Графическое решение задачи линейного программирования в экономике

Задание №2. Транспортная задача

На две базы А1 и А2 поступил однородный груз в количестве а1 т на базу А1 и а2 т на базу А2. Полученный груз требуется перевезти в три пункта: b1 т в пункт B1, b2 т в пункт B2, b3 т в пункт B3. Расстояния между пунктами отправления и пунктами назначения указаны в матрице R. Составить план перевозок с минимальными расходами. Решить задачу при заданных запасах и потребностях.

Стоимость одного тонно-километра принять за единицу.

Пусть x_ij - количество груза, перевезенного из пункта А_i в пункт В_j. Проверим соответствие запасов и потребностей: 200+230=430 = 190+100+140=430. Задача замкнутая. Целевая функция F равна стоимости всех перевозок:

F = 12x₁₁+5x₁₂+16x₁₃+14x₂₁+10x₂₂+8x₂₃ (min).

Система ограничений определяется следующими условиями:

а) количество вывозимых грузов равно запасам:

x₁₁ + x₁₂+ x₁₃ = 200;

x₂₁ + x₂₂+ x₂₃ = 230.

б) количество ввозимых грузов равно потребностям:

x₁₁ + x₂₁ = 190;

x₁₂ + x₂₂ = 100;

x₁₃ + x₂₃ = 140

в) количество вывозимых грузов неотрицательно:

x₁₁ ³0; x₁₂ ³0; x₁₃ ³0

x₂₁ ³0; x₂₂ ³0; x₂₃ ³0

Получили формализованную задачу:

F = 12x₁₁+5x₁₂+16x₁₃+14x₂₁+10x₂₂+8x₂₃ (min).

x₁₁ + x₁₂+ x₁₃ = 200;

x₂₁ + x₂₂+ x₂₃ = 230.

x₁₁ + x₂₁ = 190;

x₁₂ + x₂₂ = 100;

x₁₃ + x₂₃ = 140

x₁₁ ³0

x₁₂ ³0

x₁₃ ³0

x₂₁ ³0

x₂₂ ³0

x₂₃ ³0

Экономический вывод:

Для получения грузооборота с минимальными расходами в размере 4048 т. км. Поставщик 1 должен предоставить потребителю 1 - 100 т груза, а потребителю 2 - 100 т груза. Поставщик 2 должен предоставить потребителю 1 - 90 т груза, а потребителю 3 - 140 т груза.

Таблица.

Задание № 3. Межотраслевая балансовая модель

Имеется трехотраслевая балансовая модель с матрицей коэффициентов затрат.

где a_{ij -} затраты i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли (в товарном или в денежном выражении).

Фонды накопления отраслей заданы числами d1, d2, d3.

Производственные мощности отраслей ограничивают возможности ее валового выпуска числами r1, r2, r3.

Определить оптимальный валовой выпуск всех отраслей, максимизирующий стоимость суммарного конечного продукта, если на конечный продукт накладывается некоторое ограничение.

Цена единицы конечного продукта 1, 2 и 3 отраслей соответственно равна: c1, c2, c3.

товарных единиц

k1: k2: k3 = 2: 1: 2;

R= (240, 420, 230), C= (2, 4,3).

Формализация задачи.

Пусть x_i - валовой выпуск i-й отрасли, i=1,2,3. Так как на собственное производство, а также на производство продукции 2-й отрасли первая отрасль произведенную продукцию не расходует, суммарный конечный продукт равен произведенной продукции K₁=x₁.

Вся произведенная продукция будет продана и выручка составит c₁x₁.

Чтобы определить прибыль 1-й отрасли, из полученной ею выручки нужно вычесть суммы, затраченные на производство продукции 1-й, 2-й и 3-й отраслей:

К₁=x₁- (a₁₁x₁+a₁₂x₂ +a₁₃x₃).

Аналогично для 2-й отрасли

K₂=x₂, К2=x₂- (a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃).

Подставляя числовые значения, получим выражения для прибыли 1-й 2-й и 3-й отраслей:

К₁=x₁- (0,21x₁+0,07x₂+0,12x₃).

К₂=x₂- (0,06x₁+0,03x₂+0,15x₃).

К₃=x₃- (0,2x₁+0,14x₂+0,03x₃).

Целевая функция - это цена всей проданной продукции: с₁К₁+с₂К₂+с₃К₃.

Следовательно, целевая функция задачи такая:

F=с₁К₁+с₂К₂+с₃К₃ (max).

Подставляя в последнюю формулу значения с₁, c_2, c₃ выражения K₁, K₂, K₃ получаем выражение для целевой функции

F = 2 (x₁- (0,21x₁+0,07x₂+0,12x₃)) +4 (x₂- (0,06x₁+0,03x₂+0,15x₃)) +3 (x₃- (0,2x₁+0,14x₂+0,03x₃)) (max).

Приведя подобные члены, получим: F=0.74x₁+3.32x₂+2.07x₃ (max).

Ограничения задачи:

1) По производственным мощностям: x₁£240, x₂£420, x₃£230

2) По комплектности: K₂: K₃ = 1: 2. Это условие равносильно условию т.е. условию  или .

4) Выпуск продукции: x₁³0, x₂³0, x₃³0

Формализованная задача имеет вид:

F=0.74x₁+3.32x₂+2.07x₃ (max).

x₁£240,x₂£420,x₃£230,.

x₁³0

x₂³0

x₃³0