Министерство образования и науки республики Казахстан

КазНУ им. Аль-Фараби

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

Системный анализ и задачи

математического программирования 

на тему:

Методы экономического программирования.

выполнил:  студент 2 курса,

группы ИС 04 03 А  

Гришко Михаил

проверил:  к. ф.-м. н., доцент  кафедры ИС Тургенбаева Г.А.

Алматы 2005г.

Содержание.

1. Введение…………………………………………………………………………………………..3

2. Теоретическая часть……………………………………………………………………………...4

2.1. Математическое представление и структура экономических показателей………………4

2.2. Предварительный анализ и обработка временных рядов…………………………………5

2.2.1. Выявление и устранение аномальных значений……………………………………..5

2.2.2. Выявление тренда……………………………………………………………………...5

2.2.3. Определение сезонных колебаний……………………………………………………7

2.2.4. Сглаживание временных рядов……………………………………………………….9

2.3. Расчет показателей динамики развития экономических процессов…………………….10

2.4. Прогнозирование экономических показателей…………………………………………...13

2.4.1. Трендовые модели на основе кривых роста………………………………………...13

2.4.1.1. Выбор типа кривых роста…………………………………………………….14

2.4.1.2. Методы определения параметров отбора кривых роста…………………...17

2.4.1.3.  Определение адекватности трендовой модели…………………………….18

2.4.1.4. Точность прогноза трендовой модели……………………………………....20

2.4.1.5. Верификация прогноза……………………………………………………….22

2.4.2. Адаптивные модели прогнозирования………………………………………………23

3. Практическая часть……………………………………………………………………………..25

3.1. Постановка задачи…………………………………………………………………………..25

3.2. Построение модели…………………………………………………………………………25

3.3. Адекватность и точность…………………………………………………………………..28

3.3.1. Случайность колебаний уровней остаточной последовательности……………….28

3.3.2. Соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения……………………………………………………………………….28

3.3.3. Равенство математического ожидания случайной компоненты нулю……………28

3.3.4. Независимость значения уровней случайной компоненты………………………..29

3.3.5. Точность прогноза построенной трендовой модели……………………………….29

4. Заключение……………………………………………………………………………………...30

5. Список использованных источников………………………………………………………….31
1. Введение.

Предсказание временных рядов – необходимый элемент любой инвестиционной деятельности. Сама идея инвестиций  –  вложение денег сейчас с целью получения дохода в будущем – основывается на идее прогнозирования будущего. Соответственно, предсказание финансовых временных рядов лежит в основе деятельности всей индустрии инвестиций – всех бирж и внебиржевых систем торговли ценными бумагами.

Прогнозирование экономических показателей основано на идее экстраполяции. Под экстраполяцией обычно понимают распространение закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы. В более широком смысле слова ее рассматривают как получение представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему. В процессе построения прогнозных моделей в их структуру иногда закладываются элементы будущего предполагаемого состояния объекта или явления, но в целом эти модели отражают закономерности, наблюдаемые в прошлом и настоящем, т.е. прогноз возможен лишь относительно таких объектов и явлений, которые в значительной степени детерминируются прошлым и настоящим.

Цель данного курсового проекта – рассмотреть основные методы экономического прогнозирования, а также решить поставленную задачу с помощью трендовых моделей на основе кривых роста.

2. Теоретическая часть

2.1. Математическое представление и структура экономических показателей.

Динамические процессы, происходящие в экономических системах, чаще всего проявляются в виде ряда последовательно расположенных в хронологическом порядке значений того или иного показателя, который в своих изменениях отражает ход развития изучаемого явления в экономике. Эти значения, в частности, могут служить для обоснования (или отрицания)  различных моделей социально-экономических систем. Они служат также основой для разработки прикладных моделей прогнозирования особого вида, которые будут подробнее рассматриваться ниже.

Последовательность наблюдений одного показателя (признака), упорядоченных в зависимости от последовательно возрастающих или убывающих значений другого показателя (признака), называют динамическим рядом, или рядом динамики. Если в качестве признака, в зависимости от которого происходит упорядочение, берется время, то такой динамический ряд называется временным рядом.

Если во временном ряду проявляется длительная тенденция изменения экономического показателя, то говорят, что имеет место тренд. Таким образом, под трендом понимается изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временных рядов. В связи с этим экономико-математическая динамическая модель, в которой развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд ее основных показателей, называется трендовой моделью. Для выявления тренда во временных рядах, а также для построения и анализа трендовых моделей используется аппарат теории вероятностей и математической статистики.

Во временных рядах экономических процессов могут иметь место более или менее регулярные колебания. Если они носят строго периодический или близкий к нему характер и завершаются в течение одного года, то их называют сезонными колебаниями. В тех случаях, когда период колебаний составляет несколько лет, то говорят, что во временном ряде присутствует циклическая компонента. Тренд, сезонная и циклическая компоненты называются регулярными, или систематическими компонентами временного ряда. Составная часть временного ряда, остающаяся после выделения из него регулярных компонент, представляет собой случайную, нерегулярную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, так как случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому экономическому явлению.

Таким образом, в общем случае имеем временной ряд, состоящий из n уровней:

y₁ , y₂ , … ,  y_n .                                                               (1)

В самом общем случае временной ряд экономических показателей можно разложить на четыре структурно образующих элемента:

·  тренд, составляющие которого обозначаются U_t,          t = 1, 2 , ..., n;

·  сезонная компонента, обозначаемая через V_t,                t = 1, 2, ..., n;

·  циклическая компонента, обозначаемая через C_t,         t = 1, 2 , ..., n;

·  случайная компонента, которую обозначают ε_t,           t = 1, 2 , ..., n.

Если систематические компоненты временного ряда определены правильно, что как раз и составляет одну из главных целей при разработке трендовых моделей, то остающаяся после выделения из временного ряда этих компонент так называемая остаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной компонентой ряда, т.е. будет обладать следующими свойствами:

·   случайностью колебаний уровней остаточной последовательности;

·   соответствием распределения случайной компоненты нормальному закону распределения;

·   равенством математического ожидания случайной компоненты нулю;

·   независимостью значений уровней случайной последовательности, то есть отсутствием существенной автокорреляции.

Проверка адекватности трендовых моделей основана на проверке выполняемости у остаточной последовательности указанных четырех свойств. Если не выполняется хотя бы одно из них, модель признается неадекватной; при выполнении всех четырех свойств модель адекватна.

2.2. Предварительный анализ и обработка временных рядов экономических показателей.

Предварительный анализ временных рядов экономических показателей заключается в основном в выявлении и устранении аномальных значений уровней ряда, а также в определении наличия тренда и его характера в исходном временном ряде. К предварительной обработке временных рядов относятся методы изменения временных рядов в целью более четкого выделения тенденций развития, сглаживания временного ряда и др.

2.2.1 Выявление и устранение аномальных значений временных рядов экономических показателей.

Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда, в том числе на соответствующую трендовую модель. Причинами аномальных наблюдений могут быть ошибки технического порядка, или ошибки, первого рода: ошибки при агрегировании и дезагрегировании показателей, при передаче информации и другие технические причины. Ошибки первого рода подлежат выявлению и устранению. Кроме того, аномальные уровни во временных рядах могут возникать из-за воздействия факторов, имеющих объективный характер, но проявляющихся эпизодически, очень редко — ошибки второго рода; они устранению не подлежат.

Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.

Метод Ирвина, например, предполагает использование следующей формулы:

       ;    t = 1, 2 , ..., n,                                                 (2)

где среднеквадратическое отклонение рассчитывается в свою очередь с использованием формул:

 ;                     .                                             (3)

Расчетные значения λ_t сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина λ_α, и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение y_t уровня ряда считается аномальным.

После выявления аномальных уровней ряда обязательно определение причин их возникновения. Если точно установлено, что они вызваны ошибками первого рода, то они устраняются либо заменой аномальных уровней простой средней арифметической двух соседних уровней ряда, либо заменой аномальных уровней соответствующими значениями по кривой, аппроксимирующей данный временной ряд.

2.2.2. Выявление тренда.

Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяется несколько методов:

Метод проверки разностей средних уровней.

Реализация этого метода состоит из четырех этапов. На первом этапе исходный временной ряд

y₁ , y₂ , … ,  y_n

разбивается на две примерно равные по числу уровней части: в первой части n₁ первых уровней исходного ряда, во второй – n₂ остальных уровней (n₁+ n₂= n).

