Расчет вала при совместном действии изгиба и кручения по гипотезам прочности
Костромская Государственная Сельскохозяйственная Академия
Кафедра: " Детали машин"
Методическое пособие и задачи для самостоятельного решения по
курсу "ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА"
Раздел: "Сопротивление материалов"
Тема: РАСЧЕТ ВАЛА ПРИСОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ ПО
ГИПОТЕЗАМ ПРОЧНОСТИ.
Составил: доцент Комаров Н.В.
Кострома 2003
Для решения задания необходимо
усвоить тему: "Гипотезы прочности и их применение", т.к в задачах
рассматриваются совместные действия изгиба и кручения и расчет производится с
применением гипотез прочности.
Условие прочности в этом случае
имеет вид
sэк
в = Мэк в/ Wz £[s]
Мэк в - так
называемый эквивалентный момент
По гипотезе наибольших
касательных напряжений (III - гипотеза прочности)
Мэк в III = (Ми2 + Тк2)
1/2
По гипотезе потенциальной
энергии формоизменения (V - гипотезе прочности)
Мэк в V = (Ми2 + 0.75 Тк2)
1/2
В обеих формулах Т - наибольший
крутящий момент в поперечном сечении вала Ми - наибольший суммарный
изгибающий момент, его числовое значение равно геометрической сумме изгибающих
моментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтально
действующих внешних сил, т.е.
1. Привести действующие на вал
нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действия реакциями в
вертикальных и горизонтальных плоскостях
2. По. заданной мощности Р и
угловой скорости w определить вращающие
моменты действующие на вал.
3. Вычислить нагрузки F1, Fr1,
F2, Fr2 приложенные
к валу.
4. Составить уравнения
равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и
отдельно в горизонтальной плоскости и определить реакции опор в обеих
плоскостях.
5. Построить эпюру крутящих
моментов.
6. Построить эпюру изгибающих
моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (эпюры Mz
и My).
7. Определить наибольшее
значение эквивалентного момента:
Мэк в III = (Мz2
+ My2 + Тк2)
1/2 или
Мэк в V = (Мz2
+ My2 + 0.75 Тк2)
1/2
8. Приняв sэк в = [s] определить требуемый осевой момент
сопротивления
Wz
= М эк в/[s]
9. Учитывая, что для бруса
сплошного круглого сечения
Wи
= p*dв3/32
» 0.1* dв3
определяем диаметр его d по следующей формуле:
d ³ (32* М
эк в / p*[s]) 1/3 » (М эк / 0.1 [s]) 1/3
Пример: Для стального
вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами, передающего
мощность Р = 15 кВт при угловой скорости w
=30 рад/с, определить диаметр вала по двум вариантам:.
а) Используя, III -гипотезу прочности
б) Используя, V
- гипотезу прочности
Принять [s] =160МПа, Fr1
= 0.4 F1, Fr2
= 0.4 F2
Составляем расчетную схему вала:
Т1=Т5, где Т1 и Т2 - скручивающие
пары, которые добавляются при параллельном переносе сил F1
и F2 на ось вала
Определяем вращающий момент
действующий на вал:
Т1 = Т2 =
Р/w = 0,5*103 Нм = 0,5 кНм
Вычисляем нагрузку приложенную к
валу
F1 =
2*T1/d1 = 2*0.5*103/0.1 = 104 H =
10kH
F2 =
2*T2/d2 = 2*0.5*103/0.25 = 4*103 H
= 4kH
Fr1
= 0.4*103 = 4 kH Fr2 = 0.4*4 = 1.6 kH
Определяем реакции опор в
вертикальной плоскости YOX (рис б)
åMa = - Fr1
AC - Fr2 AD + RBY*AB = 0
RBY
= Fr1 AC + Fr2 AD / AB = 4*0.05 + 1.6*0.25/0.3 = 2 kH
åMB = - RAY*AB
+ Fr1*BC + Fr2*DB = 0
RAY
= Fr1*BC + Fr2*DB / AB = 4*0.25 + 1.6*0.05/03 = 3.6 kH
Проверка:
åY = RAY - Fr1 - Fr2 + RBY
= 2-4-1.6+3.6 = 0
åY = 0, следовательно RAY и
RBY найдены правильно
Определим реакции опор в
горизонтальной плоскости ХОZ (рис б)
åMA = F1
AC - F2 AD - RBz*AB = 0
RBz
= F1 AC - F2 AD / AB = 10*0.05 - 4*0.25/0.3 = - 1.66 kH
Знак минус указывает, что
истинное направление реакции RBz
противоположно выбранному (см. рис. б)
åMB = RAz*AB
- F1*CB + F2*DB = 0
RAz
= F1*CB - F2*DB / AB = 10*0.25 - 4*0.05/0.3 = 7.66 kH
Проверка:
åZ = RAz - F1 + F2 - RBz
= 7.66-10+4-1.66 = 0
åZ = 0, следовательно реакции RAz
и RBz найдены верно.
Строим эпюру крутящих моментов Т
(рис в).
Определяем ординаты и строим
эпюры изгибающих моментов Mz в вертикальной
плоскости (рис. г и д) и Мy
- в горизонтальной плоскости.
МCz = RAy*AC = 3.6*0.05 = 0.18 kHм
МDz = RAy*AD - Fr1*CD = 3.6*0.25 - 4*0.2 = 0.1 kHм
МCy = RAz*AC = 7.66*0.05 = 0.383 kHм
МDy = RAz*AD - F1*CD = 7.66*0.25 - 10*0.2 = - 0.085
kHм
Вычисляем наибольшее значение
эквивалентного момента по заданным координатам так как в данном примере значение
суммарного изгибающего момента в сечений С больше, чем в сечении D, то сечение С и является опасным. Определяем наибольший
суммарный изгибающий момент в сечении С.
