Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы
Министерство
образования Республики Беларусь
Учреждение
образования
"Гомельский
государственный университет им. Ф. Скорины"
Математический
факультет
Кафедра МПМ
Элементы
интегрального исчисления в курсе средней школы
Реферат
Исполнитель:
Студентка группы М-42 Локтева А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева
М.Т.
Гомель 2007
Содержание
Введение
1. Образовательные цели изучения первообразной функции и
интеграла в школьном курсе математики
2. Методическая схема изучения первообразной функции
3. Методическая схема изучения теоремы о площади
криволинейной трапеции
4. Методическая схема и аспекты введения понятия интеграла в
средней школе
Заключение
Литература
Введение
Основная образовательная
цель изучения темы "Первообразная и интеграл" может быть
сформулирована так: 1) ознакомить учащихся с операцией, которая является обратной
по отношению к операции дифференцирования функций; 2) познакомить с
использованием метода интегрального исчисления для решения геометрических
задач, некоторых задач практического содержания. В связи с этим развивающими целями
будут: а) введение нового метода решения задач ( в частности нахождение площади
объёма фигуры) показать известную универсальность математических методов; б)
показ учащимся основных этапов решения прикладных задач средствами математики.
1. Образовательные цели изучения первообразной функции и
интеграла в школьном курсе математики
Теме "Первообразная
и интеграл" предшествует тема "Производная и её применение".
Такая последовательность изучения материала создаёт предпосылки для: 1)
понимание учащимися взаимосвязи между операциями дифференцирования и
интегрирования функций, а также основной идеи метода дифференциального и
интегрального исчислений; 2) осознание учащимися того факта, что аппарат
производной и интеграла – основа метода математического анализа. С одной
стороны, он выступает как язык, описывающий многие явления, процессы мира. С
другой – как инструмент, с помощью которого с учётом особенностей языка
исследуются эти явления и процессы.
Основу содержания темы
составляют два типа вопросов, каждый из которых группируется около двух
понятий: "Первообразная", "Интеграл". Основное внимание при
изучении уделяется: 1) нахождению первообразных и вычислению интегралов на базе
таблиц первообразных и правил нахождения первообразных; 2) вычислению площадей
криволинейной трапеции.
В качестве основных
задач, решённых в процессе изучения темы, можно выделить следующие:
·
введение понятий
первообразной и интеграла;
·
ознакомление
учащихся с основными свойствами первообразных и правилами нахождения
первообразных;
·
раскрытие смысла
операции интегрирования как операции, обратной по отношению к операции
дифференцирования заданной функции:
·
провести
классификацию типов задач (нахождение площади криволинейной трапеции,
нахождение объёма тела, задачи с физическим содержанием), показать, каким
образом реализуется метод интегрального исчисления. При этом обратить внимание
на выделение в процессе их решения этапов, характеризующих процесс
математического моделирования.
Теоретический материал
включает в себя понятия первообразной и её основное свойство понятие интеграла
функции; связь между понятиями "интеграл" и "первообразная",
которая устанавливается с помощью формулы Ньютона-Лейбница; формула
Ньютона-Лейбница как аппарат вычисления интеграла данной функции.
Перечисленные понятия
вводятся на дедуктивной основе, дается иллюстрация использования определения
основного понятия, его свойств с помощью конкретных примеров.
Задачи, помимо
использования их как средства иллюстрации вводимого в рассмотрение теоретического
материала, служат средством его закрепления, о чем свидетельствуют и их
формулировки, например: "Найти такую первообразную функцию, график которой
проходит через данную точку".
2. Методическая схема изучения первообразной функции
В школьном учебнике были "испытаны"
различные варианты введения понятия интеграла. В первых изданиях учебного
пособия (под ред. А.Н. Колмогорова) интеграл определяется с помощью формулы
Ньютона-Лейбница (как приращение первообразной), в более поздних изданиях
применялось традиционное определение интеграла как предела интегральных сумм.
Методическая схема
изучения первообразной:
1) рассмотреть примеры взаимно обратных
операций;
2) ввести интегрирование как операцию,
обратную дифференцированию, а первообразную как результат операции
интегрирования;
3) выполнить упражнения типа: "Доказать,
что данная функция есть первообразная другой
данной функции ", "Решить задачи на
отыскание первообразной для данной функции ";
4) ознакомить учащихся с основным
свойством первообразной;
5) составить таблицу первообразных;
6) ознакомить учащихся с правилами
нахождения первообразных;
7) решить физические задачи с
применением первообразной.
