Исследование изменения нормы выработки рабочего
Постановка задачи
Целью данного исследования является
изучение изменения выработки рабочего (млн. руб.) под действием следующих
факторов:
1. Выполнение норм выработки, %
2. Удельный вес рабочих, невыполняющих
нормы, %
3. Вооруженность рабочего активной
частью основных фондов, руб/чел
4. Электровооруженность труда рабочего,
кВтчас/чел
5. Удельный вес обновленных основных
фондов, %
Выдвинем гипотезы о характере
зависимости между факторами и результирующим показателем:
I. Зависимость между выполнением нормы выработки и выработкой рабочего:
- Выполнение норм выработки
увеличилось – объем выработки рабочего увеличился.
- Выполнение норм выработки
увеличилось – объем выработки рабочего не изменился.
- Выполнение норм выработки
увеличилось – объем выработки рабочего уменьшился.
II. Зависимость между удельным весом
рабочих, невыполняющих нормы, и выработкой рабочего:
- Удельный вес рабочих, невыполняющих
нормы, увеличился – объем выработки рабочего увеличился.
- Удельный вес рабочих, невыполняющих
нормы, увеличился – объем выработки рабочего не изменился.
- Удельный вес рабочих, невыполняющих
нормы, увеличился – объем выработки рабочего уменьшился.
III. Зависимость между вооруженностью рабочего активной частью основных
фондов и выработкой рабочего:
- Вооруженность
рабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочего
увеличился.
- Вооруженность
рабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочего
не изменился.
- Вооруженность
рабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочего
уменьшился.
IV. Зависимость между электровооруженностью
труда рабочего и выработкой рабочего:
- Электровооруженность труда рабочего
увеличилась – объем выработки рабочего увеличился.
- Электровооруженность труда рабочего
увеличилась – объем выработки рабочего не изменился.
- Электровооруженность труда рабочего
увеличилась – объем выработки рабочего уменьшился.
V. Зависимость между удельным весом обновленных фондов и выработкой
рабочего:
- Удельный вес обновленных основных
фондов увеличился – объем выработки рабочего увеличился.
- Удельный вес обновленных основных
фондов увеличился – объем выработки рабочего не изменился.
- Удельный вес обновленных основных
фондов увеличился – объем выработки рабочего уменьшился.
Проверка требований, предъявляемых к
исходным данным
1. Проверим данные на однородность.
Используя коэффициент вариации (который должен быть меньше или равен 0,33), мы
можем сказать, что следующие факторы являются неоднородными:
§
Удельный вес
рабочих, невыполняющих нормы, %
§
Удельный вес
обновленных основных фондов, %
2. Проверим достаточность наблюдений.
Для этого должно выполняться соотношение n-p-1>30 или n/p≥4(3), получаем, что 35-5-1<30 или 35/5≥4(3),
поэтому наши факторы нельзя считать достаточными.
3. Определим форму зависимости и
тесноту связи между факторами и результирующим показателем. Для этого построим
поля корреляции и рассчитаем корреляционную матрицу. Cвязь между выработкой рабочего и:
·
выполнением норм выработки прямая и достаточно тесная (r ≈ 0,79)
·
удельным весом рабочих, невыполняющих нормы обратная и достаточно тесная
(r ≈ -0,88)
·
вооруженностью рабочего активной частью основных фондов прямая и
достаточно тесная (r ≈ 0,97)
·
электровооруженностью труда рабочего прямая и достаточно тесная (r ≈ 0,79)
·
удельным весом обновленных основных фондов прямая и слабая (r ≈ 0,06)
Далее проведем
анализ существенности факторов, оставляя наиболее значимые для нашей модели. В
итоге получаем, что у нас остается только 3 фактора: удельный вес рабочих,
невыполняющих нормы, вооруженность рабочего активной частью основных фондов,
электровооруженностью труда рабочего, которые наименее зависимы друг от друга и
наиболее сильно влияют на наш результирующий показатель.
На основе этих выводов
начинаем расчет параметров регрессионной модели.
