Предприятие
|
Общие затраты на производство, млн.
руб., (Wi)
|
Затраты на 1 руб.
произведенной
продукции, руб. (Xi)
|
Объем произведенной
продукции, млн руб.
(Wi/Xi)
|
1
|
2,12
|
0,75
|
2,83
|
2
|
8,22
|
0,71
|
11,58
|
3
|
4,43
|
0,73
|
6,07
|
Итого:
|
14,77
|
|
20,47
|
Так средние
затраты на 1 рубль продукции рассчитываются по формуле
,
где х -
признак (варианта) - индивидуальные значения усредняемого признака; показатель, представляющий собой
реально существующий экономический показатель равный х∙ f:
Данные
берутся из таблицы.
Ответ:
Средние затраты на 1 рубль произведенной продукции равны 72 коп.
Задача
2. По данным 10% -го выборочного обследования рабочих по стажу работы,
результаты которого приведены ниже, определить:
1) относительную
величину структуры численности рабочих;
2) моду и
медиану стажа рабочих;
3) средний
стаж рабочих цеха;
4) размах
вариации;
5) среднее
линейное отклонение;
6) дисперсию;
7) среднее
квадратическое отклонение;
8) коэффициент
вариации;
9) с вероятностью
0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию;
10) с
вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стаж
работы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.
Таблица 3
- Исходные данные
Группы рабочих по стажу, лет
|
До 2
|
2 - 4
|
4 - 6
|
6 - 8
|
8 - 10
|
10 - 12
|
12 - 14
|
Число рабочих
|
6
|
8
|
12
|
24
|
17
|
8
|
5
|
Решение:
1) Находим
относительную величину структуры численности рабочих, для этого строим
следующую таблицу.
Таблица 4
- Относительная структура численности рабочих
Группы рабочих по стажу, лет
|
Число рабочих
|
Структура,%
|
До 2
|
6
|
7,5
|
2 - 4
|
8
|
10
|
4 - 6
|
12
|
15
|
6 - 8
|
24
|
30
|
8 - 10
|
17
|
21,25
|
10 - 12
|
8
|
10
|
12 - 14
|
5
|
6,25
|
Итого:
|
80
|
100
|
2) Находим
моду и медиану стажа рабочих. Для этого строим вспомогательную таблицу.
Таблица 5
- Вспомогательная.
Группы рабочих по стажу, лет
|
Число рабочих (fi)
|
Середина интервала, (xi)
|
xi*fi
|
fi. накопл
|
До 2
|
6
|
1
|
6
|
6
|
2 - 4
|
8
|
3
|
24
|
14
|
4 - 6
|
12
|
5
|
60
|
26
|
6 - 8
|
24
|
7
|
168
|
50>40
|
8 - 10
|
17
|
9
|
153
|
67
|
10 - 12
|
8
|
11
|
88
|
75
|
12 - 14
|
5
|
13
|
65
|
80
|
Итого:
|
80
|
|
564
|
|
Мода -
это наиболее часто встречающееся значение ряда:
,
где - мода; -
нижняя граница модального интервала. Интервал с максимальной частотой является
модальным; - шаг модального интервала, который
определяется разницей его границ; fmo - частота модального интервала; fmo-1
- частота интервала, предшествующего модальному; fmo+1
- частота интервала, последующего за модальным.
Медианой
является значение признака х, которое больше или равно и одновременно
меньше или равно половине остальных элементов ряда распределения. Медиана делит
ряд на две равные части:
,
где xme -
нижняя граница медианного интервала. Интервал, в котором находится порядковый
номер медианы, является медианным. Для его определения необходимо подсчитать
величину . Интервал с накопленной частотой равной
величинеявляется медианным; i - шаг медианного интервала, который определяется
разницей его границ; - сумма частот
вариационного ряда; Sme-1- сумма накопленных частот в домедианном
интервале; fme -
частота медианного интервала.
3) Находим
средний стаж рабочих цеха:
,
где х -
признак (варианта) - индивидуальные значения усредняемого признака, в
качестве которого берется середина интервала, определяемая как полусумма его
границ;
f - частота, т.е. числа,
показывающие, сколько раз повторяется та или иная варианта.
Сравниваем
полученные значения, в нашем случае получаем:
,
что
говорит о левосторонней асимметрии.
