Вычисление наибольшей прибыли предприятия
Содержание
Задача
1 2
Задача
2 4
Задача
3 6
Задача 1
Пусть х (млн. шт.) - объем производства, С(х)=2х3-7х
и D(x)=2х2+9х+15
- соответственно функция издержек и доход некоторой фирмы. При каком значении х
фирма получит наибольшую прибыль π(х)?
какова эта прибыль?
Решение
Прибыль фирмы является разницей между доходом и
издержками фирмы:
,
,
.
Найдем
наибольшее значение прибыли путем нахождения максимума функции 
.
- не
удовлетворяет условию задачи,
.
График
функции прибыли представлен на рисунке 1.
Рисунок
1 - График функции прибыли
Как
видно из рисунка 1, функция прибыли в точке х=2 достигает максимального
значения. Следовательно, фирма получает наибольшую прибыль при объеме
производства 2 млн. шт. и эта прибыль составляет:
млн. у.е.
Ответ:
наибольшую прибыль фирма получит при объеме производства 2 млн. шт. и эта
прибыль составит 39 млн. у.е.
Задача 2
Заданы:
функция прибыли 
, где х1
и х2 - объемы некоторых ресурсов; цены р1=1 и р2=1
за единицу каждого ресурса соответственно (в некоторых у.е.); бюджетное
ограничение I=150 на
затраты по приобретению указанных ресурсов (в тех же у.е.). При каких значениях
объемов используемых ресурсов фирма-производитель получит наибольшую прибыль?
Решение
Задача
сводится к поиску максимума функции 
при существовании ограничения 
:
при
.
,
.
Найдем
максимум функции графически.
Рисунок
2 - График функции 
Как
видно, функция достигает максимального значения при х1=90.
,
.
Ответ:
фирма-производитель получит наибольшую прибыль при объемах ресурсов х1=90
и х2=60.
Задача 3
Задана парная выборка из 10 пар значений
случайных велbчин X
и Y (таблица 1).
Таблица 1 - Исходные данные
|
х
|
у
|
|
1
|
5
|
70
|
|
2
|
11
|
65
|
|
3
|
15
|
55
|
|
4
|
17
|
60
|
|
5
|
2
|
50
|
|
6
|
22
|
35
|
|
7
|
25
|
40
|
|
8
|
27
|
30
|
|
9
|
30
|
25
|
|
10
|
32
|
1) Изобразите корреляционное поле случайных
величин X и Y.
2) Вычислите основные числовые
характеристики случайных величин X
и Y: их математические
ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации.
3) Найдите их совместные числовые
характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции.
4) С помощью найденных характеристик
составьте уравнение линейной регрессии Y
на X.
5) Составьте уравнение линейной регрессии X
на Y.
6) Нанесите найденные уравнения на
корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии.
7) Вычислите стандартные ошибки
коэффициентов регрессии b0
и b1.
8) Проверьте гипотезы о статистической
значимости коэффициентов регрессии b0
и b1.
9) Вычислите с надежностью 0,95
интервальные оценки коэффициентов b0
и b1
регрессии Y на X.
10) Найдите коэффициент детерминации R2
и поясните смысл полученного результата.
Решение.
1) Корреляционное поле случайных величин X
и Y
2) Основные числовые характеристики
случайных величин X и Y:
их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и
размах вариации
Таблица 2 - Вспомогательные расчеты
|
х
|
у
|
х2
|
y2
|
xy
|
|
1
|
5
|
70
|
25
|
4900
|
350
|
|
2
|
11
|
65
|
121
|
4225
|
715
|
|
3
|
15
|
55
|
225
|
3025
|
825
|
|
4
|
17
|
60
|
289
|
3600
|
1020
|
|
5
|
2
|
50
|
4
|
2500
|
100
|
|
6
|
22
|
35
|
484
|
1225
|
770
|
|
7
|
25
|
40
|
625
|
1600
|
1000
|
|
8
|
27
|
30
|
729
|
900
|
810
|
30
|
25
|
900
|
625
|
750
|
|
10
|
35
|
32
|
1225
|
1024
|
1120
|
|
сумма
|
189
|
462
|
4627
|
23624
|
7460
|
|
средн
|
18,9
|
46,2
|
462,7
|
2362,4
|
746
|
Математическое ожидание:
,
.
Дисперсия:
,
.
Среднеквадратическое
отклонение:
,
.
Размах
вариации:
,
.
3) Совместные числовые характеристики:
ковариацию, коэффициент корреляции
Ковариация:
.
Коэффициент
корреляции:
.
4) Уравнение линейной регрессии Y
на X
,
,
.
5) Уравнение линейной регрессии X
на Y
,
,
.
6) Нанесите найденные уравнения на
корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии
Точка
пересечения (18,4;46,9).
7) Стандартные ошибки коэффициентов
регрессии b0
и b1
Таблица 3 - Вспомогательные расчеты
|
х
|
у
|
x'
|
y'
|
x-xcp
|
y-ycp
|
(x-xcp)2
|
(y-ycp)2
|
|
1
|
5
|
70
|
5,572
|
62,975
|
-13,028
|
16,775
|
169,7288
|
281,4006
|
11
|
65
|
8,3645
|
55,745
|
-10,2355
|
9,545
|
104,7655
|
91,10702
|
|
3
|
15
|
55
|
13,9495
|
50,925
|
-4,6505
|
4,725
|
21,62715
|
22,32562
|
|
4
|
17
|
60
|
11,157
|
48,515
|
-7,443
|
2,315
|
55,39825
|
5,359225
|
|
5
|
2
|
50
|
16,742
|
66,59
|
-1,858
|
20,39
|
3,452164
|
415,7521
|
|
6
|
22
|
35
|
25,1195
|
42,49
|
6,5195
|
-3,71
|
42,50388
|
13,7641
|
|
7
|
25
|
40
|
22,327
|
38,875
|
3,727
|
-7,325
|
13,89053
|
53,65563
|
|
8
|
27
|
30
|
27,912
|
36,465
|
9,312
|
-9,735
|
86,71334
|
94,77023
|
|
9
|
30
|
25
|
30,7045
|
32,85
|
12,1045
|
-13,35
|
146,5189
|
|
10
|
35
|
32
|
26,795
|
26,825
|
8,195
|
-19,375
|
67,15803
|
375,3906
|
|
сумма
|
189
|
462
|
188,643
|
462,255
|
2,643
|
0,255
|
711,7565
|
1531,748
|
|
средн
|
18,9
|
46,2
|
18,8643
|
46,2255
|
0,2643
|
0,0255
|
71,17565
|
153,1748
|
Для линии регрессии Y
на X:
,
,
.
Для
линии регрессии X на Y:
,
,
.
8) Проверка гипотезы о статистической
значимости коэффициентов регрессии b0
и b1
Для α=0,05
и k=n-1-1=8
значение критерия Стьюдента t=2,31
Для линии регрессии Y
на X:
,
коэффициент значим,
,
коэффициент значим.
Для
линии регрессии X на Y:
,
коэффициент значим,
,
коэффициент значим.
9) Вычисляем с надежностью 0,95
интервальные оценки коэффициентов b0
и b1
регрессии Y на X
Доверительный интервал для b0:
<a0<
,
<a0<
,
54,97<a0<83,03.
Доверительный
интервал для b1:
<a1<
,
<a1<
,
-1,23<a1<-1,17.
10) Коэффициент детерминации R2
:
.
Коэффициент
детерминации R2=0,6724
показывает, что вариация параметра Y на 67,24%
объясняется фактором Х. Доля влияния неучтенных факторов - 32,76%.