Определению первообразной
предшествует задача из механики. . Если в начальный момент времени скорость тела равна 0, т.е. , то при свободном падении тело к
моменту времени пройдет путь: . Продифференцировав ее, получаем ; -
ускорение постоянно. Более типично для механики иное: известно ускорение точки , требуется найти закон изменения
скорости и координату .
Для решения таких задач служит операция интегрирования.
При введении понятия
первообразной пользуются аналогией с известными учащимся примерами взаимно
обратных операций.
Например, операция сложения позволяет по двум данным числам найти третье число
– их сумму. Если же известно первое слагаемое и сумма, то второе слагаемое
может быть "восстановлено" выполнением операции вычитания.
Следовательно, вычитание – операция, обратная сложению, приводящая к
единственному результату. Однако такое бывает не всегда. Например, возведение в
квадрат числа 3 дает число 9. Пусть теперь известно, что число 9 является
квадратом некоторого числа: . Выполнив обратную
операцию – извлечение квадратного корня – получаем два значения: 3 и -3.
Дифференцирование функции
приводит к новой функции , которая является производной функции Пусть теперь известно, что производная
некоторой функции равна ,
т.е.:; требуется найти функцию .
Операция нахождения
функции по ее производной называется интегрированием. Выполняя
интегрирование, можем получать следующие результаты: ;
; и
т.д. Функция называется первообразными функции . Таким образом, интегрирование является
операцией, обратной дифференцированию; результат операции интегрирования
называется первообразной. После этого сообщается определение первообразной:
функция называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для
всех x из этого промежутка .
Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе,
дается иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с
помощью конкретных примеров.
Задачи, помимо
использования их как средства иллюстрации вводимого в рассмотрение
теоретического материала, служат средством его закрепления, о чем
свидетельствуют и их формулировки. Например: найти такую первообразную функции,
график которой проходит через данную точку.
Целесообразно обратить
внимание учащихся на следующее: запись F(x)+c (общий вид первообразных для функции
f(x) на заданном промежутке). Она связывает нас, с одной
стороны, с произвольным значением постоянной с, а с другой стороны, в
зависимости от условия предложенной для решения задачи – с конкретным. С этой
целью можно вернуться к анализу решений уже рассмотренных задач. Чтобы
показать, что учет конкретных условий задачи влечет обращение к вполне
определенной первообразной, можно предложить учащимся найти управление пути,
если за 2 секунды тело прошло 15 м.(найти уравнение кривой, проходящей через
фиксированную точку А(1;2)).
Решение обеих задач
связано с нахождением тех первообразных заданных функций, которые удовлетворяют
указанным начальным условиям.
Работа с задачами
убеждает учащихся в том, что их решение связано с выделением из множества
первообразных данной функции вполне определенных конкретных первообразных
(именно с этим мы сталкиваемся при решении задач практического содержания).
Изучение вопроса о
правилах отыскания первообразных естественно связать с обращением к двум
взаимообратным операциям: дифференцированию и интегрированию.
Например, введение
третьего правила (ели F(x)-первообразная для функции f(x),а k(k¹0) и b – постоянные, то (1/k)F(kx+b) есть первообразная для функции f(kx+b) ), можно предварить рассмотрением с
учащимися следующих задач:
1.
Найти производные
функций: sinx; sin4x; sin(4x+3);
2.
Найти хотя бы
одну первообразную для функции: cosx; cos4x; cos(4x+3).
Анализ решений этих задач
и приводит к формулировке указанного правила нахождения первообразных,
доказательство которого можно предложить учащимся провести самостоятельно.
3. Методическая
схема изучения теоремы о площади криволинейной трапеции
Центральное место в
изучении этой темы является теорема о площади криволинейной трапеции: "Пусть
f – непрерывная и неотрицательная на
отрезке [a, b] функция, S –
площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F есть первообразная для f на отрезке [a, b], то S=F(b)-F(a)."
1.
Приращение
аргумента, приращение функции.
Задача: "На рисунке
площадь криволинейной трапеции представлена как функция от x. Укажите на этом рисунке
S(x); S(x+Dx); DS=S(x+Dx) – S(x)".
S(x) = a A B x;
S(x+Dx) = a A C ; DS = x B C ;
(необходимо потому, что
учащиеся встречаются с новой геометрической интерпретацией уже известных понятий
).
2.
Определение
производной.
"Запишите
определение производной функции применительно к функции S(x) ". В результате получим запись:
"Пусть f(x) – функция, непрерывная в точке x.(см. рисунок) Отметим на оси абсцисс точки x, x+∆x и
точку с, лежащую между ними. Пусть ∆x→0. К чему стремится f(c)? Из графических
соображений получаем ответ, что если
∆x→0, то с→x, а f(c)→f(x).