По этим
данным можно сделать вывод о том, что средний стаж рабочих составляет 7,05 лет;
наиболее часто встречаются рабочие со стажем 7,263 года. Кроме того, половина
рабочих имеет стаж более 7,166 лет, а другая - менее 7,166 лет.
4) Находим
размах вариации.
Размах
вариации:
,
где хmax -
максимальное значение признака; х min - минимальное значение признака.
Так,
разница между максимальным значением признака и минимальным составляет 12.
5) Находим
среднее линейное отклонение:
,
где - индивидуальные значения признака, - средняя величина; f - частота.
Строим
расчетную таблицу.
Таблица 6
- Расчетная
Середина интервала, (xi)
|
|
Число рабочих (fi)
|
|
|
|
1
|
6,05
|
6
|
36,3
|
36,60
|
219,62
|
3
|
4,05
|
8
|
32,4
|
16,40
|
131,22
|
5
|
2,05
|
12
|
24,6
|
4, 20
|
50,43
|
7
|
0,05
|
24
|
1,2
|
0,00
|
0,06
|
9
|
1,95
|
17
|
33,15
|
3,80
|
64,64
|
11
|
3,95
|
8
|
31,6
|
15,60
|
124,82
|
13
|
5,95
|
5
|
29,75
|
35,40
|
177,01
|
7,05
|
|
80
|
189
|
|
767,80
|
.
Так
средний абсолютный разброс значений вокруг средней составил 2,362. То есть
работники отличаются по стажу друг от друга в среднем на 2,362 года.
6) Находим
дисперсию:
7) Находим
среднее квадратическое отклонение:
.
Средний
разброс стажа от среднего стажа в 7,05 лет составляет 3,097.
8) Находим
коэффициент вариации:
.
Так как
коэффициент вариации больше 33%, то это говорит о высокой степени
неоднородности совокупности.
9) Находим
с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом
по предприятию.
Границы
генеральной средней:
,
где - генеральная средняя, - выборочная средняя, Δ- предельная ошибка выборочной
средней:
,
где - коэффициент доверия, зависящий от
вероятности исследования: при вероятности 0,954 t
= 2, а при вероятности 0,997 t = 3; n - объем выборочной совокупности;
N - объем генеральной
совокупности;
- доля отбора единиц из генеральной
совокупности в выборочную;
- дисперсия признака выборочной
совокупности.
Так,
находим предельную ошибку выборочной средней:
.
Тогда
пределы, в которых изменяется средний стаж рабочего, будут:
10) с
вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стаж
работы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.
Границы
генеральной доли:
,
где р
- генеральная доля, - выборочная доля:
,
где - число единиц, обладающих данным или
изучаемым признаком; n -
объем выборочной совокупности; - предельная ошибка
доли:
,
где n - объем выборочной совокупности;
N - объем генеральной
совокупности;
- доля отбора единиц из генеральной
совокупности в выборочную.
Тогда
доля работников со стажем больше 10 лет будет изменяться в пределах:
Задача
3. Для установления зависимости между урожайностью и сортом винограда в
одном из хозяйств на основе выборки определили урожай на 8 кустах винограда.
Таблица 7
- Исходные данные
Сорт винограда
|
Число проверенных кустов
|
Урожай с куста, кг
|
№ куста винограда
|
1
|
2
|
3
|
А
|
3
|
6
|
5
|
7
|
Б
|
3
|
7
|
6
|
8
|
В
|
2
|
9
|
7
|
-
|
Исчислить
общую, межгрупповую и среднюю из групповых дисперсий.
Определите
связь между сортом и его урожайностью, рассчитав коэффициент детерминации.
Сделать
вывод.
Решение:
,
где - общая дисперсия; - средняя из групповых дисперсий; - межгрупповая дисперсия.
Величина
общей дисперсии характеризует вариацию
признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц
совокупности.
где - общая средняя арифметическая для всей
изучаемой совокупности; _ значение признака (варианта).
Средняя
из групповых дисперсий характеризует случайную
вариацию, возникающую под влиянием других неучтенных факторов, и не зависит от
условия (признака-фактора), положенного в основу группировки;
,
где fi - число
единиц в определенной i - й группе;
- дисперсия по определенной i - й группе:
,
где - средняя по определенной i - й группе.
Межгрупповая
дисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине
изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в
основу группировки:
.
Находим
среднюю из групповых дисперсий. Для этого находим дисперсию по каждой
группе. Строим расчетную таблицу.
Таблица 8
- Расчетная
Сорт винограда
|
Число проверенных кустов (fi)
|
Урожай с куста, кг
|
Среднее значение
|
№ куста винограда
|
1
|
2
|
3
|
А
|
3
|
6
|
5
|
7
|
6
|
|
|
0
|
-1
|
1
|
|
|
|
0
|
1
|
1
|
Сумма
|
|
|
0
|
1
|
1
|
2
|
Б
|
3
|
7
|
6
|
8
|
7
|
|
|
0
|
-1
|
1
|
|
|
|
0
|
1
|
Сумма
|
|
|
0
|
1
|
1
|
2
|
В
|
2
|
9
|
7
|
-
|
8
|
|
|
1
|
-1
|
|
|
|
|
1
|
1
|
|
Сумма
|
|
|
1
|
1
|
|
2
|
Получаем
следующие значения, которые сводим в таблицу.
Таблица 9
- Десперсии по группам
Сорт винограда
|
Число проверенных кустов (fi)
|
|
|
А
|
3
|
0,667
|
2
|
Б
|
3
|
0,667
|
2
|
В
|
2
|
1,000
|
2
|
Итого:
|
8
|
|
6
|
Рассчитываем
среднюю из групповых дисперсий:
,
Таким
образом, разброс значений за счет неучтенных факторов составляет 0,75 кг.
Находим межгрупповую
дисперсию.
Для этого
строим следующую вспомогательную таблицу.
Таблица
10 - Вспомогательная
Сорт
винограда
|
Число
проверенных
кустов
|
Урожай с куста, кг
|
Среднее
по группе
|
|
|
|
№ куста винограда
|
1
|
2
|
3
|
А
|
3
|
6
|
5
|
7
|
6
|
-1
|
1
|
3
|
Б
|
3
|
7
|
6
|
8
|
7
|
0
|
0
|
0
|
В
|
2
|
9
|
7
|
-
|
8
|
1
|
1
|
2
|
Итого
|
8
|
|
|
Общая средняя
|
7
|
|
2
|
5
|
.
Так,
из-за того, что виноград разных сортов, урожайность в среднем отклоняется от
среднего значения на 0,625 кг.
Находим
общую дисперсию:
=0,75+0,625=1,375.
Так, под
влиянием всех факторов урожайность отклоняется от среднего значения на 1,375 кг.
Задача
4. Имеются следующие данные о выпуске продукции на одном из предприятий.
Таблица
11 - Исходные данные
Виды продукции
|
Затраты на производство, тыс. руб.
|
Произведено, тыс. шт.
|
I квартал
|
II квартал
|
I квартал
|
II квартал
|
А
|
5 600
|
5 850
|
80
|
90
|
Б
|
4 060
|
4 675
|
70
|
85
|
В
|
6 500
|
6 860
|
100
|
98
|
Определить:
1) агрегатный
индекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукции и общий
индекс затрат на производство;
2) абсолютное
изменение затрат на производство - общее и за счет изменения себестоимости
единицы продукции и физического объема производства. Сделать выводы.
Решение:
1) Находим
агрегатный индекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукции
и общий индекс затрат на производство. Для этого строим расчетную таблицу.
Таблица
12 - Расчетная
Виды продукции
|
Затраты на производство, тыс. руб.
|
Произведено, тыс. шт.
|
Расчетные показатели
|
I квартал (z0)
|
II квартал (z1)
|
I квартал (q0)
|
II квартал (q1)
|
z0*q0
|
z1*q1
|
z0*q1
|
А
|
5 600
|
5 850
|
80
|
90
|
448000
|
526500
|
504000
|
Б
|
4 060
|
4 675
|
70
|
85
|
284200
|
397375
|
345100
|
В
|
6 500
|
6 860
|
100
|
98
|
650000
|
672280
|
637000
|
Итого:
|
|
|
|
|
1382200
|
1596155
|
1486100
|
Агрегатный
индекс себестоимости:
,
где - себестоимость в отчетном и базисном
периоде соответственно; - физический объем
производства в отчетном периоде;
Агрегатный
индекс физического объема произведенной продукции:
,
где , q0
- физический объем производства в отчетном и базисном периоде
соответственно; - себестоимость в отчетном
периоде;
Агрегатный
индекс затрат на производство равен:
.