На втором этапе для каждой из этих частей вычисляются средние значения и дисперсии:

 ;                ;                                             (4)

;              .                                             (5)

Третий этап заключается в проверке равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера, которая основана на сравнении расчетного значения этого критерия:

F =                                                                                                   (6)

с табличным (критическим) значением критерия Фишера F_α с заданным уровнем значимости (уровнем ошибки) α. В качестве α чаще всего берут значения 0,1 (10%-ная ошибка), 0,05 (5%-ная ошибка), 0,01 (1%-ная ошибка). Величина  1 - α   называется доверительной вероятностью.

Если расчетное значение F меньше табличного F_α, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается и переходят к четвертому этапу. Если F больше или равно F_α, гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется и делается вывод, что данный метод для определения наличия тренда ответа не дает.

На четвертом этапе проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

,                                                             (7)

где σ— среднеквадратическое отклонение разности средних:

.                                                 (8)

Если расчетное значение t меньше табличного значения статистики Стьюдента t_α с заданным уровнем значимости α, гипотеза принимается, т.е. тренда нет, в противном случае тренд есть. Заметим, что в данном случае табличное значение t_α берется для числа степеней свободы, равного , при этом данный метод применим только для рядов с монотонной тенденцией.

Метод Фостера—Стъюарта. Этот метод обладает большими возможностями и дает более надежные результаты по сравнению с предьщущим. Кроме тренда самого ряда (как говорят, тренда в среднем), он позволяет установить наличие тренда дисперсии временного ряда: если тренда дисперсии нет, то разброс уровней ряда постоянен; если дисперсия увеличивается, то ряд «раскачивается» и т. д.

Реализация метода содержит четыре этапа.

На первом этапе производится сравнение каждого уровня исходного временного ряда, начиная со второго уровня, со всеми предыдущими, при этом определяются две числовые последовательности:

1,  если y_t больше всех предыдущих уровней;

k_t =                                                                                                                  (9)

0,  в противном случае,

1,  если y_t меньше всех предыдущих уровней;

l_t =                                                                                                                (10)

0,  в противном случае

t = 2, 3 , ..., n.

На    втором    этапе вычисляются величины s и d:

;                                                                 (11)

.                                                                (12)

Величина s, характеризующая изменение временного ряда, принимает значения от 0 (все уровни ряда равны между собой) до n - l (ряд монотонный). Величина d характеризует изменение дисперсии уровней временного ряда и изменяется от -(n - 1) (ряд монотонно убывает) до (n - 1) (ряд монотонно возрастает).

Третий этап заключается в проверке гипотез: можно ли считать случайными

1)   отклонение величины s от величины μ - математического ожидания величины s для ряда, в котором   уровни расположены случайным образом,

2)   отклонение величины d от нуля.

Эта проверка проводится с использованием расчетных значений t-критерия Стьюдента для средней и для дисперсии:

;   ;                                               (13)

;  ;                                              (14)

где μ - математическое ожидание величины s, определенной для ряда, в котором уровни расположены случайным  образом;

σ₁ - среднеквадратическое отклонение для величины s;

σ₂ - среднеквадратическое отклонение для величины d.

На четвертом этапе расчетные значения t_s и t_d сравниваются с табличным значением t-критерия Стьюдента с заданным уровнем значимости t_α. Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии соответствующего тренда принимается; в противном случае тренд есть. Например, если t_s больше табличного значения t_α, а t_d меньше t_α, то для данного временного ряда имеется тренд в среднем, а тренда дисперсии уровней ряда нет.

2.2.3. Выявление сезонных колебаний.

Сезонность связывается, как правило, со сменой природно-климатических условий в рамках ограниченного промежутка времени – годового периода. Влияние сезонности проявляется в аритмии производственных и других процессов: недогрузка производственных мощностей в одни периоды года и более интенсивное их использование в другие; неравномерное распределение внутри рамок года объемов грузооборота и товарооборота и т.д.

Под сезонными колебаниями понимают регулярные, периодические наступления внутригодовых подъемов и спадов производства, грузооборота и товарооборота и т. д., связанных со сменой времени года, а под сезонностью — ограниченность годового периода работ под влиянием того же природного фактора.

Задачи, которые возникают при исследовании сезонных временных рядов:

1)   определение наличия во временном   ряду тренда и определение степени его гладкости;

2)   выявление  наличия  во  временном   ряду  сезонных колебаний;

3)   фильтрация компонент ряда;

4)   анализ динамики сезонной волны;

5)   исследование факторов, определяющих сезонные колебания;

6)   прогнозирование тренд-сезонных процессов.

