Паралельні проекції
Лабораторна №3
Паралельні проекції
Метою разділу є ознайомлення з елементарним математичним
апаратом плоских геометричних проекцій. Для простоти будемо вважати, що при
центральному проектуванні картинна площина перпендикулярна осі z і збігається з
площиною z = d, а при паралельному збігається з площиною z = 0. Проекції
розглядаються в системі координат спостерігача, що є лівосторонньою. Система
координат, в якій вісь х спрямована вправо, вісь у - вгору, а вісь z -
усередину екрана, природньо погоджується з екраном дисплея.
Рис.1 Центральна проекція
Кожну з проекцій можна описати матрицею розміром 4х4. Цей
спосіб виявляється зручним, оскільки з'являється можливість об'єднати матрицю
проектування з матрицею перетворення, представивши в результаті дві операції
(перетворення і проектування) у виді однієї матриці. У цьому розділі ми
одержимо матриці розміром 4х4 для декількох проекцій і насамперед для
центральної. На рис.1 наведені три зображення лівосторонньої системи координат,
у яких точка P проектується на проекційну площину, розташовану на відстані d
від початку координат. Для обчислення координат Xр і Yp проекції точки (x, у,
z) напишемо співвідношения, отримані з подібності трикутників (рис.1):
Перемножуючи обидві сторони кожного співвідношення на d,
одержимо
Відстань d є в даному випадку масштабним множником,
застосованим до координат Xp і Yp. Фактором, що приводить до того, що на
центральній проекції більш віддалені об'єкти виглядають дрібніше, ніж ближчі, є
ділення на z. Відзначимо, що допустимі всі значення z, крім z = 0. Точки можуть
розташовуватися як за центром проекції на від’ємній частині осі z, так і між
центром проекції і проекційною площиною.
Ці перетворення можна представити у вигляді матриці розміром
4х4:
Множачи точку на матрицю . отримаємо загальний вираз
для точки в однорідних координатах :
геометричний проекція косокутний матриця
Тепер, поділивши на W (що дорівнює z/d) для зворотнього
переходу до трьох вимірів, отримаємо
Цей результат є коректним, оскільки містить перетворену z -
координату з 1, що відповідає положенню проекційної ПЛОЩИНИ ВЗДОВЖ ОСІ 2.
При іншому представленні центрального проектування,
застосовуваному в деяких роботах, проекційна площина сполучається з площиною 2
= 0, а центр проекції розташовується в точці 2 = - с (рис. 2). З подібності
трикутників випливає
Звідси одержуємо
Матриця записується у виді
Цю матрицю можна одержати з матриці шляхом переносу центра проекції в початок координат,
застосування і зворотнього переносу:
Ортографічне проектування на площину z = 0 очевидне. Напрямок
проектування збігається з нормаллю до площини проекції, тобто в нашому випадку
з віссю z. Таким чином, точка Р має координати:
Ця проекція описується матрицею
Рис. 3 Косокутна рівнобіжна проекція одиничного куба.
Точка Р' є проекцією точки P (0, 0, 1)
Розглянемо тепер косокутну проекцію, матриця якої може бути
записана виходячи зі значень a і l (рис. 3). На рис. 3 зображений одиничний
куб, спроектований на xy-площину. З малюнка видно, що проекцією точки P (0, 0,
1), що знаходиться на задній стороні' одиничного куба, є точка Р'(l соsа, l
sіnа, 0), що належить площині ху. По визначенню це означає, що напрям
проектування збігається з відрізком РР', що проходить через ці дві точки (рис.
4). Цей напрям є Р'-Р= (l соsа, l sina, -1). Напрям проектування складає кут р
із площиною ху.
Тепер розглянемо довільну точку x, у, z і визначимо її
косокутну проекцію (Хр,Ур) на площину ху. На рис. 5 показані два зображення
точки і проектор, що рівнобіжний проектору, приведеному на рис.4. Рівняння для
x- і y-координат проектора як функцій z мають вид у=mz+b. Вирішуючи два
рівняння относительно Хр і Yр, відзначених на рис.5, одержуємо
Матриця розміром 4х4, що виконує ці дії і, отже, описує
косокутну проекцію, має вигляд
Рис. 4. Косокутна паралельна проекція Р'(l соsа, l sinа, 0) проекцією
точки P (0, 0, 1).
Рис. 5 Косокутна паралельна проекція (Xp, Yp, 0) точки (x, y,
z).
Для проекції кавальє l=1, тому кут р, показаний на рис.4.17,
складає 45°. Для проекції кабіні l=1/2, а b=агtg (2) =63,4°. У випадку
ортографічної проекції l = 0 і b = 90°, тому є окремим випадком .