t
|
yt
|
1
|
43
|
2
|
47
|
3
|
50
|
4
|
48
|
5
|
54
|
6
|
57
|
7
|
61
|
8
|
59
|
9
|
65
|
Требуется:
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
2) Построить линейную модель ,
параметры которой оценить МНК ( - расчетные,
смоделированные значения временного ряда).
3) Построить адаптивную модель Брауна с
параметром сглаживания a= 0,4 и a=
0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.
4) Оценить адекватность построенных моделей,
используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и
соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия
взять табулированные границы 2,7-3,7).
5) Оценить точность моделей на основе
использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6) По двум построенным моделям осуществить
прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза
рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
7) Фактические значения показателя, результаты
моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной
части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при
использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
Решение. 1.
Для выявления аномальных наблюдений используем метод Ирвина. Для каждого уровня
временного ряда рассчитывается статистика
,
где -
стандартное отклонение уровней ряда.
Стандартное отклонение определяется с помощью
встроенной функции EXCEL
«СТАНДОТКЛОН»: Sy=7,29
млн. руб. Расчет значений t для всех уровней ряда, начиная со
второго. Табличное значение критерия Ирвина для уровня значимости a=0,05
и длины временного ряда n=9
составляет l=1,5. Видно, что ни одно из значений lt
не превышает критического значения, что свидетельствует об отсутствии аномальных
наблюдений.
2. Линейную трендовую модель строим
с помощью надстройки EXCEL
«Анализ данных… Регрессия»:
Уравнение линейного тренда имеет вид (см. «Коэффициенты»):
.
Угловой коэффициент показывает, что спрос на
кредитные ресурсы финансовой компании за одну неделю возрастает в среднем на
2,58 млн. руб.
Коэффициент детерминации уравнения R2»0,941
превышает критическое значение для a=0,05
и n=9, что
свидетельствует о статистической значимости линейной модели и наличии
устойчивого линейного тренда во временном ряду. Само значение R2
показывает, что изменение спроса во времени на 94,1 % описывается линейной
моделью.
1) По первым пяти точкам временного ряда методом
наименьших квадратов оцениваем параметры а0 и а1
линейной модели
.
Получаем начальные значения параметров модели
Брауна и
,
которые соответствуют моменту времени t=0
(определены с помощью функций EXCEL
«ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН» соответственно.
2) Находим прогноз на первый шаг (t=1):
.
3) Определяем величину отклонения расчетного
значения от фактического:
.
4) Скорректируем параметры модели для параметра
сглаживания =0,4 по формулам:
;
,
где -
коэффициент дисконтирования данных, отражающий степень доверия к более поздним
наблюдениям; - параметр
сглаживания (=);
-
отклонение (остаточная компонента).
По условию =0,4,
следовательно значение b равно:
.
Получим:
;
,
5) По модели со скорректированными параметрами a0(t)
и a1(t)
находим прогноз на следующий момент времени:
.
Для t=2:
.
6) Возвращаемся к пункту 3 и повторяем
вычисления до конца временного ряда.
7) Вычислим среднюю относительную ошибку для
данного параметра сглаживания:
8) Корректировка параметров модели для =0,7
и =0,3:
;
9) Средняя относительная ошибка для данного
параметра:
Таким образом, судя по средней относительной
ошибке при =0,4 и =0,7,
в первом случае =4,1%, а во втором
случае =5,0%.
Следовательно, =0,4 - лучшее
значение параметра сглаживания, т.к. средняя относительная ошибка меньше.
4. Оценим адекватность линейной модели.
Рассчитанные по модели значения спроса ,
остатки и
их график были получены в EXCEL
одновременно с построением модели (см. «ВЫВОД ОСТАТКА» в прил. 4).
Случайность остаточной компоненты проверим по
критерию поворотных точек. В нашем случае общее число поворотных точек в ряду
остатков составляет p=4.
Критическое число поворотных точек для a=0,05
и n=9
определяется по формуле
Так как ,
остатки признаются случайными.
Проверим независимость остатков с помощью
критерия Дарбина-Уотсона (отсутствие автокорреляции). Для
расчета d-статистики
используется выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:
d-статистика
имеет значение (см. прил. 4):
;
;
Критические значения d-статистики
для a=0,05
и n=9
составляют: d1=0,82; d2=1,32. Так как
выполняется условие
,
то нет достаточных оснований сделать тот или
иной вывод о выполнении свойства независимости. Проверим независимость остатков
по коэффициенту автокорреляции первого порядка, который равен (см. прил.
4):
.
Для расчета коэффициента автокорреляции
использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:
Критическое значение коэффициента автокорреляции
для a=0,05
и n=9
составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции не превышает по абсолютной
величине критическое значение, то это указывает на отсутствие автокорреляции в
ряде динамики. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.
Проверим равенство нулю математического ожидания
уровней ряда остатков. Среднее значение остатков равно нулю: (определено
с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ»; см. прил. 4).
Поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда
нулю выполняется.
Нормальный закон распределения остатков
проверяем с помощью R/S-критерия,
определяемого по формуле
,
где emax;
emin
- наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью
встроенных функций «МАКС» и «МИН»); -
стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН»;
см. прил. 4).
Критические границы R/S-критерия
для a=0,05
и n=9 имеют
значения: (R/S)1=2,7
и (R/S)2=3,7.
Так как R/S-критерий
попадает в интервал между критическими границами, то ряд остатков признается
соответствующим нормальному закону распределения вероятностей. Модель по этому
критерию адекватна.
Таким образом, выполняются все пункты проверки
адекватности модели: модель признается адекватной исследуемому процессу.
Оценим адекватность построенной модели Брауна: с
параметром сглаживания (см. таблица
2):
Таблица 2 - Анализ ряда остатков модели Брауна
Проверяемое свойство
|
Используемые статистики
|
Граница
|
Вывод
|
|
наименование
|
значение
|
нижняя
|
верхняя
|
|
Независимость
|
d-критерий
Дарбина-Уотсона r(1)-коэффициент
автокорреляции
|
d=2,79 -0,44
|
0,82
|
1,32 0,666
|
Нельзя
сделать вывод по этому критерию r(1)<0,666
адекватна
|
Случайность
|
Критерий
пиков (поворотных точек)
|
2
|
адекватна
|
Нормальность
|
RS-критерий
|
R/S=
|
2,7
|
3,7
|
неадекватна
|
Мат.ожидание≈0
|
t-статистика Стьюдента
|
|
|
2,306
|
адекватна
|
Вывод:
модель статистически неадекватна
|
5. Оценим точность линейной модели на основе
использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации
находим по формуле:
%
Значение Eотн
показывает, что предсказанные моделью значения спроса на кредитные ресурсы
отличаются от фактических значений в среднем на 2,57 %. Модель имеет хорошую
точность.
Оценим точность модели Брауна с параметром
сглаживания :
Модель Брауна также имеет хорошую точность,
однако она несколько ниже, чем у линейной трендовой модели.
6. Строим точечный и интервальный прогнозы
спроса на 1 и 2 недели вперед для линейной модели:
Прогноз на 1 неделю вперед
(период упреждения k=1):
1) Точечный прогноз :
млн. руб.
Среднее прогнозируемое значение спроса равно
64,5 млн. руб.
2) Интервальный прогноз
с надежностью (доверительной вероятностью) g=0,7.
необходимые расчеты приведены в таблице 3:
млн. руб.,
где tтаб=1,083
- табличное значение t-критерия
Стьюдента для доверительной вероятности g=0,7.
С вероятностью 70 % фактическое значение спроса
на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 62,13 до 66,87 млн. руб.
Таблица 3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t
|
yt
|
|
|
|
1
|
43
|
16
|
|
|
2
|
47
|
9
|
|
|
3
|
50
|
4
|
|
|
4
|
48
|
1
|
|
|
5
|
54
|
0
|
|
|
6
|
57
|
1
|
|
|
7
|
61
|
4
|
|
|
8
|
59
|
9
|
|
|
9
|
65
|
16
|
|
Среднее
|
5
|
-
|
60
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прогноз на 2 недели вперед
(период упреждения k=2):
1) Точечный прогноз:
Среднее прогнозируемое значение спроса равно
66,8 млн. руб.
2) Интервальный прогноз
с надежностью g=0,7:
млн. руб.,
С вероятностью 70 % фактическое значение спроса
на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 64,29 до 69,31 млн. руб.
Построим прогноз для модели Брауна на следующие
2 недели. Параметры модели, полученные для последнего уровня временного ряда
(т. е. для t=n=9),
используются для построения прогноза спроса по формуле:
.
Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k=1):
млн. руб.
С вероятностью 70 % значение спроса на кредитные
ресурсы будет находиться в интервале от 63,213 до 70,361 млн. руб.
Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k=2):
млн. руб.
Значение спроса на кредитные ресурсы будет
находиться в интервале от 65,603 до 73,167 млн. руб.
7. График временного ряда спроса строим с
помощью надстройки «Диаграмма» EXCEL.
Предварительно выделяется блок ячеек «t»
и «yt»
вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» «Диаграмма…»:
Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма»
®
«Добавить линию тренда…» ® «Линейная»),
и устанавливаем «Прогноз» вперед на 2 единицы и назад на 1 единицу, а
также вывод на диаграмме уравнения тренда и коэффициента детерминации R2.