Анализ динамики, или эволюции, сезонной волны может рассматриваться как процесс решения трех взаимосвязанных задач:

1)   анализ динамики амплитуды сезонной волны в каждом месяце (квартале, неделе).

2)   анализ динамики точек экстремума сезонной волны.

3)   исследование изменений формы волны.

На рис 4.1 приведена укрупненная схема исследования сезонных временных рядов. Схема не определяет методов решения каждой задачи, методы могут изменяться, совершенствоваться со временем, но она определяет совокупность и последовательность вопросов, которые должны быть решены для полного исследования сезонного временного ряда.

рис 1. Схема комплексного исследования тренд-сезонных временных рядов.

Упорядоченная во времени последовательность наблюдений экономического процесса называется временным рядом, и если процесс подвержен периодическим колебаниям, имеющим определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, то мы имеем дело с тренд-сезонным временным рядом (сезонным временным рядом).

Рассматривается тренд-сезонный временной ряд {Y_t},, порождаемый аддитивным случайным процессом:

Y_t = U_t+V_t+ε_t                                                              (15)

где U_t - тренд;

V_t - сезонная компонента;

ε_t - случайная компонента;

Т - число уровней наблюдения.

Проблема анализа сезонности заключается в исследовании собственно сезонных колебаний и в изучении того внешнего циклического механизма, который их вызывает. Для исследования сезонных колебаний вне связи с причинами, их порождающими, очевидно, необходимо отфильтровать из временного ряда {Y_t} сезонную компоненту Vt и затем уже анализировать ее динамику. Большинство методов фильтрации построено таким образом, что предварительно выделяется тренд, а затем уже сезонная компонента. Тренд в чистом виде необходим и для анализа динамики сезонной волны.

При исследовании сезонной волны V_t чаще всего предполагается, что она не изменяется год от года, т.е. , i+k≤m. На самом же деле такое предположение далеко от действительности, по крайней мере для большинства экономических процессов. Для сезонной волны характерно изменение со временем как ее размаха, так и формы. В результате возникает необходимость в анализе и предсказании изменений сезонной волны.

2.2.4. Сглаживание временных рядов экономических показателей.

С целью более четко выявить тенденцию развития исследуемого процесса, в том числе для дальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых моделей, производят сглаживание (выравнивание) временных рядов.

Методы сглаживания временных рядов делятся на две основные группы:

1)   аналитическое выравнивание с использованием кривой, проведенной между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных колебаний;

2)   механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с использованием фактических значений   соседних уровней.

Суть методов механического сглаживания заключается в следующем. Берется несколько первых уровней временного ряда, образующих интервал сглаживания. Для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания; с помощью полинома определяются новые, выровненные значения уровней в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на один уровень ряда вправо, вычисляется следующее сглаженное значение и т. д.

Самым простым методом механического сглаживания является метод простой скользящей средней.

Сначала для временного ряда

y₁ , y₂ , … ,  y_n

определяется интервал сглаживания m(m<n) . Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим; интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить более мелкие колебания. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечетным. Для первых m уровней временного ряда вычисляется их средняя арифметическая; это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление средней арифметической и т.д. Для вычисления сглаженных уровней ряда  применяется формула:

,      t > p,                                                        (16)

где (при нечетном m);  для четных m формула (16) усложняется.

В результате такой процедуры получаются n – m + 1 сглаженных значений уровней ряда; при этом первые p и последние p уровней ряда теряются (не сглаживаются).

Другой недостаток метода в том, что он применим лишь для рядов, имеющих линейную тенденцию.

Метод взвешенной скользящей средней отличается от предыдущего метода сглаживания тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания, суммируются с разными весами. Это связано с тем, что аппроксимация ряда в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием полинома не первой степени, как в предыдущем случае, а степени, начиная со второй. Используется формула средней арифметической взвешенной:

,                                                               (17)

причем веса p_t определяются с помощью метода наименьших квадратов. Эти веса рассчитаны для различных степеней аппроксимирующего полинома и различных интервалов сглаживания.