Ми С = (МСz2 + MCy2)
1/2 = (0.182 + 0.3832) 1/2 = 0.423 kHм
[Ми D = (МDz2 + MDy2) 1/2
= (0.12 + 0.0852) 1/2 = 0.13 kHм]
Мэк в III = (Мz2
+ My2 + Тк2)
1/2 = (0182+ 0.3832+0.52) 1/2
=
= 0.665 kHм
Мэк в V = (Мz2
+ My2 + 0.75 Тк2)
1/2 =
= (0.182+0.3832+0.75*0.52)
1/2 = 0.605 kHм
Определяем требуемые размеры
вала по вариантам III и V
гипотез прочности.
dIII
= (Мэк в III / 0.1*[s]) 1/2 = (0.655*103/0.1*160*106)
1/2 =
= 3.45*10-2 (м) = 34.5
(мм)
dVI
= (Мэк в V / 0.1*[s]) 1/2 = (0.605*103/0.1*160*106)
1/2 =
= 3.36*10-2
(м) = 33.6 (мм)
Принимаем диаметр вала согласно
стандартного ряда значений d=34 мм
Из условия прочности рассчитать
необходимый диаметр вала постоянного поперечного сечения, с двумя зубчатыми
колёсами, предающего мощность Р, при заданной угловой скорости.
Принять [s] =160МПа, Fr1
= 0.4 F1, Fr2
= 0.4 F2 (Все размеры указаны на рисунках)
№ задачи
|
вариант
|
Р, кВт
|
w, рад/с
|
№ задачи
|
вариант
|
Р, кВт
|
w, рад/с
|
0
|
0
|
6
|
22
|
1
|
0
|
3
|
25
|
|
1
|
8
|
36
|
|
1
|
8
|
48
|
|
2
|
10
|
40
|
|
2
|
10
|
50
|
|
3
|
9
|
30
|
|
3
|
12
|
40
|
|
4
|
3
|
45
|
|
4
|
22
|
24
|
|
5
|
20
|
50
|
|
5
|
20
|
60
|
|
6
|
12
|
68
|
|
6
|
20
|
22
|
|
7
|
5
|
20
|
|
7
|
9
|
36
|
3
|
50
|
|
8
|
8
|
42
|
|
9
|
12
|
48
|
|
9
|
15
|
35
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
0
|
10
|
30
|
3
|
0
|
5
|
40
|
|
1
|
20
|
80
|
|
1
|
6
|
36
|
|
2
|
15
|
45
|
|
2
|
7
|
35
|
|
3
|
12
|
38
|
|
3
|
12
|
24
|
|
4
|
14
|
18
|
|
4
|
15
|
15
|
|
5
|
8
|
42
|
|
5
|
12
|
32
|
|
6
|
10
|
45
|
|
6
|
9
|
42
|
|
7
|
18
|
22
|
|
7
|
10
|
45
|
|
8
|
25
|
40
|
|
8
|
7
|
21
|
|
9
|
5
|
42
|
20
|
36
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
0
|
5
|
18
|
5
|
0
|
20
|
45
|
|
1
|
10
|
18
|
|
1
|
19
|
38
|
|
2
|
12
|
30
|
|
2
|
21
|
15
|
|
3
|
24
|
30
|
|
3
|
18
|
26
|
|
4
|
6
|
24
|
|
4
|
15
|
18
|
|
5
|
12
|
52
|
|
5
|
16
|
50
|
|
6
|
3
|
15
|
|
6
|
8
|
30
|
|
7
|
15
|
45
|
|
7
|
7
|
20
|
|
8
|
19
|
50
|
|
8
|
10
|
24
|
|
9
|
20
|
25
|
|
9
|
13
|
48
|
№ задачи
|
вариант
|
Р, кВт
|
w, рад/с
|
№ задачи
|
вариант
|
w, рад/с
|
6
|
0
|
4
|
35
|
7
|
0
|
16
|
40
|
|
1
|
20
|
15
|
|
1
|
30
|
50
|
|
2
|
18
|
20
|
|
2
|
28
|
42
|
|
3
|
16
|
18
|
|
3
|
20
|
38
|
|
4
|
30
|
24
|
|
4
|
15
|
20
|
|
5
|
25
|
30
|
|
5
|
18
|
30
|
|
6
|
22
|
28
|
|
6
|
22
|
30
|
|
7
|
15
|
18
|
|
7
|
27
|
35
|
|
8
|
8
|
24
|
|
8
|
24
|
28
|
|
9
|
10
|
12
|
|
9
|
4
|
20
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
0
|
12
|
38
|
9
|
0
|
40
|
|
1
|
15
|
42
|
|
1
|
30
|
50
|
|
2
|
10
|
32
|
|
2
|
32
|
38
|
|
3
|
20
|
50
|
|
3
|
25
|
42
|
|
4
|
23
|
18
|
|
4
|
12
|
32
|
|
5
|
14
|
24
|
|
5
|
28
|
34
|
|
6
|
16
|
20
|
|
6
|
20
|
35
|
|
7
|
24
|
15
|
|
7
|
10
|
20
|
|
8
|
26
|
25
|
|
8
|
14
|
30
|
|
9
|
6
|
48
|
|
9
|
35
|
40
|