій
Рішення:
1. У загальному вигляді
модель економічного зростання складається із системи п’яти рівнянь [6]:
1)
формула виробничої функції, якою передається обсяг потенційного випуску, тобто
випуску продукції за умов повної зайнятості;
2)
основна макроекономічна тотожність Yt=Ct+It показує, що вимірник випуску (доходу) Y поділяється
в теорії зростання на споживання С та інвестиції І; вимірники
державних витрат G і чистого експорту NX окремо в таких моделях
не вирізняються, а розподіляються на споживання та інвестиції держави й інших
країн світу (тобто вводяться в компоненти С та І);
3)
формула розрахунку динаміки обсягу капіталу з урахуванням інвестицій та
амортизації основного капіталу (за умови нульового інвестиційного лагу) має
вигляд:
Kt=Kt-1+It–Wt,
де Kt – запас капіталу наприкінці періоду t;
Іt – інвестиції за весь період t;
Wt, – амортизація капіталу за період t.
Наведена
формула вказує на те, що кількість капіталу зростає на величину інвестицій та
зменшується на величину амортизаційних відрахувань;
4)
формула для розрахунку вибуття капіталу (амортизації) має вигляд:
де – постійна (незмінна) норма
амортизації, яка задається екзогенно отже, вважається, що вибуття капіталу є
пропорційним до величини його запасу;
5)
щодо інвестицій, то передбачається, що вони складають постійний процент від
випуску It= s* Yt, де s – норма інвестицій (частка інвестицій у
сукупному продукті (доході). Норма інвестицій s збігається з нормою
заощадження, оскільки сукупні заощадження St дорівнюють сукупним інвестиціям Іt. Відповідно, Yt=Ct+St=Ct+It.
Таким
чином, модель економічного зростання у загальному вигляді складається із
системи п’яти наведених рівнянь, які містять сім змінних (Y, K, L, C, I, , s), три із яких задаються
екзогенно:
—
затрати праці L (зростають
із постійним темпом n);
—
норма амортизації основного
капіталу ;
—
норма заощадження s (задається
безпосередньо або ж у вигляді певних умов, наприклад, максимізація споживання).
Мета
дослідників – з’ясувати питання про те, як змінюються ендогенні змінні в моделі
економічного зростання (Y, C та І) і який із чинників є
визначальним фактором довгострокового економічного зростання.
Модель
економічного зростання Харода–Домара
Це
найпростіша модель економічного зростання, і була вона розроблена наприкінці 40‑х
рр. Модель описує динаміку доходу (Y), який є сумою споживчих (С)
та інвестиційних (І) витрат. Економіка вважається закритою, тому чистий
експорт (NX) дорівнює нулю, а державні витрати (G) в моделі не
вирізняються. Основним фактором зростання є нагромадження капіталу.
Основні
передумови моделі:
–
постійна продуктивність капіталу MPK = dY/dK;
–
постійна норма заощадження s = I/Y;
–
відсутній процес вибуття капіталу W = 0;
–
інвестиційний лаг дорівнює нулеві, тобто інвестиції миттєво переходять у
приріст капіталу. Формально це означає, що dK(t) = I(t);
–
модель не враховує технічного прогресу;
—
випуск не залежить від затрат
праці, оскільки праця не є дефіцитним ресурсом;
—
використовується виробнича
функція Леонтьєва, яка передбачає неможливість взаємозаміни акторів виробництва
– праці і капіталу.
Припускається,
що швидкість доходу пропорційна інвестиціям: dY = MPK * I(t) = MPK * s * Y, а темп
приросту доходу dY/Y * dt є постійним і дорівнює s * MPK. Він прямо
пропорційний нормі заощаджень та граничній продуктивності капіталу. Інвестиції
(І) та споживання (С) в моделі Харода-Домара зростають з таким же
постійним темпом (s * MPK).
2.
Рішення проводимо в пакеті MAPLE7, використовуючи функцію вирішення
диференційного рівняння з початковими умовами Y (t=0)=Y0:
> L6:=diff (y(t), t)=(s/i*y(t) – A/i*t);
Ø ans1:= dsolve({L6, y(0)=Y0},
y(t));
Таким
чином, розв’язком рівняння Харода-Домара у вигляді
з
початковою умовою Y (t=0) =Y0; s, A, і – const;
є
функція:
Завдання
№2
Попит
D та пропозиція S як функції змінної в часі ціни p=F(t) та її похідних
задаються виразами
(2.2.0)
Знайти
стаціонарну ціну рівноваги попиту та пропозиції pD=S(t) – при умові
D=S – вирівнювання попиту та пропозиції, як функцію часу, та з’ясувати чи вона
є стійкою (оцінити рівень динаміки похідної ).
Рішення:
1.
Якщо попит D та пропозиція S є функціями ціни p(t) та її першої та другої
похідних , то
їх рівняння в загальному вигляді можна представити наступним чином [1]:
(2.2.1)
2. В
умовах пошуку точок рівноваги попиту та пропозиції:
(2.2.2)
рівняння
(2.2.1), віднімаючи перше від другого, перетворюємо у наступне рівняння
(2.2.3)
яке
має наступні початкові умови:
(2.2.4)
Загальний
розв’язок рівнянь (2.2.1) – (2.2.4) має вигляд [1]:
(2.2.5)
де С1
та С2 – довільні сталі;
– корені характеристичного рівняння:
(2.2.6)
Після
вирішення рівняння (2.2.6), отримані – корені характеристичного
рівняння в рівнянні (2.2.5) характеризують стаціонарність рівноважної ціни p(t)
наступним чином:
1)
Якщо обидва корені – є дійсними від’ємними або
комплексними з від’ємною дійсною частиною, то рівняння (2.2.5) перетворюється
до вигляду:
(2.2.7)
та з
наростанням t рівноважна ціна p(t) буде прямувати до ціни рівноваги попиту D та
S – PD=S, оскільки 1 та другий член рівняння (2.2.7) будуть
наближатися до нуля.
