Анализ данных в линейной регрессионной модели
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«Московский государственный институт электронной технки
(технический универститет)»
Курсовая работа
по дисциплине
«Теория вероятности и математическая статистика»
Тема работы
«Анализ данных в линейной регрессионной модели»
Выполнил:
Студент
группы ЭКТ-21
Рыжов
С.А.
Проверил:
Преподаватель
Бардушкина
И. В.
Москва - 2010
Вариант
20.
Задание
1
Выполнить
предварительную обработку результатов наблюдений, включающую:
1
построение
диаграммы рассеивания (корреляционного поля);
2
группировку
данных и построение корреляционной таблицы;
3
оценку числовых
характеристик для негруппированных и группированных данных.
Оценка числовых
характеристик для негруппированных данных:
X
|
Y
|
X
|
Y
|
4,19
|
9,19
|
4,44
|
9,13
|
3,04
|
11,94
|
11,31
|
4,58
|
4,6
|
8,09
|
7,57
|
3,14
|
9,83
|
10,33
|
1,62
|
14,61
|
8,66
|
7,15
|
5,71
|
6,48
|
1,3
|
12,34
|
11,06
|
6,78
|
4,22
|
16,35
|
10,35
|
2,15
|
5,11
|
7,7
|
2,46
|
9,66
|
9,85
|
5,64
|
1,02
|
11,19
|
8,8
|
4,52
|
5,77
|
7,77
|
12,17
|
4,52
|
4,05
|
11,25
|
2,06
|
6,91
|
4,76
|
5,73
|
7,41
|
3,56
|
8,54
|
4,05
|
10,51
|
9,47
|
2,22
|
5,41
|
9,97
|
6,16
|
3,72
|
1,28
|
14,68
|
8,26
|
3,57
|
1,67
|
9,67
|
6,7
|
14,32
|
11,99
|
3,31
|
4,95
|
10,64
|
7,66
|
5,93
|
3,37
|
10,73
|
5,17
|
9,87
|
1,53
|
10,13
|
3,26
|
11,52
|
9,54
|
4,95
|
12,58
|
2,88
|
3,11
|
5,38
|
8,34
|
3,57
|
5,09
|
5,79
|
5,79
|
4,39
|
11,08
|
3,87
|
3,42
|
9,71
|
8,74
|
-2,23
|
Сумма X
|
317.78
|
|
|
Сумма Y
|
369,18
|
|
|
MX
|
6,3556
|
|
|
MY
|
7,3836
|
|
|
s2X
|
11,02005
|
|
|
s2Y
|
15,31479
|
|
|
KXY
|
|
|
ρXY
|
-0,7194
|
|
|
Числовые характеристики
для негруппированной выборки находятся по следующим формулам:
, ;
;
;
;
;
Построение
корреляционного поля:
Построение корреляционной
таблицы:
Таблица 1.1
Y
X
|
-1.5
|
1.5
|
4.5
|
7.5
|
10.5
|
13.5
|
16.5
|
ni.
|
2.5
|
0
|
0
|
1
|
1
|
8
|
3
|
0
|
13
|
5.5
|
0
|
0
|
4
|
5
|
6
|
1
|
1
|
17
|
8.5
|
1
|
1
|
8
|
1
|
1
|
0
|
0
|
12
|
11.5
|
0
|
3
|
4
|
1
|
0
|
0
|
0
|
8
|
nj.
|
1
|
4
|
17
|
8
|
15
|
4
|
1
|
50
|
Оценка числовых
характеристик для группированных данных:
, ;
, ;
;
, ;
;
;
= - 0.87
Задание 2
Для негруппированных
данных проверить гипотезу об отсуствии линейной статистической
связи между компонентами X и Y при альтернативной гипотезе ( уровень значимости α = 0,05);
Выборочное значение
статистики равно
,
Используя средства Matlab, найдем
Так как выборочное
значение статистики больше квантили распределения Стьюдента, гипотеза H0 отклоняется в сторону гипотезы H1. Корреляция значима.
Задание 3
Для негруппированых
данных получить интервальную оценку для истинного значения коэффициента
корреляции ρX,Y, при уровне значимости α = 0,05.
Используя средства Matlab, найдем
,
,
Задание 4
Для негруппированных и
группированных данных составить уравнения регрессии Y на x и X на Y.
Рассмотрим вначале случай
негруппированных данных.
Этот интервал не содержит
нуля, т.е. с доверительной вероятностью 1 – ЫВА = 0,95 существует корреляция
между X и Y и имеет смысл построение уравнений регрессии.
,
y(x) = 12,77 – 0,848*x;
x(y) = 10,86 – 0,6*y;
Проверка.
, .
, ;
,
, ;
Случай группированных
данных.
Подставим найденные
значения в уравнеиня
линейной регрессии Y
на x и X на y. Получим:
y(x) = 17,14 – 1,4*x;
x(y) = 10,83 – 0,54*y;
Проверка:
Задание 5
Для негруппированных
данных нанести графики выборочных регрессионных прямых на диаграмму
рассеивания.
Задание 6
Для негруппированных
данных по найденным оценкам параметров линейной регрессии Y на x получить оценку s2 для дисперсии ошибок наблюдений σ2, найти коэффициент детерминации R2, построить доверительные интервалы
для параметров регрессии a и b, дисперсии ошибок наблюдений σ2 и среднего значения Y при x = x0 .
Для негруппированных
данных были получены следующие оценки числовых характеристик и коэффициентов
регрессии: , , , , , , , .
Используя соотношение , вычислим остаточную сумму
;
;
;
.
;
Тогда оценка дисперсии
ошибок наблюдений равна
.
Коэффициент детерминации
равен
.
Поскольку (знак ), то сделаем проверку правильности расчетов:
(верно).
Полученный результат для
коэффициента детерминации означает, что уравнение регрессии на 49,7% объясняет общий разброс
результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой .
Построим доверительные
интервалы для параметров линейной регрессии и дисперсии ошибок наблюдений.
С помощью Matlab найдем квантили распределений
Стьюдента и :
– доверительный интервал
для параметра :
;
;
– доверительный интервал
для параметра :
;
;
– доверительный интервал
для дисперсии ошибок наблюдений :
;
.
-Найдем границы
доверительных интервалов для среднего значения при :
;
.
Задание 7. Для негруппированных данных
проверить значимость линейной регрессии Y на x
(уровень значимости α
= 0,05).
Гипотеза : отклоняется на уровне значимости , так как доверительный
интервал не
накрывает нуль с доверительной вероятностью 0,95.
Этот же результат можно
получить, используя для проверки гипотезу : и статистику .
С помощью Matlab найдем квантили распределения
Фишера:
, .
Выборочное значение
статистики равно:
.
Поскольку , то гипотеза : отклоняется на уровне значимости . Таким образом, линейная
регрессия на статистически значима.
Задание №8
Для данных,
сгруппированных только по , проверить адекватность линейной регрессии на (уровень значимости ).
Для проверки адекватности
воспользуемся корреляционной таблицей. Будем считать, что середины интервалов
группировки , , являются значениями
компоненты . Тогда
число повторных
наблюдений равно 4. Запишем результаты этих наблюдений в виде таблицы
Таблица 1.2
|
2,5
|
5,5
|
8,5
|
11,5
|
|
11,94
12,34
14,68
9,87
11,52
9,71
14,61
9,66
11,19
8,54
10,73
10,13
5,38
|
9,19
8,09
16,35
7,70
7,41
10,51
9,97
9,87
4,39
6,48
7,77
4,76
3,72
14,32
10,64
5,79
9,13
|
10,33
7,15
5,64
4,52
4,52
3,57
3,14
2,22
3,57
4,95
-2,23
|
4,52
2,06
3,11
2,88
4,58
6,78
2,15
3,87
|
|
13
|
17
|
12
|
8
|
|
10,79
|
8,59
|
9,65
|
3,74
|
Для удобства расчетов в
последней строке таблицы приведены средние значения , .
.
Получим уравнение
выборочной линейной регрессии на для данных, сгруппированных по :
;
, , , , ;
y(x) = 8,29 – 0,9x.
;
.
Выборочное значение
статистики равно
.
Так как квантиль
распределения Фишера, вычисленный с помощью Matlab, равен
3,19,
то , а значит, линейная регрессия на для данных, сгруппированных по , адекватна результатам наблюдений.
Задание 9. Для негруппированных данных проверить
гипотезу : при альтернативной гипотезе
: (уровень значимости )
Имеются следующие
величины: , , , , .
Сначала проверяется
гипотеза :, альтернативная гипотеза :.
Статистика равна
= 1,931
С помощью средств Matlab, найдем:
F0,975 (n-1; n-1)=F0,975 (49,49) = 1.7622
z > F0,975 (n-1;
n-1),
следовательно отклоняется, а значит что
Теперь можно проверить
гипотезу, :, при альтернативной
гипотезе :.
Т.к. , статистика имеет вид
= 1,418
Найдем количество степеней
свободы
≈3,625
С помощью средств Matlab, найдем:
z < , значит нет оснований отклонять гипотезу :.
Приложение
A = [
4.19 3.04 4.60 9.83 8.66 1.30 4.22 5.11 9.85 8.80 12.17 11.25 5.73 4.05 5.41
1.28 1.67 11.99 7.66 5.17 3.26 12.58 8.34 5.79 3.42 4.44 11.31 7.57 1.62 5.71
11.06 10.35 2.46 1.02 5.77 8.63 6.91 3.56 9.47 6.16 8.26 6.70 4.95 3.37 1.53
9.54 3.11 5.09 11.08 8.74;
9.19 11.94 8.09
10.33 7.15 12.34 16.35 7.70 5.64 4.52 4.52 2.06 7.41 10.51 9.97 14.68 9.67 3.31
5.93 9.87 11.52 2.88 3.57 4.39 9.71 9.13 4.58 3.14 14.61 6.48 6.78 2.15 9.66
11.19 7.77 4.05 4.76 8.54 2.22 3.72 3.57 14.32 10.64 10.73 10.13 4.95 5.38 5.79
3.87 -2.23]
x =
A(1,:);
y =
A(2,:);
Mx = mean(x)
Dx = var(x,1)
My = mean(y)
Dy = var(y,1)
plot(x,y,'g*')
grid on
hold on
axis([1 13 -3 18]);
gca1 = gca;
set(gca1,'xtick',[1 4 7 10 13],'ytick',[-3 0 3 6 9 12 15 18]);
ylabel('Y');
z =
12.77 - 0.848*x; %построение регрессии Y на x
Zplot = plot(z,x);
set(Zplot,'Color','Red','LineWidth',[2])
hold on
text(12, -1,'x(y)');
text(11.8,
2,'y(x)');
t =
10.86 - 0.6*y; %построение регрессии X на y
Tplot = plot(t,y);
set(Tplot,'Color','Red','LineWidth',[2])
hp =
line([1 6.36],[7.38 7.38]); %эти прямые показывают положение
set(hp,'Color','blue','LineWidth',[1.5])
%среднего выборочного
hp = line([6.36 6.36],[-3
7.38]);
set(hp,'Color','blue','LineWidth',[1.5])
K =
cov(x,y) %находим ковариацию
DEtK
= det(K)
M =
corrcoef(x,y) %коэффициент корреляции
detM
= det(M)