К этой же группе методов выравнивания временных рядов примыкает метод экспоненциального сглаживания. Его особенность заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес наблюдения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда. Если для исходного временного ряда

y₁ , y₂ , … ,  y_n

соответствующие сглаженные значения уровней обозначить через S_t, t = 1, 2, ..., n, то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:

                                                                                                              (18)

где α - параметр сглаживания (0 < α < 1);

величина 1 - α называется коэффициентом дисконтирования.

Используя приведенное выше рекуррентное соотношение для всех уровней ряда, начиная с первого и кончая моментом времени t, можно получить, что экспоненциальная средняя, т.е. сглаженное данным методом значение уровня ряда, является взвешенной средней всех предшествующих уровней:

                                      (19)

здесь S₀— величина, характеризующая начальные условия.

2.3. Расчет показателей динамики развития экономических процессов.

Временной ряд тогда правильно отражает объективный процесс развития экономического явления, когда уровни этого ряда состоят из однородных, сопоставимых величин. Для несопоставимых величин вести расчет рассматриваемых ниже статистических показателей динамики неправомерно. Причины несопоставимости уровней временного ряда могут быть различными. В экономике чаще всего такими причинами является несопоставимость:

-   по территории ввиду изменения границ региона, по которому собираются статистические данные;

-   по кругу охватываемых объектов по подчинению или форме собственности ввиду перехода, например, части предприятий данного объединения в другое объединение;

-   по временным периодам, когда, например, данные за различные годы приведены по состоянию на разные даты;

-   уровней, вычисленных в различном масштабе измерения;

-   уровней ряда из-за различий  в структуре совокупности, для которой они вычислены.

-   Возможны и другие причины несопоставимости.

При анализе временных рядов для определения изменений, происходящих в данном явлении, прежде всего вычисляют скорость развития этого явления во времени. Показателем скорости служит абсолютный прирост, вычисляемый по формуле

                                                               (20)

где        y_i — i-й уровень временного ряда (i = 2, 3, ..., n);

индекс  k = 1, 2, ..., n-1 определяет начальный уровень и может быть выбран любым в зависимости от целей исследования:

при k = 1 получаются цепные показатели,

при k = i-1 получаются базисные показатели с начальным уровнем ряда в качестве базисного и т.д.

Величина, характеризующая скорость, т.е. прирост в единицу времени, носит название среднего абсолютного прироста:

                                                              (21)

В частности, средний абсолютный прирост за весь период наблюдения для данного временного ряда равен

                                                               (22)

и характеризует среднюю скорость изменения временного ряда.

Для определения относительной  скорости изменения изучаемого явления в единицу времени используют относительные показатели: коэффициенты роста и прироста (если эти показатели выражены в процентах, то их называют соответственно темпами роста и прироста).

Коэффициент роста для i-гo периода вычисляется по формуле:

                                                                (23)

K_i(p) > 1, если уровень повышается; K_i(p)< 1, если уровень понижается; при K_i(p)=1 уровень не меняется.

Коэффициент прироста равен

                                                            (24)

или

                                                           (25)

На практике чаще применяют показатели темпа роста и темпа прироста:

                                                         (26)

где T_i(p) - темп прироста для i-го периода;

T_i(пp)= T_i(p) – 100%                                                         (27)

или

                                                    (28)

где T_i(пp) — темп прироста для i-гo периода.

Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень одного периода увеличился (уменьшился) по сравнению с уровнем другого периода, т.е. этот показатель выражает относительную величину прироста в процентах.

Важной характеристикой временного ряда является также средний уровень ряда. В интервальном ряду динамики с равноотстоящими во времени уровнями расчет среднего уровня ряда производится по формуле простой средней арифметической (здесь и далее суммирование ведется по всем периодам наблюдения):

                                                             (29)

Если интервальный ряд имеет неравноотстоящие во времени уровни, то средний уровень ряда (так называемая средняя хронологическая) вычисляется по формуле взвешенной арифметической средней, где роль весов играет продолжительность времени (например, количество лет), в течение которого уровень постоянен:

                                                           (30)

где t - число периодов времени, при которых значение уровня y_t не изменяется. Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле:

                                       (31)

где n - число уровней ряда.