Таким
образом, изменение себестоимости каждого вида продукции увеличили общие затраты
производства на 7,4%. Под влиянием изменения объемов производства общие затраты
выросли на 7,5%. А под влиянием этих обоих факторов - на 15,4%.
2) Находим
абсолютное изменение затрат на производство - общее и за счет изменения
себестоимости единицы продукции и физического объема производства.
Общее
абсолютное изменение затрат на производство:
=1596155-1382200=213955 млн. руб.
Абсолютное
изменение затрат на производство за счет изменения себестоимости, т.е. роль
себестоимости в изменении затрат на производство:
=1596155-1486100=110055 млн. руб.
Абсолютное
изменение затрат на производство за счет изменения физического объема
производства, т.е. роль физического объема в изменении затрат на производство:
=1486100-1382200=103900 млн. руб.
103900+110055=213955
Таким
образом, изменение в себестоимости в большей степени повлияло на изменение
общих затрат на производство.
Задача
5. Имеются следующие данные о затратах на производство продукции
растениеводства.
Таблица
13 - Исходные данные
Группы
сельскохозяйственных
культур
|
Общие затраты на производство, (тыс.
руб.) в периоде
|
Индивидуальный индекс
себестоимости
|
Базисном (z0*q0)
|
Отчетном (z1*q1)
|
Озимые зерновые
|
223,0
|
242,0
|
1,02
|
Зернобобовые
|
47,2
|
49,0
|
1,05
|
Вычислить
общие индексы затрат на производство, себестоимости и физического объема. Сделать
выводы.
Решение:
Для нахождения
индексов строим вспомогательную таблицу.
Таблица
14 - Расчетная
Группы сельскохозяйственных
культур
|
Общие затраты на производство, (тыс.
руб.) в периоде
|
Индивидуальный индекс
себестоимости (ip)
|
Расчетные показатели
|
Базисном (z0*q0)
|
Отчетном (z1*q1)
|
ip*z0*q0
|
(z1*q1) /ip
|
Озимые зерновые
|
223
|
242
|
1,02
|
227,46
|
237,25
|
Зернобобовые
|
47,2
|
49
|
1,05
|
49,56
|
46,67
|
Итого
|
270,2
|
291
|
|
277,02
|
283,92
|
Средний
арифметический индекс физического объема произведенной продукции:
,
где - индивидуальный индекс физического
объема произведенной продукции; z0, q0 - себестоимость, физический
объем произведенной продукции в базисном периоде соответственно; - затраты на производство в базисном
периоде.
Так, за
счет изменения объемов производства общие затраты на производство выросли на
2,5%.
Средний
гармонический индекс себестоимости:
,
где - индивидуальный индекс себестоимости; z1, q1
- себестоимость, физический объем произведенной продукции в отчетном периоде
соответственно; товарооборот (стоимость) реализованной
продукции в отчетном периоде.
Так, за
счет изменения в себестоимости каждой продукции общие затраты на производство
продукции выросли на 2,8%.
Общий
индекс затрат на производство:
Изменение
затрат под влиянием обоих составит - 5,4%.
Задача
5. Рассчитать:
1) индексы
урожайности переменного состава;
2) индекс
урожайности постоянного состава;
3) индекс
влияния структурных сдвигов. Сделать выводы.
Таблица
15 - Исходные данные
Сельскохозяйственные предприятия
|
Базисный период
|
Отчетный период
|
Урожайность, ц/га
|
Посевная
площадь, га
|
Урожайность,
ц/га
|
Посевная
площадь, га
|
1
|
35
|
520
|
38
|
650
|
2
|
20
|
180
|
22
|
160
|
Решение:
Для
решения данной задачи также строим вспомогательную таблицу.
Таблица
16 - Вспомогательная
Сельскохозяйст-венные предприятия
|
Базисный период
|
Отчетный период
|
Расчетные показатели
|
Урожайность, ц/га (y0)
|
Посевная площадь, га (s0)
|
Урожайность, ц/га (y1)
|
Посевная площадь, га (s1)
|
y0*s0
|
y1*s1
|
y0*s1
|
1
|
35
|
520
|
38
|
650
|
18200
|
24700
|
22750
|
2
|
20
|
180
|
22
|
160
|
3600
|
3520
|
3200
|
Итого
|
|
700
|
|
810
|
21800
|
28220
|
25950
|
Индекс
переменного состава представляет собой соотношение средних уровней изучаемого
показателя. Индекс урожайности переменного состава:
.