регрессионный
модель норма выработка
Расчет параметров регрессионной
модели
Регрессионная
статистика
|
Множественный
R
|
0.987
|
R-квадрат
|
0.973
|
Нормированный
R-квадрат
|
0.968
|
Стандартная
ошибка
|
191.728
|
Наблюдения
|
32
|
Из данной таблицы видно, что связь
между результирующим показателем и факторами, влияющими на него довольно тесная
(коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, что
данные факторы объясняют зависимый показатель ≈ на 98% (коэффициент
детерминации равен 0,973).
Дисперсионный анализ
|
df
|
SS
|
MS
|
F
|
Значимость F
|
Регрессия
|
5
|
35004128.889
|
7000825.778
|
190.449
|
1.28667E-19
|
Остаток
|
26
|
36759.538
|
|
|
Итого
|
31
|
35959876.875
|
|
|
|
|
Коэффициенты
|
Стандартная
ошибка
|
t-статистика
|
P-Значение
|
Y-пересечение
|
1474.909
|
477.841
|
3.087
|
0.005
|
Выполнение
норм выработки, %
|
0.206
|
3.963
|
0.052
|
0.959
|
Удельный вес
рабочих, невыполняющих нормы, %
|
-300.376
|
75.323
|
-3.988
|
0.000
|
Вооруженность
рабочего активной частью основных фондов, руб/чел
|
2.483
|
0.295
|
8.429
|
0.000
|
Электровооруженность
труда рабочего, кВтчас/чел
|
0.569
|
0.152
|
3.743
|
0.001
|
Удельный вес
обновленных основных фондов, %
|
-0.680
|
12.887
|
-0.053
|
0.958
|
Проверим статистическую значимость
параметров модели. Для этого воспользуемся критерием Стьюдента. Параметр модели
считается статистически надежным, если t расчетное будет больше t табличного. В нашем случае t табличное = 2,056 степень свободы f = n – p –1 = количество наблюдений –
количество факторов –1 = 32-5-1=26. Таким образом получаем, что
- t выполнения норм выработки < t табличного
0,052 < 2,056, поэтому данный
фактор исключаем из модели, т.к. значение этого фактора наиболее статистически
не значимо, по сравнению с другими факторами.
- t удельного веса рабочих, невыполняющих нормы > t
табличного
|-3,988|> 2,056, поэтому данный фактор надежный
- t вооруженности рабочего активной частью основных фондов >
t табличного
8,429 > 2,056, поэтому данный фактор надежный
- t электровооруженности труда рабочего > t табличного
3,743 > 2,056, поэтому данный фактор надежный
- t удельного веса обновленных основных фондов < t табличного
|-0,053|<2,056, поэтому данный
фактор ненадежный.
Исключив выполнение норм выработки,
мы получаем следующие результаты
Регрессионная
статистика
|
Множественный
R
|
0,987
|
R-квадрат
|
0,973
|
Нормированный
R-квадрат
|
0,969
|
Стандартная
ошибка
|
188,153
|
Наблюдения
|
32
|
Из данной таблицы видно, что связь
между результирующим показателем и оставшимися факторами довольно сильная
(коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, что
данные факторы объясняют изменение зависимого показателя ≈ на 98%
(коэффициент детерминации равен 0,973).