4. Утверждение о том,
что площадь криволинейной трапеции с основанием ∆x можно заменить равной площадью
прямоугольника с тем же основанием ∆x и высотой f(c), где с – некоторая точка отрезка [x; x+∆x].
Существование точки с
утверждается теоремой и может быть проиллюстрировано следующими заданиями: "На
рисунке дана криволинейная трапеция с основанием ∆x. Построить прямоугольник, у которого
основание было бы равно ∆x, а
площадь равнялась бы площади криволинейной трапеции." Задание выполняется "на
глаз", от руки и преследует цель добиться интуитивного(на
наглядно-геометрическом уровне) осознания рассматриваемого факта.
5. Определение
первообразной.
"Пусть S(x) – первообразная f(x). Поясните, что это обозначает.
Пусть S(x) – одна из первообразных для функции f(x). Запишите формулу для общего вида первообразных функции f(x)"(привычное определение первообразной применяется в
новых обозначениях).
Доказательство теоремы
целесообразно разбить на три части:
1)
Введём функцию S(x). Рассмотрим функцию S(x), определенную
на отрезке [a,b], которая выражает зависимость площади криволинейной
трапеции от аргумента x.
Дадим аргументу x приращение ∆x, такое, что
.
Тогда приращение функции в точке x:
(∆x полагаем положительным)
2) Докажем что функция S(x) является первообразной для функции
для
всех
Согласно определению
производной, Так как - площадь криволинейной трапеции с
основанием , то её можно заменить равной площадью
прямоугольника с основанием и высотой f(c), где
Тогда:
Поскольку с лежит между x и x+∆x, то
при ∆x→0 точка с стремится к x, а f(c)→f(x). Эти рассуждения можно записать в одну строчку следующим
образом:
Итак,
.
3) Подведем итоги. Мы
доказали , что S(x)– первообразная для f(x) на [a,b]. Но по условию F(x) – также первообразная для f(x) на этом
отрезке. Следовательно, функции S(x) и F(x) отличаются друг
от друга на некоторую константу С:
(1)
Пусть x=a равенство (1) примет вид: ,
откуда C=-F(a). При x=b равенство (1) запишется в виде: S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a). Таким образом, S= F(b)-F(a)
Рассмотрим простейший
случай криволинейной трапеции – обычную трапецию. Пусть также трапеция
образована графиком функции y=x и прямыми: x=1 и x=2.
По формуле площади трапеции, известной из курса планиметрии,
Первообразная данной
функции , а разность
Таким образом, этот
пример подтверждает, что площадь трапеции может быть найдена как приращение
первообразной: . Методика использования
рассмотренного примера при ознакомлении учащихся с теоремой может быть такой:
вначале ставится учебная проблема о нахождении связи между площадью
криволинейной трапеции и первообразной; приводится пример, указывающий эту
связь; формулируется теорема или сначала сообщается теорема, затем приводится
примет, подтверждающий эту теорему.
4. Методическая схема и аспекты введения
понятия интеграла в средней школе
Методическая схема
введения понятия интеграла.
1)привести подводящую
задачу;
2)сформулировать
определение интеграла
1) Задачи, подводящие
к этому понятию.
Задача№1. На отрезке [a,b] задана непрерывная и неотрицательная функция y=f(x). Укажите новый
способ(не связанный с первообразной) нахождения площади S криволинейной трапеции, образованной
графиком этой функции и прямых x=a и x=b.
Этапы решения задачи: 1)
построение ступенчатой фигуры и вычисление её площади
[a,b] разбиваем на n равных частей:
Одна сторона
прямоугольника - , вторая - , поэтому:
2) Выражение площади криволинейной трапеции через .
Производим деление [a;b] на более "мелкие" части и вычисляем следующее
значение . После сравнения получаем: .
Задача№2. Пусть материальная точка движется
прямолинейно с некоторой мгновенной скоростью , где
- непрерывная на отрезке функция. Требуется найти путь, который
пройдет материальная точка за промежуток времени от до .
В простейшем случае,
когда мгновенная скорость постоянна, путь, пройденный телом, равен произведению
его скорости на время движения. В общем случае, когда мгновенная скорость
непостоянна, поступают следующим образом:
Сравнивая результаты
решения этих двух задач, формулируем общий метод решения: разбиение отрезка, на
котором задана функция, на равные части; составление суммы вида , которая принимается в качестве
приближенного значения искомой величины; выполнение предельного перехода: . Такие пределы встречаются при решении
многих задач из разных областей науки и техники. Поэтому они получили
специальное название "интеграл функции f(x) от a до b" и обозначение . Таким образом, по определению:
,
где f(x) – непрерывная на [a,b] функция; -
точки, разбивающие отрезок [a,b] на равные части; - длина каждой из этих частей.
Запишем результаты
решенных задач. Площадь криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией f(x) на [a,b],
Путь, пройденный
материальной точкой за промежуток времени от до со скоростью , где - непрерывная на отрезке функция,
.
Сравнивая формулы площади
криволинейной трапеции
и ,
получаем:
,
где F – первообразная для f на [a,b] – формула
Ньютона-Лейбница, позволяющее вычислять интегралы.
Анализ материала учебных
пособий, связанных с введением понятия "интеграл" и получением
способа вычисления интегралов, приводят к следующим важным в методическом отношении
выводам:
1)
определение
интеграла и формула Ньютона-Лейбница дают возможность доказать ряд часто
применяемых свойств интеграла. В процессе доказательства этих свойств понятие
интеграла и его геометрический смысл усваиваются глубже. Можно предложить,
например, установить справедливость следующих утверждений:
a)
b)
если функция f имеет на отрезке [a,b] первообразную, то
,
где C – некоторая постоянная;
c)
доказать формулу
вычисления производной от интеграла с переменным верхним пределом
интегрирования:
,
где f(x) – функция, непрерывная на интервале, содержащем точки a и x.
Предложенные упражнения
полезны ещё и потому, что в процессе их решения устанавливаются (и
используются) связи между операциями дифференцирования и интегрирования, между
понятиями "производная", "первообразная", "интеграл"
и их свойствами.
2)
Понятие "интеграла"
вводится для функции непрерывной на некотором отрезке (такая функция имеет на
этом отрезке первообразную). Сознательному усвоению учащимися этого понятия (и
понятия первообразной) будет способствовать специальное привлечение внимания
школьников к этому факту. С этой целью могут быть использованы задачи,
например, такие:
Задача№1 Возможно ли вычислить ? (подынтегральная функция имеет точку
разрыва ), принадлежащую отрезку ).
(о том, что ошибка действительно
допущена, свидетельствует результат: интеграл от положительной функции оказался
отрицательным числом).
Задача№3 При каких значениях пределов
интегрирования интеграл существует: ?
В точках 5 и –5
подынтегральная функция терпит разрыв; поэтому можно говорить о следующих
условиях, которым должны удовлетворять значения пределов интегрирования:
Задача№4 Вычислить: а)
;
б) ; в)
(в двух последних случаях
интегралы не могут быть вычислены, т.к. подынтегральная функция не определена в
каждой точке отрезка, заданного проделами интегрирования).
3)
Установление
связи понятий "интеграл" и "первообразная" происходит через
обращения к площади соответствующей криволинейной трапеции. Уделяя внимание
геометрическому смыслу интеграла, не следует ограничиваться только
геометрической иллюстрацией в процессе решения задач на вычисление интегралов.
Целесообразно специально подчеркнуть, что, опираясь на геометрический смысл интеграла,
иногда получаем возможность: установить существование более простого по
сравнению с рассмотренным способом вычисления интегралов (например, по
симметричному относительно точки 0 промежутку от четной или нечетной функции).
Сделать это можно, обратившись к задачам: не только вычислять площадь фигур, но
и находить числовые значения интеграла, вычисление которых по известным
учащимся формулам выполнить не удается. Например: .
Задача№1 Показать, что если f – непрерывная, четная на отрезке [-a,a] функция, то:
.
Задача№2 Показать, что если f – непрерывная, нечетная на отрезке
[-a,a] функция, то:.
Вычислить:
; ; .
Заключение
В качестве основных
задач, решённых в процессе изучения темы, можно выделить следующие:
·
введение понятий
первообразной и интеграла;
·
ознакомление
учащихся с основными свойствами первообразных и правилами нахождения
первообразных;
·
раскрытие смысла
операции интегрирования как операции, обратной по отношению к операции
дифференцирования заданной функции:
провести классификацию
типов задач (нахождение площади криволинейной трапеции, нахождение объёма тела,
задачи с физическим содержанием), показать, каким образом реализуется метод
интегрального исчисления. При этом обратить внимание на выделение в процессе их
решения этапов, характеризующих процесс математического моделирования.
1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики
в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.
2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе",
Мн., "Высшая школа", 1990г.
3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М.,
"Просвещение", 1998г.
4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение",
1997г.
5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в
средней школе", М., "Просвещение", 1999г.
6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания
математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.