Индекс
постоянного состава отражает изолированное влияние осредняемого показателя у
отдельных единиц совокупности. Индекс урожайности постоянного состава:
.
Индекс
структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры изучаемой совокупности.
Индекс структурных сдвигов:
.
Таким
образом, общая урожайность выросла на 19% под влиянием изменения структуры
посевных площадей. Под влиянием изменения урожайности каждой посевной площади
общая урожайность выросла на 8,8%. В целом под влиянием этих обоих факторов
урожайность посевов выросла на 11,8%
Задача
6. По имеющимся данным числе умерших в Хабаровском крае за 2000 - 2005 гг. рассчитать:
за каждый год:
1) абсолютный
пророст (базисный и цепной);
2) темп
роста (базисный и цепной);
3) темпы
прироста базисный и цепной);
4) абсолютное
значение 1% прироста; в целом за период: 5) средний уровень ряда;
6) средний
абсолютный прирост;
7) средний
темп роста;
8) средний
темп прироста. Сделать выводы.
Таблица
17 - Исходные данные
Число умерших, чел.
|
Год
|
2000
|
2001
|
2002
|
2003
|
2004
|
2005
|
20 745
|
21 639
|
22 513
|
23 290
|
22 745
|
23 074
|
Решение:
Для
определения абсолютных приростов, темпов роста и темпов прироста строим расчетную
таблицу 18. Показатели, заносимые в таблицу, рассчитываются следующим образом:
1. Абсолютный
прирост:
,
где уi - уровень ряда динамики
за изучаемый период, уi-1 -
уровень ряда динамики за период предшествующий изучаемому;
Б) базисный:
,
где уо
- начальный уровень ряда динамики;
2. Темп
роста:
А) цепной:
;
Б) базисный:
;
3. Темп
прироста: А) цепной:
или ;
Б) базисный:
или ;
4. Абсолютное
значение 1% прироста:
или .
Таблица
18 - Показатели динамики
Год
|
Число умерших, чел.
|
Абсолютный прирост
|
Темп роста, %
|
Темп прироста, %
|
Абсолютное значение 1% прироста
|
баз.
|
цепн.
|
баз.
|
цепн.
|
баз.
|
цепн.
|
|
2000
|
20745
|
894
|
894
|
104,30
|
104,30
|
4,309
|
4,309
|
207,45
|
2001
|
21639
|
1768
|
874
|
108,52
|
104,03
|
8,523
|
4,039
|
216,39
|
2002
|
22513
|
2545
|
777
|
112,26
|
103,45
|
12,268
|
3,451
|
225,13
|
2003
|
23290
|
2000
|
-545
|
109,64
|
97,66
|
9,641
|
-2,340
|
232,9
|
2004
|
22745
|
2329
|
329
|
111,22
|
101,44
|
11,227
|
1,446
|
227,45
|
2005
|
23074
|
894
|
894
|
104,31
|
104,31
|
4,309
|
4,309
|
207,45
|
Итого
|
134006
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее
рассчитываем средние показатели динамики.
1) средний
уровень ряда динамики для интервального ряда:
,
где уi - уровни ряда
динамики, n - число
уровней ряда динамики;
2) средний
абсолютный прирост:
,
где уn - конечный
уровень ряда;
3) средний
темп роста:
,
4) средний
темп прироста
. =102,1-100=2,1
Так, в
среднем за эти годы умирало 22334 человек в год. В среднем количество умерших в
год возрастало с каждым годом на 466 человек, или на 2,1%.
Список использованной литературы
1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая
теория статистики: учебник / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев. - М.: Финансы и статистика,
2004. - 565 с.
2. Статистика: учеб.-практ. пособие
/под ред. М.Г. Назарова. - М.: КНОРУС, 2006 - 480 с.
3. Теория статистики: учебник /под ред.
Г.Л. Громыко. - М.: ИНФРА-М., 2000. - 414 с.