Дисперсионный анализ
|
df
|
SS
|
MS
|
F
|
Значимость F
|
Регрессия
|
4
|
8751007,492
|
247,191
|
7,62398E-21
|
Остаток
|
27
|
955846,908
|
35401,737
|
|
|
Итого
|
31
|
35959876,875
|
|
|
|
|
Коэффициенты
|
Стандартная
ошибка
|
t-статистика
|
P-Значение
|
Y-пересечение
|
1491,715
|
344,700
|
4,328
|
0,0002
|
Удельный вес
рабочих, невыполняющих нормы, %
|
-301,202
|
72,248
|
-4,169
|
0,0003
|
Вооруженность
рабочего активной частью основных фондов, руб/чел
|
2,491
|
0,243
|
10,230
|
0,0000
|
Электровооруженность
труда рабочего, кВтчас/чел
|
0,568
|
0,149
|
3,817
|
0,0007
|
Удельный вес
обновленных основных фондов, %
|
-0,347
|
10,966
|
-0,032
|
0,9750
|
Проверим статистическую значимость
параметров модели. Для этого воспользуемся критерием Стьюдента. Параметр модели
считается статистически надежным, если t расчетное будет больше t табличного. В этом случае t табличное = 2,052 степень свободы f = n – p –1 = количество наблюдений –
количество факторов –1 = 32-4-1=27. Таким образом получаем, что
- t удельного веса рабочих, невыполняющих нормы > t
табличного
|-4,169|> 2,052, поэтому данный
фактор надежный
- t вооруженности рабочего активной частью основных фондов >
t табличного
10,230 > 2,052, поэтому данный
фактор надежный
- t электровооруженности труда рабочего > t табличного
3,817 > 2,052, поэтому данный
фактор надежный
- t удельного веса обновленных основных фондов < t табличного
|-0,032|<2,052, поэтому данный
фактор исключаем из модели.
Исключив удельный вес обновленных
основных фондов, мы получаем следующие результаты
Регрессионная
статистика
|
Множественный
R
|
0,987
|
R-квадрат
|
0,973
|
Нормированный
R-квадрат
|
0,971
|
Стандартная
ошибка
|
184,766
|
Наблюдения
|
32
|
Из данной таблицы видно, что связь
между результирующим показателем и оставшимися факторами довольно сильная
(коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, что
данные факторы объясняют изменение зависимого показателя ≈ на 98%
(коэффициент детерминации равен 0,973).
Дисперсионный анализ
|
|
df
|
SS
|
MS
|
F
|
Значимость F
|
|
|
Регрессия
|
3
|
35003994,574
|
341,783
|
3,76386E-22
|
|
|
Остаток
|
28
|
955882,301
|
34138,654
|
|
|
|
|
Итого
|
31
|
35959876,875
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты
|
Стандартная
ошибка
|
t-статистика
|
P-Значение
|
Y-пересечение
|
1494,197
|
329,602
|
4,533
|
0,000099
|
Удельный вес
рабочих, невыполняющих нормы, %
|
-301,747
|
68,898
|
-4,380
|
0,000151
|
Вооруженность
рабочего активной частью основных фондов, руб/чел
|
2,491
|
0,239
|
10,430
|
0,000000
|
Электровооруженность
труда рабочего, кВтчас/чел
|
0,566
|
0,132
|
4,299
|
0,000187
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уровень значимости у обоих факторов
меньше 0,05.
Получаем следующую модель
X0=1494,197-301,747x2+2,491x3+0,566x4
Проверим полученную
модель на надежность с помощью критерия Фишера. В нашем случае Fрасч.= 341,783, а Fтабл.=2,947,
поэтому данная модель является надежной (Fрасч>Fтабл).
Для оценки качества регрессии
рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации
Наблюдение
|
Предсказанное выработка
рабочего, млн.руб.