2)
Якщо обидва корені – є дійсними позитивними, або
один з них має позитивний знак, або комплексними з позитивною дійсною частиною,
то згідно рівнянь (2.2.5), (2.2.7) з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде
віддалятися від до ціни рівноваги попиту D та S – PD=S, оскільки або
перший, або другий член рівняння (2.2.5) будуть наближатися до .
3. В
точці рівноваги попиту та пропозиції D=S, рівняння (2.2.0) перетворюються в
наступне диференційне рівняння другого порядку похідних:
(2.2.8)
Для
пошуку точок стаціонарної ціни рівноваги pD=S враховуємо умови
дорівнювання нулю першої та другої похідної в цих точках:
(2.2.9)
тоді
рівняння (2.2.8) перетворюється до вигляду, який дозволяє розрахувати значення
стаціонарної ціни рівноваги попиту та прозиції:
(2.2.10)
Для
рівняння (2.2.8) характеристичне рівняння має наступний вигляд:
(2.2.11)
а
корені його рішення, розраховані в пакеті MAPLE7, дорівнюють
> solve (L*L‑7*L‑30);
Оскільки корені характеристичного рівняння (2.2.11) дійсні та мають різні знаки – рішення
рівняння (2.2.10) є нестійким.
Завдання
№3
Знайти
стаціонарні точки динамічної системи
(2.3.0)
та
дослідити їх стійкість в лінійному наближенні.
Рішення:
1. Положення
рівноваги вихідної динамічної системи (стаціонарні точки динамічної системи) визначається
наступними умовами:
(2.3.1)
звідкіля
маємо систему рівнянь рівноваги
(2.3.2)
Рішення
системи рівнянь рівноваги (2.3.2) в пакеті MAPLE7 дає наступні 4 пари коренів –
стаціонарних точок рівноваги динамічної системи (2.3.0):
> eqp1:=-x*x+2*x-x*y=0;
> eqp2:=-y*y+6*y‑2*x*y=0;
>
> solve({eqp1, eqp2}, {x, y});
(2.3.3)
2. Для
дослідження стійкості кожного з отриманих рішень, складаємо системи першого
наближення в околицях точок рівноваги за допомогою розкладення в ряд Тейлора. Формула
Тейлора для функції двох змінних x, y у першому наближенні (тільки рівень 1
похідних) для функції в околицях точки x0,
y0 має наступний вигляд [7]:
(2.3.4)
Побудову
систем рівнянь першого наближення системи (2.3.2) виконуємо за допомогою пакета
MAPLE7 [4]:
> DxDt:=-x*x+2*x-x*y;
> mtaylor (DxDt, [x=0, y=0], 2);
> mtaylor (DxDt, [x=2, y=0], 2);
> mtaylor (DxDt, [x=4, y=-2], 2);
> mtaylor (DxDt, [x=0, y=6], 2);
(2.3.5)
> DyDt:=-y*y+6*y‑2*x*y;
> mtaylor (DyDt, [x=0, y=0], 2);
> mtaylor (DyDt, [x=2, y=0], 2);
> mtaylor (DyDt, [x=4, y=-2], 2);
> mtaylor (DyDt, [x=0, y=6], 2);
(2.3.6)
6. Використовуючи
отримані результати (2.3.5), (2.3.6), дослідження стійкості рішення для 4‑х
пар коренів проводимо в наступній послідовності [5]:
6.1.
1 пара коренів – x=0, y=0
Cистема
характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0,
y=0) має вигляд:
Для знаходження умов стійкості
будуємо характеристичну матрицю:
Звідки характеристичне рівняння
Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають
однакові знаки, що відповідає стійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=0, y=0).
Пара
коренів – x=2, y=0
Cистема
характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=2,
y=0) має вигляд:
Виконуючи заміну змінних в системі () на
отримуємо модифіковану систему рівнянь:
Для знаходження умов стійкості
будуємо характеристичну матрицю:
Звідки характеристичне рівняння
Вирішуємо рівняння () в пакеті
MAPLE7
> L2:=a*a+0*a‑2=0;
>
> solve(L2);
Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають
різні знаки, що відповідає нестійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=2, y=0).
3
пара коренів – x=4, y=-2
Cистема
характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0,
y=6) має вигляд:
Виконуючи заміну змінних в системі () на
отримуємо модифіковану систему рівнянь:
Для знаходження умов стійкості
будуємо характеристичну матрицю:
Звідки характеристичне рівняння
Вирішуємо рівняння () в пакеті
MAPLE7
> solve (L*L+2*L+8);
Корені рішення цього рівняння та є комплексні та
мають однакові негативні знаки при дійсній частині, що відповідає стійкості
рішення рівноваги [5] в точці (x=4, y=-2).
Пара коренів
– x=0, y=6
Cистема
характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=4,
y=-2) має вигляд:
Виконуючи заміну змінних в системі () на
отримуємо модифіковану систему рівнянь:
Для знаходження умов стійкості
будуємо характеристичну матрицю:
Звідки характеристичне рівняння
Корені рішення цього рівняння та є дійсними та мають
знак (–) при дійсній частині, що відповідає асимптотичній стійкості рішення
рівноваги [5] в точці (x=4, y=-2).