При анализе временных рядов часто возникает необходимость, кроме определения основных характеристик ряда, оценить зависимость изучаемого показателя y_t от его значений, рассматриваемых с некоторым запаздыванием во времени. Зависимость значений уровней временного ряда от предыдущих (сдвиг на 1), предпредыдущих (сдвиг на 2) и так далее уровней того же временного ряда называется автокорреляцией во временном ряду. Для получения числовой характеристики такой внутренней зависимости вычисляют взаимную корреляционную функцию между исходным рядом y_t и этим же рядом, сдвинутым во времени на величину . Такая функция называется автокорреляционной, она характеризует внутреннюю структуру временного ряда и состоит из множества коэффициентов автокорреляции (нециклических), рассчитываемых по формуле:

                            (32)

Задавая различные значения = 1, 2, 3,..., получаем последовательность значений

r₁, r₂, r₃,…

 На практике рекомендуется вычислять такие коэффициенты в количестве

от  n/4  до  n/3.

График автокорреляционной функции называется коррелограммом и показывает величину запаздывания, с которым изменение показателя y_t сказывается на его последующих значениях. Величина сдвига , которому соответствует наибольший коэффициент автокорреляции, называется временным лагом.

В ряде случаев используется упрощенная формула для вычисления коэффициента автокорреляции:

,                                                     (33)

где  средний уровень ряда (см. формулу (32)).

2.4 Прогнозирование экономических показателей.

При экстраполяционном прогнозировании экономической динамики на основе временных рядов с использованием трендовых моделей выполняются следующие основные этапы:

1)   предварительный анализ данных;

2)   формирование набора моделей (например, набора кривых роста), называемых функциями-кандидатами;

3)   численное оценивание параметров моделей;

4)   определение адекватности моделей;

5)   оценка точности адекватных моделей;

6)   выбор лучшей модели;

7)   получение точечного и интервального прогнозов;

8)   верификация прогноза.

Прогноз на основании трендовых моделей  (кривых роста) содержит два элемента: точечный и интервальный прогнозы. Точечный прогноз - это прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя. Это значение определяется подстановкой в уравнение выбранной кривой роста величины времени t, соответствующей периоду упреждения: t = n + 1; t = n + 2 и т.д. Такой прогноз называется точечным, так как на графике его можно изобразить в виде точки. Очевидно, что точное совпадение фактических данных в будущем и прогностических точечных оценок маловероятно. Поэтому точечный прогноз должен сопровождаться двусторонними границами, т.е. указанием интервала значений, в котором с достаточной долей уверенности можно ожидать появления прогнозируемой  величины. Установление такого интервала называется интервальным прогнозом.

Интервальный прогноз на базе трендовых моделей осуществляется путем расчета доверительного интервала - такого интервала, в котором с определенной вероятностью можно ожидать появления фактического значения прогнозируемого экономического показателя. Расчет доверительных интервалов при прогнозировании с использованием кривых роста опирается на выводы и формулы теории регрессий. Методы, разработанные для статистических совокупностей, позволяют определить доверительный интервал, зависящий от стандартной ошибки оценки прогнозируемого показателя, от времени упреждения прогноза, от количества уровней во временном ряду и от уровня значимости (ошибки) прогноза.

2.4.1.Трендовые модели на основе кривых роста.

Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики - на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При таком подходе предполагается, что прогнозируемый показатель формируется под воздействием большого количества факторов, выделить которые либо невозможно, либо по которым отсутствует информация. В этом случае ход изменения данного показателя связывают не с факторами, а с течением времени, что проявляется в образований одномерных временных рядов. Рассмотрим метод экстраполяции на основе так называемых кривых роста экономической динамики.

Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на двух предположениях:

-   временной   ряд экономического показателя действительно имеет тренд, т.е. преобладающую тенденцию;

-   общие   условия,   определявшие   развитие   показателя   в прошлом, останутся без существенных изменений в течение периода упреждения.

2.4.1.1. Выбор типа кривых роста.

В настоящее время насчитывается большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Простейшие полиномиальные кривые роста имеют вид:

 (полином первой степени)

 (полином второй степени)

 (полином третьей степени)

и т.д.

Параметр а₁ называют линейным приростом,

параметр а₂ - ускорением роста,

параметр а₃ - изменением ускорения роста.

Для полинома первой степени характерен постоянный закон роста. Если рассчитать первые приросты по формуле u_t = y_t - y_t-i  , t = 2, 3, ..., n, то они будут постоянной величиной и равны а₁.

Если первые приросты рассчитать для полинома второй степени, то они будут иметь линейную зависимость от времени и ряд из первых приростов u₂, u₃, …  на графике будет представлен прямой линией. Вторые приросты  для полинома второй степени будут постоянны.