|
Остатки
|
Выработка
рабочего, (млн.руб.) фактич
|
Отн погреш
|
1
|
3960,03
|
-269,03
|
3691,00
|
0,07
|
2
|
3442,05
|
273,95
|
3716,00
|
0,07
|
3
|
3905,43
|
-140,43
|
3765,00
|
0,04
|
4
|
4186,50
|
-167,50
|
4019,00
|
0,04
|
5
|
4237,83
|
15,17
|
4253,00
|
0,00
|
6
|
4201,88
|
4263,00
|
0,01
|
7
|
4364,52
|
-77,52
|
4287,00
|
0,02
|
8
|
4631,87
|
-158,87
|
4473,00
|
0,04
|
9
|
4549,11
|
19,89
|
4569,00
|
0,00
|
10
|
4777,32
|
-180,32
|
4597,00
|
0,04
|
11
|
4824,86
|
-176,86
|
4648,00
|
0,04
|
12
|
5180,78
|
-40,78
|
5140,00
|
0,01
|
13
|
5200,13
|
18,87
|
5219,00
|
0,00
|
14
|
5020,98
|
231,02
|
5252,00
|
0,04
|
15
|
5446,69
|
-168,69
|
5278,00
|
0,03
|
16
|
5151,89
|
130,11
|
5282,00
|
0,02
|
17
|
5321,41
|
43,59
|
5365,00
|
0,01
|
18
|
5404,72
|
-38,72
|
5366,00
|
0,01
|
19
|
5398,77
|
111,23
|
5510,00
|
0,02
|
20
|
5391,17
|
143,83
|
0,03
|
21
|
5748,79
|
-130,79
|
5618,00
|
0,02
|
22
|
5326,94
|
355,06
|
5682,00
|
0,06
|
23
|
5577,32
|
176,68
|
5754,00
|
0,03
|
24
|
6048,86
|
-52,86
|
5996,00
|
0,01
|
25
|
6311,85
|
-212,85
|
6099,00
|
0,03
|
26
|
6099,09
|
8,91
|
6108,00
|
0,00
|
27
|
6270,27
|
359,73
|
6630,00
|
0,05
|
28
|
6653,02
|
97,98
|
6751,00
|
0,01
|
29
|
6810,74
|
15,26
|
6826,00
|
0,00
|
30
|
7123,60
|
98,40
|
7222,00
|
0,01
|
31
|
7722,25
|
-388,25
|
7334,00
|
0,05
|
32
|
7555,35
|
42,65
|
7598,00
|
0,01
|
|
|
|
|
0,86
|
|
Средняя
относительная ошибка аппроксимации
|
2,679
|
В нашем случае, ошибка аппроксимации (έ)
равна:
έ= (0,86/32)*100%=2,68%
Так как средняя ошибка аппроксимации
допускается не более 10%, то точность нашей модели можно считать приемлемой.
Анализ результатов моделирования
Итак, в нашем случае, получилось
следующие уравнение регрессии в натуральном масштабе
X0=1494,197-301,747x2+2,491x3+0,566x4
·
если удельный вес
рабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1 %, а вооруженность рабочего
активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего останутся
на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 301,747 млн. руб.
·
если вооруженность
рабочего активной частью основных фондов увеличить на 1 руб./чел., а удельный
вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность труда рабочего
оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 2,491 млн. руб.
·
если
электровооруженность труда рабочего увеличить на 1 кВтчас/чел, а удельный вес
рабочих, невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной частью основных
фондов оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,566
млн. руб.
Рассчитаем уравнение регрессии в
стандартизованном масштабе:
β2= -301,75*(0,87/1077,03)= -0,242 β3=2,49*(273,33/ 1077,03)= 0,632
β4=0,57*(358,26/1077,03)=0,188
Уравнение регрессии в
стандартизованном масштабе имеет следующий вид
t0=-0,242t2+0,632t3+0,188t4
Это значит, что:
·
если удельныйвес
рабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1 его стандартное отклонение, а вооруженность
рабочего активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего
останутся на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 0,242σ.
·
если вооруженность
рабочего активной частью основных фондов увеличить на 1 его стандартного
отклонения, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность
труда рабочего оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,632
σ.
·
если
электровооруженность труда рабочего увелечить на 1 его стандартного отклонения,
а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной
частью основных фондов оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увелечится
на 0,188 σ.
Рассчитаем коэффициенты эластичности
Э2= -301,75*(0,28/5370,19)= -0,016 и Э3=2,49*(1028,09/5370,19)=0,477
Э4= 0,57*(2474/5370,19)= 0,261
из этого следует, что:
·
если удельныйвес
рабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1%, а вооруженность рабочего
активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего останутся
на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 0,016%.
·
если
вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличить на %, а
удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность труда
рабочего оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,477%.
·
если
электровооруженность труда рабочего увеличить на 1%, а удельный вес рабочих,
невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной частью основных фондов
оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,261%.
Размещено на