Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА
по
дисциплине «Планирование и прогнозирование
в условиях
рынка»
на тему:
Доверительные интервалы прогноза
Оценка
адекватности и точности моделей
Содержание
Глава 1. Теоретическая
часть 3
Глава 2. Практическая
часть 9
Список используемой
литературы 13
Глава 1. Теоретическая часть
Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей
1.1 Доверительные интервалы прогноза
Заключительным этапом применения кривых роста является
экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения
исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений
времени t, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом
прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется
только одно значение прогнозируемого показателя.
На практике в дополнении к точечному
прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого
показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого
показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.
Несовпадение фактических данных с
точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста,
может быть вызвано:
1. субъективной ошибочностью
выбора вида кривой;
2. погрешностью оценивания
параметров кривых;
3. погрешностью, связанной с
отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний
уровень ряда на каждый момент времени.
Погрешность, связанная со вторым и
третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза.
Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением
тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:
(1.1.),
где n - длина
временного ряда;
L -период упреждения;
yn+L -точечный прогноз на
момент n+L;
ta- значение
t-статистики Стьюдента;
Sp- средняя
квадратическая ошибка прогноза.
Предположим, что тренд
характеризуется прямой:
Так как оценки параметров
определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они
содержат погрешность. Погрешность параметра ао приводит к
вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a1- к изменению
угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных
реализаций относительно линий тренда, дисперсию можно
представить в виде:
(1.2.),
где - дисперсия отклонений фактических наблюдений от
расчетных;
t1 -
время упреждения, для которого делается экстраполяция;
t1 = n + L ;
t - порядковый номер уровней ряда, t =
1,2,..., n;
- порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда,
Тогда доверительный интервал
можно представить в виде:
(1.3.),
Обозначим корень в выражении
(1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от
длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или
К*= taK . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:
(1.4.),
Выражение, аналогичное
(1.3.), можно получить для полинома второго порядка:
(1.5.),
или
(1.6.),
Дисперсия отклонений
фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:
(1.7.),
где yt-
фактические значения уровней ряда,
- расчетные значения уровней ряда,
n- длина временного ряда,
k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.
Таким образом, ширина
доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения,
среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.
Чем выше степень полинома,
тем шире доверительный интервал при одном и том же значении Sy,
так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий
соответствующих параметров уравнения
Рисунок 1.1. Доверительные
интервалы прогноза для линейного тренда
Доверительные интервалы
прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют
аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров
кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами
значения уровней временного ряда, а их логарифмы.
По такой же схеме могут быть
определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в
случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной
экспоненты).
В таблице 1.1. приведены
значения К* в зависимости от длины временного ряда n
и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при
увеличении длины рядов (n) значения К* уменьшаются, с ростом периода
упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода
упреждения неодинаково для различных значений n : чем
больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L.
Таблица 1.1.
Значения К* для оценки
доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического
тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).
|
Линейный тренд
|
|
Параболический тренд
|
Длина ряда
(п)
|
Период упреждения (L) 1
2 3
|
длина ряда (п)
|
период упреждения (L) 1
2 3
|
7
|
2,6380 2,8748 3,1399
|
7
|
3,948 5,755 8,152
|
8
|
2,4631 2,6391 2,8361
|
3,459 4,754 6,461
|
9
|
2,3422 2,4786 2,6310
|
9
|
3,144 4,124 5,408
|
10
|
2,2524 2,3614 2,4827
|
10
|
2,926 3,695 4,698
|
11
|
2,1827 2,2718 2,3706
|
11
|
2,763 3,384 4,189
|
12
|
2,1274 2,2017 2,2836
|
12
|
2,636 3,148 3,808
|
13
|
2,0837 2,1463 2,2155
|
13
|
2,536 2,965 3,516
|
14
|
2,0462 2,1000 2,1590
|
14
|
2,455 2,830 3,286
|
15
|
2,0153 2,0621 2,1131
|
15
|
2,386 2,701 3,100
|
16
|
1,9883 2,0292 2,0735
|
16
|
2,330 2,604 2,950
|
17
|
1,9654 2,0015 2,0406
|
17
|
2,280 2,521 2,823
|
18
|
1,9455 1,9776 2,0124
|
18
|
2,238 2,451 2,717
|
19
|
1,9280 1,9568 1,9877
|
19
|
2,201 2,391 2,627
|
20
|
1,9117 1,9375 1,9654
|
20
|
2,169 2,339 2,549
|
21
|
1,8975 1,9210 1,9461
|
21
|
2,139 2,293 2,481
|
22
|
1,8854 1,9066 1,9294
|
22
|
2,113 2,252 2,422
|
23
|
1,8738 1,8932 1,9140
|
23
|
2,090 2,217 2,371
|
24
|
1,8631 1,8808 1,8998
|
24
|
2,069 2,185 2,325
|
25
|
1,8538 1,8701 1,8876
|
25
|
2,049 2,156 2,284
|
Глава 2. Практическая часть
Задание
1.5. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании
Таблица 1.2.
Курс акций фирмы IBM
t
|
yt
|
t
|
yt
|
t
|
yt
|
1
|
510
|
11
|
494
|
21
|
523
|
2
|
497
|
12
|
499
|
22
|
527
|
3
|
504
|
13
|
502
|
23
|
523
|
4
|
510
|
14
|
509
|
24
|
528
|
5
|
509
|
15
|
525
|
25
|
529
|
6
|
503
|
16
|
512
|
26
|
538
|
7
|
500
|
17
|
510
|
27
|
539
|
8
|
500
|
18
|
506
|
28
|
541
|
9
|
500
|
19
|
515
|
29
|
543
|
10
|
495
|
20
|
522
|
30
|
541
|
2. По данным задания №1 рассчитать
экспоненциальную среднюю при значении параметра адаптации а равным 0,5.
Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних,
полученные при а=0,1 и а =0,5. Указать, какой ряд носит более
гладкий характер.
3. Прогнозирование курса акций фирмы
IBM осуществлялось на основе адаптивной полиномиальной модели второго порядка
где - период упреждения.
На последнем шаге получены
следующие оценки коэффициентов:
Рассчитать прогноз курса
акций:
• на 1 день вперед (=1);
• на 2 дня вперед (=2).
Решение задания 1.5
1. Определим
Найдем значения
экспоненциальной средней при а=0,1.
. а=0,1 - по условию;
; S1 = 0,1 х
510 + 0,9 х 506 = 506,4;
; S2 = 0,1 х
497 + 0,9 х 506,4 = 505,46;
; S3 = 0,1 х
504 + 0,9 х 505,46 = 505,31 и т.д.
Результаты расчетов
представлены в таблице 1.3.
2.
а=0,5 - по условию.
; S1 = 0,5 х
510 + 0,5 х 506 = 508;
; S2 = 0,5 х
497 + 0,5 х 508 = 502,5 и т.д.
Результаты расчетов
представлены в таблице 1.3.
Таблица 1.3.
Экспоненциальные средние
t
|
Экспоненциальная средняя
|
t
|
Экспоненциальная средняя
|
|
а=0,1
|
а=0,5
|
|
а=0,1
|
а=0,5
|
1
|
506,4
|
508
|
16
|
505,7
|
513,3
|
2
|
505,5
|
502,5
|
17
|
506,1
|
511,7
|
3
|
505,3
|
503,2
|
18
|
506,1
|
508,8
|
4
|
505,8
|
506,6
|
19
|
507,0
|
511,9
|
5
|
506,1
|
507,8
|
20
|
508,5
|
517
|
6
|
505,8
|
505,4
|
21
|
509,9
|
520
|
7
|
505,2
|
502,7
|
22
|
523,5
|
8
|
504,7
|
501,4
|
23
|
512,8
|
523,2
|
9
|
504,2
|
500,7
|
24
|
514,3
|
525,6
|
10
|
503,4
|
497,8
|
25
|
515,8
|
527,3
|
11
|
502,4
|
495,9
|
26
|
518,0
|
532,7
|
12
|
502,0
|
497,5
|
27
|
520,1
|
525,8
|
13
|
502,0
|
499,7
|
28
|
522,2
|
538,4
|
14
|
502,7
|
504,4
|
29
|
524,3
|
540,7
|
15
|
505,0
|
514,7
|
30
|
525,9
|
540,9
|
Рисунок 1.2. Экспоненциальное
сглаживание временного ряда курса акций: А - фактические данные; В -
экспоненциальная средняя при альфа = 0,1; С - экспоненциальная средняя при
альфа = 0,5
При а=0,1 экспоненциальная
средняя носит более гладкий характер, т.к. в этом случае в наибольшей степени
поглощаются случайные колебания временного ряда.
3. Прогноз по адаптивной полиномиальной модели второго
порядка формируется на последнем шаге, путем подстановки в уравнение модели
последних значений коэффициентов и значения -
времени упреждения.
Прогноз на 1 день вперед (= 1):
(дол.)
Прогноз на 2 дня вперед (= 2):
(дол.)
Список используемой литературы
1. Дуброва Т.А. Статистические
методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие / Московский
государственный университет экономики, статистики и информатики. - М.: МЭСИ,
2003. - 52с.
2. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М.
Анализ временных рядов и прогнозирование М.: Финансы и статистика, 2001.
3. Лукашин Ю.П. Регрессионные и
адаптивные методы прогнозирования. Учебное пособие. - М.: МЭСИ, 1997.