Для полинома третьей степени первые приросты будут полиномами второй степени, вторые приросты будут линейной функцией времени, а третьи приросты, рассчитываемые по формуле  будут постоянной величиной.

Можно отметить следующие свойства полиномиальных кривых роста:

-   от полинома высокого порядка можно путем расчета последовательных разностей (приростов) перейти к полиному более низкого порядка;

-   значения приростов для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции .

Таким образом, полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.

В отличие от использования полиномиальных кривых использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых: простая экспонента и модифицированная экспонента.

Простая экспонента представляется в виде функции

                                                                   (34)

где a и b — положительные числа, при этом если b больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если b меньше единицы - функция убывает.

Модифицированная экспонента имеет вид

                                                                (35)

где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине k. Могут быть другие варианты модифицированной   экспоненты, но на практике наиболее часто встречается указанная выше функция.

В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем   ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать неко торого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.

Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение

                                                                     (36)

где а, b  -  положительные  параметры, причем   b меньше единицы;

параметр k - асимптота функции.

В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом - прирост функции незначителен, на втором - прирост увеличивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом - происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S.

Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции - линейная функция времени. На основании кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни; модификации этой кривой  используются в демографии для моделирования показателей смертности и т. д.

Логистическая кривая, или кривая Перла-Рида - возрастающая функция, наиболее часто выражаемая в виде

;                                                            (37)

другие виды этой кривой:

;   .                                           (38)        

где а и b — положительные параметры;

k — предельное значение функции при бесконечном возрастании времени.

Если взять производную данной функции, то можно увидеть, что скорость возрастания логистической кривой в каждый момент времени пропорциональна достигнутому уровню функции и разности между предельным значением k и достигнутым уровнем. Логарифм отношения первого прироста функции к квадрату ее значения (ординаты) есть линейная функция от времени.

Конфигурация графика логистической кривой близка графику кривой Гомперца, но в отличие от последней логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба.

Рассмотрим проблему предварительного выбора вида кривой роста для конкретного временного ряда. Допустим, имеется временной ряд   y₁ , y₂ , … ,  y_n .

Для выбора вида полиномиальной кривой роста наиболее распространенным методом является метод конечных разностей (метод Тинтнера). Этот метод может быть использован для предварительного выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух компонент: тренд и случайная компонента, и, во-вторых, тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.

На первом этапе этого метода вычисляются разности (приросты) до k-го порядка включительно:

;

;                                                                     (39)

.   .   .   .   .   .   .   .    

.

Для аппроксимации экономических процессов обычно вычисляют конечные разности до четвертого порядка.

Затем для исходного ряда и для каждого разностного ря­да вычисляются дисперсии по следующим формулам:

для исходного ряда

        ;                                              (40)

для разностного ряда k-го порядка (k = 1, 2, ...)

     ;                                                      (41)

где - биномиальный коэффициент.

Производится сравнение отклонений каждой последую­щей дисперсии от предыдущей, т.е. вычисляются величины

 ,                                                              (42)

и если для какого-либо k эта величина не превосходит неко­торой наперед заданной положительной величины, т.е. дисперсии одного порядка, то степень аппроксимирующего полинома должна быть равна k - 1.

Более универсальным методом предварительного выбора кривых роста, позволяющим выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик прироста. Он основан на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней. Например, для интервала сглаживания m = 3 сглаженные уровни рассчитываются по формуле

 ,                                                          (43)

причем чтобы не потерять первый и последний уровни, их сглаживают по формулам

  ,     .                           (44)

Затем вычисляются первые средние приросты

, t = 2, 3, … , n-1;                                                (45)

вторые средние приросты

а также ряд производных величин, связанных с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда:

;   ;   ;   .

В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда, при этом используется табл. 1.

Таблица 1

Выбор кривой роста в соответствии с изменением приростов и производных показателей

На практике при предварительном выборе отбирают обычно две-три кривые роста для дальнейшего исследования и построения трендовой модели данного временного ряда.

2.4.1.2. Методы определения параметров отобранных кривых роста.

Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выровненных по кривой роста значений была наименьшей. Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения неизвестных параметров отобранных кривых.

Для полинома первой степени

  система нормальных уравнений имеет вид: