Оплата труда на предприятии
Міністерство освіти і науки України
Житомирський державний технологічний університет
Кафедра ТМ та КТС
Група ЗІМ 03-1т
Курсова робота
з інформатики
на
тему: «Чисельне інтегрування. НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ПОЛІНОМАМИ ВИЩОГО ПОРЯДКУ»
Житомир
Зміст
Завдання № 1. – Чисельне
інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона
Завдання № 2. – Знаходження коренів рівняння методом
Ньютона
Завдання № 3,4. – Наближення функцій поліномами вищого
порядку
Завдання № 5. – Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера
Завдання № 1
Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона
Розрахувати
за допомогою формул трапецій та Сімпсона значення інтегралу від функції y=f(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+a
4x4+a5x5 з точністю
до п’ятого знака. Визначити похибки розрахунків для різних значень n – e8 та e4
Вихідні дані:
Варіант
|
a0
|
a1
|
a2
|
a3
|
a4
|
a5
|
2
|
1
|
0.9
|
0.8
|
0.7
|
0.5
|
2.3
|
Реалізація у MS Excel:
Хід
виконання:
Визначений
інтеграл чисельно рівний
площі криволінійної трапеції, яка описується кривою y = f(x), віссю х та двома прямими, паралельними осі
ординат x = a, x = b. Тому знаходження розв’язку
інтеграла є визначення відповідної площі.
Розіб’ємо
відрізок [a, b] = [0, 1] на n=16 рівних елементарних трапецій із
площами s. Величину D, що дорівнює основі кожної із
елементарних трапецій, позначимо буквою h
і називатимемо кроком квадратурної формули,
який визначається з формули
Таким
чином, шукана формула трапецій має вигляд
де
cj =
1,2,2,2,….2,1.
Для
формули парабол (Сімпсона)
замість двох прямолінійних трапецій розглядається одна трапеція, яка обмежена
параболічною дугою
Елементарна
площа визначається інтегралом
Враховуючи,
що
Отримаємо
формулу парабол (Сімпсона)
де
cj = 1, 4,
2, 4, 2,…..2, 4, 1.
У
формулі трапецій n є
довільним числом, у формулі Сімпсона воно повинно бути парним.
Завдання № 2
Знаходження коренів
рівняння методом Ньютона
Визначити
всі дійсні корені поліному P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3
за допомогою методів Ньютона (дотичних) та методу „січних”. Результати
розрахунків звести у таблицю.
Вихідні дані:
Варіант
|
a0
|
a1
|
a2
|
a3
|
2
|
1,3
|
-7
|
-4
|
-4
|
Реалізація у MS Excel:
Хід
виконання:
1.
Будуємо графік заданої функції та визначаємо з нього приблизне значення кореня
х0 ≈ 0,17
2.
Проводимо уточнення коренів за методом Ньютона та січних з точністю e=10-5
.
В
розрахунках наближене значення похідної знаходиться за формулою:
При
уточненні коренів рівняння методом Ньютона користуємось наступними формулами:
Чергове
k-е наближення:
В
якості малої величини беремо
задану точність обчислень ,
тоді розрахункова формула має вигляд:
При
уточненні коренів рівняння методом січних користуємось наступними формулами:
Для
першого наближення:
Для
подальших наближень:
Завдання № 3,4
Наближення функцій поліномами вищого порядку
Функція
y=f(x) задана таблицею значень у точках . Використовуючи метод найменших квадратів
(МНК), знайти многочлен найменшого
середньоквадратичного наближення оптимальної степені m=m*. За оптимальне
значення m* прийняти ту степінь многочлена, починаючи з якої величина стабілізується або починає
зростати.
Вихідні дані:
Варіант 2
|
x
|
0
|
0,375
|
0,563
|
0,75
|
1,125
|
1,313
|
1,5
|
1,690
|
1,875
|
2,063
|
2,25
|
2,438
|
2,625
|
2,813
|
3
|
y
|
4.568
|
3,365
|
2,810
|
2,624
|
0,674
|
0,557
|
0,384
|
-0,556
|
-1,44
|
-1,696
|
-1,91
|
-2,819
|
-3,625
|
-3,941
|
-4,367
|
Хід
виконання:
1.
Задаємо вектори x та y вихідних даних.
2.
Використовуючи метод найменших квадратів, знаходимо многочлени Pm, m = 0,1,2...
Розраховуємо відповідні їм значення .
3. Будуємо
гістограму залежності від
m, на основі якої вибратємо оптимальну степінь m* многочлена найкращого
середньоквадратичного наближення.
4. На
одному графіку будуємо многочлени Pm, m = 0,1,2,..., m*, і точковий
графік вихідної функції.
Реалізація у MS Excel:
Визначаємо
матрицю Х як суму відповідних хі у відповідних степенях та уі*хіj
За
допомогою отриманих даних, будуємо, для полінома кожної степені, відповідну
матрицю Х:
Визначаємо
обернені матриці Х-1 до відповідних матриць Х, використовуючи
вбудовану функцію Excel МОБР(....).
Визначаємо
коефіцієнти відповідних поліномів, для чого визначаємо добуток матриць Х-1
та B, використовуючи вбудовану функцію МУМНОЖ(....).
Використовуючи
визначені коефіцієнти поліномів аі, визначаємо значення даних
поліномів у кожній точці хі.
Будуємо
графік отриманих поліномів та вихідних даних: вихідні дані – точковий графік,
розрахункові дані – лініями різного типу.
Визначаємо
величину для кожного
полінома та будуємо гістограму:
Вже
по побудованій гістограмі можна робити висновки про оптимальність степені
полінома для апроксимації вихідних даних (мінімальне значення , але визначимо мінімум за допомогою функції МИН(...) . І по
отриманому значенню робимо висновок про оптимальну степінь апроксимуючої
функції
Завдання № 5
Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера
Використовуючи
метод Ейлера, скласти на відрізку [а, b] таблицю значень інтегралу
диференційного рівняння y' = f (x, y), що задовольняє початковим умовам (x0,
y0), вибираючи крок інтегрування h, де
y(xi+h)=y(xi)+h·y'(xi)
Розв’язати
попереднє диференційне рівняння y' =f(x, y) вдосконаленим методом ломаних та
вдосконаленим методом Ейлера-Коші.
Вихідні дані:
Варіант
|
h
|
[a, b]
|
|
2
|
0,2
|
[0;1]
|
(0;1)
|
|
Реалізація у MS Excel:
Графіки
розрахованих даних: